作者 : 闫浩年月同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c

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坦宗
5 years ago
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1 作者 : 闫浩年月 / 微积分 B 第二次习题课参考答案第六周一隐函数求导方向导数与梯度. 设函数是由方程确定的则函数在点的微分 d 答 : d d d 设方程可以确定隐函数求 d d d d. 本题不用解出最终答案会解题过程就可以. 解 : d d d d d d d d d d d d. v 求 v 解 : v 和的函数关系由方程组 v 确定由隐函数微分法得到两个方程对于求偏导数得到由此解出如下

2 作者 : 闫浩年月同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos. 设可微 l l l 为中互相垂直的三个单位向量求证 : l l l 证明 : l l l 为中互相垂直的三个单位向量因此存在正交矩阵 A a ij 使得. l l l A 其中为中的标准正交基 l l l l l l l l l T /

3 作者 : 闫浩年月而 cosi cos i cos i 其中 l i l cos cos cos a a a i i i i i i i a i 即 a i ai ai ai li a i 因此 l l l A 因此 l l l l l l l l l T AA T T. 二微分学的几何应用. 给出确定的隐函数存在的一个充分条件是曲面在点处的切平面方程在点处的梯度答案 : 切平面方程 : 梯度 : i j [ 解 ] 隐函数存在的充分条件是切平面为 : 即梯度 grad grad i j i j i j. 设直线 L: b 在平面上且平面又与曲面 S: a / 相切于点

4 作者 : 闫浩年月 / - 求 ab 的值解 : S: M M n 切平面的方程 : 即 * 将直线写成参数方程代入 * 中 ab a b ab a b 即 ab b a. ab b a b a. 求过直线 : L 且与曲面 S : 相切的平面的方程. 解 : 曲面方程 : 在点法向 : 则过曲面 S 上点处的切平面方程 : 即. 切平面过直线 : L : 6 / / / 7 / 6.

5 作者 : 闫浩年月注 : 本题也可以用平面系直接来求解而不用求切点坐标. 6. 过曲面 S : 6 上点 P 处指向外侧的法向量为 n 求函数 6 8 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. 解 : 曲面 S 上点 P 处指向外侧的法向量为单位法向量为 n. grad 6 6 另一方面 6 8 在点 P 处的三个偏导数为 P 6 P 8 P. 于是函数在点 P 处的梯度向量为该函数在点 P 处沿方向 n 的方向导数为 grad n a cos 7. 求螺旋线 asin k k a 答案 : a k P n 7 在处的切线方程是和法平面方程是 k a k 求曲线在 M 处的切线方程和法平面方程解 : 从几何上看所求切线可以看作是所论两曲面在 M 点处切平面的交线. 于是所求的切线方程是 : 其中即 : /

6 作者 : 闫浩年月可见第一个平面第二个平面的法矢量分别是 n n 于是 n n 就是 M 点切矢它的点向式方程为 : 曲线在 M 点的法平面方程 :. 求旋转抛物面与平面之间的最短距离解 : 切平面与已知平面平行处距离最短求切平面 T n 切点 M 8 7 M 到已知平面的距离 d 6 求椭球面上任一点的切平面与三个坐标面 a b c 所成的四面体的体积 V 的表达式解 : 切平面方程 X Y Z a b c 四面体体积 V 6 a b c 三泰勒公式与多元函数的极值 8. 解答下列与泰勒公式有关的问题 : 写出函数 6 在点的带有拉格朗日余项的一次以及二次泰勒公式. 解 : P 6 P 6 [ ] 求在 - 点带有拉格朗日余项的一次泰勒公式带有皮亚诺余项的二次泰勒公式. 解 : 6 /

7 作者 : 闫浩年月 [6 ]! [ ]! [ ] 已知函数的二阶偏导连续证明 : 解 : 根据一阶带拉格朗日型余项的泰勒公式有 [ [ ] ] 其中介于点与之间介于点与之间从而 [ [ ] ] 由于 7 /

8 作者 : 闫浩年月 8 / 所以另解 : 根据洛必达法则及复合函数的链导法则得其中利用了 9. 解答下列与极值有关的问题 :. 二元实值函数在区域 D R { } 上的最小值为 C A. B. C. D.. 若函数在区域 D 内连续关于极值的陈述 A 是正确的 A 在偏导数不存在的点也可能取到极值 B 若在 D 内有唯一驻点则至多有一极值点 C 若函数有两个极值点则其中之一必为极大值点另一个必是极小值点 D 在驻点处若则

9 作者 : 闫浩年月不是极值点函数的全微分为 d d d 则点 D A 不是的连续点 B 不是的极值点 C 是的极大值点 D 是的极小值点解方法由 d d d 可得 A B C 在处 AC B 故为函数的一个极小值点答案 D 方法采用凑微分方法 : d d d d 取积分得到 C 有最小值 C 立即有结果 D 设求的极值解 : 求偏导数得解方程组得到三个驻点求二阶偏导数得 9 /

10 作者 : 闫浩年月 A B C 由于 A B C 所以 A C B 故无法用充分条件判断点是不是的极值点但由于沿时在取极小值沿时 8 在取极大值所以点不是函数的极值点在点时由于 A B C 所以 AC B 8 故 8 是函数的极小值在点时由于 A B C 所以 AC B 8 故 8 也是函数的极小值四其他应用. 设二元函数 L : 上存在两点有连续偏导数且. 求证在单位圆周 P 和提示 : 在单位圆周上. 对于 P 满足. 化为参数的函数 cossin 应用罗尔定理复合函数微分法题目条件推出. 设在区域 D 有偏导连续 : 是 D 中在光滑曲线即 D 有连续导数的端 M 点为 AB 若 A B 证明存在点 M 使其中 /

11 作者 : 闫浩年月是在点 M 切线的方向向量证 : 在上考虑二元函数.. 不妨设 AB 分别对应参数所以有由罗尔定理存在使记由复合函数求导法则而 coscos 于是得到 cos cos 得由方向导数计算公式及. 若在 R 上连续可微有证明 : 法且证明对任意 R T 因为对任意 R 即所以沿方向 n T 的方向导数为零在该方向上为常数即在直线 c 上为常数 R 存在直线 L : c 使 L 因为对所以有 c 法 : 令 v 因为 v v 即所以 c 是的等值线 R L : 而点 L /

12 作者 : 闫浩年月所以. 设 D 为 R 中的有界闭区域. 在 D 上连续在 D 内可微且满足方程 k 常数 k 若在 D 的边界上试证在 D 上恒为零证明 : 设在 D 上不恒为零因为函数在有界闭域 D 上连续所以在上存在最大值 M 和最小值 m 且最大值 M 和最小值 m 不能同时为零不妨设最小值 m 因为在 D 的边界上于是必有 D 内的点 m 由在 D 内可微点必为极值点驻点所以这与 k 矛盾! 因此在 D 上恒为零使得设在上连续在满足. 且在上. 证明 :I 当时 ; 进一步证明 : 当时. 证明 : 假设存在一点使得那么必然. 则在上的最小值也是极小值必在内部达到设其为则. 但由于也是极小值所以半正定也称非负定所以与矛盾注意到如果是方程的解那么也为该方程的解并且当充分小时在边界上仍然大于因此由 /

13 作者 : 闫浩年月得到进一步得到.. 设在单连域 R 内可微且满足 grad 试证明在内无封闭等值面证明 : 反证法设有封闭等值面 C : a 其围成的闭区域为 * * * C 在上存在最大最小值由于 grad 最值在边界 * a 上取得从而 ma min 在上为常数与 grad 矛盾. 设是可微函数且满足以下条件试证明对于任意的 v { v v} 都存在点使得 grad v 证明 : 由条件知所以对任意的 M 存在 R 当 R 时有 M 成立由此易证 M M 有且仅有一个成立因为若存在满足 R R 使得 M M 则存在满足 R 使得这与 M 矛盾不妨假设令 v v 则 v v 所以存在最小值点由于也是的可导极小值点所以故 grad v grad 6. 已知函数可微若 T 为曲面 S : 在点 M 处的切平面 L 为 T上任意一条过 M 的直线求证 S上存在一条曲线其在 M处的切线为 L. /

14 作者 : 闫浩年月证明 : 过直线 l 作与平面 T 垂直的平面 A 平面 A 与曲面 S 的交线记为 L 下面证明曲线 L 在 P 处的切线就是 l 为此只要证明曲线 L 在 P 处的切向量与直线 l 平行便可记曲面 S 在 P 处的法向量为 n 平面 A 的法向量为 m 则曲线 L 在 P 处的切向量与向量 n m 平行根据题意平面 T 的法向量就是 n 而直线 l 是平面 T 与平面 A 的交线所以直线 l 方向向量也平行于向量 n m 又因为直线 l 过点 P 所以 l 就是曲线 L 在 P 处的切线 /

作者 : 闫浩 4 年月 / 9 d d. 由结果可知积分 d d 与路径无关从而 d d d d 是某函数的全微分由此得 a a 由在 R 上且只有惟一零点 O a a a 考虑到 a d d 利用第问的结论可以直接取 : a 代入积分并利用格林公式注意到椭圆 / / a 的面积

作者 : 闫浩 4 年月 / 9 d d. 由结果可知积分 d d 与路径无关从而 d d d d 是某函数的全微分由此得 a a 由在 R 上且只有惟一零点 O a a a 考虑到 a d d 利用第问的结论可以直接取 : a 代入积分并利用格林公式注意到椭圆 / / a 的面积作者 : 闫浩 4 年月微积分 B 第六次习题课答案第十四周. 以下哪些命题要求单连通域?. Pd Qd Q P d 是的正向边界 B. Pd Qd 为内任一闭曲线在内 Pd Qd 与路径 l 无关. Pd Qd 在内与路径 l 无关在内有 Pd Qd d l 是某个二元函数. Pd Qd d 在内成立 Q P 在内成立向量场 F X i Y j 在域内有连续的偏导数是

作者 : 闫浩 年 月 同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出 为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c

作者 : 闫浩年月同理两个方程对于 v 求偏导数得到 v v v v 由此解出为 v v v v v 然后利用复合函数微分法则 v v v 若 l cos cos cos 其中 cos cos cos 求 l l 解 : l cos cos cos cos cos cos cos cos c