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2 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),

3 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15

4

5

6 n N +, lim x n ln x x

7 n N +, lim x n ln x ln x = lim x 0 + x 0 + x n 6 15

8 n N +, lim x n ln x ln x = lim x 0 + x 0 + x n L == lim x 0 + 1/x nx n

9 n N +, lim x n ln x ln x = lim x 0 + x 0 + x n L == lim x 0 + 1/x nx n 1 x n = lim x 0 + n =

10 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x 7 15

11 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x = lim x 0 sin x x x sin x 7 15

12 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x sin x x = lim x 0 x sin x sin x x = lim x 0 x

13 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x sin x x = lim x 0 x sin x sin x x = lim x 0 x 2 L == lim x 0 cos x 1 2x 7 15

14 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x sin x x = lim x 0 x sin x sin x x = lim x 0 x 2 L cos x 1 == lim x 0 2x x 2 /2 = lim x 0 2x 7 15

15 ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x sin x x = lim x 0 x sin x sin x x = lim x 0 x 2 L cos x 1 == lim x 0 2x x 2 /2 = lim x 0 2x =

16 ( 1 lim x 0 x 1 ) = x 2 + x 8 15

17 ( 1 lim x 0 x 1 ) x 2 + x x = lim x 2 + x x 0 x(x 2 + x) 8 15

18 ( 1 lim x 0 x 1 ) x 2 + x x = lim x 2 + x x 0 x(x 2 + x) x 2 = lim x 0 x(x 2 + x) 8 15

19 ( 1 lim x 0 x 1 ) x 2 + x x = lim x 2 + x x 0 x(x 2 + x) x 2 = lim x 0 x(x 2 + x) 1 = lim x 0 x

20 ( 1 lim x 0 x 1 ) x 2 + x x = lim x 2 + x x 0 x(x 2 + x) x 2 = lim x 0 x(x 2 + x) 1 = lim x 0 x + 1 =

21 lim x sin x x

22 lim x sin x (sin x) ln x = lim e x 0 + x

23 lim x sin x (sin x) ln x = lim e x 0 + x 0 + = e lim x 0 + (sin x) ln x 9 15

24 lim x sin x (sin x) ln x = lim e x 0 + x 0 + = e lim x 0 + (sin x) ln x = e lim x 0 + x ln x 9 15

25 lim x sin x (sin x) ln x = lim e x 0 + x 0 + = e lim x 0 + (sin x) ln x = e lim x 0 + x ln x = e 0 =

26

27 y = f(x) [a, b] (a, b)

28 y = f(x) [a, b] (a, b).. (1). (a, b) f (x) 0 f(x) [a, b]

29 y = f(x) [a, b] (a, b).. (1). (a, b) f (x) 0 f(x) [a, b]. (2). (a, b) f (x) 0 f(x) [a, b]

30 y = f(x) [a, b] (a, b).. (1). (a, b) f (x) 0 f(x) [a, b]. (2). (a, b) f (x) 0 f(x) [a, b]. ( )

31 [a, b] x 1 < x

32 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, 12 15

33 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, 12 15

34 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, f(x 2 ) > f(x 1 )

35 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, f(x 2 ) > f(x 1 ). x (x 1, x 2 ) f (x) = 0, 12 15

36 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, f(x 2 ) > f(x 1 ). x (x 1, x 2 ) f (x) = 0, z 1 < z 2, < z n (x 1, x 2 ) 12 15

37 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, f(x 2 ) > f(x 1 ). x (x 1, x 2 ) f (x) = 0, z 1 < z 2, < z n (x 1, x 2 ) f(x 2 ) > f(z n ) > f(z n 1 ) > > f(z 1 ) > f(x 1 ), 12 15

38 [a, b] x 1 < x 2. x (x 1, x 2 ), f (x) > 0, ξ (x 1, x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0, f(x 2 ) > f(x 1 ). x (x 1, x 2 ) f (x) = 0, z 1 < z 2, < z n (x 1, x 2 ) f(x 2 ) > f(z n ) > f(z n 1 ) > > f(z 1 ) > f(x 1 ), x 1 < x 2 f(x 2 ) > f(x 1 ). f(x) [a, b]

39 y = x sin x

40 y = x sin x. y = 1 cos x

41 y = x sin x. y = 1 cos x 0 x R 13 15

42 y = x sin x. y = 1 cos x 0 x R [a, b], y [a, b]

43 y = x sin x. y = 1 cos x 0 x R [a, b], y [a, b]. y [a, b]

44 y = x sin x. y = 1 cos x 0 x R [a, b], y [a, b]. y [a, b]. y = x sin x (, + )

45 y = 2x 3 6x 2 18x

46 y = 2x 3 6x 2 18x 7. y = 6x 2 12x 18 = 6(x 3)(x + 1), 14 15

47 y = 2x 3 6x 2 18x 7. y = 6x 2 12x 18 = 6(x 3)(x + 1), x (, 1) (3, + ) y > 0; 14 15

48 y = 2x 3 6x 2 18x 7. y = 6x 2 12x 18 = 6(x 3)(x + 1), x (, 1) (3, + ) y > 0; x ( 1, 3) y <

49 y = 2x 3 6x 2 18x 7. y = 6x 2 12x 18 = 6(x 3)(x + 1), x (, 1) (3, + ) y > 0; x ( 1, 3) y < 0. (, 1] [3, + ), [ 1, 3]

50 y = 2x 3 6x 2 18x 7. y = 6x 2 12x 18 = 6(x 3)(x + 1), x (, 1) (3, + ) y > 0; x ( 1, 3) y < 0. (, 1] [3, + ), [ 1, 3]. (, 1] [3, + )

51 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x

52 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, 15 15

53 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x ( 0, π ) 2 f (x) = cos x + sec 2 x

54 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x 2 ( 0, π )

55 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) ( 0, π )

56 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) 1 = 2 2 = 2 1 cos x > 0. cos x cos x ( 0, π )

57 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) 1 = 2 2 = 2 1 cos x > 0. cos x cos x f(x) [0, π/2]. ( 0, π )

58 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) 1 = 2 2 = 2 1 cos x > 0. cos x cos x f(x) [0, π/2]. f(0) = 0, ( 0, π )

59 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) 1 = 2 2 = 2 1 cos x > 0. cos x cos x ( 0, π ) 2 f(x) [0, π/2]. f(0) = 0, f(x) > 0 (0, π/2)

60 x ( 0, π ) sin x + tan x > 2x. 2 f(x) = sin x + tan x 2x, f(0) = 0, x f (x) = cos x + sec 2 x 2 = cos x + 1 cos 2 x cos x cos 2 x 2, ( ) 1 = 2 2 = 2 1 cos x > 0. cos x cos x ( 0, π ) 2 f(x) [0, π/2]. f(0) = 0, f(x) > 0 ( (0, π/2). x 0, π ) sin x + tan x > 2x

例15

例15 cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n

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