数字信号处理在航空航天、遥测遥感、生物医学、自动控制、振动工程、通信雷达、水文科学等许多领域有着十分广泛的应用

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霈淞蒋
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1 第一章离散时间信号与系统. 数字信号处理系统的基本组成我们来讨论模拟信号的数字化处理系统, 此系统先把模拟信号变化为数字信号, 然后用数字技术进行处理, 最后再还原成模拟信号这一系统的方框图见图所示 X a (t) 前置滤波器 A/D 变换器 X ( 数字信号 Y ( D/A 模拟 (t) 处理器变换器滤波器 Y a 数字信号处理系统的简单方框图当然实际的系统并不一定要包括它的所有框图, 例如有些系统只需数字输出, 可直接以数字形式显示或打印, 那么就不需要 D/A 变换器另一些系统, 其输入就是数字量, 因而就不需要 A/D 变换器对于纯数字系统, 则只需要数字信号处理器这一核心部分就行了从图中来区别几种信号 : ) 连续时间信号, 也常称为模拟信号 : X z ( t), Y ( t) ) 离散时间信号 : 在一些离散时刻点有定义的信号是数值的序列离散时间信号可以由一个连续时间信号的采样来表示, 如 X a ( T ), Y ( T ), 也可以直接由一个离散时间过程产生 a 3) 数字信号 : 时间和幅度上都离散的信号 X (, Y ( 和离散时间信号进行区别 z. 本章重点内容本章先认识一些常用离散时间序列, 重点是线性时不变离散时间系统, 掌握如何判断某系统是否为 LTI 离散时间系统, 判断系统的稳定性因果性

2 .3 离散时间信号 : 序列离散时间信号在数学上表示成数值的序列用来表示序列的第个数, 其中为整数这里不涉及时间, 只涉及次序连续信号经采样后变成离散时间信号, 存储在存储器中这样序列表示为 { }, 为方便, 用 x ( 表示序列 (, y(, p( 都可以用来表示序列, 只要变量是离散即可 ) 这里注意 : x ( 仅仅在为整数时才有定义, 认为在不为整数时就是零是不正确的见书上图 -. 序列的基本运算方式和积移位 ( 或延迟 ) 翻折累加卷积和移位 : x ( ----, 正则右移若是 x () ----, 正则右移累加 : y (, 表示 ) 在上的值等于 ( 在上的 k 值及以前的所有上的值之和 y( x 卷积和 : 求线性时不变离散时间系统的输出响应 ( 零状态响应 ) 的主要方法定义两个序列 x ( 的卷积和为 y ( ) 讲解书上的例题两种方法 : 图解, 开车法因为这是离散信号, 和连续信号不同, 后者可以积分, 这里不行由定义求解, 定出求和范围, 分段讨论. 几种常见的序列单位抽样序列 δ (

3 定义式图形 ; 与 δ (t) 进行比较, 后者是非现实信号, 实现不了 ; δ ( 的延迟形式 ; 重要作用 : 任何序列都可以用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示举例说明 ) δ ( + ) + ) δ ( + ) δ ( ) + ) δ ( ) + 3) δ ( 3) 3 k 推出一般式 : δ ( 单位阶跃序列 u( k x ( δ ( 定义式图形 ; 与 δ ( 的关系 ; 延迟的表达式 u(, u( ), 注意的取值范围矩形序列 ( 有限长序列 R N 定义式图形 N 的含义 ; 与 δ (, u( 的关系指数序列 ---- 实指数序列 a u( 和复指数序列 jw e cos( w ) + j si( ), w 是数字域频率定义式图形 ; 讨论 a 取不同值的图形, < a <, < a <, a > 正弦序列 A cos( w + φ)

4 3. 复指数序列和正弦序列的特点 j( w jw j jw x Ae + π ) ( ) Ae e π Ae, 这样频率为 ( w + πr ) 的复指数序列相互间无法区别, 这一点对正弦序列也成立 : x ( Acos(( w + π r) + φ) Acos( w + φ ) 这一切和连续时间的复指数和正弦信号不同结论 : 对于 A 为实数的复指数序列或正弦序列, 只需考虑长度为 π 的一段频率区间就可以如 : π p w π或 w π 周期性问题 : p 连续时间情况下, 一个复指数信号或正弦信号都是周期的, 周期等于 π 除以频率 ; 离散时间情况下, 情况如何? 定义 : 如果对所有存在一个最小的正整数 N, 满足 x ( + N ) 则称序列是周期性序列, 周期为 N 频率问题 : 对于连续时间正弦信号 x ( t) Acos( Ωt + φ), 随着 Ω 的增加, t) 振荡的越来越快 ; 对于离散时间正弦信号 x ( Acos( w + φ), 当从增加到 π 时, ( 振荡的越来越快, 而当从 x w w π 增加到 π 时, 振荡反而变慢解释 : 因为由推导可知 N πr / w, 且为最小正整数, w 从增加到 π 和 w 从 π 增加到 π, 如 (/3) N w π 时, N 6; 而 (/3) π 时, 3 所以可以认为 w 是表示序列复现的速度 N 因为正弦和复指数序列中的周期性, 在 w π 周围的频率与 w 周围的频率区分不开所以对于正弦和复指数序列, 位于 w w w w w πk 邻近的值就属于低频范围 ( 相对慢的振荡 ), 而在 w ( π k + π ) 附近就是高频区域 ( 相对快的振荡 ) j( w jw j jw 疑难问题 :) x Ae + π ) Ae e π ( ) Ae, 说明频率为 ( w + πr ) 的复指数序列相互间无法区别, 这是由的周期性引起的, 而不是由于 ( 的周期性引起的 ) w 为什么说是用来表示序列复 x 现的速度要和序列的周期公式相关联 w

5 .4 离散时间系统离散时间系统在数学上可以理解为将输入序列变换成输出序列的运算或变换 x ( T [ ] y( 图示 : 表示为 : y ( T[ ] 例理想延迟系统 y( d ), < < 其中为一个固定的正整数, 称为系统的延迟若为一个固定的负整数, d 则对应于时间超前例滑动平均 M y( M + M + M + M k M [ + M + + ) + L+ M )] d ) + + M + ) + L + 该系统输出序列的第个样本值等于第个样本前后的 M + M ) 个样本的平均例无记忆系统 y ( ( ) y ( 只决定于同一值的输入 ( +. 线性系统定义 : 满足可加性和齐次性则为线性即 : 已知 y T[ x ( ], y ( T[ x ( )], 满足下式是线性 : ( T ax ( + bx ( ] at[ x ( ] + bt[ x ( )] ay + by ( ), [ a,b 为任意数注意点 : a,b 为任意数, 证明时不能特殊 (

6 例题 : 证明例是线性系统, 例是非线性系统零输入产生零输出 : 讨论一个输入为和输出为 y( 的任意线性系统证明如果对于所有,, 则对于所有,y( 必然为零证明 : 设 y(t[] 因为对所有,, 所以 -, 由于线性系统满足叠加原理, 因此 y(t[]t[-]t[]-t[] 例 3 书上 [ 例 -9]: y ( I[ ] 非线性 ;[ 例 -]: y( 非线性 ( 输入输出曲线呈线性关系, 并不表示系统是线性系统 ). 时不变 / 移不变系统定义 : 输入序列的错误! 链接无效将引起输出序列相应的移位和延迟若 y ( T[ ], 对于移不变系统, 对于输入为 x ( ) 的序列将产生 y ( y( ) 即 y( T[ ], 为任意数例 : y ( 是移不变的令时的输出为 y ( ), 有 y ( y( ) π π 例 : y 9 si( + ) 不是移不变的 9 7 例 3 下式定义的系统称为压缩器 : y ( M, < <,M 为正整数从 M 个样本中抛弃 (M-) 个, 也就是说, 输出序列是由输入序列中每隔 M 个样本选出一个来构成的该系统是移不变的证明 : 当输入为时的输出为 y ( ), 有 y x ( M M ) ( 但是 y ( ) x [ M ( )] y ( ) 所以不是移不变的例 4 书上 [ 例 -3]: y ( 不是移不变的

7 当输入为 x ( 时的输出为 y ( ), 有 y ( y( ( ) 3. 线性移不变系统一种特别重要的系统是由线性和移不变性组成的系统 LTI, 并且将线性和移不变性这两种性质结合起来可以得到 LTI 系统的特别方便的表示方法用单位冲激响应表示 LTI 系统 k 在前面我们得到 x ( δ (, 其中表示在 k 点上的值, 设作为输入序列, 通过 LTI 系统得到的输出序列为 k y ( T[ ] T[ δ ( ] : 因为线性性, 所以变性有 y( T[ δ ( ], 假设 T[ δ ( ], 则由移不 k k y ( 因此可以认为一个 LTI 可以完全由它的冲激响应来表征如果给定 h (, 就可以求出任何输入 x ( 序列的输出序列 y( 从上面的分析可以给出上式的一种解释 : 在 k 的输入样本 δ (, 由 LTI 系统变换成输出序列, 并且对于每一个 k, 这些序列相叠加产生整个输出序列 LTI 的性质交换律 : y( 证明 : y( ) ( k k 问题 : y ( l) l) * l) l 分配律 : x ( h ( + h ( ) h ( + h ( ) (

8 结合律 : x ( * ( y( * w( ) ( * y( ) * w( 例题某 LTI 的, 若输入序列是周期为 N 的周期序列, 证明 y( 也是周期为 N 的周期序列 k y ( y( + N) 证明下列各式 : k + N y( ) x * δ ( ) ) ( ) u * u( ) ( + ) u( ) ( k k + N) 3) u ) * u( ) ( + ) u( ) ( 4. 因果系统定义 : 因果系统就是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入的系统, 即的输出 y() 只取决于 < 的输入 (<) 对于因果系统, 如果 < 时 x(, 则 < 时 y(y( 如果系统现在的输出还取决于未来的输入, 则不符合因果关系, 因而是非因果系统, 是不实际的系统注意 : 在定义中, 用到了时刻的概念, 但实际在非实时应用中, 离散时间信号通常都是先存储在存储器中, 然后再进行处理是与输入序列有关, 与其它含有变量的序列无关因果性意味着系统不可预知例题 :) 理想延迟系统 y( d ), < < 在 d> 是因果的 ;) 滑动平均系统, 如果 M> 和 M< ; 3) 无记忆系统 y ( ( ) 是因果的 ;4) 压缩器 y ( M, < <, 若 M> 就不是因果的

9 LTI 系统的因果性 : 若一个 LTI 是因果系统的充要条件是,< 判断一个系统是否为因果, 有两种方法定义法和充要条件, 后者只对 LTI 系统有效根据 LTI 因果系统的定义得到因果序列 : 如果,<, 则该序列是因果序列如 :u(, 单位冲激序列都是因果序列 5. 稳定系统定义 : 稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统即如果输入是有界的 ( 指幅度有界 ), 产生的输出的幅度也是有界的, 则该系统是稳定系统如 :u(, 单位冲激序列,si(w) 都是有界的序列 LTI 系统是稳定的充要条件是 : h ( P <, 即单位抽样响应绝对可和 LTI 系统是因果且稳定的充要条件是 :,< 且 h ( P < 例题 : [ ( )] + T x, >, 判稳定性因果性 ( 稳定, 非因果 ) k 我们感兴趣的系统是因果稳定的 LTI 系统在非线性时变的系统中, 卷积和稳定性和因果性的式子都不能用, 所以一般这类系统人们不是很感兴趣 6.LTI 的性质与冲激响应的关系计算前面各系统的冲激响应理想延迟 h ( δ ( d ), 为某一固定整数 d

10 滑动平均 M, M δ ( M + M + + M k M, M + 其它 M 累加器 y (,, δ ( u( k k, < 计算各系统冲激响应的绝对和 S 理想延迟滑动平均系统中,S< 无穷因为这些系统的冲击响应都只有有限个非零样本, 这样的系统称为有限长冲击响应 (FIR) 系统累加器的 S 无穷大, 可以用稳定性定义证明累加器系统是不稳定的累加器的冲击响应是无限长的, 这类系统称为无限长冲击响应 (IIR) 系统.5 线性常系数差分方程在 LTI 系统中, 有一类系统的输入和输出 y( 满足 N 界线性常系数差分方程, 形式为 : a 和系数, 就可以求出输出 N y( M k k k b, 已知输入初始条件在累加器系统中, y (, 可以看出 y(-y(-), 这是一 k 阶差分方程已知初始条件的情况下, 就能递推出 y( 画出累加器的方框图, 即计算结构图如果要根据差分方程求系统的冲击响应, 只需让输入序列为单位冲击序列即可再根据卷积和求系统的输出例题 : 已知 y(ay(-)+, 在不同的条件下推导 ) 画出系统的方框图 ; k

11 ) 初始条件为 :,y(,< 时, 单位冲击序列, 得到单位冲击响应 y(a u(, a < 时, 因果且稳定 3) 初始条件为 :y(,> 时, 单位冲击序列, 得到单位冲击响应 -a u(--),<-, 非因果系统结论 : 同一个差分方程, 可能代表着不同的系统.6 连续时间信号的抽样离散时间信号出现在很多情况之中, 但最常见的还是作为连续时间信号的表示而出现的获得即我们将连续时间信号变为离散时间信号来处理, 然后再还原为连续信号, 这样就可以利用数字信号处理理论来进行软件或硬件的处理而且, 获得一个连续时间信号的离散形式的主要方法是通过周期采样用图形来表示讲解过程 :) 画出一个连续信号 x a (t) 经采样后变为 ˆ ( t), 利用理想采样, 即抽样序列为 δ ( t ) δ ( t T ), 这样 xˆ a ( t) x a ( t) δ ( t T ),tt 时 δ T ( t ) δ ( t T ) 才有值, 所以 xˆ a ( t) 达式 : ) 时域的乘机等于频域的卷积写出 δ ( t ) δ ( t T ) 的频谱表 T T 3) 写出 x a (t) 的频谱和 ˆ ( t) 的频谱间的关系式 : x a 4) 画图理解说明信号最高的最高频率采样频率折叠频率 5) 奈氏抽样定理 6) 抽样的恢复 x a

作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) (C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30

第二章离散时间信号和系统的时域分析作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) 2.11 2.13(C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30 主要内容离散时间信号的表示典型离散信号序列基本运算离散时间系统时域分析因果稳定性分析线性和时不变分析输入输出关系线性卷积求解差分方程求解