《高等数学》CAI课件

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1 第三部分 中值定理和导数的应用

2 第三部分中值定理和导数的应用 一重点和难点 : 理解和掌握四个重要的微分中值定理 : 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理及泰勒定理 的内容 ; 中值定理的条件是定理成立的什么条件? 中值定理中的 唯一吗? 用洛必达法则求未定式极限应注意什么?

3 3 会判别函数单调性 凹凸性 能利用函数的单调性做证明题 4 熟练掌握求函数极值 确定极大还是极小 和最值的方法 5 求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线 6 会做 y = 的图形 7 正确求出函数在某点处的曲率

4 掌握四个微分中值定理 罗尔中值定理 : 若 : 在闭区间 [ ] 上连续 ; 在开区间 内可导 ; 3 = ; 则至少存在一点 使得 几何解释 : 曲线 y= 至少有一条水平切线 推广 : 减少一个条件

5 拉格朗日中值定理 : 若 : 在闭区间 [ ] 上连续 ; 在开区间 内可导 ; 3 = ; 3 = ; 则至少存在一点 使得 几何解释 : 曲线 y = 至少有一条切线推广 : 用 F 代替 平行于连接曲线端点的弦

6 则至少存在一点 使得 : 若 在开区间 内可导 ; 在闭区间 ] 上连续 ; [ 柯西中值定理 : 3 F : F 若 和 F F F 曲线至少有一条切线平行于连接曲线端点的弦 Y F X 几何解释 : 曲线的参数式方程 为参数

7 拉格朗日中值定理 微分中值定理及其应用微分中值定理及其相互关系罗尔定理 y o y F F F F 柯西中值定理 F y o y

8 微分中值定理的主要应用 研究函数或导数的性态 证明恒等式或不等式 3 证明有关中值问题的结论

9 有关中值问题的解题方法利用逆向思维 设辅助函数 一般解题方法 : 证明含一个中值的等式或根的存在 多用罗尔定理可用原函数法找辅助函数 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 可考虑用柯西中值定理 3 若结论中含两个或两个以上的中值 必须多次应用中值定理 4 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式 有时也可考虑对导数用中值定理 5 若结论为不等式 要注意适当放大或缩小的技巧

10 例 设函数在内可导 且 证明在内有界 证 : 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉格朗日中值定理 M K 定数 可见对任意 K 即得所证

11 例 设在上连续 在内可导 且证明至少存在一点使 证 : 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ ] 上满足罗尔定理条件 故至 少存在一点 使 即有

12 例 3 且试证存在证 : 欲证 因 在 [ ] 上满足拉格朗日中值定理条件 故有 ] [ 上满足柯西定理条件在及又因 将 代入 化简得故有 即要证

13 例 4 设实数 证明方程 个实根 满足下述等式 n n 在 内至少有一 证 : 令 F n 则可设 n F n n 且 F 由罗尔定理知存在一点 n 使 F n 即 n 在 内至少有一个实根

14 设函数 在 [ 3] 上连续 在 3 内可导 且例 试证必存在 3 使 3 考研 证 : 因 在 [ 3] 上连续 所以在 [ ] 上连续 且在 [ ] 上有最大值 M 与最小值 m 故 3 m M m M 由介值定理 至少存在一点 c[] c 分析 : 所给条件可写为 c 3 且 在 [ c3] 上连续 在 c 3 内可导 想到找一点 c 使 c 由罗尔定理知 必存在 c 3 3 使 3 使

15 二 导数应用 研究函数的性态 : 增减 极值 凹凸 拐点 渐近线 曲率 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等

16 例 6 证明在上单调增加 证 : ln ln [ ln ln ] 令 F t lnt 在 [ + ] 上利用拉格朗日中值定理 得 ln ln 故当 > 时 [ln 从而 ln ] 在 [ 上单调增 ]

17 例 7 设在上可导 且证明 至多只有一个零点 证 : 设 e 则 e [ ] 故在上连续单调递增 从而至多只有一个零点 又因 e 因此 也至多只有一个零点 思考 : 若题中改为 其它不变时 如何设辅助函数? e

18 rctn 例 8 证明 ln 证 : 设 ln rctn 则 ln 故 时 单调增加 从而 rctn 即 ln ln 思考 : 证明 时 如何设辅助 rcsin 函数更好? 提示 : ln rcsin

19 例 9 设且在上存在 且单调 递减 证明对一切 有 证 : 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立

20 例 求 解法 利用中值定理求极限 原式 lim n n n n 在 n 与 n 之间 lim n n n n

21 解法 利用罗必塔法则 原式 lim 令 t t rctn rctn rctn t rctnt lim t

22 用洛必达法则求未定式极限应注意什么? 例 lim sin 3 sin sin lim 3 sin cos 原式 lim 3 sin lim 6 6 o 及时求出已定式的极限

23 用洛必达法则求未定式极限应注意什么? o 需要先验证条件 例 lim sin sin lim cos cos 因为 lim cos 不存在 应该怎么做? 原式 lim sin sin

24 3 利用函数的单调性做证明题 例 3 求证当 时 3 证明令 3 > > 故当 时 所以 3 注 : 推不出! 证毕

25 4 求函数极值和最值 求极值的步骤 : 求函数的所有驻点和导数不存在的点 ; 邻域内 若 改变符号 则 是极值点 否则 不是极值点 在 当 渐增地过 时 的符号由 变 是极大值 ; 当 渐增地过 时 的符号由 变 则 是极小值 ; 或 或 求 [] 上连续函数 的最值的步骤 : 求函数的所有驻点和导数不存在的点 ; 把 在这些点的值与 比较 最大者为最大值 最小者为最小值 注 : 若连续函数 在区间 I 内有唯一的极值点 则极大值就是最大值 ; 极小值就是最小值

26 例 4 求数列的最大项 证 : 设 用对数求导法得 ln 令得 [ e e 列表判别 : 因为在 [ 只有唯一的极大点 e 因此在 又因 处也取最大值 中的最大项 e e 极大值

27 5 给定函数 y = 求其竖直渐近线及斜渐近线 若 lim 则 是竖直渐近线 ; 若 lim lim[ ] 则 y 是斜渐近线 其中 当 y 就是水平渐近线

28 6 对函数进行全面讨论并作图 解 : 列表 因 定义域 : 及 + y lim y y y y e + + 不存在 + lim y 不存在 不存在 y e 4 例 5y + + e 拐点 故曲线有渐近线 y = 和 = e 下面画图 +

29 对函数进行全面讨论并画图 : y y e 因为 lim y 即 :y e

30 y y k 3 7 求函数在某点处的曲率 曲线 y = 在点 = 处的曲率 : 处的曲率 : 在点曲线 t t y t 3 t t t t t t k

31 二课堂练习 判断是非 : 是 : 非 : 函数的极值点一定是驻点 函数的驻点一定是极值点 3 函数的最大值点一定是极大值点 4 函数的极大值一定大于极小值

32 7 函数在驻点处的二阶导等于零 则该驻点不是极值点 ] [ 5 D 有则对一切 6 g g c g 则且若

33 选择题 D [] C ] [ B 3] [ 6 5 A 3 y e y y y 满足罗尔定理条件的有下列函数在给定区间上 D C B A ] [ 必然成立 则至少存在一点 使 内可导 上连续 在在函数 A A B D

34 D ] C[ ] B[ ] A [ 3 3 间是适合罗尔定理条件的区函数 D C B A 4 其中其中其中其中 则至少存在一点 使有任意两点内是区间和内可导 在区间若函数 A C

35 D C B A ] [ g 5 g g g g g g g 时 有则当上可导 且在区间若函数 D C B A 6 或不且处取得极大值 则必有在点函数 D C B 3 A 7 3 c c c c c y 为任意值为任意值的拐点 则有是曲线点 B D 定理 用 在令 L g F ] [ B

36 sin tn lim 求 3 计算题 4 3 的渐近线求曲线 y lne lim 求为最短的点 的距离上找出到直线在抛物线 y y e! 3 的极值讨论 n n y

37 4 证明题 设 在 [ 连续 可微 单调 增加 求证 : 在 上单调增加 已知函数 y = 对一切 满足 3 若 4 设 极小值? 为什么? 3[ 在某一点 内无界 ] 在 [ ] 上可导 且 证明 : 方程 e 处有极值 则它是极大值还是 在 内有且仅有一个根 在 内可微 但无界 试证明 在

38 5 函数 在 [ ] 上具有二阶导数 试证明 : 当 时 6 设 在 [ ] 上可导 但 证明 : 在 内必有 存在 使 7 指出函数 y 3 的零点个数和范围 其中 3 并说明理由

39 3 计算题解答 求 tn lim sin 解 : sec 原式 lim cos lim lim tn cos sin

40 求 lim lne 解 : 此为未定式 令 y lim e lne e lim ln limln y lim lne e e 原式 lim e lim e lime ln y e

41 3 讨论 y n n! e 的极值 解 : y n n! e 驻点 : 当 n 为偶数时 恒有 y 函数无极值 当 n为奇数时 若 y ; 若 y y 为极大值

42 4 解 : 求曲线 y 又 lim lim y y 3 lim 因 3 lim 的渐近线 曲线有竖直渐近线 : 3 lim 曲线 y 3 lim 有斜渐近线 : y

43 5 在抛物线 y 上找出到直线 3 4 y 的距离 为最短的点 解 : 方法 I 设抛物线上任意点 到直线的距离为 : 3 4 d d 8 3 唯一驻点 : d 故 时 d 取极小值 即最小值 点 到直线 3 4y 的距离最短 8 64 此题有更简单的方法吗?

44 在抛物线 y 5 为最短的点 上找出到直线 3 4 y 的距离 解 : 方法 II 距离最短的点必是切点 y 切线必与已知直线平行 M 由 y 得 : 点 到直线 3 4y 8 64 的距离最短

45 4 证明题 解答 设 在 [ 连续 可微 单调增加 求证 : 在 上单调增加 分析 : 需证 存在 且 证明 : 由拉格朗日中值定理 对 有 因为 可微 可微 证毕

46 解答 已知函数 y = 对一切 满足 3[ ] e 若 在某一点 极小值? 为什么? 处有极值 则它是极大值还是 解由已知 在 处 有 e 当 e 当 e 总之 时 即 ; ; e 是极小值

47 3 解答 在 [ ] 上可导 且 证明 : 方程 在 内有且仅有一个根 证明 : 令 g 因为 g g 由介值定理 至少 一 使 g 即 至少有一个根 设还有一个根 因为 g g 由罗尔定理 或 使 g 即 与已知矛盾 只有一根 证毕

48 4 解答内无界 在明内可微 但无界 试证在设 内有界在设反证法 证明 : M M 有 对即取 则对 Lgrnge 满足为端点的区间上和在以 之间和在 即 : M 记 K 内有界在 与已知矛盾 证毕 定理条件有

49 5 解答 函数 在 [ ] 上具有二阶导数 以下证明对吗? 证明 : 反证法 设当 时 试证明 : 当 时 则 与已知矛盾 以上证明不对! 证毕 这里要求证明 : 对任意一点 都有 处处 即 : 在 内 比如 4 也不行!

50 5 正确解答函数 在 [ ] 上具有二阶导数 试证明 : 当 时 证明 : 反证法 设 使 考虑 F [] 因为 F F F 及 由罗尔定理有 F 又 3 F 有 F 3 3 与已知 矛盾 证毕

51 6 解答设 在 [ ] 上可导 证明 : 在 内必有 存在 使 证明 : 因为 在 [ ] 上可导 但 在 [ ] 上连续 又 由介值定理存在 使 在 [ ] 及 [ ] 上分别对 用拉格朗日中值定理 即 即

52 7 解答 指出函数 y 其中 3 并说明理由 解 : y 3 的零点个数和范围 3 y y y 在 3 内无零点 在 3 内各有唯一一个零点