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声爱敛
5 years ago
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1 kaoyan.om 线性系统一线性系统的概念 1. 线性系统是什么? 线性时不变系统的定义 : (1) 线性 : 若 1 2 产生的输出分别是 y 1 y 2 a1 + b2 产生的输出是 ay ( t 1 ) + by 2( t ) (2) 时不变 : 若 y 产生的输出是即 ( t τ ) y 的输出是 ( t τ ) 若非特别指出以后线性系统一词总指线性时不变系统则对任意的常数 a b 则将任意延迟 τ 后的输出是原来输出的延迟理解 : 线性系统实际上一个有频率选择性的复数放大器它把输入信号中频率为 f 的分量的幅度放大了 A 倍相位前移了也即它是一个放大倍数为不同的输入频率放大倍数可能不同也即 j = f A f e 叫传递函数 j Ae 的复数放大器对 j Ae 可能是 f 的函数这个函数具体到实线性系统 ( 冲激响应为实函数 ) j f f = A f e 的含义是说 : 输入是 A 频率为 f 的正弦波时输出还是频率为 f 的正弦波不过幅度会被放大倍相位会增加 os 比如输入是 ( 2π t + 1) A( 1os ) 2πt+ 1+ ( 1) 时输出为 2. 一些性质 (1) Y 频谱关系 : = X (2) t 冲激响应 δ 输入单位冲激 ( t ) (3) 卷积时的时间响应其频率响应是 Y = X 导致 () = ( ) y t t τ τ dτ 1/8

2 kaoyan.om () = τ δ t τ dτ = lim n τ δ t n τ τ τ 0 注 : n 成由无数微小冲激组成故的响应是 (4) 级联并联 ( τ) τδ ( τ) n t n 的响应是表明信号可理解 ( τ) τ ( τ) n t n () = lim ( ) ( ) = ( ) y t n τ τ t n τ τ t τ dτ τ 0 n 认识到线性系统其实是复数放大便知道复数的四则运算规则必然成立由此第 21~22 页性质 (1)~(4) 是一目了然的交换律 : ( f 1 2 ) = 2 1 信号经过两个放大器时放大次序可以交换分配律 : 结合律 : + = + 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 1 f 3 f = 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 f 微分 : 微分操作是一个线性系统其传递函数为 d = 2 f j π f 再由结合律 : = = f f f f f f f f f 1 2 d 1 d d (5) 输出的功率 ( 能量 ) 谱密度频率为 f 处的复数放大倍数是功率放大倍数是 2 故 y = 2 P f P f f 二理想滤波器 1. 无失真系统 y 如果信号经过系统后除了幅度变化和延迟外波形没有变化即若 = a( t t 0 ) 称这个系统是无失真的 f = a j2π ft 无失真也即要求在信号的带宽范围内有 0 过原点的直线则即幅频特性是直线相频特性是 2/8

3 kaoyan.om 频率为 f 的分量经过 j f f = a f e 后产生的相移为产生的延迟为 τ 2π f 称 2π f 为时延频率特性 ( 简称时延特性 ) 因此无失真就是要求 : 幅频特性为直线时延特性为直线 y 在复信号的范畴内 = a( t t 0 ) 中的 a 是复数也算无失真对于 j( 2π fτ θ) 失真的线性系统的 = αe + a j = αe θ 此时无此时的相频特性是不过原点的直线其斜率为延 d τ G 迟对任意的称 2π df 为群时延频率特性 ( 简称群时延特性 ) 因此在复信号的意义下无失真就是要求幅频特性为直线群时延特性为直线这种无失真也叫复包络无失真 2. 理想滤波器理想带通滤波器 (BPF): 1 f ± f B = 0 else 理想低通滤波器 (LPF): 1 = 0 f B else 三线性系统的可实现问题因果性 : 线性系统的响应不可能在激励之前发生这表明合理的冲激响应必然满足 t < 0 t = 0 下图中 2 3 满足因果性 1 不满足 1 ( t ) 2 ( t ) 3 在通信中如果两个设计的差别只是一个数值合理的固定时延我们不觉得这两个设计有什么差别或者说这两个设计的差别只是有一个绝对时延 3/8

4 kaoyan.om 若某工程师设计的方案是 1 我们并不觉得这个设计有错误因为我们知道对于实际实现来说这个工程师的意思其实就是 2 因为 1 和 2 的差别只是绝对时延所以除非特殊情况否则设计中写 1 和 2 没有什么关系而他之所以要写 1 可能只是出于便利若 A B C 三个工程师给出了 1 是一样的 C 则是给出了一种不同的设计 2 3 这样 3 种设计那么 A B 的设计本课中的习惯是 : 如果冲激响应是有限的一般按因果方式给出如果冲激响应是无限的则按非因果的方式给出 t = 2Bsin 2 Bt < t < 如例如对于前面的理想低通滤波器它的冲激响应是 t ( t0 ) t 0 () t 下图示实际实现时一定是 = 0 t < 0 是一个截短的冲激响应这个冲激 t 响应是原来的冲激响应的近似如果这种近似可以接受就说是可以实现的否则就是不可实现的在第 5 章学到升余弦滚降的时候请特别注意这一点 ( t ) 四 ilbert 变换 1. 定义 ilbert 变换是对实信号 ˆ 定义的一种变换变换结果记为其实质是实信号移相 90 度即其正频率分量的相位后移 90 度负频率分量的相位前移 90 度 ( 这样才能保证结果还是实信号 ) ilbert 变换器其实就是一个线性系统其传递函数为 j f > 0 = 1 t j f < 0 () = 其冲激响应为 πt 4/8

5 kaoyan.om 注 : 对一个信号实现了移相 90 度也就等于实现了 1/4 周期的时延若频率越低则时延也越大当频率趋于 0 时这个时延也将趋于无限大因此 ilbert 变换对于 0 频或者极低的频率成份来说是不可实现的以后学到 SSB 时请特别注意这一点注意我们并不因为上图的非因果性而说它不可实现 2. 性质 (1) 连续两次变换就是反相变换一次移相 90 度两次移相 180 度即反相 (2) ilbert 变换后能量或者功率不变能量或者功率谱密度不变每个频率分量的功率和这个频率分量的相位无关而 ilbert 变换只涉及信号的相位不改变幅度所以经过变换后该频率分量的功率不变于是变换后的功率谱密度不变总的功率自然也不变 P = P P = P ˆ ˆ R = Rˆ (3) 偶函数的变换是奇函数奇函数的变换是偶函数 () = ( π + π ) ˆ f X f os2 ft jsin2 ft df 对于偶函数 X = ()( os2π ft jsin2π ft) dt 是偶的而 ˆ() X jsin2π fdf 数所以 = 是奇函数对于奇函数 = ()( os2π sin2π ) ˆ() X os2π fdf X f ft j ft dt 是奇函数所以 = 是偶函数是奇函 5/8

6 kaoyan.om (4) 信号和它的 ilbert 变换正交定义 : 若 () t y() t dt = 0 则称 () y() t 正交若两个信号正交则它们和的能量是能量之和注意正交和不相关的区别正交时总的互能量为 0 但互能量谱密度不一定是 0 因此两个信号和的能量谱密度未必是各自能量谱密度之和 (5) 信号和它的 ilbert 变换之间的互相关函数 R 即 ˆ( τ) * ( τ) = () ˆ( + τ) = ( τ) ˆ() = ( τ) ˆ() R ˆ dt dt t dt j2π fτ sgn = X f e j f X f df = 的傅氏变换是 2 j2π fτ jsgn f X f e df jsgn X 2 由于 jsgn R 是 ilbert 变换说明 ˆ ( τ) 是 R ( τ) R ˆ ( τ) = Rˆ ( τ) X 2 是 R ( τ) 的 ilbert 变换 : 再由互相关函数的性质以及偶函数的 ilbert 变换是奇函数得 : 于是还有 ( τ) ( τ) ( τ) ( τ) ˆ ˆ ( τ) = ( τ) = ˆ ( τ) = ˆ ( τ) R R R R R + R = Rˆ + Rˆ = 0 五解析信号 (Analyti Signal) 1. 定义给定实信号 () ˆ ˆ 由它构造的解析信号是 () t = () + jˆ () t 的傅氏变换 6/8

7 kaoyan.om 2. 性质 1 () = Re{ () t } = () t + () t (1) 2 (2) t 只有负频率分量只有正频率分量 2X f f > 0 Z = X + j jsgn X = X 1+ sgn = 0 f < 0 的复氏变换为 f 0 X f f > > Z ( f ) = = 0 f < 0 2X f < 0 (3) 由 s 的能量是的 2 倍 ˆ 和的正交性可得六带通信号与带通系统 1. 带通信号与基带信号如果信号号的频谱分量主要集中在某个频率 f 附近远离 0 频则称此信号为带通信如果信号的频谱分量主要集中 0 频附近则称此信号为基带信号 2. 带通信号的复基带表示给定一个实带通信号率分量且其能量主要集中在 % 称复基带信号 % 记就给定了它的解析信号 = + jˆ j2π ft f % 附近引入 e 使得 = % 为实带通信号的复包络的实部虚部分别为 s j = + = % t j t At e s % 记 At 的幅度为的没有负频 e π j2 ft 相角为则 2 2 () = () + () At t t s () t = tan 1 s () t = os s = At sin t At t 7/8

8 kaoyan.om 于是带通信号可以表示为 { } j2π ft = Re % e = () os2π () = At () os 2π ft+ () t 这是带通信号常用的 3 种表示方式 3. 频谱关系 P X% t ft t sin2π ft s j2 ft 2X f f f baseband X% π + %() e dt = Z( f + f ) = 0 else 1 X f X f X f X f f X f f 2 = % + %( ) = ( + ) + ( + ) 1 Xs f X f X f 2j = % %( ) 1 X f X f f X f f 2 = %( ) + % ( ) P f 1 X X 4 P f f P f f 4PX f + f f baseband = 0 else 4. 带通系统的基带等效 = %( ) + %( ) X f + f f baseband 1 L = = % f jˆ j2 1 t L () t = % () t = e 2 2 π ft 8/8

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LN htm kaoya.om Leure Noes 7 4/9/8 随机过程一随机过程. 随机过程的描述 () 是一簇随机变量, 给定一个时间, 就是一个随机变量 () 以函数为样本的随机事件因为是无限个随机变量, 所以需要任意 N 维分布才能完全描述其分布特性. 平稳平稳的意思就是与绝对时间无关如果一维二维特性与绝对时间无关, 称宽平稳或广义平稳以后说的平稳都指宽平稳定义 : 随机过程的自相关函数定义为