作者 : 闫浩 (4 年月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解解 : 二阶线性变系数齐次观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程得 u' 二阶可降阶解出通

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焕志庞
6 years ago
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1 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时注意此方程右端是两个函数和 cos 之和所以需要分别求出方程程的一个特解. 的特解和解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c cos c sin. 的特解. 因为不是特征根所以该方 A B 的特解将其代入方程求出 A B 再用比较系数法求非齐次方程该方程具有形如 sin. A cos 因此原方程的一个特解为 cos 的特解 B sin. 的特解将其代入方程求出 sin. 由于纯虚数 i 是特征根所以 A B 原方程的通解是所以 c cos c sin sin ) 求微分方程 6 (9 a ) 的通解 ( ) 解 : 相应的齐次方程的特征方程是 a. 6 (9 a ) 三个特征根是 ai 于是齐次方程的通解为 ( c cos a c sin a) c 因为原方程右端函数为 f ( ) 是单重特征根所以设原方程有特解 A

2 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解解 : 二阶线性变系数齐次观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程得 u' 二阶可降阶解出通解 u( ) ( ) C C d d 5) 微分方程的通解是 ( ) A. c cos c sin B. c c C c cos c sin. D. c c 答案 A 解 : 直接看出是方程的一个特解. c cos c sin 是相应的齐次方程的通解因此应当选 A. 6) 设线性无关的函数都是微分方程 p( ) q( ) f ( ) 分方程的通解为 ( )( c c 为任意常数 ) A. c c B. c c ( c c ) C. c 的解. 则此微 c ( c c ) D. c c ( c c )

3 作者 : 闫浩 (4 年月 ) D 是二阶线性齐次微分方程 p( ) q( ) 7) 设 ( ) ( ) 能够由 ( ) ( ) 的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为 : 的两个特解. 问 A ( ) ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) ( ).. C ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ).. 答案 B 解题思路 : 考虑 ( ) ( ) 的朗斯基行列式. 解法作为二阶线性齐次微分方程两个解 ( ) ( ) 的线性组能否构成该方程的通解充分必要条件是这两个函数线性无关 ; 另一方面这两个函数线性相关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) 恒等于零 ( 也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零 ). 这就是选项 B. 解法如果有的读者不熟悉朗斯基行列式可以按照下述方法直接考察 ( ) ( ) 是否线性无关即是否存在常数 c 使得 ( ) c ( ). 如果 ( ) ( ) 线性相关则存在常数 c 使得 ( 因为是齐次方程所以使 c ) 即 ( ) c ( ) 和都是方程的解. 因此如有必要可以改变 ( ) ln ( ) ln ( ) ln c 的符号两端求导数得到 ( ) ( ) ( ) ( ) () 这与 B 冲突. 所以条件 B 能推出 ) ( ) ( 线性无关因而是问题的充分条件 ( ) 线性无关则 c ( ) 反之若 ( ) ( ) 即 ln ( ) ln ( ) ln c 求导数

4 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 由此立即得到 B. 因此也是 ) ( ) 8 ) 验证与 sin ( 线性无关的必要条件. 是二阶微分方程 ( ) ) ( ) 的线性组合能否构成该方程的通解? ( 解 : 不能! 虽然两个解的两个解. 问由与 sin 线性无关但是由于这个方程不是线性方程所以 ( ) ( ) 的线性组合不能构成该方程的通解.. 求解有关特解的题目 : 的一个特解为 cos 则该方程满足初值条件 ( ) ) 若方程 p( ) 的特解为 ( ) A. cos B. cos C. cos D. cos 答案 D 解 : 将 cos 代入方程求出函数 p () 如下分析 : 一阶线性齐次方程 p( ) 任意两个解只差一个常数因子所以 A B C ) 微分方程的一个特解是 ( ) A. a b c B. a b c 再求解方程得到正确答案为 D. 也可以作三个选项都不是该方程的解. C a ( b c) D. a ( b c) 答案 A 解 : 微分方程的特解之和. 的特解等于下列两个微分方程 : 根据有关的原理非齐次微分方程具有形如 a 的特解 ; 非齐次微分方程具有形如 b c 的特解. 因此非齐次微分方程具有形如 a b c 的特解. 于是应当选 A.

5 作者 : 闫浩 (4 年月 ) ) 设是三阶线性齐次常系数微分方程 a b c 的两个解. 则 a b c 的值分别为 ( ) A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c. 设二阶线性齐次常系数微分方程 b 有界则实数 b 的取值范围是 ( ) 的每一个解 () 在区间 A. b B. b C. b 4 D. b 4 答案 A 解 : 考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程 p q. 欲使该方程的每一个解都在区间有界充分必要条件是 : 该方程的特征根的实部小于或者等于零. 对于方程 b 特征根为 p p 4q b b 4 当且仅当 4. ) 设 b 时两个特征根的实部都小于或者等于零. 于是答案为 A. 是某个二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解求此微分方程.. 先求 q 解题思路 : 设所求方程为 p q f () p 即确定齐次微分方程 p q.. 由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 p q 的两个解进而确定 p q. 然后求 () f. 解 : 题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解 : 于是特征方程 p q 两个根为由此确定 p q 是所求方程为 f ( ). 将非齐次微分方程的解. 于代入方程

6 作者 : 闫浩 (4 年月 ) ( 用代入亦可 ) 得 f ( ). ) 求出具有特解 cos sin 的三阶常系数齐次微分方程. 解 : 因为 cos sin 是微分方程的三个特解所以 i i 是原方程的三个特征根因此原方程的特征方程为 ( )( i )( i) 故所求的微分方程为另解 : 因为 cos sin 线性无关所以要求的微分方程的通解为从而 C C cos C sin C C sin C cos C C cos C sin C C sin C cos 故注 : 先将要求的方程设为 a b c 再将 cos sin 分别代入就可求出待定系数 a b c 这也是求解本题的一种方法 ). 已知二阶线性非齐次微分方程 p( ) q( ) f ( ) 的三个特解为试求方程满足初值条件 ( ) () 的特解. 解题思路 : 根据线性微分方程解的理论非齐次微分方程 p( ) q( ) f ( ) 的通解可以表示为非齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解题目已经给出非齐次方程的特解剩下的问题是求出齐次微分方程 p( ) q( ) 的两个线性无关解以构成齐次方程的通解. 解 : 根据线性微分方程解的理论非齐次微分方程 p( ) q( ) f ( ) 的任

7 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 意两个解之差是齐次微分方程 p( ) q( ) 的解. 因此立即得到齐次微分方程的两个解 : 可以验证这两个解线性无关解于是齐次微分方程的通解是非齐次微分方程的通解是 c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) 利用初值条件 ( ) () 可以求出 c c. 于是所求特解为 4) cos - sin - cos () 5) 求解 : ( 5) 求解 : sin( ) 求解 : sin 4 求微分方程 4 6 ln 求解 : ( 5) ( 待定系数法 ). 解 : 原微分方程对应的齐次方程的通解为 C C C 因为是齐次方程的三重特征根所以原方程的一个特解为 ( a b) 将 [(4a 8b) 6b 6a ( a b) (4a b a b ) (a 6b 8a 6b a () 4 4 4a 代入原方程根据常数项和一次项对应相等得 b ) 9b 8a a 4 b ]

8 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 即 a 4 6b 5 4a 5 b 所以原方程的一个特解为 6 从而原微分方程的通解是 C C 其中 C C C 是任意常数 ( ) 4 C. 求解 : sin( ) ( 变动任意常数法 ). 解 : 原微分方程对应的齐次方程的通解是令是原方程的解且满足将 u( ) v( ) 代入原方程得由 ()() 两式得所以故原方程的通解为 C C u( ) v( ) ( ) 4 u v () u v sin( ) () u sin( ) v sin( ) u( ) cos( ) C v( ) cos( ) sin( ) C u( ) v( ) C C sin( ). 求解 : sin (Eulr 方程 ). 解 : 原微分方程为二阶欧拉方程当时令 t 则

9 作者 : 闫浩 (4 年月 ) d d d dt dt dt 所以原微分方程化为 d dt 其中 t 是自变量 (t) 是未知函数 d dt t t sin () 这是一个二阶线性常系数微分方程其对应的齐次方程的通解是令是方程 () 的解且满足将 u( ) v( ) 代入原方程得由 ()() 两式得所以故方程 () 的通解为 u u t t C C u( t) v( t) t t t t u v () t t t t v sin () t t t t 所以当时原欧拉方程的通解为其中 C C 是任意常数 sin v sin t t t cos sin u( t) C cos t v( t) C t t t t C C sin C C sin 4 求微分方程 4 6 ln 的通解解 : 原微分方程为二阶欧拉方程当时令 t 则

10 作者 : 闫浩 (4 年月 ) d d d dt dt dt 所以原微分方程化为其中 t 是自变量 (t) 是未知函数 d d t 5 6 t dt dt 这是一个二阶线性常系数非齐次方程与其对应的齐次方程的通解为设非齐次方程的一个特解形式为 t t C C t t( at b) 代入非齐次方程并整理得所以 a b 故因此非齐次方程的通解为 C 所以欧拉微分方程的通解为其中 C C 是任意常数 at a b t t t( t ) t C t t t( t ) C C (ln ) ln 5. 设全微分方程 [ ( ) f ( ) ] d [ f ( )] d 续导数且 ( ) f () 其中 f () f. 求 () f 以及全微分方程的通解. 有二阶连解题思路 : 这是一到综合题其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程. 如果 P ( ) d Q( ) d 是某个二元函数 u ( ) 条件可以推出 f () f (). 的全微分那么必有 P Q. 由这个满足的微分方程然后利用题目给出的初值条件求解微分方程得到解 : P( ) ( ) f ( ) Q( ) f ( ).

11 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 由于 P ( ) d Q( ) d 是某个二元函数 u ( ) 的全微分所以 P Q 即有 [ ( ) f ( ) ] [ f ( )] 由此 f () 满足的微分方程 : 齐次方程 ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f 的通解为 ccos c sin. 又用比较系数法求的非齐次方程的一个特解. 因此方程 f ( ) f ( ) 的通解是 ccos c sin 利用题目给出的初值条件 ( ) f () f 可以得到 c c. 于是 f cos sin 不定积分法得全微分方程得通解为 : U ( ) sin cos C 6. 设 f (t) 在 ( ) 连续 f ( t) f ( z t z ) dddz t 求 f (t) 4 解 : f ()( t ) t 4 7. ) 设 f ( ) sin ( t) f ( t) dt 其中 f () 连续求 f () 解对 f ) sin ( t) f ( t) dt ( 两边求导得 f ( ) cos sin f ( t) dt () 两端再求导得到 f ( ) sin cos f ( ) 即 f ( ) f ( ) sin cos 齐次方程 f ( ) f ( ) 的通解是 C cos C sin 非齐次方程 f ( ) f ( ) sin cos

12 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 的特解应具有形式 ( ) ( A B)cos ( C D) sin 用待定系数法求出 A B C D 得出其特解为 cos sin 4 4 所以方程的通解为 f ( ) cos sin C cos C sin 4 4 由 f () 的表达式直接看出 f ( ) 又有 f () 的表达式 () 看出 f ( ). 代入初值条件得到 C C 于是 f ( ) cos sin. 4 4 注释 : 上述例类型的问题属于常见题型这类问题的基本方法是通过微分将积分方程化为微分方程然后求解微分方程得到未知函数. 但是有一点需要提醒读者注意为了获得未知函数的表达式求解微分方程需要初值条件. 一般来说初值条件不需要另外附加而是通过积分方程本身获取. ) 设二次连续可微函数 f () 满足 : f ( ) ( ) ( ) ln ( ) f t dt f 求 f (). 解 : f ( ) 积分两次即可. ( ) 8.() 设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面 S 都有 f ( ) d dz f ( ) dz d zd d S lim f ( ) 求 f () 其中 f ( ) C ( ) 且解 : 设 S 是由曲面 S 围成的空间域根据高斯公式得利用题中条件得 f ( ) d dz f ( ) dz d S [ f ( ) f ( ) f ( ) S ] dv zd d [ f ( ) f ( ) f ( ) S ] dv 考虑到积分域 S 任意性和被积函数 f ( ) f ( ) f ( ) 在时的连续性可得 f ( ) f ( ) f ( )

13 作者 : 闫浩 (4 年月 ) 即解得 f ( ) ( ) f ( ) 由于 lim f ( ) 所以 C 从而 () f ( ) ( C ) ( ) f ( ) 若曲线 L 是微分方程 f ( ) 的一条封闭积分曲线试计算 f L 设 A 为封闭曲线所围成区域的面积. 解 : 因为 f ( ) 所以 f ( ) d L d L d d L ( ) d d. f ( ) d f ( ) f ( ) 其中 D L 是 L 围成的区域 A 是 D L 的面积 f ( ) d [ ( )] dd A D L ()( n ) n 9. 设 i () i n 为方程 an ()()() a a 的任意 n 个解它们构成的 Wronsk 行列式为 W () 证明 : W () 满足一阶线性方程 W +() a W n ( 从而可以解得 W ()()p(()) W a s ds ). n. 已知方程 p q. 讨论 () 当 p q 取何值时方程的一切解当时都趋于. () 当 p q 取何值时方程的一切解在 [ a) 上有界其中 a 是某个确定常数.

14 作者 : 闫浩 (4 年月 ).() 已知方程 p()() q 其中 p()() q 在区间 ( a) b 连续求证 : 如果 () 是满足条件 : ()() 的解证明 : () ( ) a b. () 设方程 p()() q 中 p()() q 在区间 [ a b ] 连续证明 : 方程的任一非零解在 [ a b ] 上只能有有限个零点.. 设方程 p()() q 中 p()() q 在区间 [ a b ] 连续且 q(). 求证 : () 方程的任一非零解在 [ a b ] 上最多只有一个零点. () 对于方程的任一非零解 : () 函数其中 [ a b]. 函数 f ()()()p[() ] p t dt 为严格递增

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y

作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通

作者 : 闫浩 (4 年月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解解 : 二阶线性变系数齐次观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程得 u' 二阶可降阶解出通