第4章级数

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飞袜甘
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1 第 4 章级数 4. 收敛序列与收敛级数 4. 幂级数 4. 泰勒级数 4.4 罗朗级数习题课

2 4. 收敛序列与收敛级数收敛序列收敛数项级数函数项级数

3 收敛序列复数序列 : 指按一定法则有依次序排成的一列数. { } L L 定义 4. 若对任意给定的 ε > 总存在着正整数当 > 时不等式成立则称复数序列 { } < ε { } 否则称是发散的. 那么定理 4. 设序列的充要条件是同时成立. 证因为 x lm 收敛于复数记作 x y L x y lm 4. lm x 和 y lm 由定义 lm 4. y 对 ε > 正整数当 > 时有 x y x y < ε 即 x x x x y y < ε y y x x y y < ε

4 故 4. 式成立. 反之由 4. 对 ε > 正整数使得 > max{ } ε x < 同时成立从而时有 x 和 y ε y < x x y y x x y y < ε. 即对 ε > 正整数当 > 时成立. 定理得证. < ε 例 4. 下面各数列否收敛? 若收敛求其极限. a c b. π e 解 a Q lm. b Q co π π 发散.

5 c Q co π π 6 6 lm. 收敛数项级数定义 4. 由 L L L L 构成的表达式称为无穷级数简称为级数记作即称复数序列 L L. S L 4. L 为级数的部分和. 定义 4. 如果级数的部分和序列 { } S 收敛于复数 S 则称级数收敛 S 称为级数和记作 S. 否则称级发散. 定理 4. 设 x y L S X Y 那么

6 S x X 且 y Y. 证设 S x y x y 因为 S x 由实数项级数收敛的定义知 S lm S 所以 lm X 且 lm Y. y x X 且 y Y. 以是过程可逆定理得证. 数发散. 例级数因其实部为发散的调和级数知原级例级数 [ ] 因其实部交错级数与虚部 p 级数同时收敛所以原级数收敛. 另外级数收敛的必要条件为 lm. 定理 4. 若级数收敛则必收敛.

7 证设 x y L x y x 因为 y 收敛所以 x y 收敛. 从而 x y 绝对收敛级数收敛. 定义 4.4 若级数收敛则称原级数绝对收敛非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 例 4. 判别下列级数是否绝对收敛是否收敛. 6 5 a 8 b co c 解 a Q 8 8 原级数收敛 co e e b Q 原级数发散 o co π π c Q 原级数条件收敛. 函数项级数

8 L 设函数 u 定义在区域 D 上称形如 u L u L u 4.4 的表达式为函数项级数记作 u. 称级数的前项和 U u u u L u 为级数 4.4 的部分和. 若 D 级数 4.4 都收敛于函数 U 称级数 4.4 在 D 上收敛于 U 或者称这级数有和函数 U u U. 则. 记作

9 4. 幂级数幂级数的概念幂级数的收敛半径幂级数和函数的性质

10 幂级数的概念定义 4.5 形如 c c c L c L 4.5 的级数称为幂级数记作 c. 这里为邻域内的任一点 c L 为复常数. 若 c 在区域 D 上收敛于函数 S 则称 S 为 c 在 D 上的和函数即 S c. 常见的幂级数形式还有 : c c c 定理 4.4 若在 c L c L 处幂级数 4.6 c 收敛那么该级数对任意满足 < 的都绝对收敛. 证由 c 收敛知 lm. 即 c M > 使

11 c M. 若记 > ρ 则 c c Mρ 而 M ρ 收敛. 所以对任一满足 < 的点 c 收敛 c 绝对收敛. 若 c 在点处发散那么对任一满足 > 的点级数 c 都发散. 否则由定理 4.4 知 c 在处一定收敛导出矛盾. 由上述定理知 : 对每一个收敛点级数 c 都相应地有一个收敛域 < 距原点最远的收敛点的收敛域称为 c 圆盘收敛圆盘的半径称为 c 的收敛半径. 幂级数的收敛半径定理 4.5 如果下列条件之一成立 : 的收敛

12 c lm lm c l. c l 那么幂级数的收敛半径证若 c lm c l R l 则当 < l < l l. c lm l < c 即 < R 时幂级数绝对收敛. 对 > R 若 c 收敛则任取 R < < c 绝对收敛但此时 c lm l > c 导出矛盾因而幂级数的收敛半径为 R. 若 lm c l 则当 lm c l < 时幂级数绝对收敛. 与上面的证明相似当 > R 时幂级数发散.

13 级数的收敛半径为 R. 例 4. 求下列各幂级数的收敛半径. a b! c! 4 L L e. 6 c 解 a R lm lm c c! b R lm lm c! c! c R lm lm c! c R lm lm c e Q lm < 时级数收敛 R. 级数的收敛圆盘 : <. 当时发散当时上级数可能发散也可能收敛. 幂级数和函数的性质定理 4.6 若 c 级数. 所以在收敛圆盘的边界 : 则

14 ' c R < 4.8 c R < 4.9. 证明从略. 如 L 4 <! l L L <.

15 4. 泰勒级数定理 4.7 设在 D : < R 内解析则在 D 内 ' ''!!! L. 4. L 即当 < R 时式 4. 右边的泰勒级数收敛于. 式 4. 称为在的泰勒级数展开式. 证当时设 r R 过的圆 r < : R r R < R 4. 所示. 那么在所围区域之内析. 由柯西积分公式及 < 如图在及其所围区域内解 4. 此处有图 4. π L L. 4. 可得

16 π ρ 其中由高阶导数公式有因而级数 ρ. π π! ρ! 若记上式为 ρ 则在圆 : < R 内设 r < R! 从而是 lm M 为在上的最大值而 ρ R r. ρ 故欲证之. r r M MR r π R π R r R R r R R 故 lm ρ.

17 ! 4. 此幂级数称为麦克劳林级数. 当时在圆 < R 内解析那么在 < R 内解析令 g 则 g 在 < R 即用代替 g g < R! 内解析并有 < R! 可得在处的泰勒展式 < R!. 例 4.4 将函数解 Q 在处展为泰勒级数. π π π <.!! 同理可得

18 co <.! 例 4.5 求 L 解 Q l 在 < 在时解析处的泰勒展式. l!!. l 例 4.6 将 L kπ e 解设 < e c!! < ± ± L k. 在处展成幂级数. 那么! c. 即

19 ! c c c c c. 比较左右两边同次幂的系数得 : 故 e c c 例 7 将 c L!!!!.!!! L L!!! < e co e 分别展为的幂级数. L. 解 Q e co e e e e e π 4 e! π 4. e co e e π 4 e! π 4.

20 π co e co 4 <! π 4 e <.! 定理 4.8 若在圆盘 < R 内的泰勒展式唯一. 证设还有其它幂级数展式 : 内解析那么它在该圆盘 c ' c ' c' L c ' L 那么所以 c'.! c ' L c' L c' L 定理得证.! c ' L

21 4.4 罗朗级数罗朗级数的概念定义 4.6 形如 c 的级数称为罗朗级数. 其中 c 是复常数. 4.4 如果级数 c 和 c 在点 ' 都收敛则称级数解析函数的罗朗展式定理 4.9 设内如图 4. c 在点 ' 收敛. 在圆环 D : R R 上解析则在 D c 4.8 此出有图 4. 其中 c π 是正向圆周 ρ R < R < ρ. ± ± L. 证设 : 圆周 R : 圆周 R 因为

22 在 D 上解析所以由有界多连通域上柯西公式得 π π 4.9 当时 < 因而又因为 lm 所以 ] [. 4. 当时

23 > 因而又因为 lm 所以 ] [. 4. 由式 4.9 得 ] [ π ] [ π

24 根据第章闭路变形原理用沿曲线的积分代替沿曲线的积分和便得式 4.8 定理得证. 例 8 将函数在圆环 < < 与 < < 内展为罗朗级数. 解 a Q < < ' < <.

25 b Q < < < <. 例 9 求 5 在圆环 < < 与 < < 内的罗朗展式. 解 a < <.

26 b m m c < < 其中. m m c m 例将函数在点展为罗朗级数. 解 a 当时 Q < <

27 b 当和时 4 Q < <. [ ]'' 4 [ 4 ]'' 4 '' [ 定理 4. 若该圆环内的罗朗展式唯一. 证明略. < < 4 ]'' 在 R R < <. 内解析那么在

28 第 5 节习题 4.. 证明序列收敛于. 4.. 判断下列级数的敛散性 a l b 5! 5 c. 4.. 试确定下列幂级数的收敛半径. a b c L e 证明 :a < b 4 <. 4.. 写出下列函数的幂级数展式至前三个非零项. a Arcta 展为 4 l 展为 b 的幂的幂

29 e c 展为的幂展为 6 的幂. 4.. 通过以下三种方式推导 ch 的麦克劳林展式. a 泰勒展式定理 ch co b 恒等式 c 恒等式 ch e. e 4.4. 证明 :a l < b < < h c e! < < cc [ ] L < < π!! 5! e L < < π 将下列函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数并指出其收敛范围. a e b 及

30 c 及将下面函数在不同区域内展为级数. e a < < < < b < < < < c < < < < < < < e 只要求含到的项.

Ａ

工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录工程数学 ( 复变与积分变换 A 集 ) 目录 A. 复数与复变函数 ( 第一章 ).... 复数.... 复变函数...4 A. 导数 ( 第二章 )...6. 解析函数...6.4 调和函数...8 A. 积分 ( 第三章 )...9. 柯西积分公式解析函数的导数...9 A.4 级数 ( 第四章 )... 4. 泰勒级数... 4.4 罗朗级数...

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