9 浙江专升本考试群 ( ) S d 3 6 故选 (D) 5. 二阶微分方程 y y 6y 3e si cos 则其特解的形式为 ( ) (A) e ( cos bsi ) (B) e ( cos b si ) (C) e ( cos bsi ) (D) e ( cos b si

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1 9 浙江专升本考试群 浙江省 3 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上选择题部分注意事项 :. 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上. 每小题选出答案后 用 B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号不能答在试题卷上 一 选择题 ( 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 分在每小题给 出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 ). 设 f ( ) si(cos ) R 则此函数是 ( ) (A) 有界函数 (B) 奇函数 (C) 偶函数 (D) 周期函数 答案 (A) 解析 由于 si(cos ) 故 f ( ) 为有界函数 显然容易验证 f ( ) 不是奇偶函数 和周期函数 故选 (A). 若函数 y f ( ) 是区间 [5] 上的连续函数 则该函数一定 ( ) (A) 在区间 [5] 上可积 (B) 在区间 (5) 上有最小值 (C) 在区间 (5) 上可导 (D) 在区间 (5) 上有最大值 答案 (A) 解析 只有闭区间上的连续函数才满足最值定理 而 (B)(D) 选项均为开区间 故错误 而连续不一定可导 故 (C) 错误 连续函数一定可积故选 (A) 3. cos d ( ) (A) (B) (C) (D) 思路点拨 两类型函数相乘的积分采取分部积分法计算 答案 (D) π π π 解析 cos d d si ( si ) si d cos 故选 (D) 4. 由曲线 y y 所围成的平面图形的面积是 ( ) (A) 3 (B) (C) 3 (D) 6 思路点拨 平面图形的面积计算转化为定积分的计算 答案 (D) 解析 曲线 y y 的交点为 () 故其面积

2 9 浙江专升本考试群 ( ) S d 3 6 故选 (D) 5. 二阶微分方程 y y 6y 3e si cos 则其特解的形式为 ( ) (A) e ( cos bsi ) (B) e ( cos b si ) (C) e ( cos bsi ) (D) e ( cos b si ) 思路点拨 二阶常系数非齐次微分方程的特解形式 需先求出其对应齐次微分方程的通解 再根据公式与原则设特解形式 答案 (B) 解析 先求其对应的齐次微分方程 y y 6y 的通解为 C e C e 3 而原方程可 3 化为 y y 6y e si 则可设 y e ( cos b si ) 显然与齐次方程无 重根 故 y e ( cos b si ) 故选 (B)非选择题部分注意事项 :. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上 不能答在试题卷上. 在答题纸上作图 可先使用 B 铅笔 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二. 填空题 ( 本大题共 小题 每小题 4 分 共 4 分 ) 6. 极限 lim l si( ) 答案 解析 该极限位 类型 先转化为 再使用洛必达法则进行计算 cos( ) l si( ) si( ) lim l si( ) lim lim 7. 函数 y si 的定义域是 答案 [kπ(k )π] k Z lim cos( ) 解析 要使得 si 有意义 则 si 故 [kπ(k )π] k Z 8. 已知 f () lim 答案 f ( ) f ( ) 解析 将极限转化成导数的定义式 f ( ) f ( ) f ( ) f () f () f ( ) lim lim f ( ) f () f ( ) f () lim lim f () si ( 隐函数求导 )9. 若函数 y y( ) 由方程 y e y 确定 则 y

3 9 浙江专升本考试群 si y e 答案 y si y e cos y si 解析 该题为隐函数求导 y e y 两边同时对 求导可得 si y e 由此可得 y si y e cos y si y si y y e e cos y y d. l 答案 l l C 解析 所求积分存在导数关系 可采用第一类换元法 ( 凑微分法 ) 计算 d d l l l C l l. 极限 lim si si si 用定积分表示 i i i 思路点拨 定积分的定义式无穷项求和的形式 lim f ( ) i 考察最多的公式为 lim f f ( )d i 公式进行转化 答案 si d ( 为 i 中最大的长度 ) 先将被求极限变形成标准形式 再根据该 解析 lim si si si = lim si si si i i 即 lim si si d i ( ). 的收敛区间为 思路点拨 幂级数的收敛半径半径和收敛区间的计算可运用公式 lim 答案 ( )

4 9 浙江专升本考试群 ( ) 解析 lim 可解得 故 的收敛区间为 ( ) ( ) 3. 常微分方程 y P( ) y Q( ) y 的通解是 思路点拨 类似于 y P( ) y Q( ) y ( ) 的这类微分方程 解法如下 两边同时 除以 y 可得 令 z y 则 z ( ) y y 即 y y y P( ) y Q( ) z 原微分方程可化为一阶线性微分方程 P( ) z Q( ) 进行求解 答案 y ( ) ( ) e P d P d [ Q( )e d C] 解析 对 y P( ) y Q( ) y 两边同时除以 y 可得 y y P y Q ( ) ( ) 令 z y 原微分方程可化为一阶线性微分方程 z P( ) z Q( ) 进行求解 即 z P( ) z Q( ) 由一阶微分线性方程的求解公式可求得 z y P( )d P( )d z e [ Q( )e d C] 即 y P( )d P( )d e [ Q( )e d C] 所以 y ( )d ( )d e P [ Q( )e P d C] 3. 法向量是 ( 3) 且过点 () 的平面方程是 思路点拨 平面方程一般通过点法式求解 即利用一个法向量 ( l m) 与平面经过的一 个点 A( y z ) 则平面方程为 l( ) ( y y) m( z z) 答案 3y z 3 解析 由平面方程的点法式可求得其平面方程为 ( ) 3( y ) ( z ) 化简可 得 3y z 3 5. 球面 y ( z ) 4 与平面 y z 6 之间的最短距离是 思路点拨 球面到平面的最短距离可转化为球心到平面的距离减去半径

5 9 浙江专升本考试群 答案 4 6 解析 球心为 () 根据点到平面的距离公式 d A By Cz D A B C 可计算 球心 到平面的距离 d 6 ( ) 4 6 又球面的半径为 从而可知球面到平 面的最短距离为 4 6 三 计算题 ( 本题共有 8 小题 其中 6~9 小题每小题 7 分 ~3 小题每小题 8 分 共 6 分计算题必须写出必要的计算过程 只写答案的不给分 ) e si ( ) 3 si 6. 设 f ( ) 若 f ( ) 连续 求 的值 3 思路点拨 对于分式极限如果极限存在 若分母趋向 则分子也必须趋向 答案 解析 因为函数连续 则函数在 处连续 故有 lim f ( ) f () 而 3 e si ( ) e si lim f ( ) lim lim 3 3 si e si e cos lim 其中 时 分母 3 要保证其极限要存在 3 则 lim(e si e cos ) 故 7. 已知 f ( ) e 求 f ( ) 思路点拨 求分段函数导数时 分段点的导数必须运用导数的定义式 答案 3 e f ( ) ( ) e 3 解析 当 时 f 而 时 f ( ) f () e f () lim lim lim 故其导函数 3 e f ( ) e 8. 求 y e 的单调区间和凹凸区间 答案 ( ) 为单调递减区间 为单调递增区间 ( ) 为其凸区间

6 9 浙江专升本考试群 ( ) 为其凹区间 解析 其定义域为 ( ) ( ) 对其求导 e e ( )e y 令 y 则 又 是其不可导点 将定义域分为 ( ) 在 ( ) 上 f ( ) 为单调递减区间 而在 上 f ( ) 为单调递 4e e ( ) 4 增区间求 y 在 ( ) 上 y 为其 3 3 凸区间 在 ( ) 上 y 为其凹区间 9. 讨论方程 3 cos 有几个根 思路点拨 涉及到方程根的个数问题通常需要结合函数的单调性 零点定理和函数的图像 进行分析 答案 解析 设 f ( ) 3 cos 则其导数为 f ( ) 6 si 由于一阶导数难以看出符号 则可求其二阶导数 f ( ) 6 cos 则 f ( ) 6 si 在 R 上递增 容易发现 f () 故在 ( ) 上 f ( ) f ( ) 单调递减 ( ) 上 f ( ) f ( ) 单调递增 故函数在 处取最小值 f () 又 lim f ( ) lim f ( ) + 根据单调性与零点存在定理可知 f ( ) 3 cos = 有两个根. 求 si d 答案 cos si C 4 解析 si d dcos cos cosd cos si C 4 l( ). d 答案 l 解析 l( ) d l( )d l( ) l ( ) l. 计算瑕积分 d ( ) 思路点拨 瑕积分可以进行换元转换成定积分计算 答案 l( )

7 9 浙江专升本考试群 解析 d d ( ) ( ) 令 π 4 积分可化为 π π π d 4 4 sec d ( l sec ) 4 l( ) ( ) 3. 把函数 f ( ) 展开成 的幂级数 并求收敛域 6 思路点拨 幂级数展开先将被展开函数转化成合适的麦克劳林级数 答案 ( ) 5 3 解析 f ( ) 6 ( )( 3) 其收敛域为 ( ) 四 综合题 ( 本大题共 3 小题 每小题 分 共 3 分 ) 4. 证明 : 若 f ( ) 是区间 [ ] 上的连续函数 则 f ( )d f ( ) f ( )d 若是偶函数 若 f ( ) 是奇函数 思路点拨 积分恒等式的证明常用换元法进行变形 证明 当 f ( ) 为偶函数时即 f ( ) f ( ) f ( )d f ( )d f ( )d 其 中 f ( )d f ( )d( ) f ( )d = f ( )d 即有 f ( )d f ( )d f ( )d [ f ( ) f ( )]d f ( )d 当 f ( ) 为奇函数时即 f ( ) f ( ) f ( )d f ( )d f ( )d 其中 f ( )d f ( )d( ) f ( )d = f ( )d 即有 f f f f f ( )d ( )d ( )d [ ( ) ( )]d 5. 设 f ( ) 是实的非负连续函数 若连续函数 ( ) 满足 当 时 ( ) ( ) f ( s) ( s)d s( ) 证明 : F( ) 证明 设 F( ) f ( s) ( s)ds 求导可得 F( ) f ( ) ( ) 故 ( ) f ( ) F( ) 又 ( ) f ( s) ( s)ds 即有 F( ) 因为 f ( ) 是实的非负连续函数 f ( )

8 9 浙江专升本考试群 f ( s )d s 故 F( ) F( ) f ( ) 即 F( ) F( ) f ( ) 可得到 [ e F( )] f ( s )d s 令 H ( ) e F( ) 则 H ( ) 单调递减 又 H () 故当 时 ( )d ( ) f s s ( ) H e F 且 e ( ) f ( s) ( s)ds ( ) 得证 f ( s )d s 故 F( ) f ( s) ( s)ds 即 6. 若 f ( ) 在 的某邻域中有连续的一阶导数 f () f () 存在 证明 : f ( ) f (si ) lim f () 4 6 证明 根据拉格朗日中值定理可得 f ( ) f (si ) f ( )( si ) (si ) f ( ) f (si ) f ( )( si ) 故 lim lim f ( ) lim 6 f ( ) f ( ) si lim lim 而 根据夹逼准则可 f ( ) f ( ) f () 知 lim 故 lim lim lim f () 6 6 6