基础物理甲型光学课

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1 第五章傅里叶变换光学 第二节正弦光栅的衍射

2 5. 正弦光栅的衍射 5.. 空间频率的概念 5.. 正弦光栅及其衍射图样 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 5..4 夫琅禾费衍射的再认识

3 5.. 空间频率的概念 时间频率 时间频率指信号随时间的周期性变化 ( 简谐振动 ) f ( t T ) f ( t) 时间周期 : T T 时间频率 : T T 时间角频率 : T T 频谱展开 周期信号 任意信号 T / i nt it n T T / it f ( t) e, f ( t) e t 空间频率 空间频率指某一面内光场随空间位置的周期性变化 空间频率 : it F( ) f ( t) e t, f ( t) F( ) e t 谐波 空间角频率 : I( ) I( ) 空间周期 : f q 波矢 物理意义 : 任意变化的信号可展开成一系列简谐振动的迭加 q f 傅里叶级数 分立的谱线 傅里叶变换 连续谱

4 5.. 空间频率的概念 空间频率的计算 q q e q e qcose qsine y y y y q f q f y y cos y sin y q q q y

5 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的屏函数及对光场的作用 t ( ) t t cos( f ) 正弦光栅的屏函数 0 0 ~ U ( 若入射场为平行光正入射 则透射场为 : ) U ( ) U ( ) t ( ) A A[ t t cos( f )] ( ) U( ) A t0 A t e A t U ( ) U ( ) U ( ) U ( ) 利用欧拉公式可得 : 因此 即 i ( f0 ) i ( f0 cos( f ) [e e ) ] 0 i f 0 i( f0 ) 物理意义 : 正弦光栅将透射波变为三列平面波 e

6 5.. 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的三列衍射波的分析 i f0 三列透射波方向各不相同, 以 U ( ) At e 为例, 分析其出射方向 其波矢为 : k r k k y k z f k 即 : k ( ) y z ( ) f 由此可以得到 ( ) ( ) k f sin ( ) k 正弦光波衍射光场 U ( ) At f ( ) At e At k k i( f0 ) i( f0 ) 0 0 级波 U0( ) At 0 方向 0 i( f0 ) + 级波 U ( ) At e 方向 i( f0 ) - 级波 U ( ) At e 方向 e sin 0 sin sin k k k ( ) (0) ( ) z 的三列出射光波 f f

7 正弦光栅的特点 sinβ/β 0 sin sin( ) I( ) I0[ sin( ) sin N ] sin sin(β+π)/(β+π) sin(β-π)/(β-π) (sinnβ/sinβ) β

8 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的制备方法 () 利用照相底片记录两束平行光束的干涉场 反射镜 底片 H 干涉强度的分布函数为 : 分光板 I(, y) I [ cos( f )] 0 0 其空间频率 sin sin f 反射镜 () 显影定影 线性冲印 是制备的关键, 与所用材料 曝光温度和时间 显影定影的药液配方等都有关系 冲洗后干板底片的透过率函数为 : t (, y) I(, y) 可写成 : t (, y) I(, y) t0 t cos( f 0) β<0, 负片 ;β>0, 正片 ; 雾底, 物理意义表示即使曝光强度 I=0, 冲洗出来仍有一定透过率

9 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的有效宽度对其衍射场的影响 窗函数 元件实际尺寸可以用一个孔型函数描述, 称为窗函数 t w 0 窗口内 窗口外 实际光学元件的屏函数应等于其完整的变 t t t 换函数与窗函数的乘积, 即 L w L D 元件的有效宽度 可以理解为首先经过一次完整的变换, 再被窗函数的作用, 使波前 受限发生衍射, 在相面上出现圆孔的夫琅禾费衍射场 窗函数作用的物理意义窗函数使衍射场波次发生展宽 0 D D cos

10 5.. 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的组合 () 平行密接 ( 相乘 ) 分析思路 : 光波场依次通过不同的正弦光栅, 总的变换函数等于各光栅 的变换函数相乘 入射场正入射平面波 U A 变换函数 0 高频 t( ) t( ) t( ) t0t 0 t0t cos f tt 0 cos f tt cos ( f f ) tt cos ( f f ) 出射场 0 U (, y) U (, y) t (, y) G : t( ) t t cos f G : t ( ) t t cos f 低频 G G 包含四个正弦光栅加一个直流分量 A [ t0t 0 t0t cos f tt 0 cos f tt cos ( f f ) tt cos ( f f ) ]

11 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的组合 () 平行密接 ( 续 ) 将在 轴上出现 9 个衍射斑, 方向角分别为 sin 可以理解为入射光波长经过第一个光栅, 分解为三列平面衍射波, 其中每列波再经过第二个光栅, 又分解为三个波列 因此, 共有 9 个波列

12 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的组合 () 正交密接 ( 相乘 ) G 入射场 变换函数 正入射平面波 U A G : t( ) t t cos f 0 : ( ) 0 cos G t y t t f y t( ) t( ) t( y) t0t 0 t0t cos f tt 0 cos fy tt cos ( f f y ) tt cos ( f f y ) 出射场 U (, y) U (, y) t (, y) A [ t0t 0 t0t cos f tt 0 cos fy tt cos ( f f y ) tt cos ( f f y )] G

13 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的组合 () 正交密接 ( 续 ) 光场分解结果 9 个衍射光斑 (sin,sin )

14 5.. 正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的组合 (3) 复合光栅 ( 相加 ) 光栅含有两种不同空间频率的成分 t( ) t t cos f t cos f 出射光场 0 U (, y) U (, y) t (, y) A ( t t cos f tcos f ) 0 sin 0 (0 级 ) 0 f f的 sin ( 级 ) sin f ( f的 级 ) G G 复合光栅的制备方法 多次曝光一次冲洗 复合光栅的衍射光斑,f' = 3f

15 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 任意光栅屏函数的傅里叶展开 空间周期函数的严格周期性 t ( ) t ( ) 实际中会有窗函数的限制 在较大范围内具有周期性的函数被称为准周期函数 处理思路 : 先将变换函数作为严格周期函数处理, 必要时才考虑窗函数的影响 严格周期函数展开的三种模式 () 正余弦展开 t( ) t cos f b sin f t 0 0 / / t( ) f f f 次谐波 基频 / / t( )cos f b t( )sin f / /

16 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 任意光栅屏函数的傅里叶展开 () 余弦相移式 t( ) t cos f b sin f 0 n b t b ( cos f sin f ) 0 b b t c(cos f cos sin f sin ) 0 t0 c cos( f ) c b tn b c b

17 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 任意光栅屏函数的傅里叶展开 (3) 傅里叶级数展开 t( ) t cos f b sin f 0 n i f i f i f i f t e e e e 0 ( ) ( ) b i ib i f ib i f t0 e e b i f i b i f i t 0 e e b i f ) b i f t0 e e b i( fn ) i t0 e t 0 t e f 0 ( ( ) / i f t t( ) e / 其中 c e ib i i t te 当然也可以由余弦表达式和欧拉公式很简洁的得到复数表达式, 此处推导 0 的目的在于说明正弦余弦表达式更为基本

18 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 黑白光栅屏函数的傅里叶展开光栅常数为, 透射缝宽为 的黑白光栅, 其屏函数为 : 0, 0 0 t( ) t( ) 0, 0 0 ( ) 使用正余弦展开 t( ) t cos f b sin f t 0 0 f b sin( f ) 0 cos( f ) sin( f ) sin( f) f sin / /

19 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 黑白光栅屏函数的傅里叶展开 ( 续 ) t( ) t cos f b sin 0 f sin sin cos f sin i f e 其中 0 e e i f i f r k z 0 级波 级波 平面波的相位 k r k f 级波的方向 sin f sin sin sin sin 单缝衍射因子 光栅方程

20 5..3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 黑白光栅屏函数的傅里叶展开 ( 续 ) 例 如果, 平面波入射, 求衍射场 sin f U U t A f i f ( ) ( ) ( ) ( e ) 0 f / A A A A A 3 5 A A A A cos f cos 3 f cos 5 f 3 5 i f ( e ) 0 sin i f i f i6 f i6 f i0 f i0 f (e e ) (e e ) (e e ) 4 缺级黑白光栅可以看做无穷多级正弦光栅的叠加

21 5..4 夫琅禾费衍射的再认识 傅里叶分解的数学计算需要有对应的物理装置来实现 Frunhofer 衍射是衍射屏空间频率的频谱分析器 将一定空间频率的信息分解为一对特定方向的平面衍射波, 在远场分离 透镜后焦面的衍射光斑 图像的单频信息 角度 频率分量的高低 频率 t ( 傅里叶系数的平方 ) 可用于进行光学计算 傅氏面 Frunhofer 衍射系统成为傅里叶分析器的条件 () 线性系统 () 本征信息与傅里叶分解一致

22 5..4 夫琅禾费衍射的再认识过高频信息产生的衰逝波 k k sin, k k cos z 从傅里叶变换的角度理解 : 用波长为 λ 的光波对图像进 行分析, 无法在衍射场中 得到空间频率 f >/ λ 的信 息 也就是说, 用衍射方法分 析图像结构的空间分辨率 只能达到照明光波的波长 量级 因此用 X 射线能够更精细 的分析物质结构

23 本节重点. 空间频率的概念 ( 理解 ). 正弦光栅的屏函数及对光场的作用 ( 计算 ) 3. 任意光栅屏函数的傅里叶展开 ( 计算 )

24 作业 P67-,4,7,9 重排版 :P304-,4,7,9

S = V 2 Sin2 H = V 2 Sin2 0 0 g 2g 2mh 2mh F = 2 F t = t t V = 2h t 2 2 2 V0 Sin cos + V0 Cos V 0 Sin 2 + gh L = + C*cos + dcos g 2 2 2 V0 Sin Cos + V0 Cos V0 Sin + 2gH L2 = g GH Cos2 = V 2 + gh 0 2 2

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