第六章微分中值定理

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万傍邢
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1 第六章微分中值定理及其应用在这一章里讨论了怎样由导数的已知性质来推断函数质. 微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具. 一拉格朗日中值定理. 罗尔定理定理设函数在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 iii b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ. 所应具有的性几何意义 : 在每一点都可导的一段连续曲线上如果曲线的两端高度相同则至少存在一条水平切线. 例设为 R 上的可导函数证明 : 若方程没有实根则方程至多只有一个实根.. 拉格朗日定理 : 设函数在区间 [ 满足 : i 在区间 [ 上连续 ii 在区间 b 上可导 b 则在 b 内至少存在一点 ξ 使得 ξ 拉格朗日公式 b 注 : 几何意义 : 在满足条件的曲线上至少存在一点曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线. 拉格朗日公式的几种等价表示 : b ξ b b θ b b < θ < h θh h < θ < 推论若函数在区间 I 上可导且则为区间 I 上的常值函数. 若函数和 g 均在区间 I 上可导且则在区间 I 上和 g 只相差一个常数即 g c

2 导数的极限定理 : 设函数在点的某邻域 U 连续在 U 内可导且 li 存在则在可导且 li 注 : 这个定理给出的是充分条件即当 li 不存在的时候也可能存在. 例如 si y. 但是也要注意的是如果 li 的左右极限都存在当不相等则一定不存在. 这一点也说明了若在区间 I 上可导那么要么连续要么只可能有第二类间断点.. 拉格朗日定理的一些应用 : 证明不等式例证明对一切 h > h 下列不等式成立 h < l h < h h 根的存在及个数的估计例设 p 为多项式 α 为 p 的 r 重根证明 α 为 p 的 r 重根. 利用导数的极限定理求分段函数的导数例求分段函数的导数. 关于函数的单调性的讨论定理设函数 si l > 在区间 I 上可导则在区间 I 上递增减的充要条件是 : 例讨论的单调区间. 定理若函数在 b 上可导则在 b 上严格递增减的充要条件是 : i 对一切 b 有 ii 在 b 内的任何子区间上. 推论若函数在 b 上可导且 > < 则在 b 上严格递

3 增减. 注 : 若函数在 b 上严格递增减且在点右连续则在 [ b 上严格递增减对右端点的讨论类似. 利用单调性证明不等式例证明 e > 二柯西中值定理和不定式的极限 < si < π π. 定理柯西中值设函数和 g 满足 : 在区间 [ 上连续在区间 b 上都可导与不同时为 4 g g b 则至少存在一点 ξ b 使得 : ξ ξ 几何意义 : 与拉格朗日的类似. b g g b 例设函数在 [ > 上连续在 b 内可导则至少存在一点 ξ b 使得. 不定式的极限型的不定式定理若函数和 g 满足 : b ξ ξ l b li li g. 在点的某空心邻域 U 内二者都可导且 g. li AA 可为实数也可为无穷大. 则

4 例求 li cs π t 型的不定式 li l e li li A g li e 定理若函数和 g 满足 : li li g. 在点的某空心邻域 U 内二者都可导且 g. li AA 可为实数也可为无穷大. 则 li li g A 例 l li e li l li α 只要 α > 注 : 在 li 不存在的时候并不能说明 li g 不存在. g 比如以下几个不能使用罗比达法则的例子 : li si si li si 其他类型的不定式极限 : 型 li l 型 lics k 型 li si l 型 li l

5 型 l li 对于数列的极限也可以用罗比达法则来求. 例 li li 三泰勒公式多项式是各种函数中最简单的一种本节是考虑如何用多项式去逼近函数因此是近似计算的重要内容.. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式考察下列多项式 p 则不难发现 p p " p p 那么对于一般函数设它在点具有直到阶的导数由这些导数可以构造一个多项式 T 称其为在的泰勒多项式系数为泰勒系数. 不难发现 T k k k 定理函数在点存在直到阶的导数则有即 T 带有皮亚诺型余项的泰勒公式当时称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式. 以下是几个常用函数的麦克劳林公式 : e si 5 5

6 cs 4 4 l 利用上述麦克劳林公式可间接求得一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式以及求某种类型的函数极限. 例写出 e 的麦克劳林公式并求例求在处的泰勒公式. l 例求 4 e cs li.. 带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理若函数在上存在直至阶的连续导函数在内存在阶的导数则对任给的至少存在一点 ] [ b b ] [ b b ξ 使得 ξ 带有拉格朗日型余项的泰勒公式当时称 θ 为带有拉格朗日型余项的泰勒公式. e e θ 5 5 cs si θ 4 4 cs cs θ l θ

7 . 在近似计算中的应用 θ 例计算 e 的值使其误差不超过 6 并且证明 e 为无理数. 例用泰勒多项式逼近正弦函数 si 要求误差不超过试以一次和二次的多项式逼近分别讨论的范围. 四函数的极值与最大小值. 极值的判别函数的极值是函数局部的又一性质. 定理极值的第一充分条件设在点连续在某 U 内可导. i 若当 δ 时当 δ 时则在点取得极小值. ii 若当 δ 时当 δ 时则在点取得极大值. 例求 5 的极值点与极值定理极值的第二充分条件设在某 ; δ 内一阶可导在处二阶可导且 i 若 < 则在点取得极大值. ii 若 > 则在点取得极小值. U 4 例求的极值与极值点定理极值的第三充分条件设在某 U ; δ 内存在直到阶导函数在处阶可导且 k k 则 i 当为偶数时在点取得极值且当 > 时取极大值 < 时取极小值. ii 当为奇数时在点不取得极值.

8 4 例试求函数的极值. 可以利用第一充分和第三充分条件. 最大值与最小值若函数在 [ 上连续则在 [ 上连续上一定有最大最小值. 我们只要比较在所有稳定点不可导点和区间端点上的函数值就能从中找到在 [ 上的最大最小值. 5 例求函数 9 在 [ ] 上的最大与最小值. 4 例设在区间 I 上连续并且在 I 上仅有唯一的极值点证明 : 若是的极大小值点则必是在 I 上的最大小值. 五函数的凸性与拐点根据函数图像的特点研究函数的凸凹性.. 定义设为定义在区间 I 上的函数若对 I 上的任意两点和任意实数 λ 总有 λ λ λ λ 则称为 I 上的凸函数. 反之如果总有 λ λ λ λ 则称为 I 上的凹函数. 通过图形来解释. 引理为 I 上的凸函数的充要条件是 : 对于 I 上的任意三点 < < 总有还可以证明定理设为区间 I 上的可导函数则下述结论等价 : 为区间 I 上的凸函数

9 为 I 上的增函数对 I 上的任意两点有结论的几何意义是 : 可导的凸函数其切线总在曲线的下方. 定理设为区间 I 上的二阶可导函数则在 I 上为凸函数的充要条件是 : >. 例讨论函数 rct 的凸凹区间. 例证明若函数为定义在 b 内的可导的凸凹函数则 b 为的极小大值点的充要条件是为的稳定点即. 说明 : 尽管可导的极值点未必是稳定点. 但为可导的凸凹函数时则极值点必为稳定点例 Jess 不等式若为 [ 上的凸函数则对任意 i [ λ > i λ 有 i i λi i λi i i 例设为区间 I 内的凸凹函数证明在 I 内任一点都都存在左右导数.. 拐点设曲线 y 在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的这时称点为曲线 y 的拐点. i 定理若在点二阶可导则为曲线 y 的拐点的必要条件是. 定理设在点可导在某邻域 U ; δ 内二阶可导. 若在 U 和上的符号相反则为曲线 y 的拐点. i U

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<4D F736F F D20B5DAB6FEBDB22020B5DAB6FEB2BFB7D6CCE2D0CDBDE2B4F02E646F63> 中值定理题型题型一 : 中值定理中关于 θ 的问题例题设 rt C[ ] θ 求 limθ 解答由 θ 得 rt rt θ 解得 θ rt rt rt lim θ lim lim lim rt 于是 lim θ 例题设二阶连续可导且又 h θh h < θ < 证明 : lim θ h 解答由泰勒公式得 h h h! 其中位于与 h 之间于是 θh h h h! 或 θh θh

第六章 微分中值定理

第六章微分中值定理