§3 Fourier级数

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晤姚
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1 Fourier 级数周期为的函数的 Fourier 展开以下总设函数 f 在 [, ] 上有定义,Riem 可积, 并已按它在 [, 上的值周期延拓到,, 换句话说,f 是定义在整个实数范围的以为周期的周期函数但在实际计算时, 对 f 的延拓可以仅仅是观念上的 Fourier 展开的基础是三角函数的正交性容易证明, 函数族 {,si,cos,si,cos,,si,cos, } 按内积 f, g f g d是一个正交函数列, 即满足

2 cos m cosd si m si d m,, m, N, cos m si d, m,,,, N, cosmd m,, m,,, 形如 b cos si 的函数项级数称为三角级数, 其中,, b,, 为常数

3 现假定函数 f 可以表示成三角级数 f b cos si 将上式两边同乘 cos m m,,, 后, 在 [, ] 上取积分假定可以逐项积分, 便得 f cos md cos b si cos md cos md cos cos md b si cos md 所以将下标 m 改写为 m, m, m,

4 同理可得 b f cos d f si d,,,,,,,,, 这称为 Euler-Fourier 公式, 而和 b 称为 f 的 Fourier 系数, 由这些和 b 确定的三角级数 b cos si 称为 f 的 Fourier 级数于是, 我们可以形式地将函数 f 展开为 f ~ b cos si 同前面一样, 仍将函数 f 的 Fourier 级数的部分和记为 S cos b si

5 要特别指出的是, 目前在 f 和它的 Fourier 级数之间不能用等号而只能用 ~, 因为我们不知道右端的三角级数是否收敛 ; 即使收敛, 也不知道它能否收敛到 f 本身参见下面的有些例子这个问题我们将在后面讨论例 9.3. 求函数 f,, [,, 的 Fourier 级数 [, 解先计算函数 f 的 Fourier 系数且对,,, 有 b f cos d f si d f d cos d, si si d, cos,

6 于是得到函数 f 的 Fourier 级数 f ~ si si 3 si 5 si si 3 5 y b 图 9.3.

7 函数 f 的图形在电工学中称为方波图 9.3., 上式表明它可以由一系列正弦波迭加得到但显然, 当和时, 右端级数的和为, 不等于 f 图 9.3.b 给出了在 [, ] 上, f 的 Fourier 级数的部分和函数 S m 的逼近情况正弦级数和余弦级数由定积分的性质, 若 f 是奇函数, 那么显然有, 而 b 这时, 相应的 Fourier 级数为 f sid,,, f ~ b si 形式为 b si 的三角级数称为正弦级数

8 如在例 9.3. 中, 令 g f 即 f 的图形往下移动, 则 g 是奇函数, 从上面的结果看到, 它的 Fourier 级数确为正弦级数同样, 若 f 是偶函数, 那么有 b, 且相应的 Fourier 级数为 f cos d,,,, f ~ cos 形式为 cos 的三角级数称为余弦级数反过来, 在实际问题中也经常需要将一个函数展开成正弦级数或余弦级数例 9.3. 将 f [, ] 分别展开为余弦级数和正弦级数

9 解先考虑余弦级数的情况从理论上来说, 这时应先进行对函数 f 偶延拓 ~ f, [,,, [,, 但这一步同样只需在观念上进行, 因为只要按偶函数的情况算 Fourier 系数, 所得的自然就是偶延拓后的函数而对,,, 有 ~ f 的 Fourier 级数经计算得 d cos d cos si si d,, 4,.

10 于是得到 f 的余弦级数 f ~ 4 cos3 cos5 cos cos cos 3 5 这是由一系列的正弦波迭加出来的锯齿波图 9.3., 从图 9.3.b 看出, 其逼近情况相当好 y 图 9.3. b

11 再看正弦级数的情况对,, b si d cos cos d, 于是得到 f 的正弦级数 f ~ si si si 3 si 3 si 它的几何意义是由一系列的正弦波迭加出来的三角波图 9.3.3, 其逼近情况见图 9.3.3b 与例 9.3. 类似, 它在时的值是, 与 f 不相等注意, 这两种级数的表达形式虽然大相径庭, 但在下一段就会知道, 若限制在 [, 上, 它们表示的确是同一个函数

12 y b 图 9.3.3

13 任意周期的函数的 Fourier 展开如果函数 f 的周期为, 在 [, ] 上 Riem 可积作变换 t, 则是定义在, 还原变量, 便得 t f t f 上的周期为的函数利用前面的结果, 有 t ~ cos t b si t f ~ cos b si 相应的 Fourier 系数为 t cos tdt f cos d,,,,,

14 b t si tdt f si d,,,, [, ], 例将函数 f 展开为 Fourier 级数, [, 解在上面的公式中令, 计算函数 f 的 Fourier 系数, 得对于,,, 利用分部积分法, 得 f d d 3 f cos d cos d, b f si d si d [ 3 3 ] 于是得到 f 的 Fourier 级数

15 f ~ cos 6 3 si 函数 f 的图形及由一系列正弦波迭加的近似情况见图 y - 图 b

16 Fourier 级数的收敛性与 ylor 级数相比,Fourier 级数尽管有对函数 f 的要求较弱, 及它的部分和在整个区间与 f 逼近得较好等优点, 但在收敛性问题上,ylor 级数比较简单 : 只要讨论余项的收敛情况, 并确定收敛半径就行了, 而 Fourier 级数却要复杂得多仔细观察上一节中的几幅图像后可能会产生直觉 : 对于一般的函数 f, 除了个别点之外看来是不连续点, 当时, 它的 Fourier 级数的部分和 S cos b si 大概应该收敛于 f, 而在跳跃间断点处,Fourier 级数似乎收敛于 f 在该点左右极限的中点为了判断 Fourier 级数的收敛性, 我们先引入分段单调和分段可导的概念

17 定义 9.3. 设函数 f 在 [, b] 上有定义如果在 [, b] 上存在有限个点 b, N 使得 f 在每个区间, i,,, N 上是单调函数, 则称 f 在 [, b] 上分段单调 i i 定义 9.3. 设函数 f 在 [, b] 上除有限个点 b N 外均可导, 而在 i i,,, N 处 f 的左右极限 i 求右极限存在, 若 i N 只要求左极限存在, 并且极限 f 和 f 都存在若 i 只要 i f i h f i lim h h 和 f i h f i lim h h 都存在若 i 只要求上述第二个极限存在, 若 i N 只要求第一个极限存在, 那么称 f 在 [, b] 上分段可导

18 对于 Fourier 级数的收敛性有如下的定理 : 定理 9.3. 设 f 是以为周期的函数, 且满足下列两个条件之一 : Dirichlet 在 [, ] [, ] 上分段单调且有界 ; Lipschitz 在 [, ] [, ] 上分段可导则 f 的 Fourier 级数收敛, 且当是 f 的连续点时, 它收敛于 f ; 当是 f 的不连续点时跳跃间断点或可去间断点, 它收敛于 f f 定理的严格证明已经超出了本课程的要求, 在此从略

19 定理 9.3. 告诉我们, 若收敛条件满足, 则 f 的 Fourier 级数在连续点收敛于函数值本身, 而在第一类不连续点收敛于它左右极限的算术平均值, 与我们的观察相同所以, 对 [, ] 上的连续函数 f, 应将 f 与它的收敛的 Fourier 级数间的 ~ 改为 = 如例 9.3. 中 f 的余弦级数可以直接写成 4 cos3 cos5 cos cos, [, ] 3 5 若函数 f 在 [, ] 上有跳跃间断点或可去间断点, 那么展成 Fourier 级数后, 要对这些点予以特别说明, 画图时也要将它们的函数值标为其左右极限的算术平均值

20 如例 9.3., 应该写成 f si 3 si 3 si ~.,,,,,,,, Fourier 级数的图像为图因为属于 Fourier 级数收敛范围, 因此有 si 5 si 5 3 si 3 si f, 整理后便有熟知的 y 图 9.3.5

21 例 9.3. 中 f 的正弦级数应该写成 si si, f ~ si,,,. Fourier 级数的图像为图它在[, 上与余弦级数表示的是同一个函数, 这正是上一节中指出的结果 y 图例的式子也应相仿地写成 f ~ cos 6 3 si y,,,, ], Fourier 级数的图像见图图 9.3.7

22 在证实了这个 Fourier 级数收敛的前提下, 可以导出一个非常重要的结果注意是 f 的不连续点, 其 Fourier 级数应收敛于注意到 cos 6 cos, 稍加整理后便可得到 f f ; 因此还可以导出一系列类似级数的值, 由于是 f 的连续点, 因此 6 f, 即

23 = 3 4 结合 6 便得这些等式可以用来进行某些特殊的计算, 如历史上曾有人用这些等式计算过的近似值而对某些原函数并非初等函数的积分, 如计算展开得 l d, 将被积函数 ylor l,,,

24 逐项积分得 l t dt t t dt,, 因此 l d lim lim l t dt t 6

25 最佳平方逼近设函数 f 在 [, ] 上 Riem 可积, 为阶三角多项式 U cos B si 全体考虑 U 与 f 的平均平方误差 f U 称使取得最小值的中元素为 f 在中的最佳平方逼近元素设,, b,, 为 f 的 Fourier 系数 d,

26 定理 9.3.Fourier 级数的平方逼近性质设函数 f 在 ], [ 上 Riem 可积, 则 f 在中的最佳平方逼近元素恰为 f 的 Fourier 级数的部分和 b S si cos, 且 mi U d S f d f b 证设 B U si cos, 由于 si cos si cos B B f f U f, si cos 4 si cos u B B f f f 其中

27 j j B j B u, si cos si cos. si si cos cos, j j j j j B B j 由本节开始时提到的三角函数族的正交性以及 f 的 Fourier 系数的定义得 B B d f U f. ] [ b b B d f 因此当 b B,,,,, 时, 取最小值, 且最小值为 b d f 证毕

28 从定理 9.3. 立即得到推论 9.3.Bessel 不等式设函数 f 在 [, ] 上 Riem 可积, 则 f 的 Fourier 系数满足不等式 b f d 这表明 Fourier 系数的平方组成了一个收敛的级数推论 9.3. 设函数 f 在 [, ] 上 Riem 可积, 则 f 的 Fourier 系数满足 lim, lim b 进一步的研究表明, 上面的 Bessel 不等式实际上是一个等式, 称为 Prsevl 等式又称能量恒等式, 它在理论和实际问题中都具有重要作用

29 定理 9.3.3Prsevl 等式设函数 f 在 [, ] 上 Riem 可积, 则成立等式 b f d 证明从略推论设函数 f 在 [, ] 上 Riem 可积, 则其中函数 S 的定义同定理 9.3. lim [ f S ] d,

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于