《高等数学》 CAI课件

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峙庄
5 years ago
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1 第四部分 : 定积分

2 一重点难点与例子第五部分定积分共 6 例 : 定积分的存在定理定积分性质 3 用定积分的定义求极限关于积分限为变元的函数 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 6 计算定积分 N L 公式 7 定积分常用公式与例子 8 广义积分二判断题下列运算对吗? 共 6 个三练习题共个练习题解答

3 一重点难点与例子定积分的存在定理若在闭区间 [,b] 上连续, 则在 [,b] 上可积推广之 : 若在 [,b] 上只有有限个第一类间断点, 则在 [,b] 上可积例 : 在间断, 但当当存在 : y l3 l 3 几何上, 的积分是面积 S 与 S 之代数和 S S

4 定积分性质比较定理 :, g C[, b], 估值定理 : C[, b], m M, 积分中值定理 : C[, b], 则 g, 且 g, 则 [, b], 使则 b b b g m b M b b b 注 : 此定理解决积分去掉积分号的问题如下例

5 积分中值定理应用 si : lim p 例求 I p 解 : 由中值定理, I lim p si, 其中 p, p lim si lim psi 因为 : psi p

6 3 用定积分的定义求极限基本思想 : 设在 [, b] 上连续等分 [, b] y lim i i b i b 当, b 时, lim 则每一子区间长度为 b i, i,,, 分点的坐标为 i b i i i b lim i, i i,,, i b 如下例 :

7 3 用定积分的定义求极限例 3 lim 求解 : lim i i lim i i lim

8 ? F e cos e si F ] [ g g F? F F g h, 则若 ] [ g g F si e 例 si e ] [ h h 与有何关系? F? ] [ g F 关于积分限为变元的函数 F F F g, 则若 ] [ g g

9 , si 6 5 F y F y 求例 si F si 3 F si 例 5 先积分, 再求导 ] cos [ 原式 si 解 : 解 : ] cos [

10 b y y 例 8 b 不能积分, 用变量代换 y 令 b 原式 cos 7 y y, 求设例两边对求导 : cos y y 解 : 解 : cos y y

11 5 Newo Leibiz 公式的重要意义 b F b 其中, F 这个公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系, 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法它表明 : 一个连续函数在区间 [, b] 上的定积分等于它的任一个原函数在区间 [, b] 上的增量恩格斯评价说, 这是整个微积分学中最精彩的部分它闪烁着人类思想和智慧的灿烂光辉! 定积分是个数, 原函数是个函数从数过渡到函数是这个公式的关键这一过渡是由积分限为变元的函数完成的

12 6 计算定积分 N L 公式与计算不定积分的不同之处 : 变量代换写出, 要换限 ; 被积函数表示式受积分限的制约例 9 解 : 例解 : 原式 3 令 si, 换限 : 6 cos 计算 cos cos cos 3 cos cos

13 7 定积分常用公式瓦里斯公式 si 证明 : 左边 cos 对, 令!! 为正偶数!!!! 为正奇数!! 若是奇函数若是偶函数若是奇函数若是偶函数证毕

14 7 定积分常用公式 3 若 T, 则 T T 试证明之进一步, T? 证明 : 令 F T 则 F T F 与无关取, T 则 F F 证毕进一步, T T T T T T T

15 例计算 I cos 为自然数解 : I si 被积函数以为周期, I si cos

16 若为连续奇函数, 则其不定积分是一个偶函数族 ; 若为连续偶函数, 则其不定积分中仅有一个是奇函数证明 : F 思考 : 的不定积分怎样表示? 令 F 对 F 则 F yy 是偶函数若为偶函数, 仅当 I 若为奇函数, I 令 y, yy C 时 I 为奇函数同理可证 F C C 是偶函数族

17 5 si cos 证明 : 令例左边 cos 右边计算 si p cos p cos p I p 证毕解 : 因为 I I I p si I p si cos I p

18 6 si si 怎么证明? 证明 : 左令 si si 则 si [si cos si ] 左边 si si 右边证毕

19 7 si si si 证明 : 令 = si [si ] si si si 移项后即得原式证毕

20 si 例 3 计算 cos 解 : 由已知公式 : si si si cos si cos [rc cos ]

21 例填空 8 e e e 3 [ ]

22 3 8 广义积分注无穷积分怎么计算? b 当 p q p > 时收敛 ; 当 p 时发散当和瑕积分 N L 公式 + 求极限 b 其中 : lim q < 时收敛 ; 当 q 时发散 b o lim b b 左边应该 o 一般地, [ g ] g 对吗? 而且右边有一个发散, 左边就发散对吗?

23 例 5 解法 I: 计算 B! b l l l l

24 例 5 计算解法 II: 令这是常义积分原式 l l

25 例 6 计算 l 是瑕点! 解 : 原式 lim l 不能拆开! lim l l lim l lim l T l l lim l l l

26 二判断题下列运算对吗? l l l e e e e 是瑕点, 应以为界分开积分! l b c b 不能拆开, 这里一三两项都发散! c e e 广义积分无此性质 3 si lim si lim cos cos 这种定义错误!

27 是瑕点, 应以为界分开积分! 5 cos 6 令应该, 则 si si si si 此代换在 [,] 不连续, = 是无穷间断点因定积分与积分变量的符号无关

28 3 lim 3 cos 证明 : 计算求极限三练习题 lim 求极限

29 5 计算 si 6 cos 6 计算 7 计算 I 是正整数 8 在, 上的原函数是 l, 且计算 I

30 } { 3 ;, ; :,,, o o o 收敛, 并求其极限时当证明已知 9,, :, [,] 存在使得证明上连续且在设

31 谢谢使用返回首页

32 二 e e l 解 : 瑕点原式 e e l l 因为 l e l e 发散故原积分发散

33 三练习题解答 lim 求极限解 : lim i i lim i i lim rcsi 6

34 三求极限 cos lim 解 : 此为型用洛必达法则 lim cos cos cos lim si si lim

35 3 计算三 3 解 :, 令则 3 3 rc 3 3 化成真分式

36 三证明 : 证法 I 从左向右证 : 令 F 则 F 上式 F F 分步积分 F F F 右边证毕

37 三证法 II 证明 : 令 F 则 F F 分步积分 F F 左边从右向左证证毕

38 三 5 6 计算 si cos 解 : 由已知公式 : si si si 6 cos 6 si cos si 6 cos si 6 si 由瓦里斯公式 si 6 si 8 si = 3 5

39 计算三 6 解 : 令 rcsi 3 是瑕点由积分区间决定

40 三 7 计算 I 是正整数解 : I 提取 cos 令 si!!!!

41 三 8 在, 上的原函数是 l, 且计算 I 解 : I 注, 因为, l 3 l! 3 需代入

42 三 9 已知证明 : 证明 : o o 3 o o { 当时, 当时, ;, } 收敛, 并求其极限从而 o 当,, 时, ; 3 o { } 单减且有下界, 所以 { } 收敛设 lim 由 lim lim, 得,

43 三证明 : 设在 [,] 上连续且, 证明 : 存在,, 使得令 F 即 G 则 F 在 [,] 上连续, 在, 内可导, 把换成变量得辅助函数且 F, F 由罗尔定理 :,, 使 F 因 F

幻灯片 1

幻灯片 1 第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导复习 : 凑微分部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f