考压轴题的分析与解 (04 年 )

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1 考压轴题的分析与解 04 年 兰琦 06 年 8

2 考压轴题的分析与解 (04 年 )

3 I 7. 三视图还原 分离变量 烈 出真 隔空测物 化椭为圆 点动成圆 天堑变通途 寻找最 值 II 5. 分离变量 看圆的 张 追本溯源 半通径与焦点弦 近似估计 分离变量 两次对称 双对称函数 复合函数 看圆的 张 抛物线遇上圆 平铺直叙 分离讨论和分离变量 环环相扣 随机组合 切过 相似的抛物线 归纳复归纳 度长絜 第 定义

4 4 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 录 7 5. 势均 敌 爆 花 以形驭数 爱 惜 单 直 逐步调整 梅开三度 暗藏杀机 何 不出图 恰到好处 如约 按部就班 故弄 虚 漩涡风暴 展开式记法 折线椭圆 真相只有 个 双曲线的等积性质 岿然不动 得 进尺 直击要害 共轭复数 数列的互补性 蒙 圆 过五关斩六将 查漏补缺 愚公移, 精卫填海 囷盖与圆周率 均值函数 阿波罗尼斯圆 , 三 沙场秋点兵 独有偶 转星移 红叶 先 巧不成书

5 录 流连忘返 太极 两仪 尽在掌握 齐次变形 暗藏勾股 决 下 探索与发现 台球桌上的 何 两兔傍地 借 杀 狐假虎威 第 定义 按部就班 平分秋 九不离 值域长度 分离变量 凡事预则 倒转乾坤 清君侧, 靖国难 鱼龙混杂 尾相连 对称函数 亦步亦趋 分离变量 椭圆的 垂径定理 抛物线的性质 波三折 飞 轨迹 过渡曲线 欧拉公式 狗尾续貂 箭双雕 迭代函数 拨乱反正

6 6 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 录 6. 牵 发 动全 叶知秋 技压群雄 楚河汉界 画龙点睛 以点代 有界函数 椭圆的 垂径定理 奇异的规划 稳扎稳打 咫尺天涯 分离变量 坠 椭圆的圆 如来掌 极值点偏移 三进制 函数的位差和 瞄准射击 举 反三 公切线段 函数的极差 运筹帷幄

7 I. 如图, 格纸上 正 形的边长为, 实线画出的是某多 体的三视图, 则该多 体的各条棱中, 最长的棱的长度为 ( ) A. 6 B. 4 C. 6 D. 4 在正 体中还原直观图, 如图. A B D C 显然有 AC > CD = BD > AB = BC, 因此只需要比较 AC 与 AD 的 小. 事实上, AC = 4, AD = 6, 因此最长的棱为 AD, 长度为 6. C. 已知函数 f () = a +, 若 f () 存在唯 的零点 0, 且 0 > 0, 则 a 的取值范围是 ( ) A. (, ) B. (, + ) C. (, + ) D. (, ) 函数 f() 中 a 与 很容易分离到等号两边, 可以考虑使用分离变量的 式处理零点问题. 显然 = 0 不是函数 f() 的零点, 因此以下讨论中默认 0. 7

8 8 考压轴题的分析与解 (04 年 ). 烈 出真 将 程 a + = 0 变形为 a = +, 令 t =, 则 a = t + t. 因此问题即函数 g(t) = t + t 的图象与直线 = a 有且只有 个公共点, 且该公共点的横坐标 于 0. O t = a 如图, 作出函数 g(t) 的图象, 可得 a 的取值范围是 (, ). A. 6 已知 a, b, c 分别为 ABC 的 A, B, C 的对边, a =, 且 ( + b) (sin A sin B) = (c b) sin C, 则 ABC 积的最 值为. 由已知条件结合正弦定理可得 (a + b)(a b) = (c b)c, 整理得 b + c a = bc, 从 由余弦定理可得 A = π. A B C π 由于三角形 ABC 的边 BC 所对的角 A 为定角, 因此 ABC 的外接圆的半径是定值. 作 ABC 的外接圆, 固定 B, C, 则 A 在优弧 BC 上运动 ( 不包含端点 ), 以 BC 为底边考虑 ABC 的面积, 当 A 平分优弧 BC 时 BC 边上的 最, 因此三角形面积取得最 值, 此时三角形为正三角形, 面积为 4 =..4 6 如图, 为测量 MN, 选择 A 和另 座 的 顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰 MAN = 60,C 点的仰 CAB = 45 以及 MAC = 75 ; 从 C 点测得 MCA = 60. 已知 BC = 00 m, 则 MN = m.

9 第 章新课标 I 卷 9 M C N A B 在 Rt ABC 中, BC = 00, CAB = 45, 可得 AC = 00. 在 MAC 中, MCA = 60, MAC = 75, AC = 00, 应用正弦定理, 有 解得 MA = 00. MA sin MCA = AC sin AMC, 在 Rt MNA 中, MA = 00, MAN = 60, 可以解得 所以 MN 为 50 m. MN = MA = 50, 右焦点, 直线 AF 的斜率为 已知点 A(0, ), 椭圆 E : a +, O 为坐标原点. b = (a > b > 0) 的离 率为, F 是椭圆 E 的 P O F Q A () 求 E 的 程 ; () 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点, 当 OP Q 的 积最 时, 求 l 的 程. 第 () 小题考查斜率公式以及椭圆的 程与基本量, 属于常规问题. 第 () 小题可以利用仿射变换将 P QO 的面积的最 值问题转化到圆中解决. 详见附录 仿射变换

10 0 考压轴题的分析与解 (04 年 ).6 点动成圆 () 设 F (c, 0), 由直线 AF 的斜率 c 为, 可得 c =, 进 由离 率 c a 为, 可得 a =, 故 E 的 程为 4 + =. =, () 在伸缩变换下, 椭圆变为圆 + = 4, 此时 P Q 过定点 A (0, 4), 且 S OP Q = = S OP Q, 如图. P O F Q A 由于 P OQ 的取值范围是 (0, π), 因此当 P OQ 为直 时, S P OQ 的 积最. 此时 O 到直线 P Q 的距离为. 设此时 P Q 的 程为 = k 4, 则有 4 + k =, 解得 k = ± 7. 从 直线 P Q 的斜率为 ± 7 7, 所求直线 l 的 程为 = ±..6 0 已知点 P (, ), 圆 C : + 8 = 0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 的中点为 M, O 为坐标原点. A M O C P B () 求 M 的轨迹 程 ; () 当 OP = OM 时, 求 l 的 程及 P OM 的 积. 第 () 小题是典型的轨迹问题, 利用 何性质进 推理可以 减少运算量. 第 () 小题是在第 () 小题基础上的三角形面积计算的问题, 利用 何量的数量关系可以简化运算.

11 第 章新课标 I 卷 () 圆 C 的标准 程为 C : + ( 4) = 6, 圆 坐标为 C(0, 4). 连接 CM, 根据垂径定理, 有 #» CM AB #» = 0 ( 该式在 M 点与 C 点重合, 或 M 点与 P 点重合时也成 ), 因此所求的轨迹 程为 ( ) + ( )( 4) = 0, 整理得 = 0. () 由 () 的结论可知 M 的轨迹是以 T (, ) 为圆 为半径的圆. 注意到 OP 与 T P 垂直, 因此 OP 为圆 T 的切线, 过 O 作圆 T 的另外 条切线, 切点即 M ( 考虑到 P, O, M 构成三 形, 因此 P M ), 如图. A C M O T P B 因为 OT AB, 直线 OT 的斜率为, 因此直线 l 的斜率为, 进 直线 l 的 程为 = ( ) +, 即 + 8 = 0. 容易求得 OM = OP =, 接下来计算 sin P OM. 由于 tan P OT = T P OP =, 进 从 三 形 P OM 的 积为 sin P OM = tan P OT + tan P OT = 4 5, sin P OM OP = 设函数 f () = ae ln + be, 曲线 = f () 在点 (, f ()) 处的切线 程为 = e ( ) +. () 求 a, b ; () 证明 : f () >.

12 考压轴题的分析与解 (04 年 ).8 寻找最 值 第 () 小题考查利用导函数求曲线的切线 程, 属于常规问题. 第 () 小题中欲证明的不等式同时包 含指数函数与对数函数, 因此不适合直接求导研究单调性. 事实上, 在适当的代数变形后可以发现沟通指数 函数与对数函数的 桥梁, 利用这个 桥函数, 就可以将欲证不等式分割为两个类似的部分加以证明了. () 函数 f() 的定义域为 (0, + ), 其导函数 f () = ae ln + ae 由题意知 f() =, f () = e, 代 解得 a =, b =. b e + b e. () 由第 () 题的结论可得 f() = e ln + e. 从 f() > 等价于 ln e > e. 设函数 g() = ln, 则 g(e ) = e, 所以欲证不等式即 g() + g(e ) > e, 接下来研究函数 g() 的最 值. 由于 g() 的导函数 g () = + ln, 当 0 < < 时, g () < 0 ; 当 > 时, g () > 0. 故 g() 在 e e Å ã 上单调递增. 从 g() 在 (0, + ) 上的最 值为 g = e e. 回到原问题, 我们有 g() + g(e ) e, Å 0, ã e 上单调递减, 在 Å ã e, + 当 = e 时, e e, 于是等号 法取得, 这样我们就证明了不等式 f() >. 斜率为 0. () 求 b ;.8 设函数 f () = a ln + a b (a ), 曲线 = f () 在点 (, f ()) 处的切线 () 若存在 0 使得 f ( 0 ) < a a, 求 a 的取值范围. 第 () 小题考查利用导函数研究曲线的切线 程, 属于常规问题. 第 () 小题是 个典型的存在性问 题, 需要转化为最值问题, 利用导函数研究函数的单调性解决. () f() 的导函数 f () = ( a) b + a, 曲线 = f() 在点 (, f()) 处切线斜率为 0, 因此 f () = a b + a = 0, 解得 b =. () 题意即函数 f() 在区间 [, + ) 上的图象存在位于直线 = a 下 的部分. a

13 第 章新课标 I 卷 由 () 知, 函数 f() = a ln + a, 其导函数 f () = [( a) a], 记其中决定 f () 符号的部分为 h() = ( a) a. 注意到 h() = a, 因此按 a 和, 关系进 讨论. 第 种情况, a. 此时 f() 在区间 [, + ) 上单调递增, 其最 值为 f() = a + a + < a a, 的, 依题意应有 解得 < a <. 第 种情况, < a <. 此时 f() 在区间 Å ã a 最 值为 f, 依题意应有 a ï ã a, a 上单调递减, 在 Å ã a a, + 上单调递增, 其 解. a ln a a + a ( a) + a a < a a, 第三种情况, a >. 此时由第 种情况中的不等式可知, f() < 综上, a 的取值范围是 (, ) (, + ). a a, 因此符合题意.

14 4 考压轴题的分析与解 (04 年 ).8 寻找最 值

15 II. 设函数 f () = sin π m, 若存在 f () 的极值点 0 满 0 + [f ( 0 )] < m, 则 m 的取值范围是 ( ) A. (, 6) (6, + ) B. (, 4) (4, + ) C. (, ) (, + ) D. (, ) (, + ) 根据题意, 有 进 f( 0 ) = ±. 从 可得存在整数 k, 使得 π 0 m = kπ + π Å, k Z, 即 0 = k + ã m, ïå k + ã mò + (± ) < m, 也即 k Z, m > Å k + ã, 即 m > min k Z Å k + = ã 4, 解得 m (, ) (, + ). C. 6 / 设点 M ( 0, ), 若在圆 O : + = 上存在点 N, 使得 OMN = 45, 则 0 的取值范围是. 考虑 在圆 O : + = 上存在点 N, 使得 OMN = 45 这 条件, 其本质即从点 M 处看圆 O 的 张角 不小于 90. 详见附录 分离变量法 科第 题将填空题改为了选择题 当 M 位于圆外时为过 M 的两条切线所成的 ; 当 M 位于圆上时为过 M 的切线, 即点 M 处的平 ; 当 M 位于圆内 时为点 M 处的周. 5

16 6 考压轴题的分析与解 (04 年 ). 追本溯源 M O N 如图, 对圆 O 的 张角 为 90 的点的轨迹为以 O 为圆, 为半径的圆, 因此只需要点 M 在该圆 内 ( 包括圆上 ), 不难求得 0 的取值范围是 [, ]. [, ]. 6 数列 {a n } 满 a n+ = a n, a 8 =, 则 a =. 由已知, 得 a n = a n+, 将 n = 7, 6, 5, 依次代, 可得 a 8 =, a 7 =, a 6 =, a 5 =, a 4 =, a =, a =, a =..4 0 / 0 设 F, F 分别是椭圆 C : a + b = (a > b > 0) 的左, 右焦点, M 是 C 上 点且 MF 与 轴垂直, 直线 MF 与 C 的另 个交点为 N. M N F O F () 若直线 MN 的斜率为 4, 求 C 的离 率 ; () 若直线 MN 在 轴上的截距为, 且 MN = 5 F N, 求 a, b. 第 () 小题主要考查椭圆的 程与基本量, 第 () 小题考查椭圆的性质, 以及简单的比例关系, 均属 于常规问题. () 设 F (c, 0), 则半通径 MF = b a, 从 MF F F = b a c = 4,

17 第 章新课标 II 卷 7 将 b = a c, 以及 e = c a 代 整理得 e + e = 0, 解得 e =. () 根据题意 M 点的纵坐标为 MN 在 轴上的截距的 倍, 得 M(c, 4). 又 #» F M = 4 F #» N, 进 可得 N Å ã c,. 于是由 M, N 点均在椭圆上可得 MN = 5 F N, 从 c a + 6 9c =, b 4a + b =, 消去 c a 可得 b = 8, 即 b = 7. 另, M 的纵坐标为 因此所求 a, b 的值分别为 a = 7, b = 7. b a = 4, 于是 a = 7..5 已知函数 f () = e e. () 讨论 f () 的单调性 ; () 设 g () = f () 4bf (), 当 > 0 时, g () > 0, 求 b 的最 值 ; () 已知.44 < <.44, 估计 ln 的近似值 ( 精确到 0.00 ). 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 属于常规问题. 第 () 小题可以通过分析端点的 式得到 b 的讨论分界点, 然后展开讨论即可. 第 () 小题需要在第 () 小题讨论结果的基础上建立合适的不等式得到 ln 的上界和下界. 其中突破取 b = 的思维定势, 得到对 ln 的上界的估计是解决问题的关键. ()f() 的导函数 f () = e + e e e = 0, 于是 f() 在 R 上单调递增. () 根据题意有 其导函数 即 g() = e e 4 4b ( e e ), g () = e + e 4 4b ( e + e ), g () = ( e + e ) (e + e + b ), 设 h() = e + e + b, 则由于 h(0) = 4 b, 因此按 b 和 的 关系展开讨论. 第 种情况, b. 此时在区间 (0, + ) 上, h() e + e > 0, 于是当 > 0 时, g () > 0, 因此 g() 在 (0, + ) 上单调递增, 又 g(0) = 0, 从 g() > 0, 符合题意 ;

18 8 考压轴题的分析与解 (04 年 ).5 近似估计 第 种情况, b >. 此时在区间 (0, + ) 上函数 h() 存在零点 = φ, 其中 φ 是关于 的 程 e + e + b = 0 的根, 即 φ = ln Ä b + b b ä. 注意到 h() 的导函数 h () = e e > 0, 于是 h() 单调递增, 因此在区间 (0, φ) 上 h() < 0, 即 g () < 0, 因此 g() 单调递减, 又 g(0) = 0, 从 g() < 0, 不符合题意. 综上, b 的最 值为. () 为了估计 ln 的近似值, 我们计算 g(ln ) = (4b ) ln + b. 先 < b 的情形估计下界. 此时在 (0, + ) 上均有 g() > 0, 于是有 g(ln ) > 0, 即 ln > b 4b, 注意到不等式右边当 < b 时, 最 值在 b = 处取得, 因此 ln > 8 > 接下来 b > 的情形估计上界. 此时在 (0, φ] 上均有 g () 0, 于是有 g() < 0. 取 φ = ln, 则 b = +, 此时可得 g(ln ) = g(φ) < 0, 即 4 综上, ln 的近似值为 ln < 4 b 4(b ) = 8 + < 事实上, 我们对函数 f() = ln( + ) ( < < ) 有泰勒展开式 : ln( + ) = +, 因此亦有 两式相减即得 ln( ) =, ln + ã Å = + +, 这是估算 然对数的重要公式.

19 第 章新课标 II 卷 9 在本题中, 取 = 可以很快得到符合精度的近似值 Å ã 已知函数 f () = + a +, 曲线 = f () 在点 (0, ) 处的切线与 轴交点的横坐标为. () 求 a ; () 证明 : 当 k < 时, 曲线 = f () 与直线 = k 只有 个交点. 第 () 小题考查利用导函数研究曲线的切线 程, 第 () 小题考查利用导函数研究函数的零点问题, 均属于常规问题. () f() 的导函数 f () = 6 + a, 于是曲线 = f() 在点 (0, ) 处的切线 程为 = a +. 该直线与 轴交于 (, 0), 因此 a =. () 考虑 程 f() = k, 即 + + = k. 由于 = 0 不是该 程的解, 因此只需要考虑 0 的情形, 此时 程等价于 令 g() = + 4, 则 g() 的导函数 k = + 4. g () = 4 = ( )( + + ), 因此当 g() 在 (, 0) 和 (0, ) 上单调递减, 在 (, + ) 上单调递增, 在 = 处取得极 值 g() = 0. = g() O = k 当 < 0 时, g() 单调递减, 由于 g( ) = 0, 当 < < 0 时 g() = + 4 < 4 + 4, 详见附录 分离变量法

20 0 考压轴题的分析与解 (04 年 ).6 分离变量 Å ã 4 因此 g < k, 于是当 < 0 时, 直线 = k 与函数 g() 的图象有唯 公共点, 且交点横 k Å5 ã 4 坐标在区间, 上. k 5 当 > 0 时, g() 0, 此时直线 = k 与函数 g() 的图象没有公共点. 因此直线 = k 与函数 g() 的图象有且只有 个公共点, 原命题得证.

21 . 函数 = f () 的图象与函数 = g () 的图象关于直线 + = 0 对称, 则 = f () 的反函数是 ( ) A. = g () B. = g ( ) C. = g () D. = g ( ) 设函数 = f() 的反函数图象上任意 点 P ( 0, 0 ), 点 P 关于直线 = 的对称点为 P ( 0, 0 ) 且 P 在函数 = f() 的图象上, 点 P 关于直线 + = 0 的对称点为 P ( 0, 0 ) 且 P 在函数 = g() 的图象上, 因此 0 = g( 0 ), 即 0 = g( 0 ), 因此 = g( ) 为函数 = f() 的反函数. P = P O P = D. 奇函数 f () 的定义域为 R. 若函数 f ( + ) 为偶函数, 且 f () =, 则 f (8)+f (9) = ( ) A. B. C. 0 D. 函数 f() 为奇函数, 因此函数 f() 满 : 当自变量互为相反数时, 函数值也互为相反数 ; 函数 f( + ) 为偶函数, 因此 f( + ) = f( + ), 即函数 f() 满 : 当自变量的和为 4 时, 函数值相等. 因此 f() = f( + 4) = f( 4) = f( + 8) = f( 8),

22 考压轴题的分析与解 (04 年 ). 复合函数 从 函数 f() 是周期为 8 的函数, 进 f(8) + f(9) = f(0) + f() =. D 若函数 f() 的图象同时关于直线 = a 和直线 = b 对称, 其中 a b, 则 f() 是周期为 a b 的函数 ; 若函数 f() 的图象同时关于点 (a, 0) 和点 (b, 0) 对称, 其中 a b, 则 f() 是周期为 a b 的函数 ; 若函数 f() 的图象同时关于直线 = a 和点 (b, 0) 对称, 其中 a b, 则 f() 是周期为 4 a b 的函数. 6. 若函数 f () = cos + a sin 在区间 ( π 6, π ) 是减函数, 则 a 的取值范围是. 函数 f() 即 f() = sin + a sin +, 可以看作是函数 = t + at + 与函数 t = sin 的复合函数. ( π 因为函数 t = sin 在 6, π ) 上单调递增, 又函数 = f() 在此区间上单调递减, 因此函数 = Å ã t + at + 在, 上单调递减, 从 对称轴 t = a 4, 解得 a. (, ].4 6 直线 l 和 l 是圆 + = 的两条切线, 若 l 与 l 的交点为 (, ), 则 l 与 l 的夹 的正切值等于. 设 l 与 l 的夹角为 θ, 则 θ 只和圆 到交点 P (, ) 的距离以及半径有关, 如图. M 0 O P N 设切点为 M, N, 在直角三角形 OP M 中易得 因此 tan θ OM = tan OP M = P M = = 0, tan θ = tan θ tan θ = 4.

23 第三章全国 纲卷 4 / 点为 P, 与 C 的交点为 Q, 且 QF = 5 P Q. 4 () 求 C 的 程 ;.5 已知抛物线 C : = p (p > 0) 的焦点为 F, 直线 = 4 与 轴的交 () 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相交于 M N 两点, 且 A M B N 四点在同 圆上, 求 l 的 程. 第 () 小题考查抛物线的定义与 程, 属于常规问题. 第 () 小题中如何简洁的表达 A M B N 四点在同 圆上 这 关键条件是解决问题的重难点所在. 事实上, 选择利用直线的参数 程, 通过相交弦 定理来表达共圆就可以轻松化解这 难题, 并且可以用此 法得到更加 般的结论. Å ã 8 () 根据题意, 有点 Q 的坐标为 p, 4, 根据抛物线的定义, 有 QF = Q + p, 从 8 p + p = p, 解得 p =, 因此抛物线 C 的 程为 C : = 4. () 设直线 MN 与直线 AB 相交于点 T ( 0, 0 ), 且 = 0 + t, 直线 AB : = 0 + k t, = 0 + t, 直线 MN : = 0 + k t, 其中 t 为参数, 且 A, B, M, N 对应的参数分别为 t, t, t, t 4, 如图. O B M F T A N 将直线 AB 与抛物线 C : = 4 联, 有 (k t + 0 ) = 4(t + 0 ), 即 因此 k t + (k 0 4)t = 0,»» T A T B = + k t + k t = ( + k) 0 4 0, k

24 4 考压轴题的分析与解 (04 年 ).6 平铺直叙 类似地, 有 T M T N = ( + k) 0 4 0, k 从 由相交弦定理, 有 T A T B = T M T N, 因此 于是 k = k. ( + k ) k = ( + k) 0 4 0, 又直线 AB 与直线 MN 垂直, 因此 k k =, 因此可得 k = ±, 从 直线 l 的 程为 = 或 = +. k 般地, 在对称轴与坐标轴平 或垂直的 圆的 次曲线上取四点 P, Q, M, N, 且直线 P Q 与直线 MN 的斜率均存在, 那么 P, Q, M, N 四点共圆的充要条件是直线 P Q 与直线 MN 的斜率互为相反数. 该命题也可以利 圆 次曲线 A + B + D + E + F = 0 ( A B ) 与两条相交直线 ( k b ) ( k b ) = 0 ( k k ) 形成的交点曲线系 A + B + D + E + F λ ( k b )( k b ) = 0 证明..6 函数 f () = ln ( + ) a (a > ). + a () 讨论 f () 的单调性 ; () 设 a =, a n+ = ln (a n + ), 证明 : n + < a n n +. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 属于常规问题. 第 () 小题需要证明 个数列不等式, 由于已经给定递推公式, 因此可以尝试使用数学归纳法证明. 不难通过分析得知递推证明所用到的不等式可 以由第 () 小题的结果得出. () 根据题意, 函数 f() 的导函数 f () = + (a a ) ( + )( + a), 令 g() = +(a a ), 则由于 g( ) = (a ) > 0, 对称轴 = a a >, 判别式 = a ( a), 因此按 a 与 的 关系进 讨论.

25 第三章全国 纲卷 5 < a < 时 a = 时 a > 时 = = = 第 种情况, 当 < a < 时, 函数 f() 在 (, a a) 上单调递增, 在 (a a, 0) 上单调递减, 在 (0, + ) 上单调递增 ; 第 种情况, 当 a = 时, 函数 f() 在 (, + ) 上单调递增 ; 第三种情况, 当 a > 时, 函数 f() 在 (, 0) 上单调递增, 在 (0, a a) 上单调递减, 在 (a a, + ) 上单调递增. () 数学归纳法证明如下. 当 n = 时, a =, 因此 假设当 n = k,k N 时命题成, 即 从 <, 命题成 ; k + < a k k +, 则考虑当 n = k+ 时, 有 a k+ = ln(a k +), Å ã Å ã ln k + + < a k+ ln k + +, 因此只需要证明 Å ã ln k + + Å ã k +, ln k + + k +. 根据第 () 题的结论, 当 a = 时, 有 f() 在 (0, ) 上单调递增, 因此 f() > f(0) = 0, 即 ln( + ) > +, 令 = k +, 即得 Å ã ln k + + > k + ; 当 a = 时, 有 f() 在 (0, ) 上单调递减, 因此 f() < f(0) = 0, 即 ln( + ) < +, 令 = k +, 即得 Å ã ln k + + < k + ; 综上所述, 命题当 n = k + 时也成. 因此原命题得证.

26 6 考压轴题的分析与解 (04 年 ).7 分离讨论和分离变量.7 函数 f() = a + + ( a 0 ). () 讨论 f() 的单调性 ; () 若 f() 在区间 (, ) 是增函数, 求 a 的取值范围. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 第 () 小题是利用导函数研究函数的单调性问题的反 向问题, 都属于常规问题. () 函数 f() 的导函数 f () = (a + + ), 设函数 h() = a + +, 则其对称轴为 = a, 判别式 = 4( a), 因此按 a 与 0, 的 关 系展开讨论. a < 0 时 0 < a < 时 a = 时 a > 时 第 种情况, a < 0. Ç 函数 f() 在, + å a a Ç å a, + 上单调递减 ; a 上单调递减, 在 Ç + a a, å a a 上单调递增, 在 第 种情况, 0 < a <. Ç 函数 f() 在, å a a Ç å + a, + 上单调递增 ; a 上单调递增, 在 Ç a a, + å a a 上单调递减, 在 第三种情况, a. 函数 f() 在 R 上单调递增. () 题意即对任意 (, ), 均有 (a + + ) 0, 即 (, ), a +, 令 t =, 则问题等价于 t Å ã,, a t t, 详见附录 分离变量法

27 第三章全国 纲卷 7 由于函数 = t t 在区间 (0, + ). Å ã, 上的取值范围是 Å, 5 ã, 因此 a 的取值范围是 4 ï 54 ã, 0

28 8 考压轴题的分析与解 (04 年 ).7 分离讨论和分离变量

29 4. 0 在平 直 坐标系 O 中, 已知向量 #» #» a, b, #» a = #» b =, #» a #» b = 0, 点 Q 满 OQ #» = Ä #»a #» ä + b. 曲线 C = P OP #» = #» a cos θ + #» b sin θ, 0 θ < π, 区域 Ω = P 0 < r P # Q» R, r < R. 若 C Ω 为两段分离的曲线, 则 ( ) A. < r < R < B. < r < R C. r < R < D. < r < < R 整个问题的条件和结论都与相对位置有关, 和绝对位置 关, 因此可以忽略平面直角坐标系 O 这 束缚. 如图, 长度均为 的有向线段 #» OA 和 #» OA OB #», 分别代表 #» OB 的夹角均为 45, 且 OQ =. #» a 和 #» b. 易得 #» OQ 在 AOB 的平分线上, 与 B O A Q #» 对于曲线 C, 注意到 OP 在 #» #» a 和 b 上的有向投影分别为 cos θ 和 sin θ, 因此曲线 C ( 即 P 点的轨 #» 迹 ) 是以 O 为圆, 为半径的圆 ( 且 θ 为以 OA 为始边, OP #» 为终边的角 ), 记为圆 O. 对于区域 Ω, 容易得到它表示以 Q 为圆, 外圆半径为 R, 内圆半径为 r 的圆环内部 ( 包括内外边界 ). 于是 C Ω 表示圆 O 被 Ω 表示的圆环所截的部分, 为了保证它为两段分离的曲线, 需要圆环的内圆和 外圆均与圆 O 相交, 因此 < r < R <. A 4. 5 已知两个不相等的 零向量 #» #» a, b, 两组向量 #», #», #», #» 4, #» 5 和 #», #», #», #» 4, #» 5 均由 个 #» #» a 和 个 b 排列 成. 记 S = #» #» + #» #» + #» #» + #» 4 #» 4 + #» 5 #» 5, S min 表 S 所有可能取值中的最 值. 则下列命题正确的是 ( 写出所有正确命题的编号 ). ➀ S 有 5 个不同的值 ; 9

30 0 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 4. 随机组合 ➁ 若 #» #» a b, 则 S min 与 #» a 关 ; ➂ 若 #» #» a b, 则 S min 与 #» b 关 ; ➃ 若 #» b > 4 #» a, 则 S min > 0 ; ➄ 若 #» b = #» a, S min = 8 #» a, 则 #» #» a 与 b 的夹 为 记 #» a = m, #» b = n, #» a 与 π 4. #» b 的夹角为 θ, 按照计算 S 的过程中 #» a #» a 出现的个数分为 类 : 第 类, 个 第 类, 个 第三类, 0 个 #» a #» a, 此时 S = m + n ; #» a #» a, 此时 S = m + n + mn cos θ ; #» a #» a, 此时 S = n + 4mn cos θ. 于是 ➀ 错误, 事实上 S 最多只有 个不同取值 ; 注意到 m + n mn mn cos θ, 等号当且仅当 m = n 且 θ = 0 时, 也即 #» #» a = b 时取得, 与题意不符. 这样就有 m + n > mn cos θ, 进 m + n > m + n + mn cos θ > n + 4mn cos θ, 因此 S 有 个不同的取值, 且 S min = n + 4mn cos θ. ➁ 正确, S min = n, 与 #» a 的长度 关 ; ➂ 错误, S min = n + 4mn cos θ, 与 #» b 的长度有关 ; ➃ 正确, S min = n + 4mn cos θ n 4mn = n(n 4m) > 0 ; ➄ 错误, S min = 4m + 8m cos θ = 8m, 于是 cos θ =, θ = π. ➁➃ 0 设 #» #» a, b 为 零向量, #» b = #» a, 两组向量 #», #», #», #» 4 和 #», #», #», #» 4 均由 个 #» #» a 和 个 b 排列 成, 若 #» #» + #» #» + #» #» + #» 4 #» 4 所有可能取值中的最 值为 4 #» a, 则 π A. #» a 与 #» b 的夹 为 ( ) π B. C. π 6 D. 0 与理科第 5 题类似. 记 #» a = m, #» b = m, #» a 与照计算 S 的过程中 #» a #» a 出现的个数分为 类 : #» b 的夹角为 θ. 设题中计算的和式为 S, 按 第 类, 个 第 类, 个 第三类, 0 个 #» a #» a, 此时 S = 0m ; #» a #» a, 此时 S = 5m + 4m cos θ ; #» a #» a, 此时 S = 8m cos θ. 因此 8m cos θ 是 S 的所有可能取值中的最小值, 因此 cos θ =, 进 θ = π. B

31 第四章安徽卷 4. 5 若直线 l 与曲线 C 满 下列两个条件 : (i) 直线 l 在点 P ( 0, 0 ) 处与曲线 C 相切 ;(ii) 曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处 切过 曲线 C. 下列命题正确的是.( 写出所有正确命题的编号 ) ➀ 直线 l : = 0 在点 P (0, 0) 处 切过 曲线 C : = ; ➁ 直线 l : = 在点 P (, 0) 处 切过 曲线 C : = ( + ) ; ➂ 直线 l : = 在点 P (0, 0) 处 切过 曲线 C : = sin ; ➃ 直线 l : = 在点 P (0, 0) 处 切过 曲线 C : = tan ; ➄ 直线 l : = 在点 P (, 0) 处 切过 曲线 C : = ln. 直接作图, 注意比较在 0 附近函数图象与切线的位置关系即可. = = = ( + ) = = sin O O O = tan = = = ln O O 注意分析奇偶性 ( 奇函数在原点处的切线 定 切过 函数图象 ) 可以更快的得到结论, 另外直线 = 是函 数 = sin 和函数 = tan 在原点处的公切线, 这也是我们熟悉的结论. ➀➂➃ 设曲线 C : = f(), 其导函数为 f (), 则在 = 0 处曲线 C 的切线为 l : = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ), 令 h() = f() f ( 0 )( 0 ) f( 0 ), 若直线 l 在 P 处 切过 曲线 C, 即 = 0 是函数 h() 的 变号零点. 显然, 判断是否满 条件 (i) 的标准是 h( 0 ) = h ( 0 ) = 0. 接下来研究判断是否满 条件 (ii) 的标准. 设 h (n) () ( n N ) 表 函数 h() 的 n 阶导函数, 并记 h (0) () = h(). 若 h (n) () 在 0 的 邻域内满 保号性, 那么 h (n ) () 在 0 的 邻域内单调. 于是 = 0 是 h (n ) () 的变号零点, 这样就有 = 0 是函数 h (n ) () 的极值点, 进 h (n ) () 在 0 的 邻域内 保号. 也就是 : 保号 ( 不变号 ) 单调 ( 变号零点 ) 保号 ( 不变号 ) 单调 ( 变号零点 )

32 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 4.4 相似的抛物线 这个推理过程可以递推下去. 这样就可以得到判断是否满 条件 (ii) 的标准 : 若存在最 然数 n 使得函数 h (n) () 在 = 0 处的函数值为零, 则定义 n = N(h, 0 ), 则当 N(h, 0 ) 为偶数时, = 0 是函数 h() 的变号零点, 当 N(h, 0 ) 为奇数时, = 0 不是函数 h() 的变号零点. 把两个判断标准结合起来, 就得到了判断直线 l 是否在 = 0 处 切过 曲线 C 的充要条件 :N(h, 0 ) 为不 于 的偶数. 例如, 对 ➀,N(, 0) =, 因此直线 = 0 切过 曲线 = ; 对 ➄,N(ln ( ), ) =, 因此直线 = 不 切过 曲线 = ln 如图, 已知两条抛物线 E : = p ( p > 0 ) 和 E : = p ( p > 0 ), 过原点 O 的两条直线 l 和 l, l 与 E, E 分别交于 A, A 两点, l 与 E, E 分别交于 B, B 两点. A E : = p E : = p O B A B () 证明 : A B A B ; () 过 O 作直线 l ( 异于 l, l ) 与 E, E 分别交于 C, C 两点. 记 A B C 与 A B C 的 积分 S 别为 S 与 S, 求的值. S 第 () 小题中核 条件是 A, A, O 三点共线以及 B, B, O 三点共线, 考虑到抛物线上的点的坐标 容易用单参数表达, 因此直接设点的坐标绕开直线与抛物线 程的联立可以简化运算. 利用好第 () 小题中 的结论, 可以将第 () 小题中三角形的面积比转化为非常简单的相似比计算. () 设 A (p t, p t ), B (p t, p t ), A (p t, p t ), B (p t 4, p t 4 ). 由 A, A, O 三点共线, 有直线 OA 与直线 OA 的斜率相等, 从 t = t ; 类似的, 由 B, B, O 三 点共线, 可得 t = t 4. 当 t + t 0 时, 直线 A B 的斜率为 p t p t p t p t =, t + t 同理可得直线 A B 的斜率为, 因此 A B A B. t + t 4 当 t + t = 0 时, t + t 4 = 0, 因此直线 A B 与直线 A B 均垂直于 轴, 此时仍有 A B A B. 综上, 原命题得证.

33 第四章安徽卷 () 由第 () 题的结论可知, A B C 与 A B C 的三边分别平, 因此三个内 对应相等, 于是 A B C 与 A B C 相似, 其 积 S Å ã A B =, 又 OA B 与 OA B 相似, 因此 S A B A B A B = OA OA = p t p t = p p, 这样我们就有 S = p S p. 在平 直 坐标系中, 如果曲线 C 经过平移 旋转 对称和 轴 向等 例的伸缩可以与曲线 = k, C 重合, 那么就说这两条曲线是相似的. 其中平移 旋转和对称都是等积变换, 对于伸缩变换 = k, = p 其 积 S S = k. 于是, 抛物线 = p 可以通过伸缩变换 p, 变为 = p. 因此所 = p p 有抛物线都是相似的, 表征其 的量就是焦准距 p. 4.5 设实数 c > 0, 整数 p >, n N. () 证明 : 当 > 且 0 时, ( + ) p > + p ; () 数列 {a n } 满 a > c p, an+ = p p a n + c p a p n, 证明 : a n > a n+ > c p. 第 () 小题即证明伯努利不等式 ; 第 () 小题可以先分析 a n+ a n 得到只需要证明 a n > c p ( n N a n+ ), 然后在第 () 小题的提示下利用得到关键性的递推证明即可. a n () 数学归纳法证明, 对 p 进 归纳. 当 p = 时, 命题显然成 ; 若命题对 p = k ( k 且 k N ) 成, 则当 p = k + 时, 有 ( + ) k+ > ( + k)( + ) = + (k + ) + k + ( + k) 于是命题对 p = k + 也成, 从 原命题得证. () 先 数学归纳法证明 a n > c p ( n N ), 对 n 进 归纳. 当 n = 时, 命题显然成 ; 假设当 n = k ( k N ) 时, 有 a k > c p, 则当 n = k + 时, 由 a k+ a k = + p Å c a p k ã 应 第 () 题的结论得 Å ak+ a k ã p > + p Å ã c p a p = c k a p, k

34 4 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 4.6 度长絜 于是有 a k+ > c p. 综上, 命题 a n > c p ( n N ) 得证. 在 a n > c p ( n N ) 的基础上有 因此原命题得证. a n+ a n = p p a n + c p a p n a n = p a n + c p a p n = Å ã c p a n a p < 0, n 也可以利 均值不等式进 a n > c p ( n N ) 的递推证明 : Ñ p a n + a n + + a }{{ n } p 个 é + c a p > c p, n 即 p p a n + c p a p n > c p, 因此 a n+ > c p 设函数 f() = + ( + a), 其中 a > 0. () 讨论 f() 在其定义域上的单调性 ; () 当 [0, ] 时, 求 f() 取得最 值和最 值时的 的值. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 第 () 小题考查利用导函数研究函数在闭区间上的最值, 均属于常规问题. () f() 的导函数 f () = + + a, Ç 其判别式 = a+6 > 0, 于是函数 f() 在, å Ç 4 + a 4 + a 上单调递减, 在, + å 4 + a Ç å a 上单调递增, 在, + 上单调递减. () 注意到 f(0) =,f() = a, f (0) = a +,f () = a 4, 因此按 a 和, 4 的 关系展开讨论. 第 种情形,0 < a <. 函数 f() 在 [0, ] 上先单调递增, 再单调递减, 因此最 值在 = a 处取得, 最 值在 = 处取得 ; 第 种情形, a =. 函数 f() 在 [0, ] 上先单调递增, 再单调递减, 因此最 值在 = a 处取得, 最 值在 = 0 和 = 处取得 ; 第三种情形, < a < 4, 函数 f() 在 [0, ] 上先单调递增, 再单调递减, 因此最 值为 = a 处取得, 最 值在 = 0 处取得 ;

35 第四章安徽卷 5 第四种情形, a 4, 函数 f() 在 [0, ] 上单调递增, 因此最 值在 = 处取得, 最 值在 = 0 处 取得. 4.7 设 F, F 分别是椭圆 E : a + b = (a > b > 0) 的左 右焦点, 过点 F 椭圆 E 于 A, B 两点, AF = BF. () 若 AB = 4, ABF 的周长为 6, 求 AF ; () 若 cos AF B = 5, 求椭圆 E 的离 率. 的直线交 第 () 小题考查椭圆的定义, 第 () 小题进 步结合解三角形考查椭圆的定义, 都属于常规问题. () 根据已知条件, ABF 的周长为长轴长的两倍, 于是 a = 8, 从 () 设 BF = m, AF = m, 则 在 AF B 中应 余弦定理, 得 AF = a AF = 8 = 5. AF = a m, BF = a m. AB = AF + BF AF BF cos AF B, 即 (4m) = (a m) + (a m) (a m)(a m) 5, 解得 a = m. A B F O F 于是 AF = AF = m, 因此 AF F 为等腰直 三 形, 进 离 率 e = c a =.

36 6 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 4.7 第 定义

37 5. 8 学 的语 数学成绩均被评定为三个等级, 依次为 优秀 合格 不合格. 若学 甲的语 数学成绩都不低于学, 且其中 少有 门成绩 于, 则称 学 甲 学 成绩好. 如果 组学 中没有哪位学 另 位学 成绩好, 并且不存在语 成绩相同 数学成绩也相同的两位学, 那么这组学 最多有 ( ) A. B. C. 4 D. 5 将三个等级 优秀 合格 不合格 分别用 A B C 代替, 用 AB 来表示语 成绩为 优秀, 数学 成绩为 合格, 那么所有可能的成绩为 AA AB AC BA BB BC CA CB CC 根据题意, 每 和每列都 多选取 个作为某个学 的成绩, 因此这 组学 不能多于. 又当选择 {AC, BB, CA} 作为学 成绩时符合题意, 因此这 组学 最多有. B 5. 8 加 爆 花时, 爆开且不糊的粒数占加 总粒数的百分 称为 可 率. 在特定条件下, 可 率 p 与加 时间 t ( 单位 : 分钟 ) 满 函数关系 p = at + bt + c ( a, b, c 是常数 ), 下图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据, 可以得到最佳加 时间为 ( ) p O 4 5 t 7

38 8 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 5. 以形驭数 A..50 分钟 B..75 分钟 C 分钟 D. 4.5 分钟 题意即求函数 p(t) 的对称轴位置, 设其对称轴为 t = m. 根据图象可以判断 m 在 4 附近, 且由于 0.5 < 0.7, 因此 m 比 4 略小, 进 将点 (, 0.7) 对称到单调递减区间 [4, 5] 上, 可得 4 < m < 5, 即.5 < m < 4, 因此选项 B 正确. p (m, 0.7) t 事实上, 函数 p(t) 的解析式为 p(t) = 0.t +.5t. B 5. [ π 4 设函数 f () = A sin (ω + φ) ( A, ω, φ 是常数,A > 0,ω > 0 ). 若 f () 在区间 6, π ] ( π ) Å ã π ( π ) 上具有单调性, 且 f = f = f, 则 f () 的最 正周期为. 6 [ π 函数 f() 的图象经过三个实 点 ( 或空 点 ), 结合 f() 在区间 6, π ] 上单调, 因此 = π 是 Å ã Å ã 6 π 4π 函数 f() 的零点. 又 f = f, 因此 = 7π 是函数 f() 的对称轴, 如图. 6 6 t O t π 6 π 6 π 6 4π 6 5π 6 6π 6 于是 T 4 = 7π π 6, 从 T = π. π 顾客请 位 艺师把 A, B 两件 原料各制成 件 艺品, 艺师带 位徒弟完成这项任务, 每件原料先由徒弟完成粗加, 再由 艺师进 精加 完成制作, 两件 艺品都完成后交付顾客, 两件原料每道 序所需时间 ( 单位 : 作 ) 如下 :

39 第五章北京卷 9 时 原 间 序 料 粗加 精加 原料 A 原料 B 则最短交货期为个 作. 艺师和徒弟同时 作的时间最长为徒弟粗加 原料 A 的时间, 此时最短交货期为 = 4 个 作日, 如图. 艺师 徒弟 已知椭圆 C : + = 4. () 求椭圆 C 的离 率 ; () 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 = 上, 且 OA OB, 试判断直线 AB 与圆 + = 的位置关系, 并证明你的结论. 第 () 小题考查椭圆的 程与基本量, 属于送分题 ; 第 () 小题中如何简洁明了的表达关键条件 OA OB 是解决问题的核, 借用极坐标引 角度作为参数可以很 便的解决问题. () 根据题意, 椭圆的长半轴长 a =, 短半轴长 b =, 因此半焦距 c = a b =, 离 率 e = c a =. () 设 OA = r, OB = r, 点 A 的坐标为 A(r cos θ, r sin θ), 其中 θ 表 以 O 为始边, OA 为 终边的最 正. 由 OA OB 可得点 B 的坐标为 B ( ( r cos θ ± π ) (, r sin θ ± π )). B = O A 由点 A 在椭圆上, 点 B 在直线 = 上, 可得 ( r cos θ + r sin θ = 4, r sin θ ± π ) =,

40 40 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 5.5 单 直 因此点 O 到直线 AB 的距离 d 满 d = r + r = cos θ + sin θ 4 + cos θ 4 =, 即 d =. 因此直线 AB 与圆 + = 相切. 9 已知椭圆 C : + = 4. () 求椭圆 C 的离 率 ; () 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆上, 点 B 在直线 = 上, 且 OA OB, 求线段 AB 长度的最 值. 与理科第 9 题类似, 参见理科第 9 题的分析. () 根据题意, 椭圆的长半轴长 a =, 短半轴长 b =, 因此半焦距 c = a b =, 离 率 e = c a =. () 直线 AB 与圆 + = 相切. 设 B(t, ), A( 0, 0 ), 则 OA : = t, 与椭圆 程联 可得 因此 0 = 8 t +, AB = OA + OB ñ Å = + t ã ô 0 + t + 4 = t t + 8, 等号当且仅当 t = 0 时取得. 因此 AB 的最 值为. B = O A 沿 理科第 9 题的思路, 对应的解法如下 : 设 OA = r, OB = r, 点 A 的坐标为 A(r cos θ, r sin θ), 其中 θ 表 以 O 为始边, OA 为终 边的最 正. 由 OA OB 可得点 B 的坐标为 B = 上, 可得 ( ( r cos θ ± π ) (, r sin θ ± π )). 由点 A 在椭圆上, 点 B 在直线 ( r cos θ + r sin θ = 4, r sin θ ± π ) =, 为了和理科第 9 题保持 致, 交换了 A 点与 B 点的位置

41 第五章北京卷 4 因此 AB = r + r 4 = cos θ + sin θ + 4 cos θ Å = cos θ + sin θ + ã cos (cos θ + sin θ + cos θ ) θ cos θ = 4 + cos θ + sin θ + ( cos θ + sin θ ) cos θ 8, 等号当 sin θ = 0 时取得. 因此线段 AB 长度的最 值为 对于数对序列 P : (a, b ), (a, b ),, (a n, b n ), 记 T (P ) = a + b, T k (P ) = b k + ma {T k (P ), a + a + + a k } ( k n), 其中 ma {T k (P ), a + a + + a k } 表 T k (P ) 和 a + a + + a k 两个数中最 的数. () 对于数对序列 P : (, 5), (4, ), 求 T (P ), T (P ) 的值 ; () 记 m 为 a, b, c, d 四个数中最 的数, 对于由两个数对 (a, b),(c, d) 组成的数对序列 P : (a, b),(c, d) 和 P : (c, d), (a, b), 试分别对 m = a 和 m = d 两种情况 较 T (P ) 和 T (P ) 的 ; () 在由 5 个数对 (, 8),(5, ),(6, ),(, ),(4, 6) 组成的所有数对序列中, 写出 个数对序列 P 使 T 5 (P ) 最, 并写出 T 5 (P ) 的值.( 只需写出结论 ) 解决问题的关键在于如何对抽象的定义给出直观可操作的解释. 注意到题中的 T k (P ) 是递归定义的, 因此可以借用 路径选择 的 式进 思考. 第 () 小题需要研究 个最优问题, 解决 法是充分利用第 () 小题的结果, 通过逐步调整的 式得到最优排列. 将数对序列 P 按矩阵列写, 其中第 k 列为数对 (a k, b k ), k =,,, n, 则 T k (P ) 就是 a 的位 置到 b k 的位置 ( 左上 到右下 ) 的路径中, 经过 ( 每次只能往右或往下移动 ) 的数之和 ( 定义为路径的长 度 ) 的最 值, 如图所. a a a a 4 a 5 b b b b 4 b 5 () 根据题意, 有 T (P ) = 7, T (P ) = 8, 如图. 4 5

42 4 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 5.6 逐步调整 () 根据题意, 有 T (P ) = a + d + ma{b, c} = (a + b + c + d) min{b, c}, T (P ) = b + c + ma{a, d} = (a + b + c + d) min{a, d}, 其中 min{, } 表, 中的最 数. 当 m = a 和 m = d 时, 均有 min{b, c} min{a, d}, 从 有 T (P ) T (P ). () 可以按下图排列, 使得路径符合要求 ( 路径不唯 ) 此时 T 5 (P ) = 5. 为了说明第 () 题中数对序列的构造的过程, 我们先证明 个引理. 设 (a k, b k ) 和 (a k+, b k+ ) 是数对序列 P 中的相邻两列, 若 a k, b k, a k+, b k+ 中的最 数为 a k+ 或 b k, 那么交换这两列后得到的数对序列 P 满 T n (P ) T n (P ). 数对序列 P 如图. a a a k a k a k+ a k+ a n b b b k b k b k+ b k+ b n 按路径中 发 的位置, 列举出所有路径 l i (P ) ( 表 路径中包含 a i b i ) 的长度 S i (P ), 其中 i =,,, n, 则 i n S i (P ) = a k + b k, k= k=i 这样就有 T n (P ) = ma{s (P ), S (P ),, S n (P )}. 交换后的数对序列 P 对应的路径 l i (P ) 均发 了改变, 但是只有 S k (P ) 与 S k+ (P ) 发 了变化. 根据第 () 题的结果, 有 ma{s k (P ), S k+ (P )} ma{s k (P ), S k+ (P )}, 因此 T n (P ) = ma{s (P ), S (P ),, S n (P )} T n (P ), 这样就证明了引理. 应 引理, 可以先将数对序列优化为 (4, 6) 为第 列, 同时 (5, ) 为最后 列, 接下来将 (, ) 和 (, 8)

43 第五章北京卷 4 分别放在第 列和第四列的位置, 将 (6, ) 安排在第三列的位置, 可以使得结果最优. 由于调整过程可能不会改变 T n (P ) 的值, 因此实际上使得结果最优的排列 法并不唯 已知函数 f () =. () 求 f () 在区间 [, ] 上的最 值 ; () 若过点 P (, t) 存在 条直线与曲线 = f () 相切, 求 t 的取值范围 ; () 问过点 A (, ), B (, 0), C (0, ) 分别存在 条直线与曲线 = f () 相切?( 只需写出结论 ) 第 () 小题考查利用导函数研究函数的最值, 属于常规问题. 第 () 小题考查利用导函数求曲线的切 线 程, 其中符合题意的切线的数目又需要解决 个零点问题, 同样利用导函数进 研究. 解决第 () 小题 需要在第 () 小题的基础上进 般化的研究, 然后再特殊化为三个具体的点. () 函数 f() 的导函数 Ç å Ç å f () = 6 +, ñ å Ç å Ç ô 于是函数 f() 在, 上单调递增, 在, 上单调递减, 在, 上单调递增, 在 = 处取得极 值为, 在 = 处的函数值为 f() =, 因此函数 f() 在区间 [, ] 上 的最 值为 Ç å ma f, f() = ma, =. () 设过点 P (, t) 的直线与曲线 = f() 相切, 且切点横坐标为 m, 则切线 程为 = (6m )( m) + m m, 切线经过点 (, t), 因此 t = (6m )( m) + m m, 即 t = 4m + 6m. 令 g(m) = 4m + 6m, 则函数 g(m) 的导函数 g (m) = m( m), 于是函数 g(m) 在 (, 0) 上单调递减, 在 (0, ) 上单调递增, 在 (, + ) 上单调递减. 依题意, 直线 = t 与函数 g(m) 的图象有三个不同的公共点, 因此 t 的取值范围为 (g(0), g()), 即 (, ). () 过点 A(, ) 存在 条直线与曲线 = f() 相切 ; 过点 B(, 0) 存在 条直线与曲线 = f() 相切 ; 过点 C(0, ) 存在 条直线与曲线 = f() 相切.

44 44 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 5.7 梅开三度 般地, 如图, 过三次函数 f () 图象的对称中 作切线 l, 则坐标平 被切线 l 和函数 f () 的 图象分割为四个区域, 有以下结论 : III II = f() IV I l () 过区域 I III 内的点作 = f () 的切线, 有且仅有 条 ; () 过区域 II IV 内的点以及对称中 作 = f () 的切线, 有且仅有 条 ; () 过切线 l 或函数 f () 图象 ( 除去对称中 ) 上的点作 = f () 的切线, 有且仅有 条. 证明过程以及三次函数的其他性质详见附录 三次函数的性质

45 6. 0 已知 ABC 的内 A, B, C 满 sin A + sin (A B + C) = sin (C A B) +, 积 S 满 S, 记 a, b, c 分别为 A, B, C 所对的边, 则下列不等式 定成 的是 ( ) A. bc (b + c) > 8 B. ab (a + b) > 6 C. 6 abc D. abc 4 根据已知, 有于是也即化简得 sin A + sin[a (B C)] + sin[a + (B C)] =, sin A cos A + sin A cos(b C) =, sin A[ cos(b + C) + cos(b C)] =, sin A sin B sin C = 8. 另 面, 设 d 为 ABC 外接圆的直径, 则 S = ab sin C = sin A sin B sin C d = 6 d, 因此 4 d 4. 进 abc = d sin A sin B sin C î 8, 6 ó, 且由 b + c > a 易得 bc(b + c) > 8. A 45

46 46 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 6. 何 不出图 本题给出了三 形中的常 恒等式 sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 的证明 法. 6., (, 0], + 0 已知函数 f () = 且 g () = f () m m 在 (, ] 内有, (0, ], 且仅有两个不同的零点, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A. C. Å 94, ò Å 94, ò Å ò 0, Å 0, ò Å B. ò 4, Å D. ò 4, Å ò 0, Å 0, ò 问题即恒过点 (, 0), 且斜率为 m 的直线 = m( + ) 与函数 f() 的图象有且仅有两个不同的公共点, 如图. B(, ) A O = C(0, ) T 容易计算得直线 AB 的斜率为, 直线 AC 的斜率为, 设切线 AT 的斜率为 k, 则联立直线 = k( + ) 与双曲线 = + 的 程, 得 k( + ) + ( + ) = 0, 视其为关于 + 的 次 程, 判别式 = 9 + 4k = 0, 解得 k = 9 4. 综上, 直线 = m( + ) 的斜率 m 的取值范围是 Å 94 ò Å, 0, ò. A

47 第六章重庆卷 已知直线 a + = 0 与圆 为 C 的圆 ( ) + ( a) = 4 相交于 A, B 两点, 且 ABC 为等边三 形, 则实数 a =. 根据题意, 圆 C 到直线 a + = 0 的距离为半径的 a + a = + a,, 因此有 解得 a = 4 ± 5. 4 ± 某校早上 8 : 00 开始上课, 假设该校学 张与 王在早上 7 : 0 7 : 50 之间到校, 且每 在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则 张 王 少早 5 分钟到校的概率为.( 数字作答 ) 如图, 基本事件空间是边长为 0 的正 形区域, 事件空间是直角边长为 5 的等腰直角三角形区域. 小王 小张 利用 何概型可得所求的概率为 5 0 = 已知函数 f() = 4 + a ln, 其中 a R, 且曲线 = f() 在 (, f()) 处的切 线垂直于直线 =. () 求 a 的值 ; () 求函数 f() 的单调区间与极值. 第 () 小题考查利用导函数求曲线的切线 ; 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调区间与极值, 均属于常规问题. 由于参数在第 () 小题中已经确定, 因此此题难度很低.

48 48 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 6.6 故弄 虚 () 根据题意, 函数 f() 的导函数 f () = 4 a, f () =, 从 解得 a = 5 4. () 由第 () 题的结果, 可得 f () = + ( 5), > 0 4 于是函数 f() 的单调递增区间是 (5, + ) ; 单调递减区间是 (0, 5). 在 = 5 处取得极 值, 极 值为 f(5) = ln / 如图, 设椭圆 a + b = (a > b > 0) 的左 右焦点分别为 F, F, 点 F F D 在椭圆上, DF F F, DF =, DF F 的 积为. D F O F () 求椭圆的标准 程 ; () 设圆 在 轴上的圆与椭圆在 轴的上 有两个交点, 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分 别过不同的焦点, 求圆的半径. 第 () 小题考查椭圆的 程与基本量, 属于常规问题. 第 () 小题通过直线与圆相切描述了 个与椭 圆的焦点弦长有关的 何量, 具体求解的时候只需要在椭圆中进 即可. () 根据题意, 由 DF F F 得 DF = b a, 进 有 c = b a, c b a =, a = b + c, 解得 a =, b =, c =, 因此椭圆的标准 程为 + =. () 如图, 设圆 为 P, 切点分别为 A, B, 圆在 A, B 处的切线分别为 QA, QB, 其中 Q 为两条切线的 交点, 则根据题意, P A AQ, P B BQ, BQ AQ, P A = P B, 因此四边形 P AQB 为正 形. ( 科第 题将此 题改为了探索型问题, 并需要给出圆的 程. 事实上, 圆的 程为 + 5 ) = 9

49 第六章重庆卷 49 P A O B F F Q 由椭圆和圆的对称性可得直线 AQ, BQ 的斜率分别为,, 因此 Q 为椭圆的下顶点, 于是圆的半径就 是过焦点的弦 AQ 的长度. 连接 AF, 设 AF = m, 则 AF = m, 在直 三 形 AQF AQ + QF = AF, 中, 有 即 ( + m) + ( ) = ( m), 解得 m =. 因此所求半径的长为 AQ = QF + F A = 4. 过椭圆 a + b = ( a > b > 0 ) 的焦点的弦长为在的直线所成的. ab b + c sin θ, 其中 θ 为弦所在的直线与长轴所 6.7 设 a =, a n+ = a n a n + + b (n N ). () 若 b =, 求 a, a 及数列 {a n } 的通项公式 ; () 若 b =, 问 : 是否存在实数 c, 使得 a n < c < a n+ 对所有 n N 成? 证明你的结论. 第 () 小题是由数列的递推公式求数列的通项公式的常规问题, 只需要对递推公式稍加变形即可. 第 () 小题是数列的 列的有界性问题, 可以利用迭代函数 f() = + 进 探索, 如图. = a a 5 a 4 a a a 4 a 5 a = f() 证明过程及更多相关内容详见附录 焦半径公式 详见附录 迭代函数法

50 50 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 6.7 漩涡风暴 由于直线 = 与函数 f() 的交点横坐标为 4, 接下来证明 c = 4 即可. () 当 b = 时, 有» a = a a + + =,» a = a a + + = +. 般地, 递推公式可以变形为 (a n+ ) (a n ) =, 因此 {(a n ) } 是 项为 (a ) = 0, 公差为 的等差数列, 从 有 (a n ) = n, n =,,, 显然 a n ( n =,, ), 因此数列 {a n } 的通项公式为 a n = n +, n N. () 符合题意的实数 c 存在, 且 c = 4, 证明如下. 设函数 f() = +, 则 a n+ = f(a n ), 且 f 减. 接下来 数学归纳法证明 个更强的命题 : Å ã = 4 4, 函数 f() 在区间 [0, ] 上单调递 n N, 0 a n < 4 < a n+. 当 n = 时, 由于 a = 0, a =, 命题显然成. 假设命题当 n = k ( k N ) 时成, 即 0 a k < 4 < a k+, 则由于函数 f() 在区间 [0, ] 上单调递减, 于是 f(0) f(a k ) > 4 > f(a k+) f(), 也即 > a k+ > 4 > a k+ 0, 再次利 函数 f() 在区间 [0, ] 上单调递减, 于是可得 f() f (a k+ ) < f Å ã < f (a k+ ) f(0), 4 即 0 a k+ < 4 < a k+,

51 第六章重庆卷 5 因此命题对 n = k + 时也成. 综上, 命题 n N, 0 a n < 4 < a n+ 成, 因此原命题成.

52 5 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 6.7 漩涡风暴

53 7. 0 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表 球, 由加法原理及乘法原理, 从 个红球和 个蓝球中取出若 个球的所有取法可由 ( + a) ( + b) 的展开式 + a + b + ab 表 出来, 如 : 表 个球都不取 a 表 取出 个红球, ab 则表 把红球和蓝球都取出来. 依此类推, 下列各式中, 其展开式可 来表 从 5 个 区别的红球 5 个 区别的蓝球 5 个有区别的 球中取出若 个球, 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 ( ) A. ( + a + a + a + a 4 + a 5) ( + b 5) ( + c) 5 B. ( + a 5) ( + b + b + b + b 4 + b 5) ( + c) 5 C. ( + a) 5 ( + b + b + b + b 4 + b 5) ( + c 5) D. ( + a 5) ( + b) 5 ( + c + c + c + c 4 + c 5) 依题意, 用 表示某种颜 的球, n 为该种颜 的球的数量. 当 n 个球互不相同时, 每个球都有取或者不取两种可能, 并且每个球是否被选取和其他球 关, 因此用 ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) n }{{} n 个 表示 ; 当 n 个球 区别时, 那么选取该种颜 的球时的不同可能只与选取的球的数目有关, 因此用 n 表示 ; 当 n 个球同时选取或者都不选取时, 显然用 + n 表示. 因此将选取球的步骤按颜 分为三步, 那么就有 ( + a + a + a + a 4 + a 5) ( + b 5) ( + c) 5 为所求. A 5

54 54 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 7. 折线椭圆 7. 在平 直 坐标系中, 两点 P (, ), P (, ) 间的 L- 距离 定义为 P P = +, 则平 内与 轴上两个不同的定点 F, F 的 L- 距离 之和等于定值 ( 于 F F ) 的点的轨迹可以是 ( ) O F F O F F A B O F F O F F C D 设 F ( c, 0), F (c, 0), c > 0, 轨迹上的任意 点 M(, ), 则根据 L- 距离的定义, 有 + c + c + = a, 不难得到在分区域讨论去掉绝对值符号后, 程总表现为直线 程, 因此曲线由多段线段形成. 这些直线 的斜率可能为 0,,, 即可得到答案. A 7. 5 若集合 {a, b, c, d} = {,,, 4}, 且下列四个关系 :➀ a = ;➁ b ;➂ c = ;➃ d 4, 有且只有 个是正确的, 则符合条件的有序数组 (a, b, c, d) 的个数是. 由于 ➁ 和 ➃ 成立的可能性较, 因此从 (b, d) 出发分为 5 类. 第 类, (b, d) = (, 4) 时, a, 因此 c =, 所以 (a, c) = (, ) 符合题意 ; 第 类, (b, d) = (, ) 时, 对 a, c 要求, 所以 (a, c) = (, 4) 或 (4, ) 均符合题意 ; 第三类, (b, d) = (, ) 时, 只需要 c, 所以 (a, c) = (, 4) 符合题意 ; 第四类, (b, d) = (, 4) 时, 只需要 a, 所以 (a, c) = (, ) 符合题意 ; 第五类, (b, d) = (, 4) 时, 需要 a 且 c, 所以 (a, c) = (, ) 符合题意. 综上, 符合题意的有序数组 (a, b, c, d) 的个数为 已知集合 {a, b, c} = {0,, }, 且下列三个关系 :➀ a ;➁ b = ;➂ c 0 有且只有 个正确, 则 00a + 0b + c 等于.

55 第七章福建卷 55 与理科第 5 题类似, 按 (a, c) 的取值思考, 不难得到只有当 (a, c) = (, ) 时,b = 0 符合题意, 因 此 00a + 0b + c = 已知双曲线 E : a b = (a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别为 l : =,l : =. () 求双曲线 E 的离 率 ; () 如图, O 为坐标原点, 动直线 l 分别交直线 l, l 于 A, B 两点 ( A, B 分别在第 四象限 ), 且 OAB 的 积恒为 8, 试探究 : 是否存在总与直线 l 有且只有 个公共点的双曲线 E? 若存在, 求出双曲线 E 的 程 ; 若不存在, 说明理由. l l A O B l 第 () 小题考查双曲线的基本量与 程, 属于常规问题. 第 () 小题是 个性质探求的问题, 可以先用特殊位置确定可能的双曲线 程, 再去尝试证明. 事实上, 取与 轴垂直的直线 AB 即可计算得双曲线 E : 4 6 =. 证明时如何简洁地表达双曲线上某点处的切线是解决问题的关键, 可以利用交点曲线系表达. () 根据题意有 b a = 4, 从 双曲线的离 率 e = a + b a = 5. () 存在符合题意的双曲线 E, 且 E : 4 6 =, 证明如下. 设 P ( 0, 0 ) 是双曲线右 上 点, 满 =, 曲线 Γ : ( 0) 4 与双曲线 E 只有唯 的公共点 P, 将两条曲线的 程相减, 得到直线 ( 0) 6 = 0, 则曲线 Γ Å ã m : 4 6 ï ( 0 ) 4 ( 0) ò = 0, 6 即 m : = 详见附录 圆锥曲线的切线 程

56 56 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 7.5 岿然不动 必然通过点 P, 且直线 m 上不存在除 P 以外的双曲线上的点 ( 否则 程左边的两个括号中, 第 个为 0, 第 个不为 0, 盾 ), 因此 m 即双曲线 E 在点 P 处的切线 程. 将直线 m 的 程分别与直线 = 和 = 联, 可得 A, B 两点的横坐标, ( 0 4 ) ( 0 0 =, ) 0 =, 8 满 两式相乘得 Å ã =, 64 即 = 4. 由 tan AO = 可得 sin AOB = tan AO + tan AO = 4 5, 于是三 形 AOB 的 积 S = sin AOB OA OB = = 8,» + ( ) 从 命题得证. 实际上可以通过伸缩变换 =, =, 将双曲线 压缩 为等轴双曲线, 然后将双曲线旋转, 使得两 条渐近线分别与 轴和 轴重合, 此时研究反 例函数 = m ( 其中 m > 0, 实轴长为 m ) 的图象的性质即可. 7.5 已知曲线 Γ 上的点到点 F (0, ) 的距离 它到直线 = 的距离. N O A C P B M () 求曲线 Γ 的 程 ; () 曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 轴交于点 A. 直线 = 分别与直线 l 及 轴交于点 M, N. 以 MN 为直径作圆 C, 过点 A 作圆 C 的切线, 切点为 B, 试探究 : 当点 P 在曲线 Γ 上运动 ( 点 P 与原点不重合 ) 时, 线段 AB 的长度是否发 变化? 证明你的结论.

57 第七章福建卷 57 第 () 小题考查抛物线的定义与 程, 第 () 小题考查直线与抛物线相切 以及直线与圆相切, 从抛物 线上的点 P 的坐标出发依次计算各个相关 程及 何量, 不难得到结论. () 根据题意, 曲线 Γ 是 F (0, ) 为焦点, 直线 = 为准线的抛物线, 因此其 程为 = 4. () AB 为定值, 证明如下. 设 P (4t, 4t ), 则抛物线 Γ 在 P 处的切线 程为 = t( 4t) + 4t, 即 = t 4t. 因此点 A 的坐标为 A(t, 0). 进 点 M, N 的坐标分别为 M Åt + t ã,, N(0, ), 因此圆 C 的半径 r = t + 4t. 于是线段 AB 的长, 即切线长满 AB = AC Å r = t 4tã Å + 9 t + 4tã = 6, 为定值, 因此命题得证 / 已知函数 f () = e a ( a 为常数 ) 的图象与 轴交于点 A, 曲线 = f () 在点 A 处的切线斜率为. () 求 a 的值及函数 f () 的极值 ; () 证明 : 当 > 0 时, < e ; () 证明 : 对任意给定的正数 c, 总存在 0, 使得当 ( 0, + ) 时, 恒有 < ce. 第 () 小题考查利用导函数求曲线的切线 程, 属于常规问题. 第 () 小题中与函数不等式相关的函数的导函数恰好为 f(), 因此可以利用第 () 小题的结论直接证出. 对于第三问, 我们可以类比从第 () 小题的结果得到第 () 小题的结果的过程 ( 实际上就是积分 ), 得到 e 的三次多项式的下界, 然后稍加放缩即可转化为 次多项式的下界. () 根据题意, 函数 f() 的图象与 轴交于 A(0, ), 函数 f() 的导函数 f () = e a, 因此 f (0) =, 解得 a =. 此时 f() = e, 其导函数 f () = e, 因此函数 f() 在 (, ln ) 上单调递减, 在 (ln, + ) 上单调递增, 在 = ln 处取得极 值为 f(ln ) = ln. () 设函数 g() = e, 则 g () = e, 详见附录 圆锥曲线的切线 程 科第 题中第 () 题削弱为 : 证明 : 对任意给定的正数 c, 总存在 0, 使得当 ( 0, + ) 时, 恒有 < ce. 可 以由第 () 题直接证明

58 58 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 7.6 得 进尺 根据第 () 题的结论,g () 的极 值同时也为最 值, ln > 0, 因此对任意实数,g () > 0, 因此 g() 单调递增, 从 当 > 0 时, g() > g(0) = > 0, 命题得证. () 令 h() = e ( > 0 ), 则 h() 的导函数 h () = e, 由第 () 题结论可知当 > 0 时,h () > 0, 因此 h() 在 (0, + ) 上单调递增, 进 h() > h(0) =. 这样我们就得到了 : 对任意给定的正数 c, 均有 ce > c = c, 因此取 0 = c, 那么就有当 > 0 时, 恒有 ce >, 原命题得证.

59 8. 8 设集合 A = {(,,, 4, 5 ) i {, 0, }, i =,,, 4, 5}, 那么集合 A 中满 条件 的元素个数为 ( ) A. 60 B. 90 C. 0 D. 0 设有序数对 (,,, 4, 5 ) 中 0 的个数为 k, 则由题中条件可得 k =,, 4. 首先确定这 k 个 0 由 i ( i =,,, 4, 5 ) 中的哪 k 个提供, 有 C k 5 种不同的 法 ; 然后确定剩下的 5 k 个数中每个数取 还是取, 有 5 k 种不同的 法. 因此所求的元素个数为 C 5 + C 5 + C 4 5 = 0. D 8. 0 对任意复数 ω, ω, 定义 ω ω = ω ω, 其中 ω 是 ω 的共轭复数, 对任意复数 z, z, z 有如下四个命题 : ➀ (z + z ) z = (z z ) + (z z ) ; ➁ z (z + z ) = (z z ) + (z z ) ; ➂ (z z ) z = z (z z ) ; ➃ z z = z z, 则真命题的个数是 ( ) A. B. C. D. 4 根据题中对 运算的定义, 以及复数的共轭运算与复数的四则运算可以任意交换顺序, 可得 : 命题 ➀ 中的等式左右两边均为 z z + z z ; 命题 ➁ 中等式左右两边均为 z z + z z ; 命题 ➂ 中等式左边为 z z z, 等式右边为 z z z ; 命题 ➃ 中等式左边为 z z, 等式右边为 z z. 因此只有命题 ➀ 和命题 ➁ 是真命题. 59

60 60 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 8. 数列的互补性 B 8. 若等 数列 {a n } 的各项均为正数, 且 a 0 a + a 9 a = e 5, 则 ln a + ln a + + ln a 0 =. 由等比数列的性质可得 a a 0 = a a 9 = = a 9 a = a 0 a, 结合已知可得它们的值都为 e 5. 因此用倒序相加法可得所求式 的值为 ln(a a 0 ) + ln(a a 9 ) + + ln(a 0 a ) = 0 ln e5 = 等 数列 {a n } 的各项均为正数, 且 a a 5 = 4, 则 log a + log a + log a + log a 4 + log a 5 =. 与理科第 题类似, 由等比数列的性质可得 a a 5 = a a 4 = a = 4, 因此用倒序相加法可得欲求代数式的值为 5 log (a a 5 ) + log (a a 4 ) + log a + log (a 4 a ) + log (a 5 a ) = 5log 4 = 5. 0 / 0 5. () 求椭圆 C 的标准 程 ; 8.4 已知椭圆 C : a + b = (a > b > 0) 的 个焦点为 Ä 5, 0 ä, 离 率为 () 若动点 P ( 0, 0 ) 为椭圆 C 外 点, 且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直, 求点 P 的轨迹 程. 第 () 小题考查椭圆的基本量与 程, 属于常规问题. 第 () 小题是 个轨迹 程问题, 注意到关键 条件是两条切线互相垂直, 因此得到关于切线的斜率的 程, 并利用韦达定理表达垂直是解决问题的核 步 骤. () 记 c 为椭圆的半焦距, 则根据题意有 c = 5, c 5 a =, 进 可得 a =, b =. 因此椭圆 C 的标准 程为 =. ()

61 第 章 东卷 6 当 0 ± 时, 如图, 设过 P ( 0, 0 ) 的椭圆 C 的切线为 = k( 0 ) + 0 ( k 0 ). P O 联 该直线与椭圆 程得 整理得 其判别式 = 0, 即 (k + 0 k 0 ) =, (9k + 4) + 8( 0 k 0 )k + 9( 0 k 0 ) 6 = 0, (9 0) k k = 0. 根据题意, 这个关于 k 的 程的两根 k, k, 即点 P 到椭圆 C 的两条切线的斜率, 因此有 k k =, 从 =, 0 即 = ( 0 ±). 当 0 = ± 时, P 点的坐标为 (, ±) 以及 (, ±), 也符合上述 程. 综上所述, 所求轨迹 程为 + =. 如图, 设两个切点分别 M, N, 作椭圆的左焦点 F 关于两条切线 P M, P N 的对称点, 分别为 F, F, 连 接 F F, F F, F F, F F, A, B 分别为线段 F F, F F 的中点, 连接 OA, OB, OP. P F F A M F O B F N 根据椭圆的光学性质,F, M, F 以及 F, N, F 均三点共线, 因此 OA = OB =. 由于四边形 AP BF 为矩形, 因此 OP + OF = OA + OB, 即 OP =, 矩形的性质 : 矩形所在的平 上 点到矩形的两条对 线的端点的距离的平 和相等

62 6 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 8.5 过五关斩六将 从 点 P 的轨迹 程为 + =. 般地, 判断直线 A + B + C = 0 与椭圆 a + b = ( a > b > 0 ) 的位置关系时, 有等效判别式 0 = a A + b B C, 当 0 > 0 时, 直线与椭圆相交 ; 当 0 = 0 时, 直线与椭圆相切 ; 当 0 < 0 时, 直线与椭圆相离. 这 结论的证明留给读者. 利 此结论很容易将本题拓展到 般情形, 对于 般的椭圆 a + b = ( a, b > 0 ), 其互相垂直的切线的交点形成的轨迹为 + = a + b. 这个圆叫做蒙 圆, 它的发现 是法国 何学家蒙 (G.Monge,746-88). 蒙 圆的进 步推 是椭圆 a + b = 的任意两条夹 为 θ 的切线的交点的轨迹 程是 ( + a b ) tan θ = 4b + 4a 4a + b. 此外, 对于抛物线 = p ( p > 0 ), 任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是直线 = p. 8.5 设函数 f () =», 其中 k <. ( + + k) + ( + + k) () 求函数 f () 的定义域 D ( 区间表 ); () 讨论函数 f () 在 D 上的单调性 ; () 若 k < 6, 求 D 上满 条件 f () > f () 的 的集合 ( 区间表 ). 本题中的函数是 个典型的复合函数, 因此可以按照复合函数的定义域, 单调性的研究 法进 研究. 其中第 () 小题注意先通过因式分解确定零点的位置, 再结合单调性得到不等式的解集. () 函数 = f() 可以看作是三个函数 = u, u = t + t, t = + + k 复合形成的函数. 函数 = 的定义域为 {u u > 0}, 于是 t 的取值范围是 {t t < 或 t > }, 因此函数 = f() 的 u 定义域为 { + + k < 或 + + k > } 即 { + + k + < 0 或 + + k > 0 }. 由于 k <, 因此可设关于 的 程 + + k = 0 的两根分别为, ( < ), 关于 的 程 + + k + = 0 的两根分别为, 4 ( < 4 ), 则 = k, = + k, = k, 4 = + k, 对于圆 + = a, 对应的圆为 + = a ; 对于双曲线 果 a < b, 则对应的轨迹不存在 ) a b = ( a > b > 0 ), 对应的圆为 + = a b ( 如

63 第 章 东卷 6 于是函数 = f() 的定义域为 (, ) (, 4 ) (, + ). () 注意到函数 t = + + k 的对称轴为 =, 最 值为 k, 因此将定义域分段讨论如下. (, ) (, ) (, 4 ) (, + ) 函数 t 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 t (, + ) (k, ) (k, ) (, + ) 函数 u t 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 函数 u 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 其中 t = + + k, u t = t + t, u = ( + + k) + ( + + k). 又由于 = 始终为单调递减函数, 因此 f() 在区间 (, ) 上单调递增, 在区间 (, ) 上单调 u 递减, 在区间 (, 4 ) 上单调递增, 在区间 (, + ) 上单调递减, 其中 = k, = + k, = k, 4 = + k. () 条件 f() > f() 即 ( + + k) + ( + + k) < (k + ) + (k + ), 也即 整理得 ( + + k + k + )( + + k k ) + ( + + k k ) < 0, ( + + k + 5)( + ) < 0. 由于 k < 6, 于是 程 + + k + 5 = 0 的两根 5, 6 ( 5 < 6 ) 分别在区间 (, ), (, + ) 上. 同时 程 + = 0 的两根 7, 8 ( 7 < 8 ) 均在区间 (, 4 ) 上, 且 5 = k 4, 6 = + k 4, 7 =, 8 =. = u = u = 5 O 4 6 结合函数 u 的定义域以及单调性可知不等式 f() > f() 的解集为 ( 5, ) (, ) (, 4 ) (, 6 ),

64 64 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 8.6 查漏补缺 其中 = k, = + k, = k, 4 = + k, 5 = k 4, 6 = + k 已知函数 f () = + + a + (a R). () 求函数 f () 的单调区间 ; () 当 a < 0 时, 试讨论是否存在 0 Å 0, ã Å ã,, 使得 f ( 0 ) = f Å ã. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 第 () 小题考查利用导函数研究函数的零点, 均属于 常规问题. () 根据题意, 函数 f() 的导函数 f () = + + a, 其判别式为 = 4( a), 因此按 a 与 的 关系展开讨论. 第 种情形, 当 a < 时, f () 有两个不同零点, 于是 f() 的单调递增区间是 (, a) 和 ( + a, + ) ; f() 的单调递减区间是 ( a, + a). 第 种情形, 当 a Å ã 时, f() 在定义域 R 上单调递增. () 程 f( 0 ) = f 即 移项并应 差公式及平 差公式得 a 0 + = Å ã + Å ã + a +, ï Å ã ò Å 4 + a 0 ã = 0, 即 ñå ã + a ô Å 0 ã = 0, 4 6 由于 0, 因此问题转化为 程 Å + 7 ã = a 是否在区间 (0, ) 上有不等于的解. Å 将上述 程的解看作函数 g() = + 7 ã 4 g() 在区间 (0, ) 上单调递增, 因此易得当 g(0) < a + 合题意的 0. 的图象与直线 = a + 6 的公共点的横坐标, 注意到函数 6 < g() 且 a + Å ã 6 g 时, 存在符

65 第 章 东卷 65 不难解得当 5 < a < 7 题意的 0. 且 a 5 4 时, 存在符合题意的 0. 当 a 取其他负实数时, 不存在符合

66 66 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 8.6 查漏补缺

67 9. 0 已知函数 f () 是定义在 R 上的奇函数, 当 0 时, f () = ( a + a a ). 若 R, f ( ) f (), 则实数 a 的取值范围为 ( ) ï A. 6, ò ñ ô ï 6 6 B. 6 6, C. 6, ò D. ñ, ô 当 a 0 时, 用分界点 = a 和 = a 讨论, 结合函数的奇偶性, 不难画出函数的草图如图. = f() a a a O O a a a 6a 题中条件 R, f( ) f() 的含义是将函数图象向右平移 个单位, 设法将图象中的 ( 阴影部 分 ) 移动到原图象的下 ñ ( 可以与边界重合 ô ). 因此有 6a. 结合 a = 0 时显然符合题意, 可解得实数 6 6 a 的取值范围是 6,. 6 B 9. 0 算数书 简于上世纪 年代在湖北省江陵县张家 出, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求 囷盖 的术 : 置如其周, 令相乘也. 又以 乘之, 三 六成. 该术相当于给出了由圆锥的底 周长 L 与 h, 计算其体积 V 的近似公式 V 6 L h, 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为. 那么, 近似公式 V 75 L h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为 ( ) 也可以考虑将 坑 填平 67

68 68 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 9. 均值函数 A. 7 B. 5 8 C D. 55 圆锥的体积公式可以作如下变形 : V = πr h = π (πr) h = π L h, 于是若 π 75, 则相当于 π 5 8. B 4 9. 设 f () 是定义在 (0, + ) 上的函数, 且 f () > 0, 对任意 a > 0, b > 0, 若经过点 (a, f (a)), (b, f (b)) 的直线与 轴的交点为 (c, 0), 则称 c 为 a, b 关于函数 f () 的平均数, 记为 M f (a, b), 例如, 当 f () = ( > 0) 时, 可得 M f (a, b) = c = a + b, 即 M f (a, b) 为 a, b 的算术平 均数. () 当 f () = ( > 0) 时, M f (a, b) 为 a, b 的 何平均数 ; ab () 当 f () = ( > 0) 时, M f (a, b) 为 a, b 的调和平均数 a + b. ( 以上两空各只需写出 个符合要求的函数即可 ) () 根据题意, 有 因此可以取 f() = k ( k > 0 ); () 根据题意, 有 因此可以取 f() = k ( k > 0 ); f(a) 0 a ab = 0 ( f(b)), 即 ab b f(a) 0 a ab a + b = 0 ( f(b)), 即 ab a + b b f(a) a = f(b) b, f(a) a = f(b) b, () ;() 已知圆 O : + = 和点 A (, 0), 若定点 B (b, 0) (b ) 和常数 λ 满 : 对圆 O 上任意 点 M, 都有 MB = λ MA, 则 () b = ; () λ =. 根据题意, 有 MB = λ MA, 设 M(, ), 于是 ( b) + = λ [ ( + ) + ],

69 第九章湖北卷 69 将 = 代, 整理得 (4λ + b) + 5λ b = 0, 该等式对任意 均成立, 于是 4λ + b = 0, 5λ b = 0, 解得 b =, λ = ( λ > 0, 负值舍去 ). M A B O () ;(). 平 上到两个定点的距离的 为常数 ( 不为 的正数 ) 的点的轨迹是圆, 这种 式定义的圆称为阿 波罗尼斯圆. 9.5 / 在平 直 坐标系 O 中, 点 M 到点 F (, 0) 的距离 它到 轴的距离多. 记点 M 的轨迹为 C. () 求轨迹 C 的 程 ; () 设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (, ), 求直线 l 与轨迹 C 恰好有 个公共点 两个公共点 三个公共点时 k 的相应取值范围. 第 () 小题是典型的轨迹问题, 容易遗漏 < 0 的部分 ; 第 () 小题考查直线与抛物线的位置关系, 确定分界点后展开讨论即得. () 根据题意, 设 M(, ), 则» ( ) + = +, 4, 0, 即 = +. 因此轨迹 C 的 程为 = 0, < 0. () 如图, 直线 l, l 是抛物线 = 4 过点 P (, ) 的两条切线, 直线 l 是过 P 且与 轴平 的直 线, 直线 l 4 即直线 OP.

70 70 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 9.6 沙场秋点兵 l P O l l 4 l 联 直线 + = m( ) ( 其中 m 为斜率的倒数 ) 与抛物线 = 4 可得 4m + 4m + 8 = 0, 于是由判别式为零得到 程 m m = 0, 解得直线 l 的斜率为, 直线 l 的斜率为, 又直线 l 的斜率为 0, 直线 l 4 的斜率为. 设直线 l 与 C : = 0 ( < 0 ) 的公共点个数为 n, 与 C : = 4 的公共点个数为 n, 则直线 l 与轨迹 C 的公共点个数 n = n + n, 讨论如下. k (, ) Å, ã Å, 0 ã 0 Å 0, ã Å ã, + n n 0 0 n 因此直线 l 与轨迹 C 的公共点个数分别为,, 时, 对应的 k 的取值范围是 Å ã (, ) {0}, +, 个公共点, { } ï ã ß, 0, 个公共点, Å, ã Å 0, ã, 个公共点. 9.6 / π 为圆周率, e =.788 为 然对数的底数. () 求函数 f () = ln 的单调区间 ; () 求 e, e, e π, π e, π, π 这六个数中的最 数与最 数 ; () 将 e, e, e π, π e, π, π 这六个数按从 到 的顺序排列, 并证明你的结论. 科第 题没有第 () 题

71 第九章湖北卷 7 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性, 给后面两个小题做铺垫. 第 () 小题利用基本初等函数的性质进 初步比较后直接应用第 () 小题的结果就可以得到最 数与最小数. 第 () 小题中的核 问题在于如何估计 ln π 的近似值, 为了利用第 () 小题的结果, 只需要选取 = e m π n ( 其中 m, n 均为整数 ) 进 估算就可以了 ( 的值越靠近 e, 估算的结果越靠近真实值 ). () 函数 f() 的导函数 f () = ln, 因此函数 f() 在 (0, e) 上单调递增, 在 (e, + ) 上单调递减. () 由幂函数与指数函数的单调性可得 e < e π < π, e < π e < π, 因此这六个数中的最 数为 ma{ π, π }, 最 数为 min{e, e }. 根据第 () 题的结果, 有 从 ln e e > ln > ln π π, e > e, π > π, 因此这六个数中的最 数为 π, 最 数为 e. () 根据第 () 题的结果, 只需要 较 e 和 π e 的, 以及 e π 和 π 的. 与第 () 题类似, 只需要 较 ln π 与 e, π 的 关系. 由于 e =.0..., π =.04..., 接下来估算 ln π. 利 第 () 题的结果可得 即 ln e π e π < e, ln π > e π >., 因此 进 因此 ln π > e > π, e < π e 且 e π < π, e < e < π e < e π < π < π. 在 = e m π n 中令 m =, n =, 则可以估计出 ln π 的上界 e +.7. 关于常数 e 和 π 还有很多有趣的知识, 如 e π 正是我们所知的盖尔范德常数, 并且已经被证明了是超越数, 但是我们 对 π e 却知之甚少, 还没有证明它是 理数 ( 即使它确实是 ). 另外 π 4 + π 5 e 6, 左右两边的 数点后前 π

72 7 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 9.6 沙场秋点兵 4 位都是 样的. 稍微弱 点的近似等式为 π 7 e 8.0

73 0 0. 已知函数 f () = + e ( < 0) 与 g () = + ln ( + a) 的图象上存在关于 轴 对称的点 Å, 则 ã a 的取值范围是 ( ) A., B. (, e) C. e Å, ã e e D. Å ã e, e 根据题意, 存在 > 0 使得 ( ) + e = + ln( + a), 即函数 h() = ln( + a) e + 在 (0, + ) 上存在零点. 当 a > 0 时, 函数 h() 在 (0, + ) 上单调递增, 因此当 h(0) = ln a < 0, 即 a < e 时, 函数 h() 的值域 Åln a ã, + 包含 0, 因此在区间 (0, + ) 上存在零点 ; 当 a 0 时, 函数 h() 在 ( a, + ) 上单调递增, 函数 h() 的值域为 (, + ), 因此在区间 (0, + ) 上存在零点. 综上, a 的取值范围是 (, e). B 0. 6 / 0 在平 直 坐标系中, O 为原点, A (, 0), B Ä 0, ä, C (, 0), 动点 D 满 CD #» =, 则 OA #» + OB #» + OD #» 的最 值是. 将 #» OD 拆分为两个有相关描述的向量 #» OC 和 OA #» + OB #» + OD #» = OA #» + OB #» + OC #» + CD #» = (, ) + CD #» (, ) + CD #» = 7 +, 科第 0 题将填空改为了选择 #» CD 之和 : 7

74 74 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 0. 红叶 先 #» 等号当且仅当 CD 与向量 (, ) 同向时取得. 因此所求的最 值为 平 向量 #» a, #» b 满 #» a #» b #» a ± #» b #» a + #» b, 这是对平 向量的和与差的长度进 估计的重要不等式. 0. ( 湖南卷 科第 5 题 ) 若 f () = ln ( e + ) + a 是偶函数, 则 a =. 注意到 f() = ln ( e +a + e a) = ln î e (+a) + e aó, 因此由 + a = a 解得 a =. 0.4 如图,O 为坐标原点, 椭圆 C : a + b = ( a > b > 0 ) 的左 右焦点分别为 F, F, 离 率为 e ; 双曲线 C : a b = 的左 右焦点分别为 F, F 4, 离 率为 e. 已知 e e =, 且 F F 4 =. P M A F F F O F 4 B Q () 求 C, C 的 程 ; () 过 F 作 C 的不垂直于 轴的弦 AB, M 为弦 AB 的中点. 当直线 OM 与 C 交于 P, Q 两点时, 求四边形 AP BQ 积的最 值. 第 () 小题考查椭圆与双曲线的基本量与 程, 是常规问题. 第 () 小题中, 由于直线 AB 与直线 P Q 的斜率相关, 因此可以依托这 联系分别设出直线 程, 然后分别与椭圆和双曲线联立, 再利用弦长公式 点到直线的距离公式 韦达定理求解即可. 详见 有 次曲线的 垂径定理

75 第 章湖南卷 75 () 根据题意, 有 a b a + b a a =, a + b a b =, 解得 a =, b =, 因此椭圆 C 的 程为 + =, 双曲线 C 的 程为 =. () 设直线 AB : = m, A(, ), B(, ), P (, ), Q( 4, 4 ), 显然有 + 0. 由 + =, + = 两式相减, 并应 平 差公式可变形得 + + =, 因此直线 OM 的斜率 联 直线 AB 的 程与椭圆 C + + = m, 于是直线 P Q 的 程为 = m. 的 程, 可得 (m + ) m = 0. 联 直线 P Q 的 程与双曲线 C 的 程, 可得 ( m ) = 4. 根据题意, 记点 P, Q 到直线 AB 的距离分别为 d(p, AB), d(q, AB), 则四边形 AP BQ 的 积 S AP BQ = AB [d(p, AB) + d(q, AB)] = Å + m m + + m + ã 4 m m = + m 4 m( 4 ) + m = Å + ã m ( 4 ) + m + m = 8( + m + m ) + m 6( m + + m m ) m = m + m = + m, 等号当且仅当 m = 0 时取得. 因此四边形 AP BQ 积的最 值为.

76 76 考压轴题的分析与解 (04 年 ) 0.5 流连忘返 A P M F F F O F 4 B Q =, 如图, 作伸缩变换 = 则椭圆变为圆 + =, 双曲线变为 =., 此时 A B P Q, 因此四边形 A P B Q 的 积 S A P B Q = A B P Q, 当 A B 轴时, 线段 A B 和线段 P Q 的长度同时取得最 值, 从 此时 S A P B Q 最, 为 =. 于是四边形 AP BQ 积的最 值为 = 如图, O 为坐标原点, 双曲线 C : a b = (a > 0, b > 0) 和椭圆 C : a + b = Ç å (a > b > 0) 均过点 P,, 且以 C 的两个顶点和 C 的两个焦点为顶点的四边形是 积为 的正 形. P O () 求 C, C 的 程 ; () 是否存在直线 l, 使得 l 与 C 交于 A, B 两点, 与 C 只有 个公共点, 且 证明你的结论. OA #» + OB #» = AB #»? 第 () 小题考查双曲线与椭圆的基本量与 程, 属于常规问题. 第 () 小题需要准确的解读条件 OA #» + OB #» = AB #» 并将其简单直接地表达出来, 分析清楚在变化的过程中的不变量后就可以轻松作出判断了. () 根据题意有 a =, a b =, 且 a Ç å b =, a + b Ç å =, 详见附录 仿射变换

77 第 章湖南卷 77 解得 a =, b =, a =, b =. 因此双曲线 C 的 程为 C : =, 椭圆 C 的 程为 C : + =. () OA #» + OB #» = AB #» 即 OA #» + OB #» = OA #» OB #», 也即 OA OB. 设 A (r cos θ, r sin θ ), B (r cos θ, r sin θ ), θ = θ ± π, 则 r cos θ r sin θ =, r cos θ r sin θ =, 即 r = cos θ sin θ, r = sin θ cos θ, 进 原点 O 到直线 AB 的距离 d 满 d = r + r =. 因此直线 AB 必为圆 + = 的切线, 该圆在椭圆 相交, 于是不存在符合题意的直线 l. + = 的内部, 因此直线 AB 必与椭圆 0.6 已知常数 a > 0, 函数 f () = ln ( + a) +. () 讨论 f () 在区间 (0, + ) 上的单调性 ; () 若 f () 存在两个极值点,, 且 f ( ) + f ( ) > 0, 求 a 的取值范围. 第 () 小题考查利用导函数研究函数的单调性. 第 () 小题先利用导函数研究函数的极值得到关于 a 的函数不等式后, 通过换元简化, 再利用导数研究与不等式相关的函数的单调性, 之后解函数不等式即可. () 函数 f() 的导函数 f () = a + a 4 ( + ) = a + 4(a ) ( + a)( + ), 设 h() = a + 4(a ), 则 h(0) = 4(a ), 因此按 a 与 的 关系展开讨论. Ç å a a 当 0 < a < 时, 函数 h() 在 (0, + ) 上有 个零点 =, 进 函数 f() 在 0, a a Ç å a 上单调递减, 在 a, + 上单调递增. 当 a 时, 在区间 (0, + ) 上恒有 h() 0, 因此函数 f() 在区间 (0, + ) 上单调递增. Ç å Ç å a a 综上, 当 0 < a < 时, 函数 f() 在 0, 上单调递减, 在 a a, + 上单调递增 ; 当 a 时, 函数 f() 在区间 (0, + ) 上单调递增. 直 三 形斜边上的 的平 的倒数等于两条直 边的平 的倒数之和, 这 性质可以利 积法轻松证出.