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颟晖卫
5 years ago
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1 第 3 章从连续时间周期信号的傅里叶级数表示到连续时间傅里叶变换徐静

2 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 你所知道的信号与系统信号与系统究竟是何物? 工程数学? 傅里叶变换傅里叶分析傅? 一种方法一种思想? 2

3 傅里叶分析方法连续和离散时间的傅里叶分析方法第 3 章连续周期信号的傅里叶级数 (CFS) 连续时间傅里叶变换 (CF) 第 4 章离散周期信号的傅里叶级数 (CFS) 离散时间傅里叶变换 (DF) 第 5 章傅里叶分析的应用滤波与调制第 6 章采样第 7 章离散傅里叶变换 (DF)

4 第 3 章连续时间傅里叶分析连续时间 LI 系统的频域分析方法

5 内容提要周期信号的傅里叶级数表示连续时间傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换的关系常用周期信号的傅里叶级数常用信号的傅里叶变换傅里叶级数傅里叶变换的性质系统的频率响应及系统的频域分析

6 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 你所知道的 LI 系统线性时不变系统究竟对输入信号作何变换? 线性时不变 x t yn hxn y t h x t d h t y t xt ht xn h n n xn hn y * 6

7 历史的回顾 (A Historical Prspctiv) 任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人的不懈努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献出了生命历史的经验告诉我们, 要想在科学的领域有所建树, 必须倾心尽力为之奋斗我们将要学习的傅里叶分析法, 也经历了曲折漫长的发展过程, 刚刚发布这一理论时, 有人反对, 也有人认为不可思议但在今天, 这一分析方法已在许多领域发挥了巨大的作用分析方法已在许多领域发挥了巨大的作用

8 h Story of Jan Baptist Josph Fourir 傅里叶生平年生于法国 87 年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示拉格朗日反对发表 822 年首次发表热的分析理论 829 年狄里赫利第一个给出收敛条件 24// 8

9 傅里叶的生平 768 年 3 月 2 日生於法国的奥赛尔 (Auxrr) 家庭 2 个小孩中的第 9 个 9 岁时, 母亲去世, 次年父亲去世

10 傅里叶的生平 78 年进入奥赛尔皇家军校学习 ( 天主教管理 ) 3 岁时, 显现出对文学与数学的学兴趣 4 岁他已读完 Bzout 数学教程全六册 9 岁时他却选择进入 Bndictin ( 圣本笃 ) 修道院

11 傅里叶的生平傅里叶于 793 年参加奥赛尔革命委员会 794 年他曾被捕入狱 795 年月成为法国高等师学院的第一批学生批学生 Lagrang Laplac Mong 797 年他继 Lagrang 之后任法兰西学院与综合工艺学院授课分析与力学教授

12 傅里叶的生平 798 年他随拿破仑远征埃及在开罗建立了开罗学院, 成立数学部 8 年任命为 Grnobl 的行政长官抽干了一个沼泽地的水铺了一条从 Grnobl 到 urin 的公路约瑟夫. 傅里叶大学

13 傅里叶的生平 87 年傅里叶的论文固体中的热传导 8 年巴黎研究院颁布数学奖 87 年傅里叶入选法兰西科学院 822 年当选为数学部秘书长晚年, 傅里叶才得到了某种应有的承认

14 傅里叶的两个最重要的贡献周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和傅里叶的第一个主要论点非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示傅里叶的第二个主要论点

15 LI 系统频域分析的基本信号周期复指数信号或正弦信号

16 引言 + 复习时域分析方法的基础 : () 信号在时域的分解 (2) LI 系统满足线性时不变性从分解信号的角度出发基本信号单元必须满足两个要求 :. 本身简单, 且 LI 系统对它的响应能简便得到 2. 具有普遍性, 能够用其构成相当广泛的信号

17 分解单位计算卷号LI 系统的时域分析方法信 t x t x t 冲 t ht d 描述系统描述系统冲卷积激x t yt x h t x t d yt 积h t yt xt ht

18 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 为什么说复指数信号是频域的基本信号? 24// 8

19 LI 系统对复指数信号的响应 h Rspons of LI Systms to Complx Exponntials 考查 LI 系统对复指数信号 st ht () yt () st 的响应由时域分析方法有, ( ) () s t st s st ( ) ( ) () yt h d h d H s () st st y t H s 这说明复指数信号符合对基本信号的第一项要求

20 st LI 系统对复指数信号的响应 s t s st h d h d y t st y t H() s 特征函数 (Eignfunction) st 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数, 则称该信号是这个系统的特征函数系统响应中对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值

21 st LI 系统对复指数信号的响应 y s t s st t h d h d 结论 : st 复指数信号是一切连续时间 LI 系统的特征函 Hs () 数是 LI 系统与复指数信号相对应的特征值 st H ( s) h( t) dt 只有复指数函数才能成为一切 LI 系统的特征函数 ( 某些系统可能有别的特征函数 )

22 st H s st 输出是输入乘以某一常数复指数函数是一切线性时不变系统的特征函数

23 st y s t s st t h d h d H s h s d 定积分特征值

24 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 特征值与特征函数 vs 特征值和特征向量 24// 24

25 利用复指数信号作信号分解对时域的任何一个信号 x() t st xt () a a a st s t 列形式 : 利用系统的齐次性与叠加性由于, 若能将其表示为下 st st 2 2 H( s ) st st H( s ) st 所以有 H( s ) 2 3 xt () yt () ah ( s ) st ah ( s ) s t ah ( s ) st st st 即 : x( t) a y( t) a H ( s ) * 问题 : 究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示? 2 st

26 XI AN JIAOONG UNIVERSIY x( t) a s t 究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示? 相当多的信号 24// 26

27 LI 系统对周期复指数信号的响应 jt s jw jt H j H j h j d 引入傅里叶级数傅里叶变换

28 傅里叶的两个最重要的贡献周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和傅里叶的第一个主要论点非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示傅里叶的第二个主要论点

29 利用周期复指数信号表示连续时间信号 j t s jw H t j jt 信号的分解傅里叶级数的综合公式傅里叶变换的综合公式傅里叶反变换 x x j 2 t a 2 t X j t j t d

30 利用周期复指数信号表示连续时间 LI 系统的响应 jt s jw H j t j 响应的表达傅里叶级数 y j t a H ( j 2 2 ) 2 傅里叶变换 y t X j H j t j t d

31 XI AN JIAOONG UNIVERSIY 利用周期复指数信号可以分析连续时间 LI 系统 24// 3

32 连续时间 LI 系统输入端的分析 t s jw j t H j j 计算傅里叶级数傅里叶级数的分析公式 a x j 2 / t t dt 傅里叶变换傅里叶变换的分析公式 X j x t jt dt

33 求解连续时间 LI 系统的特征值 H jt s s jw h H s d j t j 傅里叶级数表示时 2 j 2 / H ( j ) h LI 系统的特征值傅里叶变换系 LI 系统的特征值 H j h j d d

34 jt s jw jt H j j H j h d 引入傅里叶级数和傅里叶变换 j 2 / t jt a x t dt j t a X j x t dt t j t d 2 2 j t a H 2 j ) y t X H ( j j 2 2 j 2 / ) h d j H j h d x 2 x t X j t y ) H ( j j t d

35 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 Fourir Sris Rprsntation of Continuous-im Priodic Signals j t 成谐波关系的复指数信号集 : () { t },, 2,, 其中第个信号是以为周期的, 它们的公共周期为 2 中所有的信号都是彼此独立的 2, 且该集合 24// 35

36 成谐波关系的复指数信号集合 t,, j t j () t t 无穷多个信号当取任意整数时, 该信号集中的任何信号彼此都是独立的因此, 该信号集中的所有信号能够构成一个完备的正交函数集

37 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 Fourir Sris Rprsntation of Continuous-im Priodic Signals 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来, 有 xt a j t () t,,, 2 xt () 2 显然也是以为周期的该级数就是傅里叶级数, a 称为傅里叶级数的系数表明 : 用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号, 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量 24// 37

38 连续时间周期信号的傅里叶级数表示例 : xt () cos t 2 2 j t j t 显然该信号中有两个谐波分量, a 应分量的加权因子, 即傅里叶系数 a 2 为相例 x () t cos t2cos3 t 例 2: jt jt j3t j3t [ ] 2 在该信号中有四个谐波分量, 即 : 当, 3, 时对应的谐波分量 a a ; a3 a 3 2

39 连续时间周期信号的傅里叶级数表示例 3: t x sin t j t j t 2 j 2 j x t j a 2 t 例 4: x t t

40 连续时间傅里叶级数系数的确定如果周期信号 xt x() t j t () a, 其中为信号的周期可以表示为傅里叶级数 jn t j( n) t xt () a 2 则有对等式两边同时在一个周期内积分, 有 jn t j ( n) t () xt dt a dt 24// 4

41 连续时间傅里叶级数系数的确定 j ( n) t cos( ) sin( ) dt n tdt j n tdt,, jnt xt () dta n 即 n n n jnt a x() t dt 在确定此积分时, 只要积分区间是一个周期即可, 对积分区间的起止并无特别要求, 因此可表示为 () jt a x t dt a 24//a 4 x() t dt 是信号在一个周期的平均值称为直流分量

42 连续时间傅里叶级数系数的确定 x t j a 2 t j 2 / t a x t dt 24// 42

43 连续时间傅里叶级数系数的确定分析公式 j 2 / a xt t dt 例 4: x t t /2 t j 2 / a t dt /2

44 频谱 (Spctral) 的概念信号集 () t 中的每一个信号, 除了成谐波关系外, 每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的, 差别仅仅是频率不同在傅里叶级数中, 各个信号分量 ( 谐波分量 ) 间的区别也仅仅是幅度 ( 可以是复数 ) 和频率不同因此, 可以用一根线段来表示某个分量的幅度, 用线段的位置表示相应的频率 24// 44

45 频谱 (Spctral) 的概念 jt jt cos t ( ) 2 j t 分量可表示为表示为因此, 当把周期信号 xt () j t a a a a x( t) 表示为傅里叶级数时, 就可以将 x () t 表示为 a a 2 a 3 a 3 称为频谱图这样绘出的图称为频谱图 24// 45

46 频谱 (Spctral) 的概念频谱图其实就是将随频率的分布表示出来, a ~ a 即的关系由于信号的频谱完全代表了信号, 研究它的频谱就等于研究信号本身因此, 这种表示信号的方法称为频域表示法傅里叶级数的其它形式若 xt () 是实信号, 则有 x ( t ) x ( t ), 于是 * jt jt jt jt () x t a a a a a 或 a a * a 24// 46

47 若令 a 频谱 (Spctral) 的概念 j A, 则为实数于是 a j jt j( t ) j( t ) xt A a A A () a A A jt j jt j [ ] * j j a a A A A A 即 : 或 a 表明的模关于偶对称, 幅角关于奇对称 24// 47

48 频谱 (Spctral) 的概念 xt a A A jt j jt j () [ ] a 2 A cos( t) 若令 a B jc 傅里叶级数的三角函数表示式则 j t jt x () t a ( B jc ) ( B jc ) jt jt a B jc B jc ( ) ( ) 24// 48

49 频谱 (Spctral) 的概念 * a a B jc B jc 因此 B B C C 即 a 的实部关于偶对称, 虚部关于奇对称 a 将此关系代入, 可得到 x() t a ( B jc ) ( B jc ) jt jt a 2 B cos tc sin t 傅里叶级数的另一种三角函数形式 24// 49

50 连续时间傅里叶级数系数的确定频域分析 j 2 // t t a xt dt 例 5: 周期性矩形脉冲信号的频谱 xt () t

51 周期性矩形脉冲信号的频谱 2sin j t j t a dt j 2 sin Sa( ) sinc( ) sin x 其中 Sa( x ) sinc( x ) x sin x x 根据 a 可绘出 x() t 的频谱图称为占空比周期性矩形脉冲信号的频谱特征 :. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性

52 XI AN JIAOONG UNIVERSIY Sa( x)= sin x x sinc( x) sin x x x 2 2 x 24// 52

53 周期性矩形脉冲信号的频谱不变时当改变, 不变时, 随使占空比减小, 谱线间隔不变, 幅度下降频谱的包络改变, 包络主瓣变宽主瓣内包含的谐波数量增加

54 周期性矩形脉冲信号的频谱不变 2 2 时当不变, 改变时, 随使占空比减小, 谱线间隔变小, 幅度下降但频谱包络的形状不变, 包络主瓣内包含的谐波数量也增加

55 LI 系统对周期复指数信号的响应 jt s jw jt H j H j h j d 引入傅里叶级数傅里叶变换

56 傅里叶变换引言 Introduction 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号, 对非周期信号应该如何进行分解, 什么是非周期信号的频谱表示, 线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得, 这些都和傅里叶变换的知识相关

57 连续时间非周期信号的频域分析 x y 输入信号是一系列 jt s jw jt H j 周期复指数信号的 j t t X j d 加权组合 2 2 t X jh j j t d 输出信号也是一系列周期复指数信号的加权组合

58 傅里叶变换在时域可以看到, 如果一个周期信号的周期趋于无穷大, 则周期信号将演变成一个非周期信号 ; 反过来, 如果将任何非周期信号进行周期性延拓, 就一定能形成一个周期信号我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限, 从而考查连续时间傅里叶级数在趋于无穷大时的变化, 就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法

59 lim 周期信号非周期信号傅里叶级数傅立叶变换从周期信号的傅里叶级数表示到傅里叶变换

60 非周期信号的表示连续时间傅里叶变换 Rprsntation of Apriodic Signals: h Continuous-im Fourir ransform 从傅里叶级数到傅里叶变换我们已经看到, 周期性矩形脉冲, 当周期增大时, 频谱的幅度随的增大而下降 ; 谱线间隔随的增大而减小 ; 但频谱的包络不变再次考察周期性矩形脉冲的频谱图 :

61 周期性矩形脉冲信号的频谱不变 2 2 时当不变, 改变时, 随使占空比减小, 谱线间隔变小, 幅度下降但频谱包络的形状不变, 包络主瓣内包含的谐波数量也增加

62 (a) (b) 2 4 a a 2 4 =2 (a) 4 (b) 8 当时, 周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号

63 j 2 / t t a x dt 2 d,, 2 sin a 当时, 显然也随增大而减小, 并最终趋于但若考查 a 的变化, 则它在时应该是有限的于是, 我们推断出 : 当演变为连续的频谱时, 离散的频谱将

64 傅里叶变换的定义周期信号 xt () 与它相对应的非周期信号 xt ()

65 如果令由 /2 jt a xt () dt /2 lim a X( j) t j X( j) x ( t ) dt 则有与周期信号的傅里叶级数对比有 : a 连续时间傅里叶变换 X ( j ) 这表明 : 周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的等间隔样本而非周期信号的频谱是与其对应的周期信号频谱的包络

66 根据傅里叶级数表示 : xt () a ( ) j t j t j t X( j ) X j 2 当时, x() t x(), t jt x() t X( j) d 2 2 d, 于是有 : 傅里叶反变换此式表明, 非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布振幅为 ( ) 的复指数信号之和 2 X j d a 由于 Xj ( ) lim a lim 具有频谱随频率分, f f 布的物理含义, 因而称 X( j ) 为频谱密度函数

67 于是, 我们得到了对非周期信号的频域描述方法 j t X( j ) xt ( ) dt 频谱密度函数 jt xt () X( j) d 2 这一对关系被称为连续时间傅里叶变换对

68 非周期信号的傅里叶级数? 分析公式 j 2 // a xt tt dt a 综合公式 x 2 j 2 t t a 无穷多个无穷小之和?

69 连续时间傅里叶变换 a j 2 / t x t dt 2 / (2 / ) 离散连续 j 2 / t a x t dt X j ( ) 分析公式 j t X j x t dt

70 连续时间傅里叶变换综合公式 x 2 / (2 / ) 离散连续 2 j t a 2 X j j X X j j j t j t d t t 2 2 综合公式 x t X j j t d

71 连续时间傅里叶变换综合公式 x 2 t X j j t d 分析公式傅里叶变换 X j x t jt dt

72 傅里叶变换的定义傅里叶变换 X j x t 傅里叶反变换 x 2 t X j 2 jt dt j t d 数学家傅里叶变换 X j x t jt dt 物理学家和工程师傅里叶反变换 x 2 t X j j t d d

73 傅里叶变换的定义傅里叶变换 X j x t jt dt 傅里叶反变换 x 2 t X j j t d 工程师

74 傅里叶变换的定义傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子不严格地说, 傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱在数学分析中, 信号的傅里叶变换被认为是处在频域中的信号傅里叶变换是自反映射

75 傅里叶变换示例 x t t at u a X j dt at jt a j

76 内容提要周期信号的傅里叶级数表示连续时间傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的收敛条件周期信号的傅里叶变换常用周期信号的傅里叶级数常用信号的傅里叶变换傅里叶级数傅里叶变换的性质系统的频率响应及系统的频域分析

77 傅里叶分析的价值相当广泛的一类信号可以表示为复指数信号 ( st,z n) 的加权和或加权积分例 : 连续时间复指数信号 f() t K f O K t j( t ) 2π Ksin( t ) t 复指数信号输入 LI 系统后的响应就是该复指数信号 st st 乘以连续时间 : y() t H( s) n 该系统的复指数特征值离散时间 : z y [ n ] H ( z ) z 24// 77 n

78 傅里叶分析方法 lim 周期信号非周期信号傅里叶级数傅立叶变换一些基本的傅立叶变换对傅立叶变换的性质 ( 时频域的对偶关系 ) 卷积性质 ( 频率选择性滤波 ) 相乘性质 ( 后续理解采样和调制的出发点 ) 以连续时间信号为例 : F 卷积性质 yt () xt () ht () Y( jw) X( jwh ) ( jw) F rt () st () pt ( ) R ( jw ) S ( jw ) P ( jw ) 2 相乘性质

79 教书是一场暗恋, 你费尽心思去爱一群人, 结果却只感动了自己 ; 教书是一场苦恋, 费心爱的那一群人, 总会离你而去 ; 教书是一场单恋, 学生虐我千百遍, 我待学生如初恋教书是一桩群体恋, 通过你的牵线搭桥, 相恋成片, 老师却在原地一成不变亲爱的同学, 你若不离不弃, 我便点灯相依 ; 你若自我放弃, 我也无能为力!

80 第 3 章作业 3.2 a ac 3.8c b % 独立完成时间顺流而下, 生活逆水行舟平时作业 //24 西安交大电信学院信息与通信工程系徐静 8

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Sigls d Sysms 第四章离散时间信号与系统的频域分析 Chpr 4 h Frqucy Domi Alysis of Discr Sigl & Sysm 控制系网络课程平台 :hp://www.cs.zu.du.c/clss/sigl_sysm/ 浙江大学控制科学与工程学系概述 7 世纪开始离散时间信号的研究世纪 4 年代, 微电子技术的发展和数字计算机的出现扩展了离散时间信号与系统的应用范围