类脑计算(神经形态计算)

Size: px

Start display at page:

Download "类脑计算(神经形态计算)"

微焦
5 years ago
Views:

1 第 2 章离散时间信号与系统 1

2 2.1 离散时间信号 : 序列在数学上表示成数值的序列一个序列 x 的第 n 个数, 记作 x(n) x = x(n), < n < 其中 n 为整数可通过对模拟信号的周期采样来得到 x a t t=nt = x nt, < n < 常称 x(n) 为序列的第 n 个样本 1 x(n) 仅在 n 为整数时才有定义 2 常将序列 {x(n)} 简记为 x(n) 2

3 2.1.1 序列的分类如 x 是复数数组复序列 x n, 复序列 x n 可表示成两个实序列的合成 : x n =x r n +jx i n x r n 和 x i n 两个实序列分别是复序列 x n 的实部和虚部 Re x n 和 Im x n 因此, 可以用实序列的分析方法来处理复序列复序列可用它的幅度和相角表示 x n = x n e jφ(n) x n 的 n 取值为有限值有界序列 x n 的 n 取值为无限值无界序列 3

4 2.1.2 基本序列单位采样序列 δ(n) = 1, n = 0 0, n 0 δ(n m) = 1, n = m 0, n m 1 单位采样序列 ( 也可称为单位脉冲序列 ), 序列仅在 n =0 时取值为 1, 其它均为零 2 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数 δ(t ), 但不同的是 δ(t ) 在 t = 0 时, 取值无穷大,t 0 时取值为零, 对时间 t 的积分为 1 3 单位采样序列在离散时间系统中是一个实际存在的序列, 常作为离散时间系统采样相应的输入信号 4

5 单位阶跃序列 u(n) = 单位阶跃序列类似于模拟信号中的单位阶跃函数 u n δ(n) 与 u n 之间的关系 u n = δ(k) k= 单位阶跃序列可用一组单位采样序列的和来表示 u n = 1, n 0 0, n < 0 m=0 n δ n m = δ n + δ n 1 + δ n 2 + 单位采样序列可用单位阶跃系列的后向差分表示 δ n = u n = u n u n 1 5

6 矩形序列 R N (n) = 1, 0 n N 1 0, 其他 n 式中 N 称为矩形序列的长度矩形序列可用单位阶跃序列的差表示 : 1 R 4 (n) R N n = u n u n N 当 N = 4 时,R 4 (n) 的波形 n 6

7 实指数序列 x n = Aa n u n A 和 a 为实数当 a <1,x(n) 的幅度随 n 的增大而减小, 称 x(n) 为收敛序列 ; 当 a >1,x(n) 的幅度随 n 的增大而增大, 称 x(n) 为发散序列 ; 当 -1<a<0 时, 序列 x(n) 收敛且摆动, 如人口增长企业投资回报等 7

x(n) = sin(ω 0 n) 可以是对模拟信号 x(t) 采样得到, 即 x(t)= sin(ω 0 t) x(t)

8 正弦序列 x(n)=acos (ω 0 n+ψ) 式中 A 为实数,ω 0 是正弦序列的频率,ψ 为相位, 两者的单位都是弧度 ; ω 0 表示序列变化的速率, 或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数正弦序列 (A=1,ψ= π 2 ) 正弦序列 x(n) = sin(ω 0 n) 可以是对模拟信号 x(t) 采样得到, 即 x(t)= sin(ω 0 t) x(t) t=nt = sin(ω 0 nt) x(n) = sin(nω 0 ) 取 n 的单位为样本, 频率 ω 0 的单位是弧度 / 样本 8

9 数字频率 ω 与模拟角频率 Ω 之间的关系因为在数值上, 序列值与采样信号值相等, 因此得到数字频率 ω 与模拟角频率 Ω 之间的关系为 : ω = ΩT 上式具有普遍意义, 它表示凡是由模拟信号采样得到的序列, 模拟角频率 Ω 与序列的数字域频率 ω 成线性关系由于采样频率 f s 与采样周期 T 互为倒数, 也可以表示成下式 : ω = Ω f s 数字频率 ω 表示了每个采样点间隔的弧度 9

10 复指数序列 a 为复数的指数序列 Aa n, 其实部和虚部是指数加权的正弦序列 x n = Aa n = A e jψ ( a e jω 0) n = A a n e j(ω 0n+ψ) 由于 e j(ω 0n+ψ) = cos ω 0 n + ψ + jsin(ω 0 n + ψ) 得到 x n = Aa n = A a n cos ω 0 n + ψ + j A a n sin(ω 0 n + ψ) 复指数序列 e ω 0n 是一种最常用的序列 ( 分析离散时间系统的重要序列 ); 取 n 的单位为样本, 频率 ω 0 的单位是弧度 / 样本 10

11 复指数序列与正弦序列的周期问题由于 n 取整数, 当考虑频率为 (ω 0 +2π) 的复指数序列时, 有下面等式成立 : x n = Ae j ω 0+2π n = Ae jω 0n e j2πn = Ae jω 0n 上式说明, 频率为 ω 0 + 2πr 的离散时间复指数序列相互之间是无法区分的 (r 为整数 ) 对于正弦序列同样成立 : x n = Acos[ ω 0 + 2πr n + ψ] = Acos(ω 0 n + ψ) 因此, 当讨论具有 x(n) = Ae jω 0n 或 Acos(ω 0 n + ψ) 信号时, 只需长度为 2π 的一段频率区间就可以 11

12 任意序列的单位采样序列表示法 ( 单位采样移位加权和表示 ) 任意一个序列可以用一组移位的单位采样序列的幅度加权和来表示如图所示的序列 x(n) 可表示成 : x(n)=a 5 δ(n+5) + a 2 δ(n+2) + a 0 δ(n) + a 1 δ(n-1) + a 2 δ(n-2) + a 6 δ(n-6) 可以导出任意序列的一般表达式 : x( n) x( m) ( n m) m 式中 δ(n m) = 1, n = m 0, n m 这种任意序列的表示方法是信号分析中一个很有用的公式 12

13 周期序列如果对所有 n 存在一个最小的正整数 N, 使下面等式成立 : x(n) = x(n+n), -<n< 则称序列 x(n) 为周期性序列, 周期为 N( 注意 N 取整数 ) 例如 : x( n) sin( n) 4 上式中, 数字频率是 π/4, 由于 n 取整数, 可以写成下式 : x( n) sin[ ( n 4 8)] 该式表明 sin( ) 4 n 是周期为 8 的正弦周期序列, 如上图所示 13

14 一般正弦序列的周期性假设 x n = Acos ω 0 n + φ 那么根据周期序列的定义 :x(n) = x(n+n) x n + N = Acos ω 0 n + N + φ = Acos ω 0 n + ω 0 N + φ = Acos ω 0 n + φ 要上式成立, 则要求 ω 0 N =2πk, k 取整数, 且 k 的取值要保证 N 是最小的正整数, 则 2π/ω 0 必须是整数或有理数满足这些条件, 正弦序列才是以 N 为周期的周期序列复指数序列与正弦序列未必以 (2π/ω 0 ) 为周期, 取决于 ω 0 的值, 要求 ω 0 N= 2 kπ, 其中 N 为整数 14

15 1 正弦连续信号一定是周期函数, 但正弦序列则不一定是周期序列 2 数字角频率 ω 与模拟角频率 Ω 不同连续指数信号 e jωt 中 t, Ω R, 不同的 Ω 对应不同频率的连续信号但在序列中, 有 e jnω = e i ω+2kπ n 在数字频率轴上相差 2π 整数倍的所有复指数序列值都相同或者说 ω 有效值区间仅限于 π ω π 15

16 2.1.3 序列的稳定性与因果性稳定性 : 序列 x(n) 是稳定的, 当且仅当存在一个固定的有限正数 S 使下式成立 S = n= 上式意味着 x n 绝对可加 x n <, < n < 因果性 : 如果对于 n<0 时, 序列 x n =0, 那么序列 x n 称为因果性的 ( 或物理可实现的 ) 在线性时不变系统中稳定性和因果性有着明确的物理意义 16

17 2.1.4 序列的基本运算在数字信号处理中, 基本的序列运算有加法乘法移位翻转及尺度变换序列的相加与相乘序列之间的加法和乘法, 是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘得一新序列 y n = x 1 (n) + x 2 (n) y n = x 1 (n)x 2 (n) 序列的加权 ax = a x(n) 序列的加法和乘法序列的每个样本值与常数 a 相乘 17

18 序列的移位与反转当 m 为正时, x(n-m) 表示依次右移 m 位 x(n+m) 表示依次左移 m 位 x(n) 移位序列 x(n) 将 x(n) 以 n=0 为对称轴进行反转得到序列 x(-n) x(n) 反转 18

19 序列的样本累加不同于序列相加, 它是将给定区间 [n 1, n 2 ] 中的所有序列样本值相加 n 2 x n = x n 1 + +x(n 2 ) n=n 1 序列的样本相乘不同于序列相乘, 它是将给定区间 [n 1, n 2 ] 中的所有序列样本值相乘 n 2 x n = x n 1 x(n 2 ) 序列的差分 n=n 1 前向差分 ( 先左移后相减 ) 后向差分 ( 先右移后相减 ) Δx(n) = x(n + 1) x(n) x(n) = x(n) x(n 1) 19

20 序列的能量 E x = n= ) x(n x (n) = n= x(n) 2 周期为 N 的周期序列的平均功率 N 1 p x = 1 N n=0 x(n ) 2 20

21 序列的尺度变换 ( 抽取与内插 ) 抽取 :x(n) x(mn), m 为正整数 ; 例如, m=2,x(2n), 相当于两个点取一点 ; 以此类推插值 :x(n) x(n/m), m 为正整数, 例如,m=2,x(n/2), 相当于两个点之间插一个点 ; 以此类推 21

22 2.2 序列的离散时间傅里叶变换采样信号的傅里叶变换表示分析 :X s (jω) = x(nt)e jωnt 综合 :x(nt) = T 2π π T π T X s (jω)e jωnt dω 序列信号的傅里叶变换表示分析 :X e jω = x(n)e jωn 综合 : x(n) = 1 π 2π π X e jω e jωn dω 傅里叶变换 ( 分析公式 ) 分析序列以确定综合时各个频率分量的大小傅里叶反变换 ( 综合公式 ) 表达序列为一系列无限小的复正弦的叠加 22

dt X jω e jωt dω 对非周期信号进行周期延拓采样信号的离散时间傅里叶变换 X s jω = x nt = T n= π 2π π T x t e jωnt T Xs (jω)e

23 回顾 Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 周期信号的傅里叶级数表示 x t = n= X nω 0 e jnω 0t X nω 0 = 1 T 0 T 0 2 T 02 x t e jnω 0 t dt 任何周期信号都可以用傅里叶级数表示非周期信号的傅里叶变换 X jω = x t = 1 2π x t e jωt dt X jω e jωt dω 对非周期信号进行周期延拓采样信号的离散时间傅里叶变换 X s jω = x nt = T n= π 2π π T x t e jωnt T Xs (jω)e jωnt dω 对连续时间信号进行等间隔采样序列信号的傅里叶变换 X e jω = x n = 1 n= n= 2π x n e jωn X e jω e jωn dω X s jω 与 X e jω 的关系? 23

24 由非周期信号的傅里叶变换 x t = 1 x(nt) = 1 π T [ X 2π π T r= 将 ω = ΩT 代入上式 ( 推导 X s jω 与 X e jω 的关系 ) x nt = 1 π 2π π [ 1 T n= X 序列信号的傅里叶变换 X e jω = x n = 1 n= 2π j ω T 2πr T x n e jωn X e jω jω j 2πr T e jωn dω ] ejωnt dω ]ejωn dω 比较比较 2π X jω e jωt dω 变量替换 t=nt, v= Ω+2πr/T 采样信号的离散时间傅里叶变换 x nt = T π T Xs (jω)e jωnt dω 2π π T X s jω = 1 X T r= X e jω = 1 X j ω T T 2πr T n= X s jω = X jω ω=ωt ( 频率的归一化 ) jω j 2πr T 24

25 举例 : 求下式的离散时间傅里叶变换 x(n) = 1, L 1 n L 1 0, 其它 n L 1 X e jω = x n e jωn n= L 1 = sin ω L sin ω 2 矩形序列的频谱是连续的, 是频率变量 ω 的周期函数非周期矩形脉冲信号的频谱分析 L 1 =2 的离散时间傅里叶变换 x t = A, τ 2 t τ 2 0, X jω = Aτ sin Ωτ 2 Ωτ 2 25

26 序列的傅里叶变换收敛的一个充分条件是序列绝对可加 X(e jω = n= x(n)e jωn n= x(n) e jωn n= x(n) < 序列的绝对可加保证了傅里叶级数一致收敛到一个 ω 的连续函数 26

27 稳定序列是绝对可加的, 必然存在傅里叶变换举例 : 稳定的指数序列的傅里叶变换非绝对可加, 但平方可加的序列放宽 X(e jω ) 定义中无限求和项的一致收敛为均方收敛 lim M π π x(n) = a n u(n) a < 1 + n= n= x(n ) 2 < x(n)e jωn 偏差未必趋于零, 但偏差的能量趋于零 M n= M x(n)e jωn 2 dω = 0 27

28 2.3.1 周期性 Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 2.3 离散时间傅里叶变换的性质 X(e jω ) = x(n) = 1 由于 e j ω+2πr n = e jωn, r 为整数, n= π 2π π x(n)e jωn X(e jω )e jωn dω X e jω =X e j(ω+2πr 故有上式说明序列的离散时间傅里叶变换是 ω 的周期函数 ( 周期 2π), 这样在计算或分析的过程中, 只需考虑 X e jω 的一个周期, 即 ω [0,2π] 或 [-π,π] 28

29 2.3.2 对称性任意序列可表示为共轭对称与共轭反对称序列之和 x(n) = x e (n) + x o (n) x e [n] = 1 2 [x(n) + x ( n)] = x e ( n) x o (n) = 1 2 [x(n) x ( n)] = x o ( n) 共轭对称实序列即为偶序列, 共轭反对称实序列即为奇序列傅立叶变换也可表示为共轭对称与共轭反对称函数之和 X(e jω ) = X e (e jω ) + X o (e jω ) X e (e jω ) = 1 2 [X(ejω ) + X (e jω )] = X e (e jω ) X o (e jω ) = 1 2 [X(ejω ) X (e jω )] = X o (e jω ) 共轭对称共轭反对称共轭对称实函数即为偶函数, 共轭反对称实函数即为奇函数 29

30 实序列的傅里叶变换是共轭对称的 X(e jω ) = X R (e jω ) + jx I (e jω = X R (e jω ) jx I (e jω ) = X (e jω X e jω = X(e jω j X(e e jω = X(e jω j X(e e jω = X (e jω 1 实序列傅里叶变换的实部是偶函数 2 实序列傅里叶变换的虚部是奇函数 3 实序列傅里叶变换的幅值是偶函数 4 实序列傅里叶变换的相位是奇函数 30

31 对称性的两个基本性质 1 如果有 X(e jω ) = F[x(n)], 则有 X (e jω ) = F[x (n) 证明 : F[x (n)] = = n= n= x (n) e jωn x(n e jωn ] = X (e jω ) 31

32 2 如果有 X(e jω ) = F[x(n)], 则有证明 : X (e jω ) = F[x ( n) F[x ( n)] = = n= n= x ( n) e jωn = n= x(n e jωn ] = X (e jω ) x (n) e jωn 32

33 序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系 1. 序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部 j 即, F [R e{ x( n)}] X ( e ) 1 * 证明 : Re[ x( n)] [ x( n) x ( n)] 2 1 j * j F{Re[ x( n)]} [ X ( e ) X ( e )] 2 j X ( e ) e e 33 33

34 2. 序列的 j 倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部即, j F [ j Im { x( n)}] X ( e ) o 证明 : 1 * j Im[ x( n)] [ x( n) x ( n)] 2 1 F j x n X e X e 2 j X ( e ) j * j { Im[ ( )]} [ ( ) ( )] o 34 34

35 2.4 离散时间系统输入与输出都是离散序列的系统定义为离散时间系统数学上定义为一个变换或算子, 将输入序列映射为输出序列 x(n) T[ ] y(n)=t [ x(n) ] y(n) 对变换 T[ ] 的不同约束条件定义了各类不同的离散系统如累加器 : y n = n m= x m 35

36 由定义 y(n)=t[x(n)] 线性系统的输出序列第 n 个样本的值依赖于输入序列的所有或部分样本理想延迟系统的输出样本只与一个输入样本有关 ; y[n] = x(n n d ), < n < + 移动平均系统输出的第 n 个样本是输入序列第 n 个样本附近的 (M 1 +M 2 +1) 个样本的平均值 ; y[n] = 1 M 1 + M k= M1 M 2 ) x(n k 36

37 2.4.1 线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统设 x 1 (n) 和 x 2 (n) 分别作为系统的输入序列, 其输出分别用 y 1 (n) 和 y 2 (n) 表示, 即那么线性系统一定满足 y 1 (n)=t[x 1 (n)],y 2 (n)=t[x 2 (n)] T[x 1 (n)+x 2 (n)]= y 1 (n)+y 2 (n) (1) T[ax 1 (n)]= a y 1 (n) (2) 满足 (1) 式称为线性系统的叠加性 ; 满足 (2) 式称为线性系统的比例性或齐次性, 式中 a 是常数如线性系统满足下式 y(n)=t[ax 1 (n)+bx 2 (n)]=ay 1 (n)+by 2 (n), a 和 b 均是常数则称该线性系统满足齐次性和叠加性如累加器 : y n = n m= x m 37

38 2.4.2 线性时不变系统如果系统对输入信号的运算关系 T[ ] 在整个运算过程中不随时间变化, 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关, 则这种系统称为时不变系统, 用公式表示如下 : y(n) = T[x(n)] y(n-k) = T[x(n-k)] 例 : 检查 y(n)=ax(n)+b 代表的系统是否是时不变系统, 式中 a 和 b 是常数解 : y(n)=ax(n)+b y(n-k)=ax(n-k)+b y(n-k)=t[x(n-k)] 因此该系统是时不变系统 38

39 例 : 检查 y(n)=nx(n) 所代表的系统是否是时不变系统解 : y(n)=nx(n) y(n-k)=(n-k)x(n-k) T[x(n-k)]=nx(n-k) y(n-k) T[x(n- k)] 因此该系统是一个时变系统同样方法可以证明 y(n)=e n x(n) 所代表的系统是一个时变系统 ( 讨论系统的单位采样响应 ) 39

40 离散线性时不变系统输入与输出之间的关系设系统的输入 x(n)=δ(n), 系统输出 y(n) 的初始状态为零 ; 定义这种条件下系统输出称为系统的单位采样响应, 用 h(n) 表示换句话说, 单位采样响应即是系统对于 δ(n) 的零状态响应用公式表示为 h(n)=t[δ(n)] h(n) 和模拟系统中的 h(t) 单位冲激响应相类似, 都代表系统的时域特征设系统的输入用 x(n) 表示, 并把 x(n) 表示成单位采样序列移位加权和为 x(n) = x(m)δ(n m) m= 40

41 则线性系统的输出为根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质 y(n) = T[ y(n) = y(n) = m= m= m= ) x(m)δ(n m ] ) x(m)t[δ(n m ] = x(n) h(n) x(m)h(n m) 上式表示线性时不变系统的输出等于输入序列 x(n) 和该系统的单位采样响应 h(n) 的卷积只要知道系统的单位采样响应 h(n), 按照上式, 对于任意输入 x(n) 都可以求出系统的输出 y(n) 41

42 卷积求解过程按照式 y(n) = m= x(m)h(n m) 1 将 x(n) 和 h(n) 用 x(m) 和 h(m) 表示, 并将 h(m) 进行翻转, 形成 h(-m); 2 将 h(-m) 移位 n, 得到 h(n-m) 当 n>0 时, 序列右移 ;n<0 时, 序列左移 ; 3 将 x(m) 和 h(n-m) 相同 m 的序列值对应相乘后, 再相加按照以上三个步骤可得到卷积结果 y(n) 42

43 例 : 1. 将 x(n) 和 h(n) 用 x(m) 和 h(m) 表示, 并将 h(m) 进行翻转, 形成 h(-m); 2. 将 h(-m) 移位 n, 得到 h(n-m) 当 n>0 时, 序列右移 ; 当 n<0 时, 序列左移 ; 3. 将 x(m) 和 h(n-m) 相同 m 的序列对应相乘后, 再相加离散线性时不变系统卷积过程的图解说明 43

44 例 : 设 x(n)=r 4 (n),h(n)=r 4 (n), 求 y(n)=x(n)*h(n) 解 : 按照式 y(n) = m= R 4 (m)r 4 (n m) 上式中矩形序列长度为 4, 求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上下限,R 4 (m) 的非零值区间为 :0 m 3, R 4 (n-m) 的非零值区间为 :0 n-m 3; 其乘积值的非零区间, 要求 m 同时满足下面两个不等式 : 0 m 3 n-3 m n 44

45 例设 x(n)=r 4 (n),h(n)=r 4 (n), 求 y(n)=x(n)*h(n) 解 : 按照式 y( n) R ( m) R ( n m) m 4 4 上式中矩形序列长度为 4, 求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上下限,R 4 (m) 的非零值区间为 :0 m 3, R 4 (n-m) 的非零值区间为 :0 n-m 3, 其乘积值的非零区间, 要求 m 同时满足下面两个不等式 : 0 m 3 n-3 m n 45

46 R 4 (n) 因此 0 n 3, y n = n 1 = n R 4 (m) R 4 (n) 1 n R 4 (m) 0 m 3 4 n 6, y(n) = m=0 3 m=n 3 1 = 7 n R 4 (- m) R 4 (1- m) n m m R 4 (n-m) 0 n-m 3 卷积过程以及 y(n) 波形如所示, y(n) 用公式表示为 : y n = n + 1, 0 n 3 7 n, 4 n 6 0, 其它 R 4 (2- m) y(n) m m n 两个乘积 0 m 3 n-3 m n 46

47 卷积的运算是反转移位相乘和相加, 这类卷积称为序列的线性卷积设两序列分别的长度是 N 和 M, 线性卷积后的序列长度为 (N+M-1) 线性卷积服从交换律结合律和分配律 1. 交换律 x(n) h(n)=h(n) x(n) ( a ) x(n) h 1 (n) h 2 (n) y(n) 1. 结合律图 (a)(b) y(n) =x(n) [ h 1 (n) h 2 (n) ] = [ x(n) h 1 (n) ] h 2 (n) ( b ) ( c ) x(n) x(n) h 1 (n) * h 2 (n) h 1 (n)+h 2 (n) y(n) y(n) 3. 分配律图 (c)(d) y(n)=x(n) [ h 1 (n)+h 2 (n) ] = x(n) h 1 (n)+x(n) h 2 (n) ( d ) x(n) h 1 (n) h 2 (n) y(n) 卷积的结合律和分配律 47

48 2.4.3 离散线性时不变系统的因果性和稳定性因果性如果系统的输出 y(n) 只取决于 n 时刻和 n 时刻以前的输入而和 n 时刻以后的输入序列无关, 则称该系统具有因果性质, 或称该系统为因果系统如果 n 时刻的输出还取决于 n 时刻以后的输入序列, 在时间上违背了因果性, 系统无法实现, 则系统被称为非因果系统因此系统的因果性是指系统的可实现性线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位采样响应满足下式 : h(n)=0, n<0 48

49 满足上式条件的序列称为因果序列, 因此因果系统的单位采样响应必然是因果序列因果性系统的条件式从概念上也容易理解, 因为单位采样响应是输入为 δ(n) 的零状态响应, 在 n=0 时刻以前即 n<0 时, 没有加入信号, 输出只能等于零, 因此得到因果性条件式 h(n)=0, n<0 49

50 稳定性有界输入有界输出 (BIBO) 稳定性 : 当且仅当每一个有界的输入序列都产生有界的输出序列, 则该系统是 BIBO 稳定的稳定性的充要条件是系统的单位采样响应绝对可加根据 h(n) 的时宽 : FIR 和 IIR 两类系统 ( 举例 ) 50

51 线性时不变系统可由其单位采样响应 h(n) 完全刻画 y(n) = T 离散线性时不变系统分类 : 有限长冲激响应 FIR 无限长冲激响应 IIR ( 讨论 ) = m= m= ) x(m)δ(n m = m= ) x(m)h(n m = x n h n x(m)t δ(n m) 1 线性时不变系统是稳定的, 当且仅当其冲激响应是绝对可加的 B h = n= h(n) < 2 线性时不变系统是因果的, 当且仅当其冲激响应是因果序列 h(n) = 0, n < 0 51

52 2.4.4 利用差分方程表示离散线性时不变系统任何离散线性时不变系统的输入与输出满足 N 阶线性常系数差分方程 xn ( ) M N k=0 离散时间线性时不变系统 b k y(n k) = N M k=0 y(n) a k x(n k) y n = k=0 a k b 0 x n k k=1 b k b 0 y n k, b 0 0 常系数 :a 0, a 1,, a M ; b 0, b 1,, b N 均是常数 ( 不含 n) 阶数 :y(n) 变量 k 的最大序号与最小序号之差, 如 N=N 0 线性 :y(n-k) 与 x(n-m) 各项只有一次幂, 且不含它们的乘积项 N 阶线性常系数差分方程求解 : 时域 -- 迭代法, 卷积和法 ; 变换域 :Z 变换法 52

53 用迭代法求解差分方程举例 : 已知常系数线性差分方程为 y(n)=x(n) + by(n-1), 试求单位采样响应 h(n). 解 : 为了得到系统的单位采样响应, 令 x(n) = δ(n), 于是有 y(n) = h(n), 系统方程变为 h(n) = bh(n 1) + δ(n), 因果系统有 h n =0, n<0 ( 这是初始条件 ); 53

54 系统方程 :h n = bh n 1 + δ n, 初始条件 :h n =0, n<0, h(1) = bh(0) + δ(1) = b = b h(2) = bh(1) + δ(2) = b = b 2 h(2) = bh(1) + δ(2) = b = b 2 h n = bh n 1 + δ n = b n + 0 = b n, n 0 归纳得到 : h n =b n u(n), 对应一个因果系统, 且 b < 1 时稳定如果初始条件 : h n =0,n > 0, 则递推得 h n = b n u( n 1) 对应一个非因果系统, 且 b > 1 时稳定 54

55 对于给定的输入, 线性常系数差分方程的解不是唯一的 ; 如要得到特定的输出, 需要初始条件约束对于实际系统, 用递推解法求解, 总是由初始条件向 n>0 的方向递推, 是一个因果解但对于差分方程, 其本身也可以向 n<0 的方向递推, 得到的是非因果解因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统, 还需要用初始条件进行限制差分方程的递推数值解法中的三种基本运算加法乘法延迟对于一个给定的离散线性时不变系统, 可以有多个不同的差分方程表达 x(n) + b 单位采样延迟 y(n) 一阶差分方程描述的离散线性时不变系统 ( 讨论 ) 55

56 零阶线性常系数差分方程相应的单位采样响应为 y(n) = M k=0 y(n) = a k b 0 δ(n k = a n b 0 FIR 系统的输出可以无需递归地被计算 M m=0 a m b 0 x(n m 0 n M 0 其它 56

57 注意 1 一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统, 也不一定表示线性时不变系统这些都由边界条件 ( 初始 ) 所决定 2 我们讨论的系统都假定 : 常系数线性差分方程就代表线性时不变系统, 且多数代表因果系统 57

58 2.5 离散时间系统的频率响应函数对复指数序列的响应线性时不变系统的一个重要特性是对某些类型的输入特征函数, 其输出依然保持同样的特征行数, 复指数函数是这种特征函数之一复指数序列 e jωn 是线性时不变系统的特征函数 y(n) = T[e jωn ] = 如定义则 y(n) 可表示为 m= H(e jω ) = ) h(m)e jω(n m = e jωn m= h(m)e jωm y(n) = e jωn H(e jω m= 58 h(m)e jωm 系统对 e jωn 输入所产生的输出序列 y(n) 依然是具有相同频率的复指数序列, 只是乘了一个复数常数

59 特征值 H(e jω ) 是频率 ω 的函数, 描述了由系统导致的复指数输入信号在复振幅上的变化, 称为系统的频率响应通常,H(e jω ) 为复数 H(e jω ) = Re[H(e jω )] + jim[(e jω )] = H(e jω ) e jθ(ω 系统的单位采样响应 h(n) 可由其频率响应 H(e jω ) 的离散时间傅里叶反变换求得 h n = π π H(e jω )e jωn dω 59

60 离散时间线性时不变系统的频率响应总是频率 ω 的周期函数, 周期为 2π; ) H(e j(ω+2π ) = k= 1 频率 ω 与 (ω+2rπ) 复指数序列是无法区别的 2 只需要给出 2π 区间内的 H(e jω ) 即可 3 一般取 -π<ω π h k e j ω+2π k = k= h k e jωk e j2πk = H(e jω ) 60

61 2.5.2 对任意序列的响应系统的单位采样响应为 h(n), 系统的输入为任意绝对可加序列 x(n), 它们各自有 h n H e jω, x n X(e jω ), 系统的输出由离散线性卷积给出由卷积性质可知, 系统的输入和输出的离散时间傅里叶变换存在以下关系 y(n) = x(n) h(n) Y(e jω ) = X(e jω )H(e jω 系统的单位采样响应 h(n) 的傅氏变换称作系统频率响应 H(e jω ) = n= h(n) e jωn 也就是说, 其输出序列的傅氏变换由输入序列的傅里叶变换与该系统的频率响应相乘得到 ( 讨论 ) 61

62 2.5.3 利用差分方程求频率响应函数离散线性时不变系统的 N 阶差分方程重写如下 N k=0 为分析方便, 设式中 b 0 =1 对上式两边进行离散时间傅里叶变换 (DTFT) Y e jω b k y n k = N k=0 因此, 系统的频率响应为 H e jω = M k=0 a k x n k 应用 DTFT 时间移位特性, 即 x n k X(e jω )e jωk b k e jωk =X e jω M Y ejω ak e jωk k=0 = X ejω N k=0 M k=0 a k e jωk, b 0 = 1 bk e = a 0 + a 1 e jω + a 2 e j2ω + +a M e jmω jωk 1 + b 1 e jω + b 2 e j2ω + +b N e jnω 由上式可知, 离散线性时不变系统的频率响应 H e jω 可以用两个 e jω 的多项式之比来描述, 将不同的 ω 代入上式, 就可以求出系统的频率特性 62

63 本章小结离散时间序列 : 基本序列及基本运算离散序列信号的傅里叶变换表示离散时间傅里叶变换的性质离散线性时不变系统离散时间系统的频率响应函数 63

作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) (C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30

第二章离散时间信号和系统的时域分析作业 2.3,2.5(3)(5)(6) 2.6(2)(3) 2.8(3)(7)(8) 2.9(1)(3) 2.10 (2)(4)(8) 2.11 2.13(C),2.16(2), 自己仿真 2.29,2.30 主要内容离散时间信号的表示典型离散信号序列基本运算离散时间系统时域分析因果稳定性分析线性和时不变分析输入输出关系线性卷积求解差分方程求解