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综系童
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1 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题 :~8 小题, 每小题 8 分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 () 函数 f ( ) = 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () sin n (A) (B) (C) (D) 无穷多个 () 当时, f ( ) = sin a 与 g( ) = ln( b) 是等价无穷小, 则 () (A) a =, b = (B) a =, b = (C) a =, b = (D) a =, b = () 设函数 z = f (, ) 的全微分为 dz = d + d, 则点 (,)() (A) 不是 f (, ) 的连续点 (B) 不是 f (, ) 的极值点 (C) 是 f (, ) 的极大值点 (D) 是 f (, ) 的极小值点 () 设函数 f (, ) 连续, 则 d f (, ) d + d f (, ) d=() (A) d f (, ) d (B) d f (, ) d (D) d (C) d f (, ) d f (, ) d (5) 若 f ( ) 不变号, 且曲线 = f ( ) 在点 (,) 的曲率圆为区间 (,) 内 () (A) 有极值点, 无零点 (C) 有极值点, 有零点 (6) 设函数 = f ( ) 在区间 [,] (B) 无极值点, 有零点 (D) 无极值点, 无零点上的图形为 : + =, 则 f ( ) 在则函数 F ( ) ( ) = f t dt 的图形为

2 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) (7) 设 A B 均为阶矩阵, A, B 分别为 A B 的伴随矩阵若 A =, B =, 则分块矩阵 B A 的伴随矩阵为 () (A) B A (B) B A (C) A B (D) A B (8) 设 A,P 均为阶矩阵, P 为 P 的转置矩阵, 且 P AP=, 若 P = ( α, α, α ), Q = ( α + α, α, α ), 则 Q AQ 为 () (A) (B) (C) (D) 二填空题 :9- 小题, 每小题分, 共分, 请将答案写在答题纸指定位置上 t u = e du (9) 曲线在 (,) 处的切线方程为 = t ln( t )

3 () 已知 () lim n + e e k d =, 则 k= sin nd= d () 设 = ( ) 是方程 + e = + 确定的隐函数, 则 d () 函数 = 在区间 (,] 上的最小值为 () 设, α β 为维列向量, β 为 β 的转置, 若 β α = β 相似于 = =, 则三解答题 :5- 小题, 共 9 分请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 ( cos )[ ln( + tan )] (5)( 本题满分 9 分 ) 求极限 lim sin (6)( 本题满分分 ) 计算不定积分 + ln( + ) d ( > ) (7)( 本题满分分 ) 设 z = f ( +,, ), 其中 f 具有阶连续偏导数, 求 dz 与 z (8)( 本题满分分 ) 设非负函数 =()( ), 满足微分方程 + =, 当曲线 =() 过原点时, 其与直线 = 及 = 围成平面区域的面积为, 求 D 绕轴旋转所得旋转体体积 (9)( 本题满分分 ) 求二重积分 ( ) dd, 其中 D = + {(, ) ( ) ( ), } D ()( 本题满分分 ) 设 =() 是区间 (, ) 内过点 (, ) 的光滑曲线, 当 < < 时, 曲线上任一点处的发现都过原点, 当 < 时, 函数 () 满足 + + = 求 () 的表达式 ()( 本题满分分 )(I) 证明拉格朗日中值定理 : 若函数 f ( ) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b)

4 可导, 则存在 ζ ( a, b), 使得 f ( b) f ( a) = f ( ζ )( b a) (II) 证明 : 若函数 f ( ) 在 = 处连续, 在 (, δ )( δ > ) 内可导, 且 lim f ( ) = A 则 f + () 存在, 且 f + () = A + ()( 本题满分分 ) 设 A =, ζ = (I) 求满足 Aζ = ζ, A ζ = ζ 的所有向量 ζ, ζ ; (II) 对 (I) 中的任一向量, ζ ζ, 证明 : ζ, ζ, ζ 线性无关 ()( 本题满分分 ) 设二次型 f (,, ) = a + a + ( a ) + (I) 求二次型 f 的矩阵的所有特征值 ;(II) 若二次型 f 的规范形为 +, 求 a 的值

5 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. () 函数 f ( ) = 的可去间断点的个数为 sin ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 无穷多个答案 C sin 解析由于 f ( ) =, 则当取任何整数时, ( ) 故 f ( ) f 均无意义. 的间断点有无穷多个, 但可去间断点为极限存在的点, 故应是 = 的解,, =, ±. lim = lim =, sin cos lim = lim =, sin cos lim = lim =. sin cos 故可去间断点为个, 即, ±. () 当时, f ( ) = sin a 与 g ( ) ln ( b) ( A) a =, b = ( B) a 6 答案 A =, b = ( C) a 6 f ( ) sin a sin a 解析 lim = lim = lim g( ) ln( b) ( b) = 是等价无穷小, 则 =, b = ( D) a =, b = 6 6 a cos a a sin a 洛 lim 洛 lim b 6b a sin a a = lim = =, 6b a 6b a

6 a = 6b, 故排除, B C. a cos a 另外, lim 存在, 蕴含了 b a cos a 所以本题选 A. ( ), 故 a =. 排除 D. () 设函数 z f (, ) = 的全微分为 dz d d = +, 则点 (, ) ( A ) 不是 f (, ) 的连续点 ( B ) 不是 f (, ) ( C ) 是 f (, ) 的极大值点 ( D ) 是 f (, ) 答案 D z z 解析因 dz = d + d 可得 =, =. 的极值点的极小值点 z z z z A = =, B = = =, C = =, 又在 ( ) 故 ( ) z z, 处, =, =, AC B = >,, 为函数 z = f (, ) 的一个极小值点. () 设函数 f (, ) 连续, 则 (, ) (, ) ( A ) (, ) d f d + d f d = d f d ( ) ( C ) (, ) 答案 C d f d ( ) 解析 + B (, ) d f d D (, ) d f d d f (, ) d d f (, ) d 的积分区域为两部分 : = { }, D {(, ), } D (, ), 将其写成一块 D {(, ), } 故二重积分可以表示为 =, d f (, ) d, 故答案为 C. =,

7 (5) 若 f ( ) 不变号, 且曲线 = f ( ) 在点 ( ) 在区间 (, ) 内答案 B, 上的曲率圆为 ( A ) 有极值点, 无零点 ( B ) 无极值点, 有零点 ( C ) 有极值点, 有零点 ( D ) 无极值点, 无零点 + =, 则函数 f ( ) 解析由题意可知, f ( ) 是一个凸函数, 即 f ( ) <, 且在点 (,) 处的曲率 ρ = = ( + ( ) ), 而 f () =, 由此可得, f () =. 在 [, ] 上, f ( ) f () = <, 即 f ( ) 单调减少, 没有极值点. 对于 f () f () = f ( ξ ) <, ξ (, ),( 拉格朗日中值定理 ) f () < 而 f () = >, 由零点定理知, 在 [, ] 上, f ( ) 有零点. 故应选 B. (6) 设函数 = f ( ) 在区间 [,] 上的图形为 : 则函数 F ( ) ( ) = f t dt 的图形为

8 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 答案 D 解析此题为定积分的应用知识考核, 由 = f ( ) 的图形可见, 其图像与轴及轴 [,] = 所围的图形的代数面积为所求函数 F( ), 从而可得出几个方面的特征 : 时, F( ), 且单调递减 [, ] 时, F( ) 单调递增 [,] 时, F( ) 为常函数 [,] 时, F( ) 为线性函数, 单调递增 5 由于 F() 为连续函数结合这些特点, 可见正确选项为 D (7) 设 A, B 均为阶矩阵, A *, B * 分别为 A, B 的伴随矩阵, 若 A =, B =, 则分块 O 矩阵 B ( A) O A * A 的伴随矩阵为 O * B O. ( B) O A * * B. O

9 ( C) 答案 B O B 解析根据 CC * * A O =. ( D) O B * * A. O C E 若 C = C C, C = C C 分块矩阵 B A 的行列式 B A ( ) A B 6 即分块矩阵可逆 = = = B B A A A B 6 6 B = B B = = A A A B B = 6 = A A (8) 设 A, P 均为阶矩阵, P 为 P 的转置矩阵, 且 P AP =, 若 P = ( α, α, α ), Q = ( α + α, α, α ), 则 Q AQ 为 A. ( ) ( B ). C. ( ) 答案 A D. ( ) Q = ( α + α, α, α ) = ( α, α, α ) = ( α, α, α ) E (), 即 : 解析

10 Q = PE () Q AQ = [ PE ()] A[ PE ()] = E ()[ P AP] E () = E() E () = = 二填空题 :9- 小题, 每小题分, 共分, 请将答案写在答题纸指定位置上. -t = e u (9) 曲线 du 在 (,) 处的切线方程为 = t ln( t ) 答案 = d t 解析 = t ln( t ) t t= = dt t d ( t) = e ( ) t= = dt d 所以 d = 所以切线方程为 = + k () 已知 e d =, 则 k = 答案 b k k k + + = e d e d lim e 解析 = = b + k 因为极限存在所以 k < = k k = () lim e sin nd n = 答案解析令 I = e sin nd = e sin n + n e cos nd n

11 = e sin n ne cos n n I n n cos n + sin n 所以 In = e + C n + ncos n + sin n 即 lim e sin nd lim( e ) n = n n + n cos n + sin n n = lim( e + ) n n + n + = d () 设 = ( ) 是由方程 + e = + 确定的隐函数, 则 d 答案解析对方程 + e = + 两边关于求导有 + + e =, 得 = + e 对 + + e = 再次求导可得 + + e + ( ) e =, + ( ) e 得 = + e (*) 当 = 时, =, () = =, 代入 (*) 得 e () + ( ()) e () = = ( + ) = ( + e ) () 函数答案 e e = 在区间 ( ] 解析因为 ( ln ) 又 ( ), 上的最小值为 = +, 令 = 得驻点为 = e + e = ln + +, 得 = e >, e 故 = 为 = 的极小值点, 此时 e e =, e 又当, e 上递增 < ;, e 时, ( ) 时, ( ) = >, 故在, 上递减, 在, e e =

12 而 ( ) =, ( ) 所以 ln lim lim + + ln + + ( ) lim + = lim = lim e = e = e = e =, + = 在区间 ( ] e, 上的最小值为 = e e () 设 α, β 为维列向量, β 为 β 的转置, 若矩阵 αβ 相似于, 则 β α = 答案解析因为 αβ 相似于, 根据相似矩阵有相同的特征值, 得到 αβ 的特征值是,,, 而 β α 是一个常数, 是矩阵 αβ 的对角元素之和, 则 β α = + + = 三解答题 :5- 小题, 共 9 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 9 分 ) 求极限 lim ( cos )[ ln( + tan ) ] ( )[ ] cos ln( + tan ) [ ln( + tan ) ] 解析 lim sin sin = lim ln( + tan ) + = lim lim sin sin sin ln( tan ) = = sin (6)( 本题满分分 ) + 计算不定积分 ln( + ) d ( > ) 解析方法一 : 令 + tdt = t 得 =, d = t ( t )

13 t 原式 = + t dt = + t d t ( t ) ( t ) 方法二 : ln( ) ln( ) ( ) = ln( + t) d( ) t ln( + t) = dt t t t + ln( + t) = + + t ( t ) ( t + ) ( t + ) ln( + t) t + = + ln + C t t ( t + ) dt ln( ) ln = C + + ( + ) + = ln( + ) + ln( + + ) ( + ) + C ln( + ) d = ln( + ) ( + ) d + = ln( + ) d + + = ln( + ) + d + u d u = + udu = u du + u 分部 ( ) ( ) ( ) u u ln u + u + C = + ln C ( ) + + 即 ln( ) ln( ) ( ) ln ( ) + d = C ( ) ( ) + = ln( + ) + ln C (7)( 本题满分分 ) 设 z f (,, ) = +, 其中 f 具有阶连续偏导数, 求 dz 与 z

14 解析 z = f + f + f z = f f + f z z dz = d + d = ( f + f + f ) d + ( f f + f ) d z = f + f ( ) + f + f + f ( ) + f + f + [ f + f ( ) + f ] = f + f f + f + ( + ) f + ( ) f (8)( 本题满分分 ) 设非负函数 = ( ) ( ) 曲线 ( ) 满足微分方程 + =, 当 = 过原点时, 其与直线 = 及 = 围成平面区域 D 的面积为, 求 D 绕轴旋转所得旋转体体积解析微分方程 + = 得其通解 = C + + C, 其中 C, C 为任意常数令 p =, 则 dp dp =, 微分方程 + = 变形为 p = d d d dt t 得到 p = e e d + C = d + C = + C 即其中 d C d = + 得到 = + C + C 其中 C 为任意常数 C 为任意常数又因为 = ( ) 通过原点时与直线 = 及 = 围成平面区域的面积为, 于是可得 C = C C = ( ) d = ( ) ( ) + C d = + = 从而 C = 6 于是, 所求非负函数 = + ( ) 又由 = + 可得, 在第一象限曲线 = f ( ) 表示为 = ( + ) 于是 D 围绕轴旋转所得旋转体的体积为 V = 5 V, 其中

15 5 5 V = d = ( ) + d 9 5 = ( ) d = V = 5 = = (9)( 本题满分分 ) dd, 其中 D = {(, ) ( ) + ( ), } 求二重积分 ( ) D 解析由 ( ) + ( ) 得 r (sinθ + cos θ ), (sinθ + cos θ ) ( ) dd = dθ ( r cosθ r sin θ ) rdr D (sinθ + cos θ ) (cos sin ) = θ θ r dθ 8 = (cos sin ) (sin + cos ) (sin + cos ) d θ θ θ θ θ θ θ 8 = (cos sin ) (sin + cos ) d θ θ θ θ θ 8 8 = (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) θ + θ θ + θ = θ + θ d = 8 ()( 本题满分分 ) 设 = ( ) 是区间 (-, ) 内过 (-, ) 的光滑曲线, 当 - < < 时, 曲线上任一点处的法线都过原点, 当 < 时, 函数 ( ) 满足 + + = 求 ( ) 的表达式解析由题意, 当 < < 时, =, 即 d = d, 得 = + c, ' 又 ( ) = 代入 = + c 得 c =, 从而有 + = * 当 < 时, '' + + = 得 '' + = 的通解为 = c cos + c sin

16 令解为 = A + b, 则有 + A + b + =, 得 A =, b =, 故 =, 得 '' + + = 的通解为 = c cos + c sin 由于 = ( ) 是 (, ) 内的光滑曲线, 故在 = 处连续于是由 ( ) = ±, ( + ) = c, 故 c = ± 时, = ( ) 在 = 处连续又当 < < 时, 有 + ' =, 得 '() = =, 当 < 时, 有 ' = c sin + c cos, 得 + '() = c 由 '() = '() 得 c =, 即 c = +, < < 故 = ( ) 的表达式为 = 或 cos + sin, <, < < =, 又过点, cos + sin, <,, < < 所以 = cos + sin, < ()( 本题满分分 ) (Ⅰ) 证明拉格朗日中值定理 : 若函数 f ( ) 在 [, ] ξ ( a, b), 使得 f ( b) f ( a) = f ( ξ )( b a) a b 上连续, 在 ( a, b ) 可导, 则存在 (Ⅱ) 证明 : 若函数 f ( ) 在 = 处连续, 在 (, δ )( δ > ) 内可导, 且 lim ( ) 则 f + ( ) 存在, 且 f ( ) = + A + f = A, ( ) ( ) 解析 (Ⅰ) 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) f b f a ϕ = f f a ( a), 易验证 ϕ ( ) 满足 : b a ϕ( a) = ϕ( b) ; ( ) ' ' f ( b) f ( a) ϕ ( ) = f ( ) b a 根据罗尔定理, 可得在 (, ) f ' ( ξ ) ϕ 在闭区间 [ a, b ] 上连续, 在开区间 ( a, b ) a b 内至少有一点 ξ, 使 ϕ ' ( ξ ) =, 即 f ( b) f ( a) = = b a ', f ( b) f ( a) f ( ξ )( b a) (Ⅱ) 任取 (, δ ), 则函数 f ( ) 满足 ; 内可导, 且

17 在闭区间 [, ] 上连续, 开区间 ( ) ξ (, ) (, δ ), 使得 f ( ξ ) 又由于 lim ' ( ) ( ) +, 内可导, 从而有拉格朗日中值定理可得 : 存在 f ( ) f () = ' (*) + f = A, 对上式 (* 式 ) 两边取时的极限可得 : ( ) f ( ) f f = lim = lim f ( ξ ) = lim f ( ξ ) = A 故 ' ' ' ξ f ' + () 存在, 且 f ' + () = A ()( 本题满分分 ) 设 A =, ξ = (Ⅰ) 求满足 Aξ = ξ, A ξ = ξ 的所有向量 ξ, ξ (Ⅱ) 对 (Ⅰ) 中的任一向量, 解析 (Ⅰ) 解方程 Aξ = ξ ( A ξ ) ξ ξ, 证明 : ξ, ξ, ξ 线性无关, = r( A ) = 故有一个自由变量, 令 =, 由 A = 解得, =, = 求特解, 令 = =, 得 = ξ = k + 故, 其中 k 为任意常数解方程 A ξ = A ξ =

18 , = ( A ξ ) 故有两个自由变量, 令 =, =, 由 A = 得 = =, =, 由 A = 得 = 令求特解 η = (Ⅱ) 证明 : 由于 ξ = k + k + 故, 其中 k, k 为任意常数 k k k k = k k + k k + (k + )( k ) k ( k ) k (k + ) k k k + k 故 ξ, ξ, ξ 线性无关. = f,, = a + a + a + ()( 本题满分分 ) 设二次型 ( ) ( ) (Ⅰ) 求二次型 f 的矩阵的所有特征值 ; (Ⅱ) 若二次型 f 的规范形为 +, 求 a 的值解析 (Ⅰ) a A = a a λ a λ a λ a λe A = λ a = ( λ a) λ a + λ a +

19 = ( λ a)[( λ a)( λ a + ) ] [ + ( λ a)] = ( λ a)[( λ a)( λ a + ) ] = λ λ λ + λ + ( a)[ a a a ] 9 = λ λ + = ( λ a)( λ a + )( λ a ) ( a){[ a ( a)] } λ = a, λ = a, λ = a + (Ⅱ) 若规范形为 +, 说明有两个特征值为正, 一个为则 ) 若 λ = a =, 则 λ = <, λ =, 不符题意 ) 若 λ =, 即 a =, 则 λ = >, λ = >, 符合 ) 若 λ =, 即 a =, 则 λ = <, λ = <, 不符题意综上所述, 故 a =

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +