就称之为该系统的状态矢量 状态空间 : 状态矢量所在的空间称为状态空间 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数, 也是系统的阶数 状态轨迹 : 在状态空间中状态矢量端点随时间变化而在状态空间中描出的路径或轨迹称为状态轨迹 状态轨迹形象地表明了系统状态随时间的变化规律 对于三维以上的状态矢量

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1 第八章 系统的状态变量分析 主要内容 : 本章介绍状态 状态变量的概念以及描述方法, 并分别给出连续和离散时间系统状态方 程和输出方程的建立和求解方法, 重点论述了其变换域求解方法 重点 : 1. 状态变量与状态方程的基本概念 2. 连续时间系统和离散时间系统状态方程和输出方程的建立与求解变换域的求解 方法 8.1 系统的状态变量分析 状态 : 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量, 被称为状态变量, 只要知 道时这组变量和时的输入, 就能完全确定系统在时的输出 状态变量 : 能够表示系统状态的那些变量的集合称为状态变量, 一般用 这样的一组变量集表示系统的状态变量 状态变量实质上反映了系统内部储能状态的情况 状态方程 : 描述状态变量的方程叫状态方程, 它描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励的关系, 是一组独立的一阶微分方程, 对离散时间 LTI 系统, 状态方程是一组独立的差分方程 输出方程 : 是一组由状态变量和激励来表示各个输出的方程, 它是一代数方程组 状态矢量 : 设一个系统有个状态变量, 用这个状态变量作分量 构成矢量

2 就称之为该系统的状态矢量 状态空间 : 状态矢量所在的空间称为状态空间 状态矢量所包含的状态变量的个数称为状态空间的维数, 也是系统的阶数 状态轨迹 : 在状态空间中状态矢量端点随时间变化而在状态空间中描出的路径或轨迹称为状态轨迹 状态轨迹形象地表明了系统状态随时间的变化规律 对于三维以上的状态矢量, 虽然不能直观地作出它的几何图形, 但状态空间和状态轨迹的概念仍然是普遍适用的 图 8-1 状态轨迹图 动态方程 : 状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程 8.2 连续时间 LTI 系统状态方程的建立 连续时间 LTI 系统状态方程的一般形式 连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组, 设系统有 个状态变量, 状态变量对时间的一阶导数分别用表示, 个激励信号, 系统的状态方程为

3 (8-1) 连续时间系统的输出方程是状态变量和激励信号的代数方程, 设系统有 个输出变 量, 则系统的输出方程为 (8-2) 如果系统是 LTI 系统, 则状态方程和输出方程都是状态变量和激励信号的线性组合, 即 (8-3) (8-4) 将状态变量 激励信号 输出信号 式 (8-3) 和式 (8-4) 的系数都用矩阵来表示, 即假设,,,

4 , 则得状态方程和输出方程的矩阵表示为, (8-5) 状态方程建立方法概述 状态方程的建立有多种方法, 大体上可以将这些方法分为两大类 : 直接法和间接法, 如表 8-1 所示 状态方程的编写大体可分为状态变量的选取 状态变量的一阶微分方程组的建立 中间变量的消除 输出代数方程的建立等步骤 表 8-1 状态方程的建立方法直观列写 直接编写法 网络拓扑分析编写 系统编写 ( 借助计算机编写 ) 由输入输出方程编写 间接编写法 由系统方框图或信号流图编写 由系统函数编写 由电路图建立状态方程 对于给定电路结构的系统, 通常选取电容电压和电感电流为状态变量, 根据 KCL 和 KVL 列写状态方程 由给定电路直接列写状态方程的步骤一般如下 (1) 选所有的独立的电容电压和电感电流作为状态变量 (2) 对每个独立电容列写独立的节点电流方程 (KCL), 对每个独立电感列写独立的回路电压方程 (KVL)

5 (3) 消除非状态变量 (4) 将所列写方程整理成状态方程的一般形式 例 8-1 列写如图 8-2 所示电路的状态方程, 若输出信号为电压, 并列写输出方程 图 8-2 例 8-1 的电路图 解容易知道, 图 8-2 所示电路中电感电流和电容电压都是独立的, 选取它们作为状态 变量, 所以该电路有 3 个状态变量, 是一个三阶系统 状态变量为 根据电容所在的节点的 KCL 有 根据电感 所在的回路的 KVL 有 根据电感 所在的回路的 KVL 有 将电路参数代入上三式并整理得该电路的状态方程为 容易写出输出电压表达式为 表示成矩阵形式即输出方程为

6 例 8-2 列写如图 8-3 所示电路的状态方程 图 8-3 例 8-2 用电路 解由于电压源与电容组成一个回路, 所以电容电压中只能选 取一个作为状态变量 ; 同时, 电流源和电感组成一个节点, 所以电感电流 个二阶系统 中也只能选取一个作为状态变量, 因而图 8-6 所示电路只有两个状态变量, 是一 选和为状态变量, 并令 根据电容回路的 KVL 有 (1) 根据电感节点 KCL 有 (2) 根据所在的节点的 KCL 有 (3) 根据 组成的回路的 KVL 有 (4) 将式 (1) 代入式 (3) 得 (5)

7 将式 (2) 代入式 (4) 得 (6) 将式 ((5) 和式 (6) 加以整理, 就可写成标准的状态方程为 由于是已知的, 所以也是已知函数 由信号流图建立状态方程 如果系统给定的不是电路, 而是方框图或是信号流图等形式, 那么列写状态方程会比 较简单方便, 其一般过程如下 (1) 选取积分器的输出为状态变量 (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程 如果系统的信号流图表示不是仅包含积分器 加法器和标量乘法器组成的, 那么必须首先 把有关环节等效用积分器实现 例 8-3 试将图 8-4(a) 所示的系统用一阶流图组合的形式实现, 并列写系统的状态方程和 输出方程 一阶流图的结构如图 1(b) 所示, 它的传递函数为 图 1 系统信号流图

8 解首先将图 1(a) 中的一阶环节和二阶环节化为如图 8-4(b) 所示的只有积分器环节的形 式, 因为 及 得到等效流图如图 2 所示 图 2 等效的只含积分器环节的信号流图 选取积分器的输出为状态变量, 一共有三个, 这是一个三阶系统, 如图 8-5 所示 由此容易 列出状态方程如下 写成矩阵形式就是 容易知道, 输出方程为

9 8.2.5 由输入输出的微分方程建立状态方程 如果系统给定的是代表输入输出关系的微分方程, 一般情况下, 可以首先求得系统函 数, 然后按照下一小节的方法列写状态方程 在微分方程的右端比较简单, 即方程右端只有 激励信号, 而没有激励的各阶导数项的时候, 可以直接列写系统的状态方程 例 8-4 已知某系统的输入输出关系为下列三阶的微分方程 试导出其状态方程和输出方程 解选取状态变量如下 由此得 将状态方程写成标准的矩阵形式为 显然, 输出方程为

10 8.2.6 由系统函数建立状态方程 如果系统给定的是系统函数, 那么首先要画出系统的方框图或信号流图, 然后列写状 态方程, 其一般过程如下 (1) 由系统函数画出只包含有积分器 加法器和标量乘法器组成的信号流图或是系统方 框图 实现同样的系统函数的信号流图可以有不同的形式, 那么最后列写的状态方程也是不 同的, 但它们都具有同样的系统函数 一般来说, 对于给定系统函数, 可以有三种信号流图 结构实现系统, 即直接形式 串联形式和并联形式 (2) 选取积分器的输出为状态变量 (3) 围绕加法器列写状态方程和输出方程 例 8-5 已知某系统的系统函数为 (1) 列写该系统的状态方程和输出方程解, 下面分别用直接形式 串联形式和并联形式实现该系统并列写对应的状态方程 (1) 直接形式将式 (1) 表示成积分器的形式为 直接实现上式的信号流图如图 1 所示 图 1 直接实现系统函数的信号流图 选择积分器的输出为状态变量, 得到状态方程为

11 显然, 输出方程为 写成标准的矩阵形式为 (2) 串联形式 将式 (1) 进行因式分解得到 用三个串联的一阶环节实现上式的信号流图如图 2 所示 图 2 一阶环节串联实现系统函数的信号流图 选择积分器的输出为状态变量, 列出状态方程为

12 输出方程为 化为标准的矩阵形式为 7 (3) 并联形式 将式 (1) 进行部分分式展开得到 用并联的一阶环节实现上式的信号流图如图 3 所示 图 3 一阶环节并联实现系统函数的信号流图 选择积分器的输出为状态变量, 列出状态方程为

13 化为标准的矩阵形式为 例 8-6 已知某系统的系统函数为 (1) 用并联结构形式实现该系统并列写该系统的状态方程和输出方程 解 对式 (1) 用部分分式展开得 对应上式的信号流图如图 1 所示

14 图 1 一阶环节并联实现系统函数的信号流图 选积分器输出为状态变量, 列出状态方程为 化为标准的矩阵形式为

15 由该例可以看出, 当系统函数有重根时, 矩阵 成为 Jordan 阵的形式 一般地, 对同 一系统, 尽管状态变量选择可以不同, 但它们的矩阵 都是相似的 8.3 连续时间 LTI 系统状态方程的求解 连续时间 LTI 系统状态方程的求解有时域方法和拉普拉斯变换方法 用拉普拉斯变换法求解状态方程 重新写出系统的状态方程和输出方程, 由于状态方程是一阶微分方程组, 求解状态方程 必须知道状态的起始值, 即在 时刻的状态值, 所以系统方程为 (8-6) 现在用拉普拉斯变换法求状态方程, 它与求解单个变量的微分方程没有什么本质的区 别, 对状态方程 (8-6) 第一个式子两边求拉普拉斯变换得 (8-7) 式中分别是状态矢量和激励信号矢量的拉普拉斯变换 对式 (8-7) 移项处理得 即 (8-8) 或 (8-9)

16 (8-10) 式中 为单位矩阵 容易知道, 式 (8-10) 中第一项对应系统状态变量的零输入解, 第二 项对应系统状态变量的零状态解部分 对式 (8-10) 求拉普拉斯反变换就得到状态变量的 时间表达式 对输出方程, 即系统方程 (8-6) 第二个式子两边求拉普拉斯变换得 将式 (8-10) 代入式 (8-11) 得 (8-11) (8-12) 容易知道, 式 (8-12) 中第一项对应系统的零输入响应, 第二项对应系统的零状态响应 对式 (8-12) 求拉普拉斯反变换就得到系统的完全响应 定义矩阵 (8-13) 矩阵 求 称为系统的分解矩阵 要用到矩阵求逆, 一般比较复杂 二阶矩阵求逆过程如下 (8-14) 例 8-7 已知连续系统的状态方程和输出方程分别为 其初始状态和激励信号分别为

17 试求该系统的状态变量和输出 解由已知条件得, 所以有 进行拉普拉斯反变换得状态变量的解为 将状态变量的解代入输出方程得

18 8.3.2 用时域法求解状态方程 在时域法求解状态方程过程中要用到矩阵指数函数, 这里先给出矩阵指数函数 的定义和主要性质 的定义为 (8-17) 式中是维数为的方阵, 也是一个的方阵 的主要性质有 (8-18) (8-19) (8-20) 下面根据矩阵指数函数 的上述性质对给定的状态方程进行时域求解 对状态方程 (8-21) 两边左乘, 移项得 (8-22) 化简得

19 (8-23) 两边取积分, 并考虑起始条件, 得 (8-24) 对式 (8-24) 左乘, 根据式 (8-18) 化简, 并移项得 (8-25) 这就是系统的状态解, 它包含两部分, 其中第一部分 是系统状态变量的零输入 解, 第二部分 符号 是系统状态变量的零起始状态解 式 (8-25) 用到了矩阵卷积的 矩阵卷积的定义类似于矩阵乘法的定义, 只是将元素之间的乘法运算 换成元素之间的卷积积分运算 例如下面两个矩阵的卷积的运算关系 (8-26) 将系统的状态解 (8-25) 代入系统的输出方程 (8-27) 得到系统的完全响应为 (8-28) 式中第一项为系统的零输入响应, 第二项为系统的零状态响应 即零输入系统模型为

20 (8-29) 它的响应是 (8-30) 零状态系统模型为 (8-31) 它的响应是 (8-32) 对照式 (8-10) 和式 (8-25), 可以看出, 和是一拉普拉斯变换对, 即 (8-33) 矩阵 在时域法求解状态方程中有很重要的意义, 它称为 状态转移矩阵, 而它的 拉普拉斯变换称为 特征矩阵 或 分解矩阵 矩阵的计算除了可以利用拉普拉斯变换之外, 还可以利用矩阵理论的 方法, 主要有矩阵的相似变换法和将矩阵化为有限项之和法 这两种方法的详细介绍可 参见有关矩阵理论的书, 这里只简单介绍后一种方法 首先介绍 Hamilton-Cayley 定理 : Hamilton-Cayley 定理 : 设矩阵是一个的方阵, 它的特征多项式为 (8-34) 则有 根据 Hamilton-Cayley 定理, 可以将矩阵指数函数的无穷项之和的表达式化为有限项之和的形式, 即 (8-35)

21 式中各系数都是时间的函数 矩阵的特征值也满足方程 (8-35), 这条性质提供了计算系数的方法 根据矩阵的特征值是否有重根 的情况, 分以下两种情况 (1) 矩阵的特征值各不相同, 分别为, 为了方便, 设 将各个特征根代入式 (8-35) 有 (8-36) (8-37) 解式 (8-37) 的联立方程组可以求得系数, 再代入式 (8-35) 可以求得 矩阵指数函数 (2) 矩阵的特征值有重根的情况 设特征根是重根, 则重根部分方程为 (8-38) 其他非重根部分与式 (8-37) 作相同处理, 两者联立可以解得系数, 从 而求得矩阵指数函数 一个多项式和一个函数如果对于矩阵的特征单根满足式 (8-37), 重根满足式 (8-38), 称为它们在矩阵 的谱上有相同的值, 所以矩阵函数的计算就是利用了它和多项式谱上有 相同的值的原理

22 例 8-8 给定矩阵 求矩阵指数函数 解 方法一 利用 Hamilton-Cayley 定理, 将矩阵指数化为有限项之和的形式 矩阵 的特征多项式为 的特征根为 由于是方阵, 矩阵指数函数可表示为 代入式 (8-37) 有 解得 所以 方法二 利用拉普拉斯变换方法 先求得 进行拉普拉斯反变换得

23 例 8-9 给定矩阵 求矩阵指数函数 项式为 解利用 Hamilton-Cayley 定理, 将矩阵指数化为有限项之和的形式 矩阵的特征多 的特征根为 是二重根 由于是方阵, 矩阵指数函数可表示为 代入式 (8-38) 有 解得 所以 例 8-10 已知电路如图 1 所示, 激励, 起始状态为零 建立状态方程并求解 图 1 解电路有两个储能元件, 所以是一个二阶系统, 有两个状态变量 选电容电压和电感电流作为状态变量, 即

24 根据电路可以列写方程 整理得 由于电路的起始状态为零, 所以整理系统模型为矩阵形式得 (1) 下面分别用拉普拉斯变换法和时域法求解系统 (8-92) 方法一 拉普拉斯变换法 : 对式 (1) 两边求拉普拉斯变换, 考虑到系统初始状态为零并且, 所以有 即 (2) 所以有 对上式求拉普拉斯反变换得电路的状态变量解为

25 方法二 时域法求解 由方程 (2) 知道 矩阵 的特征多项式为 的特征根为 由于是方阵, 矩阵指数函数可表示为 (3) 将矩阵 的特征根代入式 (3) 有 解得 代入式 (3) 得 根据式 (8-35), 以及电路的起始状态为零, 有

26 8.3.3 由状态方程求系统函数 当已知系统的状态方程和输出方程时, 可以求系统的系统函数 首先知道系统 函数是在系统零起始状态条件下定义的, 所以系统方程为 (8-39) 首先假设单输入 - 单输出系统, 对式 (8-39) 进行拉普拉斯变换得 (8-40) 由式 (8-40) 的第一式得 (8-41) 代入式 (8-40) 的第二式并整理得 (8-42) 这就是单输入 - 单输出系统的系统函数表达式 将式 (8-42) 进行拉普拉斯反变换得系统 的单位冲激响应为 (8-43) 此式也可由 (8-32) 令激励信号 得到 如果系统是一个多输入 - 多输入系统, 则系统函数是一个矩阵 设系统有个输入, 个输出, 个状态变量, 则式 (8-42) 变为

27 (8-44) 式中 的物理含义如下式表示 (8-45) 或者用拉普拉斯变换表示的输入输出关系为 (8-46) 即 (8-47) 根据式 (8-46), 第个输出 为每个输入信号单独作用引起的响应的叠加, 即有 (8-48) 从式 (8-44) 到 (8-48) 也有对应的时域表达式及物理含义 对式 (8-44) 进行拉普 拉斯反变换就求得系统的单位冲激响应矩阵为 (8-49) 式中 的物理含义如下式表示 (8-50)

28 或者用卷积关系表示的输入输出关系为 (8-51) 即 (8-52) 根据式 (8-51), 第个输出 为每个输入信号单独作用引起的响应的叠加, 即有 例 8-11 已知某系统的状态方程和输出方程为 (8-53) 求该系统的系统函数矩阵 解首先求得 所以

29 例 8-12 已知某系统的状态方程和输出方程为 : 试求描述该系统的输入输出微分方程及系统函数, 解这是一个三阶系统, 如果用公式 求系统函数, 则必须求一个 三阶矩阵的逆矩阵 下面通过展开状态方程用消元法来求系统函数, 从而避开了高阶矩阵求 逆的过程 从输出方程可以看出 展开状态方程并求拉普拉斯变换, 考虑到零起始状态的条件, 所以有 通过消元法容易求得 所以求得系统函数为 从而可以写出描述该系统的输入输出关系的微分方程为 8.4 离散时间系统状态方程的建立 离散时间系统状态方程的一般形式 离散时间系统的状态方程是状态变量的一阶差分联立方程组 设 为系统的个状态变量 ; 为系统的 个激励信号 为系统的 个输出信号

30 将状态变量 激励信号 输出信号及有关系数都用矩阵来表示, 即假设,,, 则得离散时间 LTI 系统的状态方程和输出方程的矩阵表示为, (8-54) 状态方程建立 类似于连续时间系统, 给定方框图或是信号流图时, 列写状态方程过程如下 (1) 选取延时单元的输出为状态变量 (2) 围绕加法器列写状态方程和输出方程 如果系统的信号流图表示不是仅包含延时器和标量乘法器组成的, 那么必须首先把有关 环节等效用延时器实现 例 8-13 已知离散时间时间系统的系统函数为 列写该系统的状态方程 解 : 由系统函数画出系统的信号流图表示如下

31 图 1 系统的信号流图表示 选延时单元的输出作为状态变量, 如图 1 所示, 则有 写成矩阵形式为 其中,

32 例 8-14 给定类似离散时间系统的信号流图如图 1 所示, 列写系统的状态方程 图 1 系统 解 : 本例题所示系统信号流图有两个延时器, 所以设置两个状态变量, 延时器的输出为 状态变量, 如图 1 所示, 容易列写状态方程和输出方程为 8.5 离散时间系统状态方程的求解 离散时间系统状态方程的求解也有时域方法和 z 变换方法 用时域法求解状态方程 离散时间系统的状态方程及给定的初始条件为 (8-55) 可以用迭代法求解状态方程 从状态方程可以得到 (8-56)... (8-57) 通过迭代上面式子容易求得 (8-58)

33 (8-59) 上式第二项可以看作是卷积和 (8-60) 因此 (8-61) 有了状态方程的状态解, 可以根据输出方程求得输出序列为 (8-62) 式中第一项为系统的零输入响应, 第二项为系统的零状态响应, 并且容易知道, 系统的 单位取样响应为 (8-63) 的计算和 一样, 利用 Hamilton-Cayley 定理, 可以将矩阵指数函数的无穷项之 和的表达式化为有限项之和的形式, 即 (8-64) 分别用 的特征根代入式 (8-64), 解联立方程组可求出系数 例 8-15 给定系统状态方程 输出方程 激励信号和系统的初始条件分别为, 求输出, 解 : 为了求响应, 首先计算 的特征方程为 因此, 和是的特征根, 所以有

34 同时有 解得 求得 于是, 零输入响应为 为了求零状态响应, 首先计算卷积 得 所示, 零状态响应为上面卷积结果的一个单位延时, 及 所以, 响应 为零输入响应与零状态响应之和, 即

35 8.5.2 用 z 变换法求解状态方程 为了同时求得系统的零状态响应和零输入响应, 需要对状态方程 求单边 z 变换得 (8-65) 对上式进行 z 逆变换就得到状态变量解, 其中式中第一项为零输入状态变量解, 第二项 为零状态状态变量解 对比式 (8-61), 容易知道 响应的 z 变换为 (8-66) 式中第一项为零输入响应, 第二项为零状态响应 系统函数矩阵为 (8-67) 系统的单位取样响应矩阵为 (8-68) 例 8-16 给定系统状态方程 输出方程和激励信号分别为 (8-69)

36 , 求系统的零状态响应 解 : 零状态响应的 z 变换为 求上式的逆 z 变换, 得系统的零状态响应为

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