A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求

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年暴
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1 微分中值定理与导数的应用练习题一选择题 :. 在下列四个函数中, 在, 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) A. y 8 B. y 4 C. y D. y sin 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A., B., C., D.,. 函数在, 5. 方程 5 内根的个数是 ( ) A. 没有实根 B. 有且仅有一个实根 C. 有两个相异的实根 D. 有五个实根 4. 若对任意 a, b, 有 g A. 对任意 a, b, 有 g B. 存在 a, b, 使 g, 则 ( ) C. 对任意 a, b, 有 g C D. 对任意 a, b, 有 g C 5 5. 函数 5 在 R 上有 ( ) ( C 是某个常数 ) (C 是任意常数 ) A. 四个极值点 ; B. 三个极值点 C. 二个极值点 D. 一个极值点 6. 函数的极大值是 ( ) A.7 B. C. D.9 7. 设在闭区间, 上连续, 在开区间, 上可导, 且 M, 则必有 ( ) A. M B. M C. M D. M 8. 若函数在 a, b上连续, 在 b a, 可导, 则 ( ),

2 A. 存在,, 有 b a b ab a B. 存在,, 有 a b a b ab a C. 存在 a,b, 有 a b a b D. 存在 a,b, 有 b a a b a, 则方程 a b c 9. 若 b ( ) A. 无实根 B. 有唯一的实根 C. 有三个实根 D. 有重实根 sin. 求极限 lim 时, 下列各种解法正确的是 ( ) sin A. 用洛必塔法则后, 求得极限为 B. 因为 lim 不存在, 所以上述极限不存在 C. 原式 lim sin sin D. 因为不能用洛必塔法则, 故极限不存在. 设函数 y, 在 ( ) A., 单调增加 B. C., 单调增加, 其余区间单调减少 D., 单调减少, 其余区间单调增加 e. 曲线 y ( ), 单调减少 A. 有一个拐点 B. 有二个拐点 C. 有三个拐点 D. 无拐点. 指出曲线 y 的渐近线 ( ) A. 没有水平渐近线, 也没有斜渐近线 B. 为其垂直渐近线, 但无水平渐近线 C. 即有垂直渐近线, 又有水平渐近线 D. 只有水平渐近线在区间, 上最小值为 ( ) 4. 函数

3 79 A. 4 B. C. D. 无最小值 5. 函数 8, 则 ( ) A. 在任意闭区间 a, b上罗尔定理一定成立 B. 在,8 上罗尔定理不成立 C. 在,8 D. 在任意闭区间上, 罗尔定理都不成立上罗尔定理成立 6. 下列函数中在,e上满足拉格朗日定理条件的是( ) A. ln ln B. ln C. ln 7. 若为可导函数, 为开区间 b 则在闭区间 a, b上必有 ( ) D. ln, a, 内一定点, 而且有, A. B. C. D. 8. 若在开区间 a, b 内可导, 且对 b a, 内任意两点, 恒有则必有 ( ) A. B. C. D. C ( 常数 ) 9. 设 lim g 为未定型, 则 lim g 存在是 lim g 也存在的 ( ) A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件. 已知在 a, b上连续, 在 a, b内可导, 且当 a, b 时, 有知 a, 则 ( ) A. 在 a, b上单调增加, 且 b B. 在 a, b上单调减少, 且 b C. 在 a, b上单调增加, 且 b D. 在 a, b上单调增加, 但 b 正负号无法确定, 又已

4 . 函数 y arctg的图形, 在 ( ) A., 处处是凸的 B., 处处是凹的 C., 为凸的, 在,为凹的 D., 为凹的, 在, 为凸的. 若在区间 a, b内, 函数的一阶导数, 二阶导数在此区间内是 ( ) A. 单调减少, 曲线上凹 B. 单调增加, 曲线上凹 C. 单调减少, 曲线下凹 D. 单调增加, 曲线下凹 5. 曲线 5 y ( ) A. 有极值点 5, 但无拐点 B. 有拐点, 5, 但无极值点 C. 5有极值点且 5, 是拐点 D. 既无极值点, 又无拐点 4. 设函数在 a 的某个邻域内连续, 且 a a, a 时, 必有 ( ) A. a a B. a a C. lim t ta t a D. t t, 则函数为其极大值, 则存在, 当 lim ta 5. 抛物线 y 4 在顶点处的曲率及曲率半径为多少? 正确的答案是 ( ) A. 顶点, B. 顶点, 处的曲率为, 曲率半径为处的曲率为, 曲率半径为 C. 顶点, 处的曲率为, 曲率半径为 D. 顶点, 处的曲率为, 曲率半径为 6. 设函数处有 y 在, 在处 A. 及一定都是极值点 B. 只有 C. 与都可能不是极值点 a 不存在, 则 ( ) 是极值点

5 D. 与至少有一个点是极值点 7. 函数 ln 当 e 它在, 内 ( ) 当 e A. 不满足拉格朗日中值定理的条件 B. 满足拉格朗日中值定理的条件, 且 9e 5e C. 满足中值定理条件, 但无法求出的表达式 D. 不满足中值定理条件, 但有 9e 满足中值定理结论 5e 8. 若在区间 a,上二次可微, 且 a A, a, 则方程在, a 上 ( ) A. 没有实根 B. 有重实根 C. 有无穷多个实根 D. 有且仅有一个实根 9. 设有二阶连续导数, 且, lim 则 ( ) A. 是的极大值 B. 是 C., 是曲线 y 的拐点 D. 不是的极值,, 也不是曲线 y 的极小值的拐点. 已知函数 ( ) a b 在处取得极值, 则 ( ) A a, b 且为函数 ( ) 的极小值点 ; B a, b 且为函数 ( ) 的极小值点 ; C a, b 且为函数 ( ) 的极大值点 ; D a, b 且为函数 ( ) 的极大值点 ( a ), ( ) 函数 () 有连续二阶导数且 ( ), (), (), 则 lim ( )

6 (A) 不存在 ; (B) ; (C)- ; (D)- 设 ( ) ( )( ), (, ), 则在 (,) 内曲线 () ( ) (A) 单调增凹的 ; (B) 单调减凹的 ; (C) 单调增凸的 ; (D) 单调减凸的 () 在 ( a, b) 内连续, ( a, b), ( ) ( ), 则 () 在处 ( ) (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 一定有拐点, ( )) ; (D) 可能取得极值, 也可能有拐点 4 设 () 在 b ( a, 上连续, 在 ( a, b) 内可导, 则 Ⅰ: 在 ( a, b) 内 ( ) 与 Ⅱ: 在 ( a, b) 上 ( ) ( a) 之间关系是 ( ) (A)Ⅰ 是 Ⅱ 的充分但非必要条件 ; (B)Ⅰ 是 Ⅱ 的必要但非充分条件 ; (C)Ⅰ 是 Ⅱ 的充分必要条件 ; 5 设 ( ) () g 在 b 时, 则有 ( ) (D)Ⅰ 不是 Ⅱ 的充分条件, 也不是必要条件 a, 连续可导, ( ) ), 且 ( ) g ( ) ( ) g ( ), 则当 a b (A) ( ) ) ( a) a) ; (B) ( ) ) ( b) b) ; ( ) ( a) ) a) (C) ; (D) ) a) ( ) ( a) 6 方程在区间 (, ) 内 ( ) (A) 无实根 ; (B) 有唯一实根 ; (C) 有两个实根 ; 7 已知 () 在的某个邻域内连续, 且 ( ) () ( ) (D) 有三个实根 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 '() ; ( ), lim cos, 则在点处 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 "( ) 8 设 () 有二阶连续导数, 且 '(), lim, 则 ( ) (A) () 是 () 的极大值 ; (B) () 是 () 的极小值 ;

7 (C) (, ()) 是曲线 y () 的拐点 ; (D) () 不是 () 的极值点 9 设 a, b 为方程 ( ) 的二根, () 在 [ a, b] 上连续, 在 ( a, b) 内可导, 则 '( ) 在 ( a, b) 内 ( ) (A) 只有一实根 ; (B) 至少有一实根 ; (C) 没有实根 ; (D) 至少有个实根 4 在区间[, ] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ) (A) ( ) ; (B) ( ) ; (C) ( ) ; (D) ( ) 4 函数 () 在区间 ( a, b) 内可导, 则在 ( a, b) 内 '( ) 是函数 () 在 ( a, b) 内单调增加的 ( ) (A) 必要但非充分条件 ; (B) 充分但非必要条件 ; (C) 充分必要条件 ; (C) 无关条件 sin 4 设 y () 是满足微分方程 y " y' e 的解, 且 '( ), 则 () 在 ( ) (A) 的某个邻域单调增加 ; (B) 的某个邻域单调减少 ; (C) 处取得极小值 ; (D) 处取得极大值二填空题 lim ln 函数 cos 4 函数在区间单调增 4 8 的极大值是 4 曲线 y 4 6 在区间是凸的 5 函数 cos 在处的 m 阶泰勒多项式是 6 曲线 y e 的拐点坐标是 7 若在含的 a, b( 其中 b a ) 内恒有二阶负的导数, 且, 则是

8 在 a, b上的最大值 y 在 8 9 lim cot ( ) sin lim( ) tan, 内有个零点曲线 y e 的上凸区间是函数 y e 的单调增区间是. a, b 时, 点 (, ) 是曲线 y a b 的拐点 4 曲线 y e 8 的凸区间是. 5 函数 y 的极小值点是. e 6 曲线 y 的凸区间为.,, 7 函数 ()= 在 [,] 上满足罗尔定理的条件, 由罗尔定理确定的罗尔中值点 =. 8 设曲线 y=a +b 以点 (,) 为拐点, 则数组 (a,b)=. 9 函数 y 在区间 [,] 上的最大值为, 最小值为. 函数 y ln sin 在 [ 5, ] 上的罗尔中值点 =. 6 6 y 在区间 [, ] 的拉格朗日中值点 ξ =. 函数 y 的极小值点是 y=+,-5 的最小值为. 4 y 的单调减区间是. 5 y arctan 在且仅在区间上单调増. 6 函数 ()=+cos 在区间 [, ] 上的最大值为. 7 函数 y= 的单调减少区间是.

9 8 已知点 (,) 是曲线 y=a +b 的拐点, 则 a=,b=. 9 () e e 的单调递减区间为 () asin sin 在处取到极值, 则 a= 使函数 () ( ) 适合罗尔定理条件的区间是. 三判断题. 当函数商的极限不易求时, 可以采用洛必达法则 ( ). 即使满足定理条件, 洛必达法则依然不能解决所有的计算问题.( ). 采用合适的方法, 未定式极限最终总能采用洛必达法则计算 ( ) 4. 洛必达法则能把繁琐的极限计算转换为较为简单的计算 ( ) 5. 函数在某点适用费马引理, 在函数在改点必连续 ( ) 6. 罗尔定理是费马引理的推广 ( ) 7. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 ( ) 8. 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 ( ) 9. 函数在某区间内适用于罗尔中值定理, 则函数在该区间必连续 ( ). 函数在某区间内适用于拉格朗日中值定理, 则函数在该区间必连续 ( ). 函数在某区间内适用于柯西中值定理, 则函数在该区间必连续 ( ). 函数在某区间内适用于罗尔中值定理, 则函数在该区间必可导 ( ). 函数在某区间内适用于拉格朗日中值定理, 则函数在该区间必可导 ( ) 4. 函数在某区间内适用于柯西中值定理, 则函数在该区间必可导 ( ) 5. 单调递增函数不适用于罗尔定理 ( ) 6. 单调递减函数不适用于罗尔定理 ( ) 7. 单调递增函数不适用于拉格朗日定理 ( ) 8. 单调递减函数不适用于拉格朗日定理 ( ) 9. 若 ( b) ( a) ( )( b a), ( a, b), F( b) F( a) F( )( b a), ( a, b), 两式相比即可得出柯西中值定理的结论 ( )

10 . 柯西中值定理中, 两个函数的单调性相同 ( ). 若函数弦的斜率与切线斜率相同, 则该函数适用于罗尔定理 ( ). 若函数弦的斜率与切线斜率相同, 则该函数适用于拉格朗日中值定理 ( ). 若函数弦的斜率与切线斜率相同, 则该函数适用于柯西中值定理 ( ) 4. 函数的一阶导数可以用于判断函数的单调性 ( ) 5. 函数的二阶导数可以用于判断函数的单调性 ( ) 6. 函数的一阶导数可以用于判断函数的凹凸性 ( ) 7. 函数的二阶导数可以用于判断函数的凹凸性 ( ) 8. 若函数在某点二阶导数为, 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变.( ) 9. 若函数在某点二阶导数为, 在其两侧二阶导数异号, 则该点为函数的一个拐点 ( ). 若函数在某点二阶导数不存在, 在其两侧二阶导数异号, 则该点为函数的一个拐点 ( ). 拐点就是连续曲线的凹凸分界点 ( ) 四计算题 :. 求函数 y 的极值与拐点.. 求函数 y 9 的单调区间凹凸区间及极值. 设函数 ( ) 在 [,] 上连续, 且 ( ) 判断方程 ( t) dt 在 (,) 内有几个实根? 并证明你的结论 ln 4. 求 lim 5. 求 lim ln sin 6. 求 lim cos 6 lim 7. 求

11 8. 求 lim arctg ln 9. 求函数 y 9 4 的单调区间. 求函数 y e e 的极值 ln. 求函数 y 的单调区间与极值. 当 a 为何值时, y asin sin 在处有极值? 求此极值, 并说明是极大值还是极小值 y. 求内接于椭圆, 而面积最大的矩形的边长 b a a 4. 函数 y a b c d y k 5. 试决定 6. 求极限 lim sin e e 7. 求 lim sin arctg arctg 8. 求 lim n n n n n 9. 试证当 b a 时,. 求由 y 轴上的一个给定点,b sin. 求 lim 的系数满足什么关系时, 这个函数没有极值中的 k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点 a b 取得极值到抛物线 4y 上的点的最短距离. 求 lim e. 研究函数 e 的极值

12 4. 设 y y是一向上凸的连续曲线, 其上任意一点 y, 处的曲率为 y, 且此曲线上点, 处的切线方程为 y, 求该曲线方程, 并求函数 y y 5. 求 F( ) t( t ) dt 在 [,] 上的最大值和最小值的极值 6. 计算 lim arccos ln cot 7. 计算 lim ; ln 8. 计算 e e ln( ; ) lim sin ; 9. 计算 lim ln( ) ; arctan. 计算 lim ln tan( a). 计算 lim ln tan( b) ; 试确定常数 a 与 n 的一组数, 使得当时, a n 与 ln( ) 为等价无穷小作半径为 r 的球的外切正圆锥, 问此圆锥的高为何值时, 其体积 V 最小, 并求出该体积最小值五证明题 :. 设函数 ( ) 与 g ( ) 在闭区间 [ ab, ] 上连续, 证明 : 至少存在一点使得 b ( ) g ( ) d g ( ) ( ) d. 证明 : 当时, ( ) ln ( ). 设 ( ) 在 ( ab, ) 内的点处取得最大值, 且 ( ) K ( a b) 证明 : ( a) ( b) K( b a) 4. 验证 ( ) 在 [,4] 上拉格朗日中值定理的正确性 5 设 () 在 [,] 上连续且在 (, ) 内可导, 且 () = () =, (/) =. a

13 证明 :() 至少有一点 ξ (/,), 使得 (ξ )= ξ ; ()R, 存在 (,), 使得 ()-[()-]= 6. 设在, 上具有二阶导数, 且,, 使 8 min 7. 若在 a, b上有二阶导数, 且 a b, 试证在 b, 证明 : 存在一点 a, 内至少存在一点, 满足 4 b a b a 8. 设函数二次可微, 有,, 证明函数 F,, 是单调增函数 9. 设在,上具有二阶导数, 且, 如果 F 明至少存在一点,, 使 F. 设在 a, b上连续, 在 a, b内二阶可导且 a b, 且存在点 c a, b 使得 c, 试证至少存在一点 a,b, 使得, 证,. 设在, 上可导, 且, 对于任何,, 都有, 试证 : 在, 内, 有且仅有一个数, 使 4. 试证 y sin 的拐点在曲线 y 上 4. 试证明曲线 y 有三个拐点位于同一直线上 4. 若, 证明 e 5. 设, 证明 ln 6 设函数 ( ) 在 [,] 上可导, 且 () ( ) d, 求证在 (,) 内至少存在一点, ( ) 使得 ( )

14 7. 设, 试证 e ( ). 8 设 () 在 b b b a ( a) a, 上可导, 试证存在 ( a b) a ( ) ( ) ( b), 使 9. 证明 : 当时, 有不等式 tan sin 若 ( ) 在 [,] 上有三阶导数, 且 ( ) (), 设 F ( ) ( ), 试证 : 在 (,) 内至少存在一个, 使 F "'( )

三判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -

三判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = - 微分中值定理与导数的应用答案一选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二填空题 ; (, )