Microsoft PowerPoint - Lecture 10 Z变换.ppt

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施娇孙
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1 第讲 Z 变换 -Trasform 主讲 : 金连文 wi@scut.u.c 数字信号处理 Diita Sia Procssi 本讲主要内容 Z 变换基本概念有理 Z 变换 Z 变换收敛域逆 Z 变换利用变换来分析和表征 LTI 系统 LTI 系统的传输函数 ( 系统函数 ) 一概念和性质 3 什么是变换?() Z 变换是离散时间信号与离散时间系统分析与综合的重要工具, 其作用相当于连续时间信号与系统的拉氏变换分析方法 Z 变换的基本思想许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处 Z 变换的定义 : ( ) x[ ] 其中为连续的复变量令 r 时 : 若 r 时, 即为离散时间傅立叶变换这表明 :DTFT: 就是在单位圆上进行的 Z 变换 4 Z 变换与 DTFT Z 变换的概念 () ( r x[ ] r [ x[ r ] ) F ] 可见 : 对 x[] 做 Z 变换就等于对 x[ ] r 做 DTFT 因此,Z 变换是对 DTFT 的推广 Z 变换收敛条件 x [ ] r < 5 Z 变换的收敛域 (ROC) ROC: Rio of Covrc 变换与 DTFT 一样存在着收敛的问题并非任何信号的变换都存在并非平面上的任何复数都能使 () 收敛平面上那些能使 x[] 级数收敛的点的集合, 就构成了 () 的 ROC 若 ROC 包括单位圆, 则 () 的 DTFT 存在序列的变换为的连续函数 ; 变换需在平面指定其收敛域才能唯一对应一个序列通常收敛域为环状 : R R + R R + 6

2 例子例. x[ ] a u[ ] ( ) a a < a Z a 时, x [ ] u[ ] u [ ] >, 注意 : 变换由代数表达式和收敛域两部分组成例子例. x[ ] a u[ ] () a a a a a a Z 即 a u[ ] a < < a 注意 : 变换需在平面指定其收敛域才能唯一对应一个序列? 什么是平面? 7 8 例子 (Cot.) 例子 (Cot.) 例和例的零极点图和收敛域如下图所示 : Z 平面 Im Z 平面 Im 单位圆 R a Z 平面 Im 单位圆 R a x[]u[] 的 ROC: R 例假定 < a < 例可见 :ROC 不包括单位圆, 所以不能从 ( ) 简单通过将得到 ( ) 9 Q & A Z 变换与 Fourir 变换的关系问题 : 有没有可能某个序列的收敛域为 (-, ) 之间? 若是, 什么情况下? 若否, 为什么? 与傅立叶变换收敛的关系 : 序列 x[] 的傅立叶变换当且仅当其变换的收敛域包含单位圆时一致收敛并存在 A: 通常收敛域为环状 : 傅立叶变换存在不能推出变换存在 ( ) ( ) ( 收敛域包含单位圆 ) R R R R + + ( )? 平面单位圆如何与角频率对应?,-,, - 对应的角频率分别是多少? ( )

有理数可以表示为一个整数 a 和一个非零整数 b 的比的数 ; 通常写作 a/b 包括整数和通常所说的分数, 此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数, 即无限不循环小数如圆周率的平方根等 5 6 例 : 例 : 零极点例子 u[ ] Z 处有零点 ; 处有极点 atab 示例 cf; x isac(-4,4,); y

3 一些常见的变换对常用变换对 α u [] u [] ( r cos ) u[] ( r si ) u[] [] 变换 δ 变换变换 α 变换变换所有 > > α ( r cos ) ( r cos ) + r ( r cos ) ( r cos ) + r > r > r 二有理变换 3 4 有理变换本书 LTI 离散时间系统所涉及的变换都是的有理函数, 表示为 : 或 P () ( ) + + G D( ) L + + L L L + ( ) G ( ) ( ) ( ) ( ) 称为零点 ( ro), 称为极点 ( o) 当 > 时, 上式在处有额外个零点, < 时, 额外个极点小知识什么是有理数? 什么是无理数? 什么是有理函数? 什么是无理函数? 有理数可以表示为一个整数 a 和一个非零整数 b 的比的数 ; 通常写作 a/b 包括整数和通常所说的分数, 此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数, 即无限不循环小数如圆周率的平方根等 5 6 例 : 例 : 零极点例子 u[ ] Z 处有零点 ; 处有极点 atab 示例 cf; x isac(-4,4,); y isac(-4,4,); [xx,yy] mshri(x,y); xx+*yy; (-.4./+.88./(.^))./(-.8./+.64./(.^)); msh(-xx,-yy,*o(abs())); 极点 : 零点 : 极点 : 零点 :? 为什么极点处有峰值, 零点处有谷值? 7 [,Y]mshri(-4:.5:4); Z+Y.*i; Fi.*o(abs((Z.^-.4.*Z+.88)./(Z.^-.8.*Z+.64))); surf(,y,fi); viw(3,) 8

4 三变换的收敛域有限长序列有理 Z 变换的收敛域 [] x x[] () x[] othrwis 只要级数每一项收敛, 则有限和 [] 有界, 收敛域为 (, ) x 当时, <, 当时, < 当都小于时? 右边序列 [] x < () x[] 收敛域为 > Rc 9 3 左边序列 x 4 双边序列有理 Z 变换的收敛域 [] > ( ) x[] 收敛域为 < Rx+ ( ) x[] x[] + x[] 第一项收敛域为 > Rx, 第二项收敛域为 < R, 当 R x+ x < R 时 x+ ( ) 收敛例 : [ ] u U α () α + 例子 α 第一项收敛域为 > α, 第二项收敛域为 < α, 因此 u[] 的变换不存在例 : x[ ] u [ ] u [ ] Im Z 平面 ( ) ( ) R + / ROC : < < (hi) 例 : x[,] 例子例 : 考虑单位脉冲序列 δ[] 的 Z 变换当 > 时, 在 ( ) 的展开式中, 只有的负幂项, 故不能为, 但可以取当 > 时, 在 ( ) 的展开式中, 只有的正幂项, 故不能为, 但可以取当 >, < 时, 在 ( ) 的展开式中, 既有的正幂项, 也有负幂项, 故既不能为取也不能 3 ROC: 整个 Z 平面, 即 ROC: 除外的 Z 平面 ROC: 除外的 Z 平面 4

$; if x[] 是有限长序列,th ROC 是整个 Z 平面, 可能除去或 \ 和点有关变换的 atab 函数 Za(a,b): ot th os a ros, iv th umrator row vctor a a th omiator row vctor b.$ Za(,): ots th ros i coum vctor a th os i th coum vctor.

Za(,): ots th ros i coum vctor a th os i th coum vctor.

9 atab 举例 umiut(' 输入分子系数 '); iut(' 输入分母系数 '); [,,k]tf(um,); mabs(); is(' 零点在 ');is(); is(' 极点在 ');is(); is(' 增益常数 ');is(k); is(' 极点半径 ');is(m); sossos(,,k);

5 有理 Z 变换的收敛域 if () 是有理的, 且 x[] 是左边序列,th ROC 位于 Z 平面内最里层非零极点的里边 ; if () 是有理的, 且 x[] 是右边序列,th ROC 位于 Z 平面内最外层极点的外边 ; if x[] 是双边序列,th ROC 是 Z 平面一个圆环 ; ROC 内不包含任何极点 ; if x[] 是有限长序列,th ROC 是整个 Z 平面, 可能除去或 \ 和点有关变换的 atab 函数 Za(a,b): ot th os a ros, iv th umrator row vctor a a th omiator row vctor b. Za(,): ots th ros i coum vctor a th os i th coum vctor. [,,k] tf(a,b):comut th os a ros a ai cofficit, iv th umrator row vctor a a th omiator row vctor b 5 6 P49 例 6.9 atab 举例 umiut(' 输入分子系数 '); iut(' 输入分母系数 '); [,,k]tf(um,); mabs(); is(' 零点在 ');is(); is(' 极点在 ');is(); is(' 增益常数 ');is(k); is(' 极点半径 ');is(m); sossos(,,k); is(' 二阶部分 ');is(ra(sos)); a(um,); 四逆变换输入分子系数 [ ] 输入分母系数 [ ] 7 8 定义 : 逆变换 [] G() ( ) 为围线积分, 积分路径 c 是一条在 ( ) [ 在 c 中极点的留数 ] [] G() G 收敛域内的反时针 c 方向环绕原点一周的单围线该积分通常可用留数定理来求 π c 部分分式展开法当 ( ) 是有理函数时, 可将其展开为部分分式 ( ) i Ai a 求解反变换步骤 : a i. 求出 ( ) 的所有极点 ;. 将 ( ) 展开为部分分式 ; i 3. 根据总的 ROC, 确定每一项的 ROC; 4. 利用常用变换对和 Z 变换性质求出每一项的反变换 9 3

6 举例 ( ), x[ ] 求 x[]? A A ( ), ( + )( + 3) ( + ) ( + 3) A, A. ( + ) ( + 3) x [ ] δ[ ] + ( ) u [ ] u [ ] 3 例子 5 3 例 : ( ) 6 ( )( ) 4 3 ( ) ROC ROC < < 4 3 ROC : > / 4 ROC : < / 3? 这样求解有没有问题? 3 3 用 ATLAB 进行部分分式展开部分分式展开 [r,,k]rsiu(um,) r 为留数向量, 为极点向量,k 为常数向量 um: 有理变换函数的分子系数 ( 矢量 ) : 有理变换函数的分母系数 ( 矢量 ) 逆运算 : [um,]rsiu(r,,k) 长除法求逆变换将 () 展开为 G x[] 的形式, 如为右边序列采用降幂顺序的长除, 如为左边序列采用升幂顺序的长除例子 :P54-55: 例例 : ( ) 3, 4 长除法长除法举例 > 方法一 : 用 ATLAB 计算逆 Z 变换利用 LTI 求解冲击序列的方法来求解 (im) [h,t]im(um,) [h,t]im(um,,l) x( ) (,,,,...) L iut('ty i th th of outut vctor '); % 输入分子及分母系数 um iut('ty i th umrator cofficits '); iut('ty i th omiator cofficits '); % 求冲击响应序列 ( 对应反变换 ) [y,t] im(um,,l); is('cofficits of th owr sris xasio:'); is(y') P56: 例 6. 36

7 方法二 : 用 ATLAB 计算逆 Z 变换利用 LTI 系统的单位冲击响应函数来求解 ( fitr) yfitr(um,,x) x 为单位冲激信号,y 为反变换时间序列 % Ra i th umbr of ivrs -trasform cofficits to b comut iut('ty i th th of outut vctor '); % Ra i th umrator a omiator cofficits of th -trasform um iut('ty i th umrator cofficits '); iut('ty i th omiator cofficits '); % Comut th sir umbr of ivrs trasform cofficits x [ ros(, -)]; y fitr(um,, x); is('cofficits of th owr sris xasio'); P56: is(y); 例五变换的性质 38 特性序列变换收敛域共轭时间翻转线性时移乘于指数 [] 的微分卷积相乘帕斯瓦尔公式 [ ] G ( ) h [ ] () * * * [ ] G ( ) [ ] G ( / ) α [ ] + β h[ ] [ ] α [ ] [ ] [ ]* h[ ] [ ] h[ ] α G( ) + β ( ) G ( ) G ( / α ) G ( ) G ( ) ( ) ( ) ( / ) G v v v π v c R Rh / R 包括 R R h, 但或除外, 但或除外包括 R R h * * * [ ] h [ ] G ( v ) ( / v ) v v π c R R R α R R R h 注 : 如果 R 代表范围 R-< <R+,Rh 代表 Rh-< <Rh+, 那么 /R 代表,/R+< </R-,RRh 代表 R-Rh-< <R+Rh+ 39 Z 变换的许多性质与 DTFT 的性质相似, 其推导方法也相同注意要讨论其 ROC 的变化. 线性 : ROC : 包括 RI R 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消, 则 ROC 可能会扩大 4. 时移 : 3. Z 域尺度变换 : ROC : R 但在和可能会有增删由于信号时移可能会改变其因果性, 故会使 ROC 在, 有可能改变 4 Q R 时 ( ) 收敛, 故 / R时, ( / ) 收敛 R 当时, 即为频移特性若是一般复数 r, 则 ( / ) 的零极点不仅要将 ( ) 的零极点逆时针旋转一个角度, 而且在径向有 r 倍的尺度变化 4

8 / 4. 时域反转 : r uuuuu 信号在时域反转, 会引起 ( ) 的零极点分布按倒量对称发生改变如果 i 是 () 的零 / 极点, 则 / i 就是 ( ) 的零 / 极点由于也是 () 的零 / 极点, 因此 / i 也是 ( ) 的零 / 极点 i 即 : () 与 ( ) 的零极点呈共轭镜像对称例 : 若 ( ) 的 ROC 为 3 < < Im i i * / i R / i 共轭对称性 : ROC 包括 R I R 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则 ROC 可能会扩大表明如果 ( ) 有复数零极点, 必共轭成对出现 Proof: 6. 卷积性质 : 45 该性质是 LTI 系统变换分析法的理论基础 Z 域微分 : 例. ( ) ( a ) ( ) a Q + a 例子 + > a, 求 x[]?? 利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 ( ) 的反变换, 或具有高阶极点的 ( ) 的反变换 47 48

9 例子 a 例 : ( ) ( a ) > a, 求 x[]?? a ( ) a ( a ) 六 LTI 系统的传输函数利用变换来分析和表征 LTI 系统 49 5 LTI 系统传输函数 ( 系统函数 ) 传输函数的表达两边取变换可得 Y 其中 x [] y[] h[] y[ ] k () () () () Y () () 称为 LTI 系统的传输函数 ( 或系统函数 ( h[ k ] x[ k ] trasfr systm fuctio ) fuctio ) 5 FIR LTI 系统 : Y () h[] ( ) IIR LTI 系统 : () () h[] ( ) () Y L L L L+ ( ) ( ) Y () () ( ) ( ) ( ) 因果 LTI 系统的 ROC 为 : > max k k 5 从变换看 LTI 系统的因果性如果 LTI 系统是因果的, 则 < 时,h[] 判断系统是因果的方法方法一 : 若 () 的 ROC 是最外部极点的外部, 并且包括, 则该系统是因果的方法二 : 若 ROC 位于最外层极点外部某一个圆的外边, 且 () 表示成的有理多项式之比的分子的最高阶次不能大于分母的阶次, 则该系统是因果的从变换看 LTI 系统的稳定性若 LTI 系统 () 的 ROC 包含单位圆, 则系统是稳定的若 LTI 系统的所有极点在单位圆内, 则系统是因果且稳定的证明 : BIBO稳定 S h[] < h[] 的 DTFT存在 () 的收敛域包含单位圆因果系统的收敛域为 > R 因此 () 的极点必然在单位圆内 ( 因果稳定 ) 53 54

10 55 从零极点图看传输函数的幅频特性频率响应与传输函数的关系 : ( ) ( ) ( 收敛域包含单位圆 ) 对实系数传输函数, 有 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 在复平面上, 传输函数的在单位圆上的特性代表了其频率特性角频率,π - 角频率 π 56 频率响应函数与零极点频率响应函数与零极点的关系 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + k k ar ar ar ar 57 幅频特性与零极点 ( ) q φ φ ρ 频率响应函数与零极点的关系 : 以极点为例子, 在复平面上极点与频率的关系图 : 58 某个频率处幅频响应的大小与该频率点到所有零点的矢量之积与该频率点到所有极点的矢量之积有关若在某个频率处, 在单位圆上有零点, 则 : 若在某个频率处, 在单位圆上有极点, 则 : 幅频特性与零极点 ( ) ) ( ( ) 59 频率响应计算的几何解释频响的模函数由从各零极点指向点的向量幅度来确定, 当频率由 ~π 时, 这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈, 由此可估算出整个系统的频响当单位圆上的点在极点 i 附近时, 分母向量最短, 频响在这附近可能出现峰值, 且极点 i 越靠近单位圆, 频响出现的峰值越尖锐, 当 i 处在单位圆上时, 相应的频响将出现, 当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态对于零点位置, 频响将正好相反, 点越接近某零点 c i, 频响越低, 因此在零点附近, 频响出现谷点, 零点越接近单位圆, 谷点越接近零, 零点处于单位圆上时, 谷点为零, 即在零点所在频率上出现传输零点, 零点可以位于单位圆以外, 不影响系统的稳定性 6 作业作业 ( 第周 5 前交 ) 6.8 / 6.5 / 6.39 / 6.43 练习 : 6. / 6.5 / 6.7 / 6.34

11 Thaks! E of toay s s ctur 6

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 :http://www.cse.ju.edu.c/eclss/sigl_sste/ 浙江大学控制科学与工程学系主要内容双边变换变换的收敛域变换的性质常用信号的变换对反变换单边变换及其性质 LTI 系统的域分析单边变换及其性质 -- 定义实际问题中常遇到的是因果序列