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1 数字信号处理 周治国 25.9

2 第三章 离散傅里叶变换

3 3-6 频域采样 问题 : 采用 DFT 实现了频域取样, 对于任意一个频率特性能否用频率取样的方法去逼近? 研究 :, 限制? 2, 经过频率取样后有什么误差? 3, 如何消除误差? 4, 取样后所获得的频率特性怎样?

4 一 取样点数的限制 3-6 频域采样 x(n, X( z X( e X( X( e 任一非周期序列 ( 绝对可和 jω jω + n x( n e ω,,,, [ x( ] jωn 注意 : X ( DFT n 为什么?? 问题 : X (, x( n 频率取样后, 信息有没有损失? 能否用序列频率特性取样值 X( 恢复出原序列 x(n? 频域取样 时域周期化 若 x(n 为无限长序列, 则不可能由 X ( x( n 问题 : 若有 x ( n, n,,, M 如何选取 才能使 X ( x( n n M

5 3-6 频域采样 ~ (( 令 X ( X ( m n W, m n l, 其他 (( n l m ~ x ( n M m ~ X( X( n W n n W M m x( m W W m xm ( W M m x( m δ n ( m n (( n+ l m l, n + x( n+ l x( n l 的周期延拓

6 3-6 频域采样 只有当 M 时 ( 否则 ω 太大, 导致混叠, ~ x ( n ~ x ( n R ( n x( n, n M 既然 X ( x( n n z, X( z? 点有限长序列 x(n, 可从单位圆 X(z 的 个取样值 X( 恢复, 因而这 个 X( 也应该能完全表达整个 X(z 函数及频响 X(e jw DFT 的综合就是 z 变换

7 二 内插公式 ( ( n n z n x z X ( n n n W z X ( z W z z φ 式中 : ( 内插函数 ( ( n n W z X ( z W z W X 的内插公式 X(z (3- ( z X W z (3-2 ( ( X z φ 3-6 频域采样 在已知 X( 时, 可根据内插公式求得任意 z 点的 X(z 值, 因此 X(z 的 个取样点的 X( 值, 包含了 z 变换的全部信息

8 类似的, 有 : ( ( ( ( ( j j z e j Xe X z X e ω ω ω φ φ 2 ( ( X π ω φ 2 2 sin 2 sin ( j e ω ω ω ω φ 式中 : 比较 : 时域取样定理频域取样公式 3-6 频域采样

9 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 若信号持续时间为有限长, 则其频谱无限宽 ; 若信号的频谱为有限宽, 则其持续时间无限长 严格来说, 持续时间有限的带限信号是不存在的 为满足 DFT 的变换条件, 实际上对频谱很宽的信号, 为防止时域取样后产生频谱混叠失真, 可用前置滤波器滤除幅度较小的高频分量, 使连续时间信号的带宽小于折叠频率 对于持续时间很长的信号, 取样点数太多以致无法存储和计算, 只好截取为有限长进行 DFT 所以, 用 DFT 对连续时间信号进行傅里叶分析必然是近似的, 近似的准确程度严格的说是被分析波形的一个函数 两个变换之间的差异是因为 DFT 需要对连续时间信号取样和截断为有限列长而产生

10 思考 : 课本 P 上说 : 信号的持续时间为有限长, 则其频谱无限宽 ; 若信号的频谱为有限宽, 则其持续时间无限长 人唱一首歌, 持续时间有限长, 是否频谱无限宽? 感觉好像应该有限宽 试解释这一现象 / 3

11 数字信号处理系统的典型框图

12 解释 : 人的喉咙相当于低通滤波器 歌曲的频谱在人头脑中 酝酿 的时候 持续时间为有限长, 其频谱无限宽 ; 但经过人喉咙唱出来的时候 其频谱为有限宽, 且其持续时间无限长 2 / 3

13 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 抽样 截取 xt ( x( nt xn ( X ( Xe ( 2 a a a DTFT DFT j j j X( e Xe ( a X( e jω ω

14 P8 清华

15 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 一 混叠现象 消除办法 : 取样频率 fs 2 f h 信号最高频率 实际中通常 : T 取样周期 f s (3~ 4 f h f 2 h fs F T 频率分量间的增量 ( 频率分辨率 tp T F 最小记录长度 2 f h F

16 P7: 在自变量为 t 和 f 的情况下, 在一个域中对函数进行取样, 必是另一个域中函数的周期 关键字 : 模拟域谱间距 ; 数字域谱间距 t p T T T T t nt F T T T T fa Ω ω ΩT fa Ω n ω ω

17 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 F 频率分辨率 f DFT 的 s F T Q ω f, Ω ω, T f a Ω T 数字域 模拟域 fs 2 f h 2 f F 或 h T 2 f h Q fs F 注意 : t p T T F 不 T t p 变 f s f s

18 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 例 :P

19 例题 : 习题集 P47-3 频谱分析的模拟信号以 8Hz被抽样, 计算了 52个抽样的 DFT, 试确定频谱抽样之间的频率间隔 解 : 由下图 T T t T T f Ω f 频域抽样间隔 f 8 5.6Hz T 52

20 思考 2: 课本 P 上说 : 信号的频率分辨率 F 和最小记录长度 t p 成反比 F/ t p (3- 有同学问 : 如果示波器采样时间持续 s, 以 Ms/s ( 每秒采样 M 次 的采样速率对信号采样, 最小记录长度 t p s, 根据公式 (3-, 那么无论怎么设置采样率, 频率分辨率都是 Hz 若需要对信号进行实时高精度测频, 如何实现 2 / 3

21 解释 : 示波器内部往往每一通道有一定深度的存储 FIFO, 即示波器可以以 Ms/s 持续采集 FIFO 空间深度的数据 也即 是常数 t p / F / fs 提高采样率 fs, t p 增加, F 减小 若需要对信号进行高精度测频, 分辨率.Hz, 信号最高频率 Hz, 根据采样定理, 先选择合适采样率, 如 4Hz/s, 根据上述公式,>, t p s 如何实时处理, 这是个难题 我们的经验, 可以先预估信号频点, 采用 DFT, 在信号频点附近计算若干点的 DFT 2 / 3

22 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 二 栅栏效应 X ( X ( a e jω ω, 办法 : 对 x(n 通过补零加长 注意 : 补零不能提高分辨力!

23 延长序列的 DFT ( 不是 2 的整数次幂 序列 xsin(.25*pi*n+ sin(.35*pi*n ; n:5; 补零到 64 点,73 点,93 点, 作 DFT 运算

24 历年考试真题 jω 设有限长序列 xn (, n 2, 令 X( e 表示 xn ( 的离散时间傅里叶变换 DTFT, 如果希望通过计算一个 M点 DFT来求出 jω ω π / 处 X( e 的值, 试确定最小可能的正整数 M, 并给 jω 出一种利用 M点 DFT 求出 ω π / 处 X( e 的值的方法

25 历年考试真题 jω 设有限长序列 xn (, n 2, 令 X( e 表示 xn ( 的离散时间傅里叶变换 DTFT, 如果希望通过计算一个 M点 DFT来求出 jω ω π / 处 X( e 的值, 试确定最小可能的正整数 M, 并给 jω 出一种利用 M点 DFT 求出 ω π / 处 X( e 的值的方法 2 π 4π π 2 2 π < ω < 22 3

26 3-7 用 DFT 对连续时间信号逼近的问题 三 频谱泄露现象 x a ( nt x( n, n x a ( nt R FT ( n X DFT X( Xa( R ( Q R ( 并非 δ( X a ( a ( e 中的的频谱被展宽 泄漏 解决办法 : 选择谱特性更接近 δ( R ( e jω jω ω 的窗函数

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