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1 数学分析考研辅导讲义第四章 第四章 不定积分 积分学是微积分的主要部分之一 积分运算是微分运算的逆运算. 而不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具 又是今后计算重积分 曲线积分 曲面积分的基础. 本章的重点是不定积分的换元积分法与分部积分法. 难点是第二换元法 三角函数有理式及简单无理式积分. 要点是不定积分的各种积分方法. 通过本章的学习 应掌握不定积分的概念 性质 基本积分公式及积分方法. 一 内容概要. 原函数与不定积分 () 原函数定义 若在区间 I 内 可导函数 F( ) 的导数为 f ( ) 则 F( ) 称为 f 内的一个原函数. () 原函数存在定理 如果函数 f ( ) 在区间 I 内连续 则 f ( ) 在区间 I 内一定有原函数. (3) 不定积分定义 在区间 I 内 f ( ) 带有任意常数项的原函数称为 f 分 记为 f ( d ). 若 F( ) 是 f = + [ 注意 ] 的一个原函数 则有 f d F ( 其中 为积分常数 ). 在区间 I 在区间 I 内的不定积 如果 f ( ) 有一个原函数 那么 f ( ) 就有无限多个原函数. 若 F( ) Φ 都是 f ( ) 在区间 I 内的原函数 那么 F( ) 与 Φ 只差一个常数 即 Φ F = 0 ( 0 为某个常数 ).. 不定积分的性质

2 数学分析考研辅导讲义第四章 k f d k f d (k 为非零常数 ); f g d f d g d ; () = ( ) ± = ± d d = (3) f d f 或 = d f d f d ; () f d= f + 或 df = f 基本积分表 ⑴ 0d= ⑵ µ + d µ µ + = + ( µ ) ⑶ d= ln + + ⑷ ⑸ d= arcan + d= arcsin + ⑹ sind= cos + ⑺ cosd= sin + ⑻ ⑼ cos d= sec d= an + sin d= csc d= co + ⑽ ansecd= sec + ⑾ cocscd= csc + ed= e + ⑿ ⒀ ad= a + ln a

3 数学分析考研辅导讲义第四章 不定积分的计算 () 第一换元法 ( 凑微分法 ) 设 f ( u ) 具有原函数 F( u ) u ϕ 令 u = ϕ 常用的几种凑微分的形式 : = 可导 则 : = f ϕ ϕ d f ϕ dϕ f ( u) du = F( u) + = F ϕ +. a ( 0 ⑴ f ( a+ b) d= f ( a+ b) d( a+ b) f ln d f ln dln ; ⑵ = ⑶ = ; f d f d ⑷ f ( e ) ed = f ( e ) de ; n n n n ⑸ f ( ) d= f ( ) d( ) ( 0 n n ); a ); f d f d = n ( 0 ⑹ n n+ n n f sin cos f sin sin ; f cos sin f cos cos ; f an sec d f an an ; ⑺ = ⑻ = ⑼ = ⑽ = n ); f arcsin d f arcsin darcsin ; + f arcan d f arcan darcan ; ⑾ = ⑿ f d = df ( ) = ln f ( ) + f f.

4 数学分析考研辅导讲义第四章 则 () 第二换元法 设 = ψ ( ) 是单调的 可导 且 ψ ( ) 0 又设 f ψ ( ) ψ ( ) 具有原函数 其中 = ψ 是 ψ ( ) = () () f d f ψ ψ d = 的反函数. = ψ 常用的几种变量替换的形式 : 三角代换通过这种替换将根式积分化为三角有理式积分. 被积函数中含有根式 相应的三角替换 a a = a sin + = a an a = a sec 倒代换令 =. 注 一般用倒代换不能去掉根号 但有时会简化计算. (3) 分部积分法 设 u v 均有连续导数 则 = u v d u v u v d. 或 u( dv ) = u v v du 注 用分部积分法求不定积分的关键在于 : 恰当地将被积函数分成两部分 选择 u 和 dv 的原则 : 积分容易者选作 dv ; 求导简单者选作 u 在二者不可兼得情况下 首先要保证前者. 常用的分部积分法的几种题型 : n ed ; n sin. e sin cos 为 v n d ; cos d 选取 n 为 u( ) 选取

5 数学分析考研辅导讲义第四章 n ln d ; n n arcsin d ; arcan d 选取 ln arcsin arcan 为 u 选取. n 为 v 3 e sin d ; e cos d 任意选取 次 即可解. e 为 u 或 v 应连续用两 () 特殊类型函数的积分 有理函数的积分有理函数总可以化为整式与以下四种部分分式之和 这四种部分分式的不定积分如下 : A d = A ln a + ; a A A a a d = + ( m m ( ) m ( ) 其中二次多项式 + p+ q无实根 且令 = + d Im = m + p+ q p m ); A + B A ln B Ap arcan + d= + p+ q + p + ; + p+ q q p q p A + B A Ap d d= + B ( ) ( -) ( p q m p q) ( + p+ q) m m m I m 可用递推公式计算. 三角函数有理式的积分 形如 ( sin cos ) d ( q p a = ) m ( + a ) R d 的积分 ( R 表示有理函数 ) 称为三角函数有理式的积 分. 用 万能代换 即令 = ( π π) an < < 化为有理函数的积分 此时 R( sin cos ) d= R d.

6 数学分析考研辅导讲义 第四章 简单无理函数的积分 R a b d ; R a + b n d 的积分称为无理函数的积分 c+ d 形如 ( ) n + 分别令 : n a+ b = ; a + b n = 变量替换 化成有理函数的积分. c+ d 二 典型题解答 例.. 已知 f ( ) = ln 解 : 因为 f ( ) 又 ϕ = ln 且 f ϕ = ln ( ) ( ) ϕ + ϕ f = ln = ln 即 ϕ ϕ d= 从而 ϕ + d d. 求 ϕ + + 所以 f = ln + = 解得 ϕ = + ln d = + +. lnan 例.. 求 d. cos sin lnan lnan 解 : 原式 = d= d( an ) cos an an = lnand ( lnan ) = ( lnan ) +. + = d. 例..3 已知 f ( ) 的一个原函数为 ( + sin) ln 求 f 解 : = f d f f d = f + sin ln +

7 数学分析考研辅导讲义第四章 sin f = sin ln + = cos ln + 又由于 f d= cos ln+ + sin + + sin ln +. 故得 ln( + ) 例.. 设 f ( ln ) = 计算 f 解 : 设 ln = 则 故 = e f ln( + e ) d. ( + e ) ln = e f d= d= ln + e d e e = e ln( + e ) + d + e e = e ln( + e ) + d + e ln( ) ln( ) ( ) ln( ) = e + e + + e + = + e + e +. sin 例..5 求 d. sin+ cos sin+ cos 解法一 : 因为 d = + sin+ cos 及 ( sin cos ) sin cos d + d = sin+ cos sin+ cos = ln sin+ cos + sin + 得 d= ln sin+ cos + 3 sin+ cos sin d= + +. sin+ cos 故 ( ln sin cos )

8 数学分析考研辅导讲义第四章 解法二 : 原式 sin = d sin+ cos sin+ cos+ sin cos = d sin+ cos sin cos = d + sin+ cos ( sin + cos ) d = sin+ cos = ( ln sin cos ) + +. 例..6 ( 北京大学 990 年考研试题 ) 试求不定积分 ( cos sin ) ( cos + sin ) d 进而求出 cos d 与 sin d. 解 : cos sin = ( cos + sin )( cos sin ) = cos sin = cos; d 与 cos + sin = cos + sin sin cos 3 = sin = + cos ( cos sin ) d= cosd= sin+ ; ( cos sin ) d + = + cos d= + sin 以上两式相加推得 cos d= + sin+ sin+ 8 3 两式相减推得 3 sin d= sin+ sin+. 8 3

9 数学分析考研辅导讲义第四章 cossin 例..7 ( 华东师范大学 000 年考研试题 ) 计算 d. + cos 解 : 原式 = cos cos cos = cos d + cos = = ( + ) + + d ln cos ln cos = + +. 例..8 ( 清华大学考研试题 ) 计算 e 解 : d= d( e ) e e e d e ( ) + = d e = e e d d >. 令 e = 则 = ln( + ) d= d 故 + e d= d = d + + = arcan + e = e arcan + 故原式 = e e + arcan e +. lnsin 例..9 ( 复旦大学 997 年考研试题 ) 求 d. sin

10 数学分析考研辅导讲义第四章 lnsin d d sin 解 : = lnsin ( co ) 例..0 f ( sin ) 解 : f 条件 cos = co ln( sin) + co d sin = co ln sin + csc d = co ln sin co +. sin d. = 求 f π d ( 令 = sin 0< < ) sin = f ( sin ) sincosd sin sin = sincosf ( sin ) d cos = sin f sin sin d sin d = sind = dcos = cos + cosd = cos + sin + = cos + sin +. 例.. 求心形线 r = a( + cosθ ) ( 0) a > 的积分曲线. 分析若曲线用函数 y = f 表示时 依定义 积分曲线 心形线在直角坐标系下的显式表达式不好写. 现在的问题是将积分 f 这里的 y f y = f d 但 d 算出 = rcosθ = a + cosθ cosθ = 的参数方程可以写成 : 即. y = rsinθ y = a( + cosθ) sinθ d. 可借助该方程算出 f

11 数学分析考研辅导讲义第四章 解 : 设心形线的直角坐标表示为 y = f f d ( 令 ( cos ) sin ( sin sin cos ) = a + cosθ cosθ ) = a + θ θ a θ θ θ dθ = a sin θ + 3cosθ + cos θ dθ cosθ = a sin θdθ + 3sin θ cosθdθ + dθ 3 = a cosθ dθ + sin θ + ( cosθ) dθ 3θ 6 3 = a sinθ + sin θ sinθ + 积分曲线可用以下参数方程给出 : ( θ) = a + cos cosθ 3 θ sin θ sinθ sinθ 6 3 y = a + +. 练习题 设 F( ) 为 f ( ) 的原函数 且当 0 时 f F 已知 F ( 0) = F( ) > 0 求 f ( ). e = ( + ) 求 d 求 sin( ln ) d arcan e 求 d. 3 + d d 5 求 ;

12 数学分析考研辅导讲义第四章 计算不定积分 7 ( 山东大学考研试题 ) 求积分 an d. + d 与 d + 进而求不定积分 + + d. + 8 ( 复旦大学 999 年考研试题 ) 求 ln d. 9 ( 四川联合大学 000 年考研试题 ) 求不定积分 lnln + d ln. e an + d. 0 求

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