高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
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- 恨 酆
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1 中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容 一 向量的概念在日常生活中 经常接触的量主要只有两类 以天气预报为例 所得到的信息是 今天气温 西南风 级 其中气温是由按适当的单位度量的数值所完全确定的 像这样只有大小 没有方向的量称为数量 也称标量 如温度 质量 体积 压强等 而关于风的信息则既包括风的速率 也包括风的方向 像这样既有大小 又有方向的量称为向量 也称矢量 如力 速度 位移 电场等 在数学上 用有方向的线段来表示向量 其起点和终点表示向量的起点和终点 其长度表示向量的大小 方向表示向量的方向 如 所示 以 为起点 为终点的有向线段所表示的向量记为 向量可用黑体字母表示 也可用字母上面加箭头表示 如 或
2 高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到 由于零向量的方向是任意的 所以可认为零向量与任何向量都平行 当把实际问题抽象成数学问题时 对很多向量而言 其属性可完整地由大小与方向表示出来 而与其起终点的空间位置无关 如前面提到的风向 无论在哪个点观测 其强度和方向都是一样的 像这样 与起点无关的向量 称为自由向量 自由向量可以任意平行移动 移动后的向量仍然代表原来的向量 由于在数学上着重研究自由向量 所以今后自由向量简称为向量 当研究的向量与起点有关时 将做特别说明 在自由向量的概念下 只要两个向量大小相等 方向相同 就称两向量相等 记为 从几何角度来讲 经过平移后能完全重合的向量就是相等的 与之对应 大小相等但方向相反的向量称为负向量 记为 显然 与 互为负向量 将一组平行向量的起点放在同一点 其终点与公共起点在同一条直线上 称其 共线 将一组向量 向量的个数大于等于 的起点放在同一点 其所有终点和公共起点在同一个平面上 称其共面 由向量平行定义可知 当两向量相等或互为负向量时 必平行 同时向量平行也可称向量共线 二 向量线性运算的几何表达 为在向量之间建立联系 规定了向量的线性运算 包括向量间的加减法与数乘 向量的加减法 向量的加法与物理学中求合力的方法一样 其规则称为平行四边形法则 当向量 与 不平行时 平移向量使 与 的起点重合 以 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量 称为向量 与 的和 记为 即 见
3 第八章 向量代数与空间解析几何 由上述法则容易验证 向量的加法符合下列运算规律 交换律 结合律 在自由向量的意义下 平行四边形法则还可归纳为三角形法则 设有两个向量 与 平移向量使 的起点与 的终点重合 此时从 的起点到 的终点的向量 称为向量 与 的和 见 由于向量的加法满足交换律与结合律 所以无论它们的先后顺序如何 它们的和总是相同的 从而 个向量 相加可按任意顺序写成 再由向量相加的三角形法则 可得 个向量相加的多边形法则 使前一向量的终点作为下一向量的起点 相继作向量 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 如 所示 有 结合负向量的概念 可以将向量的减法变为加法运算 差向量可以理解为把向
4 高等数学 下册 量 加到向量 上 即为 见 由此可以得到向量减法的运算规则 设有两个向量 与 平移向量使 的起点与 的起点重合 此时连结两向量终点且指向被减向量的有向线段就是差向量 记为 见 特别地 当 时 有 此外还要指出 由三角形两边之和大于第三边的原理 有 其中等号在 与 同向或反向时成立 向量与数的乘法 已知物理公式 其中 表示速度 是向量 表示时间 是数量 而 表示位移 是向量 是向量与数量之间的结合 这种结合称为向量与数的乘法 也称向量的 数乘 定义如下 向量 与实数 的乘积记为 规定 是一个向量 它的模 它的方向当 时与 相同 当 时与 相反 当 时 即 为零向量 这时它的方向可以是任意的 当 时 有 当 时 有 所得即前面所提到的负向量 向量与数的乘积符合下列运算规律 结合律 第一分配律 第二分配律 向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算 设 则向量 例 解 是与 同方向的单位向量 一般记为 于是有 设 试求
5 第八章 向量代数与空间解析几何 例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分 试用向量证明这是平行四边形 见 证明 而 所以 这说明四边形 的对边 且 从而四边形 是平行四边形 三 空间直角坐标系与向量的坐标分解 数轴 初中阶段的代数学中 规定 给定一个点 一个方向及单位长度 就确定了一条数轴 在向量的概念下 一个单位向量既确定了方向 又确定了单位长度 所以只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 例如 设点 及单位向量 确定了数轴 见 建立数轴的理论依据就是如下定理 定理设有非零向量 则向量 的充分必要条件是存在唯一的实数 使 证明定理的充分性显然成立 下面证明定理的必要性 由 取 当 与 同向时取 正值 当 与 反向时 取负值 于是 与 同向 即有 且 再证数 的唯一性 设 又设 两式相减 得 即 因 故 即 因此条件的必要性得证
6 高等数学 下册 如 所示的数轴 上 任取一点! 对应一个向量! 由于! 由定理可知 必有唯一的实数 " 使! " 并知向量! 与实数 " 一一对应 于是数轴上点! 向量! " 实数 " 从而轴上的点! 与实数 " 有一一对应的关系 据此 定义实数 " 为轴上 点! 的坐标 空间直角坐标系 在空间任意取定一点 并从点 引出三个两两垂直的单位向量 由此就确定了三条数轴 显然它们都以 为原点 且两两垂直 把这三条数轴依次记为 " 轴 横轴 # 轴 纵轴 $ 轴 竖轴 并统称坐标轴 称为坐标原点 它们构成一个空间直角坐标系 称为 "#$ 坐标系或 坐标系 见 通常还有如下规定 三个数轴的长度单位相同 把 " 轴和 # 轴配置在水平面上 而 $ 轴取垂线 正向向上 数轴的正向通常符合右手规则 即以右手握住 $ 轴 当右手四指从 " 轴正向以 角度转向 # 轴正向时 大拇指的指向就是 $ 轴的正向 如 所示 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面 这样定出的三个平面统称为坐标面 按照坐标面所包含的坐标轴 分别称为 "# 面 #$ 面及 $" 面 三个坐标面将空间划分成八个区域 称为八个卦限 含有 " 轴 # 轴与 $ 轴正半轴的那个卦限称为第 卦限 位于 "# 面的上方 此外 在 "# 面的上方 按逆时针方向排列着第 卦限 第 卦限和第 卦限 在 "# 面的下方 与第 卦限对应的是第 卦限 按逆时针方向还排列着第 卦限 第 卦限和第 卦限 如 所示
7 第八章 向量代数与空间解析几何 空间向量的坐标分解 利用空间坐标系 可以定量地表现空间向量 首先建立一个 "#$ 坐标系 则对任意给定的自由向量 可以在坐标系中找到唯一的点 % 使 % 即 % 的方向和大小都与 相同 以 % 为对角线 三条坐标轴为棱作长方体 &'%! 如 所示 由自由向量的特性与向量的加法运算 有 %!!%!! %! & 又由于! & 都在坐标轴上 由本节定理知 它们都可以唯一地表示为! " # & $ 于是有 % "#$ 此式称为向量 的坐标分解式 "#$ 称为向量 沿三个坐标轴方向的坐标分向量 有序数 "#$ 称为向量 在坐标系 "#$ 中 的坐标 记为 "# $ 这里 向量 % 称为点 % 关于原点 的向径 由上面的内容可知 一个点与该点的向径有相同的坐标 于是用坐标 "# $ 既表示点 % 又表示向量 % 于是 点 % 向量 与三个有序 "#$ 之间有一一对应的关系
8 高等数学 下册 % % "#$"#$ 注 由于点 % 与向量 % 有相同的坐标 因此 求点 % 的坐标 就是求 % 的坐标 但同时 由于记号 "# $ 既可表示点 % 又可表示向量 % 而几何中点与向量是两个不同的概念 因此在看到记号 "# $ 时 须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量 当 "# $ 表示向量时 可对它进行运算 当 "# $ 表示点时 就不能进行运算 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 位于坐标面上的点必有一个坐标为 如点 % 在 #$ 面上 则 " 坐标形式为 % # $ 位于坐标轴上的点必有两个坐标为 如点 % 在 " 轴上 则 # $ 坐标形式为 % " 在实际应用中 除了空间直角坐标系 为满足不同研究的需求 还引入了许多特殊类型的坐标系 角形坐标系 双极坐标系 抛物线坐标系 测地坐标系等 结合不同的几何体 本章会陆续再介绍两类比较常用的空间坐标系 柱面坐标系和球面坐标系 但无论哪种坐标系都必须有三个有序数才能确定空间中一个点的位置 四 向量线性运算的坐标表示 前面已经学习过向量的线性运算 但主要是应用几何方法 现在 结合向量的坐标表示 可以重新定义向量的线性运算 将其转化为代数问题 任取两个向量 和 设其坐标为 " # $ " # $ 其坐标分解式为 " # $ " # $ 于是可得向量的加减法与数乘的坐标表示式 向量加法的坐标表示式 " # $ " # $ " " # # $ " " # # $ $ 向量减法的坐标表示式 $ " # $ " # $ " " # # $ " " # # $ $ 向量数乘的坐标表示式 " # $ " # $ " # $ 由此可见 对向量进行加 减及与数相乘 只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算即可 事实上 本节定理还可表达为如下形式 $
9 第八章 向量代数与空间解析几何 设 " # $ " # $ 若 则 " # $ " # $ 其中 " # $ " # $ 相当于向量的对应坐标成比例 即 " " # # $ $ 例 已知两点 " #$ 和 " #$ 以及实数 在直线 上求一点 % 使 % % 解如 所示 由于 % % % % 因此 % % 从而 以 % 的坐标 即点 点 的坐标 代入 得 这就是点 % 的坐标 % " " # # $ $ 点 % 称为有向线段 的定比分点 特别地 当 时 点 % 称为有向线段 的中点 其坐标为 例 " " # $ # $ 已知三角形 的三个顶点分别为 " #$ " #$ " #$ 求重心的坐标 解如 所示 设 分别为 边的中点 则 的交点 为重心
10 高等数学 下册 因为 是 的中点 所以 的坐标为 又由重心定义可知 " " # $ # $ 即 因此 由例 中定比分点公式可得 三角形重心点 的坐标为 " " " 即点 的坐标为 " " " # # # # # # $ $ $ $ $ $ 五 向量的模 方向余弦与投影 目前探讨的自由向量的特征只取决于它的大小和方向 这里考虑如何能够应用坐标形式定量地研究它们 并使其可以参与到运算当中 向量模的坐标表示 首先考虑向径 在空间中任取一点 % "# $ 设 % 如 所示 则可得分解式 %! & 由勾股定理可得 %! 槡 & 令! " # & $ 即! " # & $ 于是得向径模的坐标表示式 槡 " # $ 再考虑任意自由向量 设点 % " #$ % " #$ 如 所示 则向量 % % 有
11 第八章 向量代数与空间解析几何 % % % % " #$ " #$ " " # #$ $ 这组坐标所示位置相当于将点 % 平移至坐标原点 其终点 % 所在的位置对应的坐标 即与 % % 相等的向径 的坐标 由向径模的坐标表示式可得向量模的坐标表示式 % % 槡 " " # # $ $ 这个表示式显然也可表示点 % 与点 % 间的距离 所以也称为空间中两点间距离公式 例 已知两点 和 求与 方向相同的单位向量 解 因为 所以 槡 槡 于是 槡 例 在 #$ 面上 求与三点 等距离的点 所以 解 所求点在 #$ 面上 不妨设为!#$ 点! 与三点 等距离 因为 槡 # $ 即! 槡 # $! 槡 # $! 槡 # $!!! 槡 # $ 槡 # $ # $ # $ # $ # $
12 高等数学 下册 # 解得故所求点坐标为 $ 方向角与方向余弦 为表达向量的方向 首先了解一下向量间的夹角 将两个非零向量 与 的起点平移至同一点 则两个向量之间的不超过 的夹角称为向量 与 的夹角 记为 或 且 特别当向量 与 中至少有一个是零向量时 规定它们的夹角可取 与 之间的任意值 由此可以进一步定义向量与坐标轴的夹角 即将非零向量起点平移至坐标原点后 与坐标轴正向所形成的夹角 设非零向量 % % 即 与三坐标轴正向的夹角分别为 则称为向量 的方向角 如 所示 由此可知 若设 "# $ 则其坐标与方向角有如下关系 " # $ 其中 称为向量 的方向余弦 由向量 % % 非零 即 " # 槡 $ 可得 " " 槡 " # $ # # 槡 " # $ $ $ 槡 " # $ 从而可以看出 这表明以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同向的单位向量 因此 这个表达式还表明 只要已知向量的两个方向角 第三个方向角也将被确定下来 但不唯一 请读者从几何的角度进一步理解这个问题 例 已知两点 槡 和 计算向量 的模 方向余弦和方向角以及与 同向的单位向量 解 因为 所以 的模 槡 槡 槡 槡
13 第八章 向量代数与空间解析几何 的方向余弦 的方向角 槡 设 为与 同向的单位向量 由于 即得 槡 例 设有向量!! 已知!! 如果! 的坐标为 求! 的坐标 解 它与 " 轴和 # 轴的夹角分别为 和 设向量!! 的方向角为 已知 故 槡 又因为 所以 于是!!!! 槡 槡 设! 的坐标为 "# $ 有!! "#$ 故 即 "# $ 槡 或 槡 向量在轴上的投影 "#$ 槡 向量在轴上的投影是一个数值 它集中反映了轴与向量的相对位置关系 与向量的大小与方向都关系密切 设点 及单位向量 确定轴 见 对任意给定向量 作 % 再过点 % 作与轴垂直的平面交轴于点 %( 则向量 %( 称为向量 在 轴上的分向量 设 %( 则数 称为向量 在 轴上的投影 记为 或 其中点 %( 称为点 在 轴上的投影 按此定义 向量 在直角坐标系 "#$ 中的坐标 " # $ 就是 在三条坐标轴上的投影 即
14 高等数学 下册 " " # # $ $ 由此可知 向量的投影具有与坐标相同的性质 其中 为向量与 轴的夹角 例 设正四面体的两条棱分别为 和 且 求 在 方向上的投影 解 如 所示 记 有 于是 习题 化简 已知 求 求解以向量为未知元的线性方程组 其中 在平行四边形 中 设 试用 和 表示向量 % % % % 其中 % 是平行四边形对角线的交点 求点 关于 "# 面 $" 面及原点 的对称点 求点 % 与原点及各坐标轴 坐标面间的距离 设! 在 " 轴上 它到! 槡 的距离为到点! 的距离的 倍
15 第八章 向量代数与空间解析几何 求点! 的坐标 在 $ 轴上求一点 % 使点 % 到点 和到点 的距离相等 设! 求向量! 在各轴上的投影及在各轴上的分向量 设点 位于第 卦限 向径 与 " 轴 # 轴的夹角依次为 和 且 求点 的坐标 一向量的终点在点 它在 " 轴 # 轴和 $ 轴上的投影依次为 和 求这个向量的起点 的坐标! "# # $%# 一 两向量的数量积 向量与向量的运算一定是向量吗 回顾一下高中物理学中常常涉及常力做功的问题 设一质点在常力 的作用下沿直线从点 % 移动到点 % 产生的位移 % % 用 表示 力 可以分解为在位移方向的投影 和垂直于位移方向的投影 两部分 见 其中仅 对质点做功 若记 为 与 的夹角 则 而力 所做的功为 ) 显然 这里 ) 是个数量 但它的值由两个向量 与 运算所得 类似的情况在其他问题中也常遇到 把这种向量运算形式抽取出来 即为两个向量的数量积 数量积的定义及其运算性质对于两个向量 和 它们的模 及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 和 的数量积 也称点积或内积 记为 即
16 高等数学 下册 即 由数量积定义容易得出如下运算性质 对于任意两个向量 和 若 则 反之 若 则 注 当 中含有零向量时 由于零向量的方向可以看做是任意的 故可以认为零向量与任何向量都垂直 因此上述结论仍然成立 两个非零向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 事实上 当 时 即为向量 在向量 的方向上的投影 于是可得 同理 当 时 数量积的运算律 交换律 分配律 证明因为当 时 上式显然成立 当 时 如 所示 若 为实数 则 例 设 求 及向量 的模 解 ** ** 所以 槡
17 第八章 向量代数与空间解析几何 例 设 槡 若 槡 + 槡 + 试求 + 的值 解因为 槡 + 槡 + 所以 槡 + 槡 因此 + 例 如 所示 设液体流过平面, 的一个区域 其面积为 液体匀速流动 流速为常向量 若设为垂直于, 的单位向量 试计算单位时间内经过这区域流向所指方向的液体的质量 其中液体的密度为常值 解如! 所示 单位时间内流过此区域的液体恰可形成一个斜柱体 其底面积为 斜高为 设 与的夹角为 则此斜柱体的高为 故体积为 由此可得 单位时间内经过这区域流向所指方向的液体的质量为 % 本书第十一章将涉及通量的概念 其流体的模型可按例 中的形式进行分析 数量积的坐标表示式由于向量可以用坐标表示 所以向量的数量积也可用坐标来表示 若设 " # $ " # $ 则 " " # # $ $ 事实上 上式可依据数量积的运算规律得到 " # $ " # $ " " # # $ $ " # # " " $ $ " # $ $ # " " # # $ $
18 高等数学 下册 由向量的数量积的坐标表示式 得 的充要条件还可记为 " " # # $ $ 两个非零向量 与 的夹角 满足的公式 可记为 " " # # $ $ 槡 " # $ 槡 " # $ 这就是两向量夹角余弦的坐标表示式 由于 " # $ 故两向量夹角余弦的坐标表示式也可整理成 " ((( 其中 为 的方向角 ( (( 为 的方向角 # $ 例 设 求 与 的夹角 在 上的投影 在 上的投影 解 因为 ** * 所以 槡 槡 槡 * 槡 槡 故 由 可得 由 可得 槡 槡 例 一质点在力 的作用下 从 点 移动到点 求 所做的功及 与 间的夹角 解 所做的功是 ) 其中 是位移向量 故 ) 设 与 的夹角为 因为 所以 与 的夹角为 槡 槡
19 第八章 向量代数与空间解析几何 二 两向量的向量积 在学习向量积前 不妨先回顾一下力学中学习过的力矩 设有杠杆 - 则作用在点! 处的力 关于支点 的力矩为一向量 若设此向量为 它的模为!"# 其中 为 与! 的夹角 见 而力矩 的方向 按右手规则确定 垂直于! 和 所确定的平面 将计算力矩这种向量的运算形式抽象出来即为两向量的向量积 向量积的定义及其运算性质设向量 由向量 与 决定 其中 向量 的模为 "# 为向量 与 的夹角 向量 的方向垂直于 与 所确定的平面 且 符合右手规则 即四指从 转向 拇指指向的方向即为 的方向 见 那么 向量 就称为向量 与 的向量积 也称叉积或外积 记为 * 即 * 根据向量积的定义 还可以从几何的角度来理解向量积 * 的方向既垂直于 又垂直于 向量积的模 * 恰好为 与 所构成的平行四边形面积 见 向量积的物理解释则可以理解为力矩 因此 上面的力矩 等于! 与 的向量积 即! *
20 高等数学 下册 由向量积定义容易得出如下运算性质 * 对于两个向量 若 * 则 反之 若 则 * 即 * 注 若向量 中含有零向量 由于零向量的方向可看作是任意的 故可视为与任何向量都平行 因此上述结论仍然成立 向量积的运算律 反交换律 * * 由于向量积运算服从右手规则 * 为从 转向 而 * 为从 转向 指向刚好与 * 相反 分配律 *** 结合律 设 为常数 * * * 向量积的坐标表示式设 " # $ " # $ 按上述运算律 得向量积的坐标表示式 * " # $ * " # $ " " * # # * $ $ * " # * # " * " $ * $ " * # $ * $ # * # $ $ # $ " " $ " # # " 利用三阶行列式的表达方法 上式还可写成如下形式 * " # $ 或 又 例 解 * # $ # $ " # $ " $ " # " $ " # 求与向量 都垂直的单位向量 由向量积的定义知 * 与 和 都是垂直的 而 * 槡 槡
21 第八章 向量代数与空间解析几何 所以 例 解 * * 槡 槡 求以 三点为顶点的三角形面积 由向量积的定义知 三角形 的面积,! "# 由于 因此 于是 * *, * 槡 槡 三 向量的混合积 混合积的定义 混合积是研究三个向量的乘积 其中既包含向量积也包含数量积 如果先作两个向量 的数量积 再与第三个向量 相乘 这相当于对向量 作数乘 这种情况不必再讨论 设有三个向量 和 先作两向量 和 的向量积 * 再将所得向量与第三个向量 作数量积 * 这样得到的数量称为三向量 的混合积 或数量三重积 记为 由混合积的定义可得 * * 为 * 与 的夹角 当向量 组成右手系 即 的指向按右手规则由 转向 来确定 时 为锐角 的符号为正 如果 组成左手系 即. 的指向按左手规则由 转向 来确定 为钝角 的符号为负 向量混合积的几何意义 设向量 和 为非零向量 则它们的混合积的绝对值 恰好表示以向量 为棱的平行六面体的体积 事实上 将 和 移至共同的起点 以它们为棱可作一个平行六面体 如 所示 设 *" 由向量积定义可知 * 等于以向量 和 为边所作平行四边形 的面积 即平行六面体的底面积,
22 高等数学 下册 * 平行六面体的高 / 恰为向量 在向量 " 上投影的绝对值 若设 " 与 夹角为 则 / " 由此可得 平行六面体的体积 0,/ * 注 由于不明确向量 组成左手系还是右手系 所以 / 要取 " 的绝对值 混合积的坐标表示式 设 " # $ " # $. ". #. $ 因为 * # $ # $ " $ " # " $ " # 再按两向量的数量积的坐标表示式 便得三向量的混合积的坐标表示式 " # $ # $ " $ " # *. ". #. $ " # $ # $ " $ " #. ". #. $ 由混合积的几何意义可知 若混合积 则能以 三向量为棱构成平行六面体 从而 三向量不共面 反之 若 三向量不共面 则必能以 为棱构成平行六面体 从而 从而有下述结论 三向量 共面的充分必要条件是它们的混合积 即 例 " # $ " # $. ". #. $ 已知四面体的四个顶点 求该四面体的体积 解 四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体的体积的 由混合积的几何意义知 平行六面体的体积
23 第八章 向量代数与空间解析几何 故四面体的体积 0 0( 0 * 习题 已知三点 % 求 % 求向量 在向量 上的投影 设 为单位向量 且满足 求 设 问 与 有怎样的关系 能使得 与 $ 轴垂直 设 求 * 设 求 及 * 夹角的余弦 已知四点 求 与 同时垂直的单位向量 向量 # 垂直于向量 和 且与 的数量积为 求向量 # 向量 与 分别垂直于向量 与 求向量 与 的夹角 在顶点为 和 的三角形中 求 边上的高 设 试求 * 已知 %"#$ 四点共面 求点 % 的坐标 "#$ 所满足的坐标关系式 & ' 平面是空间曲面中最简单 也是最重要的一种 本节及下节将以向量为工具来讨论最简单的曲面和曲线 即平面和直线及其方程
24 高等数学 下册 一 平面方程 平面的点法式方程由立体几何的知识知 过空间一点有且仅有一个平面与已知直线相垂直 据此 当已知一点 % 和一个非零向量时 可以唯一地确定一个平面 使之过点 % 且与向量垂直 这里的向量称为平面的法向量 其定义如下 任意垂直于一平面的非零向量 称为该平面的法线向量 简称法向量 显然平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直 当已知平面 上一点 % " #$ 和其法向量 时 下面建立平面 的方程 见 首先 设 % "# $ 是平面 上的任一点 则 % % "" ##$$ 且向量 % % 必与法向量垂直 因此它们的数量积等于零 即 由数量积的坐标表示式可得 % % "" ## $$ 这就是平面 上任一点 % "# $ 所满足的方程 反之 不在平面 上的点必不满足此方程 假定 % " #$ 不在平面 上 若满足上述方程 必有 % % 取平面 上的任一不同于 % 的点 % " #$ 必有 % % 从而必有一平面 过 % % 和 % 三点 且 由 过点 % 故 必不同于 即过点 % 有两个平面与向量 垂直 不成立 由此可知 "" ## $$ 就是平面 的方程 而平面 即是此方程的形 由于此方程是由平面 上的一点 % 及它的一个法向量定 所以称此方程为平面的点法式方程 确
25 第八章 向量代数与空间解析几何 例 求过点 且以 为法向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 " # $ 即 "#$ 例 一平面过点 且平行于向量 和 试 求该平面的方程 解 因所求平面平行于向量 和 故该平面的法向量为 * 从而所求平面的方程为 "#$ 即 "#$ 平面的一般方程 将平面的点法式方程 "" ## $$ 进行整理 可得 " # $ " # $ 令 " # $ 则点法式方程可写为一个关于 "#$ 的三元一次 方程 " # $ 反之 对任意三元一次方程 "#$ 任取一个满足此方程的数组 " #$ 即有 " # $ 将这两个等式相减 可得 "" ## $$ 这恰为过点 " #$ 且以 为法向量的平面方程 综上所述 平面方程为一个三元一次方程 而任意三元一次方程 " # $ 的形总是一个平面 因此 把三元一次方程 " #$ 称为平 面的一般方程 其法向量为 包含 系数的三元一次方程表示特殊的平面 下面讨论它们关于坐标轴的相对 位置 以及这样的平面通过的特殊点或线 当 时 方程 成为 " # $ 它表示一个过原点的平面 当 时 方程 成为 #$ 其法向量 垂直于 " 轴 它表示一个平行于 " 轴的平面 当 时 方程 成为 "$ 其 法向量 垂直于 # 轴 它表示一个平行于 # 轴的平面 当 时 方程
26 高等数学 下册 成为 " # 其法向量 垂直于 $ 轴 它表示一个平行于 $ 轴的平面 当 时 方程 成为 $ 其法向量 同时垂直于 " 轴和 # 轴 它表示一个平行于 "# 面的平面 当 时 方程 成为 " 其法向量 同时垂直于 # 轴和 $ 轴 它表示一个平面平行于 #$ 面的平面 当 时 方程 成为 # 其法向量 同时垂直于 " 轴和 $ 轴 它表示一个平行于 $" 面的平面 例 求过 " 轴和点 的平面方程 解因为所求平面过 " 轴 所以可设这平面的方程为 # $ 又因这平面过点 因此有关系式 或 将其代入所设方程中并除以 得所求平面方程为 #$ 平面的截距式方程若平面与 "#$ 轴的交点依次为! &. 则. 依次称为平面在 "#$ 轴上的截距 当其中. 时 可以由这三点坐标直接得到平面的方程 为确定平面的方程 可先设所求平面的一般方程为 "#$ 因为点! &. 都在这平面上 所以点!& 的坐标都满足所设方程 即 ". 由此得. 将其代入所设方程 可得 " # $. 由于平面显然不过坐标原点 即 于是方程两侧同时除以 得 此方程就称为平面的截距式方程 例 解 " # $. 写出平面 "#$ 的截距式方程 设 # $ 由方程得
27 第八章 向量代数与空间解析几何 " 即 " 从而平面在 " 轴上的截距为 同理可得 平面在 # 轴上的截距为 平面在 $ 轴上的截距为. 因此 平面的截距式方程为 平面的三点式方程 " # $ 已知不共线的三点确定一个平面 下面由已知不在同一直线上的三点 % " #$ % " #$ % " #$ 来确定平面方程 设 % "# $ 是平面上的任一点 则三向量 % % % % % % 共面 由向量共面的条件知 "" ## $$ " " # # $ $ " " # # $ $ 这就是所求平面的方程 该方程称为平面的三点式方程 例 解 求过三点 的平面方程 由平面的三点式方程 得 " # $ 即所求平面方程为 "#$ 二 两平面的位置关系 设有两平面 " # $ 和 " # $ 下面探讨两平面的位置关系 两平面的位置关系只有两种 平行 包括重合 或相交 包括正交 即垂直 相交就有夹角问题 把两平面的法线向量的夹角 称为两平面的夹角 由于法线有两个方向 这里约定 其中两平面平行时 两平面垂直时 其余情况下两平面的夹角为锐角
28 高等数学 下册 平面 和 的法向量分别为 和 那么 和 之一必属于 取其为平面 和 的夹角 见 于是 由两向量夹角余弦的坐标表示式 可得 槡 槡 例 解 求两平面 "# 和 " 的夹角 由公式 得 故所求夹角 为 即 例 解 * ** 槡 槡 槡 平面过 $ 轴 且与平面 "# 槡 $ 的夹角为 求此平面方程 平面过 $ 轴 则方程可设为 " # 由题意知 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解得 或 所以所求平面方程为 "# 或 "# 两平面位置关系中比较特殊的情况是平行和垂直 而两平面平行就相当于其法向量相互平行 两平面垂直就相当于其法向量相互垂直 设两平面 和 的法向量分别为 和 故 和 平行 垂直的充要条件分别为
29 第八章 向量代数与空间解析几何 特别地 和 重合 注 两平面相交的充要条件为 不全相等 例 解 求通过 " 轴 且垂直于平面 "#$ 的平面的方程 设所求平面的法向量为 平面 "#$ 的法向量为 由题意 * 故 又所求平面过原点 所以其方程为 三 点到平面的距离 "#$ 即 #$ 下面讨论平面外一点! " #$ 到平面 "#$ 的距离 1 如 所示 首先在平面上任取一点! " #$ 并设 为平面的法向量 则! 到这平面的距离为向量!! 在上的投影的绝对值 即 1!! 由数量积与投影的关系可得!!!! 其中!! " " # #$ $ 槡 于是!!!! " " # #$ $ 槡
30 高等数学 下册 槡 " " # #$ $ " # $ " # $ 槡 又由于! " #$ 在平面上 故有 " #$ 因此 上式化为!! " # $ 槡 于是 平面外一点! " #$ 到平面 " # $ 的距离为 例 的距离 1 " # $ 1 槡 求两平行平面 " #$ 和 "#$ 解如 所示 在平面 上任取一点! " #$ 则点! 到 的距离就是平行平面间的距离 于是 " # $ 1 槡 又由于! " #$ 是平面 "#$ 上的点 于是 " # $ 即 " # $ 代入式 得 1 槡 习题 求过点 且平行于平面 "#$ 的平面方程 指出下列平面的特殊性质 并作 " #$
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
(4 ) 垂直 故可取 即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程 所求平面方程为 确定平面的另一类条件是 不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面 设 平面 所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此 和 与平面的法向量 垂直 即可以取法向量
教案 平面和直线 教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象 是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型 由于曲线在局部可以用它的切线来近似 曲面在局部可以用它的切平面来近似 所以平面和直线也是几何和分析中 以直代曲 的最基本元素 因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要 而且是必须要掌握的数学工具 在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 平面和直线的代数表示 即它们的方程的形式如何?
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
1.doc
南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 008-009 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建 www.fneprnt.n 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 :
高等数学7
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - 第7章
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算 ( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
第一节 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何 教师 : 薛留堂 邮箱 : uelt@nu.edu.cn 办公室 : 后主楼 3 第一节 第八章 向量及其其线性运算 一 向量的概概念二 向量的线线性运算三 空间直角角坐标系四 利用坐标标作向量的线性运算五 向量的模模 方向角 投影 一 向量的概念 向量 : 既有大小, 又有方向向的量称为向量 ( 又称矢量 ). 表示法 : 有向线段 M M M, 或, 或. M 自由向量
! " # " " $ % " " # # " $ " # " #! " $ "!" # "# # #! &$! ( % "!!! )$ % " (!!!! *$ ( % " (!!!! +$ % " #! $!, $ $ $ $ $ $ $, $ $ "--. %/ % $ %% " $ "--/
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标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
2018/5/25 预览页 2016 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择 1. 设集合 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 8}, 则 A B = ( ). A. {4, 8} B. {0, 2, 6} C. {0, 2, 6, 10} D. {0, 2, 4
06 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择. 设集合 A = {0,,, 6, 8, 0}, B = {, 8}, 则 A B = ( ). A. {, 8} B. {0,, 6} C. {0,, 6, 0} D. {0,,, 6, 8, 0} z. 若 z = + i, 则 = ( ). z A. B. C. + i D. i. 已知向量 BA = (, ), BC = (, ), 则 ABC
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
2008年全国初中数学联合竞赛
017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7
北京第二中学分校初三上期中（20个新题）
如图 在 BC 中 DE BC E : EC : 3 DE 4 则 BC 等于 ( ) D E B C 0 B 8 C 9 D 6 答案 解析 E : EC : 3 E C 5 DE BC DE BC DE E BC C 5 4 即 BC 5 解得 BC 0 已知图中各有两个三 形 其边长和 的度数已在图上标注 ff808084a9e7804a380bdf3a3063 3 如图 在平 四边形 BCD
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 ３ 电势与电势差 １ 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 Ｅ ｐ 与电荷量 ｑ Ｅｐ 的比值叫做该点处的电势 表达式为 Ｖ 电场中两点之间的 ｑ 电势之差叫做电势差 表达式为 ＵＡＢ Ｖ Ａ ＶＢ ２ 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量
T 分 6 分 分 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分 分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为 名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分 故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为
6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误,
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解析几何 陈抚良张振兰黄浩然编 北京 内容简介 本书针对中学新课标和大学面向 21 世纪教学改革的实际, 系统地介绍了空间直角坐标系及其相关概念 空间的平面和直线 常见的曲面与曲线 空间区域及作图 一般二次曲线方程的化简与作图 几何学发展及前沿概况等. 本书适合于师范类高校作为必修课的教材或参考书, 也可供高等院校理工类学生 大学自考生 中等学校数学教师 工程技术人员学习使用. 图书在版编目 (CIP)
杨浦区 2017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效. 2. 除第一 二大题外,
杨浦区 017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 018.1 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 5 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效.. 除第一 二大题外, 其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一 选择题 :( 本大题共 6 题,
作者 : 闫浩 ( 年 月 段弧 标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 标 其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c
作者 : 闫浩 ( 年 月 微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周 一 第二型曲线 曲面积分 三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线 为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法 用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成 计算 d si si d BC cos d si d cos
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第 第三轮复 复习之 一 一模精品 品集萃 模 模块一 数与式 式 一模精华 再求值 ( + 例 天河一模 先化简 再 + ) 的正 其中 是小于 是 正整数 4 式 = 解析 + 当 = 时 原式 术表演风靡全 全国 小明也 也学起了刘谦 谦发明了一个 个魔术盒 当 当任意实数 例 广外一模 刘谦的魔术 对 ( b) 进入 入其中时 会 会得到一个新 新的实数 + b 例如把 ( ) 放入其中 就会得到
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
标题
微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 ) 李红英 主编 图书在版编目 (CIP) 数据微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 )/ 李红英主编. 上海 : 华东理工大学出版社,2014.2 ISBN978 7 5628 3454 0 Ⅰ.1 微 Ⅱ.1 李 Ⅲ.1 微积分 高等学校 教学参考资料 Ⅳ.10172 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2014)
第一章 基 本 知 识
第 节向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 第 节点的坐标与向量的坐标 6 空间直角坐标系 6 向量的坐标表示 8 3 向量的模 方向角 4 向量的投影 第 3 节向量的乘法运算 4 3 两向量的数量积 4 3 两向量的向量积 8 33 向量的混合积 第 4 节平面 4 4 平面的方程 5 4 点到平面的距离 8 43 两平面的位置关系 9 第 5 节空间直线 3 5 空间直线的方程 3 5
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6.6 积分在物理上的应用 一 质心二 转动惯量三 引力 一 质心 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在 上连续, 平面薄片的质心 当薄片是均匀的,
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 应用微积分 ( 下册 ) 刘春凤主编 米翠兰彭亚绵副主编 刘琳琳袁书娟参编 北京 内容简介枟应用微积分枠面向接受高等教育的成人和大中专学生 内容主要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 选编了向量代数 空间解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书结构严谨 逻辑清晰 ; 约简理论推导 强调方法阐述
00.S72
普通高等教育 十一五 国家级规划教材 空间解析几何 ( 新版 ) 李养成编著 北京 内容简介本书内容包括向量代数 空间的平面与直线 常见的曲面 二次曲面的一般理论 正交变换和仿射变换. 本书结构紧凑, 突出了解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 注意展现数学知识的发生过程和数学问题解决的思维过程, 注重思维训练和空间想象能力的培养. 本书表达清晰, 论述深入浅出, 力求使读者便于学习领悟. 书末附有习题答案与提示,
2008年全国初中数学联合竞赛
州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b
北京中考微信公众号（BJ_zkao）
015 北京三帆中学初一 ( 下 ) 期中 数 学 班级 姓名 学号 分层班级 成绩 一 选择题 ( 每题 分, 共 0 分 ) 注意 : 时间 100 分钟, 满分 10 分 ; 1. 的相反数是 ( ). 1 B. C. 1. +1. 下列图形中, 不能.. 通过其中一个四边形平移得到的是 ( ) () (B) (C). B. C. ().. 若 a
高一数学练习2004
北京市西城区 06 07 学年度第一学期期末试卷 高二数学 ( 文科 ) 07. 试卷满分 :50 分 考试时间 :0 分钟 题号一二 分数 三 5 6 7 8 9 0 本卷总分 一 选择题 : 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合要求的. x. 双曲线 y 的一个焦点坐标为 ( ) () ( 0) () (0 ) () ( 0) () (0
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3. 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 曲面的实例 : 水桶的表面 台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一 曲面方程的概念
学年北京市第七中学九年级上学期期中数学试题（含答案）
( 重题 :9) 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测试卷 九年级数学 015 年 11 试卷满分 :10 分考试时间 :10 分钟 选择题 ( 本题共 30 分 每 题 3 分 ) 下 各题均有四个选项 其中只有 个是符合题意的 1 抛物线 = ( x 1) + 的顶点坐标是 ( ) A (1 ) B (1 ) C ( 1 ) D ( 1 ) 解答 解: = ( x 1) + 的顶点坐标为
平安大路 D 4. 易 已知直角三角形 中, 90,, 3, 若点 在坐标原点, 点 在 轴上. ⑴ 在平面直角坐标系中画出三角形 ; ⑵ 求点, 的坐标. 坐标系中的点的特征 5. 易 ( 中关村中学第二学期初一年级其中测试 ) 在平面直角坐标系中, 点 P ( ). 第一象限. 第二象限. 第三
各章节核心题系列 平面直角坐标系 35 题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (8)) 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 7 大题型 ) 平面直角坐标系的概念 一 坐标平面内点的位置的确定二 坐标系中点的特征三 坐标平面内的距离和面积 平面直角坐标系的变换 四 平移五 对称六 旋转七 综合 第二部分 : 经典例题 (35 道核心题 ) 坐标平面内点的位置确定. 易 小明家的坐标为,, 小丽家的坐标为,,
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
2016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分, 每题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). A. B.
016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题 每小题 3 分 满分 30 分 每题给出的四个选项中 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中 是轴对称图形的是 ( )... C. D. 答案 解析 在平面内 如果把一个图形烟一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形称为 轴对称图形.
§7.3 微积分基本定理的推广
7. 微积分基本定理的推广 格林 (Green) 公式高斯 (Gauss) 公式与散度斯托克斯 (stokes) 公式与旋度小结 一 格林 (Green) 公式. 平面单连通区域设 为平面区域, 如果 内任一闭曲线所围成的部分都属于, 则称 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 区域边界曲线的正向 : 设 是区域 的边界曲线, 沿边界行走, 区域 总在左侧. 由 与 连成
内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者
解析几何习题全解 卢涛安佰玲黄保军 主编 中国科学技术大学出版社 内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者解疑释惑, 进一步理解知识点. 其中习题详解部分对
证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一 地变换成 xx 平面上的闭域 D. 又设 ( =,) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 并且 (, ) J( x, x j j
* 9 重积分变量变换公式的证明 本节将给出在 x = x( u, v), y = y( u, v) 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式 ( 定理.3) 的一般证明. 返回 证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一 地变换成 xx 平面上的闭域 D.
2008年全国初中数学联合竞赛
06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () 用 [ x ]
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
2009年课标甲乙
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半
参考答案 参考答案 第 章 解直角三角形 锐角三角函数 由题意得! "# $! 锐角三角函数 % $! 解 & ' ' 且 ' ' ' ' 即 为等边三角形 锐角三角函数的计算 "# "# "# % $!"!!" $ 或! ' 锐角三角函数的计算 % 解!!&! 是 的中点 &"# "# &!!$
数 学 参考答案 参考答案 参考答案 第 章 解直角三角形 锐角三角函数 由题意得! "# $! 锐角三角函数 % $! 解 & ' ' 且 ' ' ' ' 即 为等边三角形 锐角三角函数的计算 "# "# "# % $!"!!" $ 或! ' 锐角三角函数的计算 % 解!!&! 是 的中点 &"# "# &!!$ 解 设 "" 作 于 则 " 在 ( 中 "# 新课标 学习方法指导丛书 数学九年级
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
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0-0 高二上期考 命题上 若 >-, 则 >-6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中, 真命题有 个 个 个 D 4 个 已知 b 是实数, 则 >0 且 b>0 是 +b>0 且 b>0 的 ( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 D 不充分不必要条件 已知 = i j+ λk, b= i+ 4j 5k( i, j, k是两两垂直的单位向量 ), b - D -4 4 由程序框图运行后输出的
1989－2004数学三、四考研试题（线性代数部分3）
989- 数学三 四考研试题 线性代数部分 ) 三 计算证明题. 已知 XXB 其中 求矩阵 X. B - 5 989 年数学三 四 ). 设 ) ) t) ) 问当 t 何值时 向量组 线性无关? ) 问当 t 何值时 向量组 线性相关? ) 当向量组 线性相关时 将 表示为 的线性组合. 设 ) 试求矩阵 的特征值 - - 989 年数学三 ) ) 利用 ) 小题的结果 求矩阵 E 的特征值 其中
解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CB
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ;
如图, 的顶点 在矩形 的边 上, 点 与点, 不重合, 若 的面积为 3, 则图中阴影部分两个三角形的面积和为. 7. 下列说法中, 正确的个数是 ( ) ⑴ 只用一种图形能够密铺的有三角形 四边形 正六边形 ⑵ 菱形的对角线互相垂直平分 ⑶ 矩形有而平行
各章节核心题系列 四边形综合 3 题 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 5 大题型 ) 一 性质综合二 判定及综合三 中位线四 中点四边形五 剪拼 第二部分 : 经典例题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (9)) 一 性质综合. 正方形 矩形 菱形都具有的特征是 ( ). 对角线互相平分. 对角线相等. 对角线互相垂直. 对角线平分一组对角. 给出下面四个命题 : 对角线相等的四边形是矩形 ; 对角线互相垂直的四边形是菱形
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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微分几何 课程电子课件 教师 : 刘培海 Tel: 13816926110 Email: liu@ecust.edu.cn Key:geometry 华东理工大学 微分几何 电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 1/ 30 第三章 外微分形式和活动标架 外微分形式 活动标架 用活动标架法研究曲面 华东理工大学 微分几何 电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn
浦东新区 2017 学年第一学期初三教学质量检测数学试卷 ( 完卷时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸... 规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效. 2. 除第一 二大
浦东新区 017 学年第一学期初三教学质量检测数学试卷 ( 完卷时间 :100 分钟, 满分 :10 分 ) 018.1 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸... 规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效.. 除第一 二大题外, 其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸... 的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一 选择题 :( 本大题共
学年北京市第一六一中学九年级上学期期中数学试题（重题22）
北京 六 中学 06 届第 学期期中考试九年年级数学试题 班级 姓名 学号 考 须知 本试卷共 4 页 满分 0 分 考试时间 0 分钟 试卷答案 律填涂或书写在答题纸上 在试卷上作答 效 在答题纸上 选择题 作图题 铅笔作答 其他试题 字迹签字笔作答 4 考试结束后 将答题纸和草稿纸 并交回 一 选择题 ( 本题共 0 分 每 小题 分 ) 下 面各题均有四个选项 其中只有 一个是符合题意的 =
数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念 向量积的运算规律 向量积的坐标表示 两向量平行的充要条件 向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录 第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法
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多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
C 根据 关于原点对称的点 横坐标和纵坐标都互为相反数 可知 : 点关于原点对称点的坐标为 几何变换 图形的旋转 关于原点对称的点的坐标 3 将方程配成的形式 方程两边需加上 ( ) A B C D A 要使方程左边配成一个完全平方式 需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方 即可得出 方程与不等式
2017~2018 学年广东广州白云区初三上学期期末数 学试卷 一 选择题 ( 本大题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 ) 1 下列是一元二次方程的为 ( ) A B C D B 两个未知数 故不是一元二次方程 含有一个未知数 最高次数为 故正确 含有一个未知数 最高次数为 为一元一次方程 含有两个未知数 不是一元二次方程 方程与不等式 一元二次方程 一元二次方程的定义 判断方程是否为一元二次方程
资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编 一 方法建议 学而思高考研究中心 武洪姣 曲丹老师 圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后 充分的练习题目 以及掌握在解决题目的必要技巧 方法 主要选择好的方法 二 题型分类 (I) 向量表达相关的问题 向量的数量积与角度问题 直接考查向量的数量积计算 分别是证明是定值 求范围 和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分
2018 年四川成都成华区初三一模数学试卷 一 A 卷 ( 共 100 分 ) 第 Ⅰ 卷 ( 选择题, 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题共 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分, 每小题均有四个选项, 其中只有一项符 合题目要求, 答案涂在答题卡上 ) 年四川成都成
2018 年四川成都成华区初三一模数学试卷 一 A 卷 ( 共 100 分 ) 第 Ⅰ 卷 ( 选择题, 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题共 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分, 每小题均有四个选项, 其中只有一项符 合题目要求, 涂在答题卡上 ) 1 2018 年四川成都成华区初三下学期初三一模第 1 题 3 分 越野车标识 中, 既是中心对称图形又是轴对称图形的数字或字母是
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
1.1－复数打印版
第一章复数与复变函数 本章首先引入复数的概念及其运算, 讨论几何 三角函数等其他表示方式 然后介绍平面点集的概念, 以此为基础讨论复变函数的连续性 第一节复数域及各种表示 一 复数的定义 二 复数的代数结构三 共轭复数 四 复数的有序实数对表示 五 复数的几何表示六 复数的三角表示 七 复球面及无穷大 一 复数的定义. 虚数单位实例 : 方程 x = 在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数称为虚数单位.,
2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \s
2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \sqrt{5a{{b}^{2}}} {{y}^{2}}} 2 如图, 在平行四边形 ABCD 中,CE
A. 正确选项 A B. C. D. 能力要求 基础知识和基本技能 / 掌握初中数学基础知识 知识内容 图形与几何 / 解直角三角形 5. 某集团公司 9 个子公司, 各个子公司所创年利润的情况如小表所示. 各个子公司所创年利润的众数和中位数分别是 ( ) A. 4 千万元, 千万元 B. 6 千万
06 学年第二学期初三数学教学质量检测试卷 ( 满分 50 分, 考试时间 00 分钟 ) 考生注意 :. 本试卷含三个大题, 共 5 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答, 在草稿纸, 本试卷上答题一律无效.. 除第一 二大题外, 其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一 单选题 ( 本大题共 6 题, 每题 4 分, 满分 4 分 ).
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第五章空间力系的平衡问题 在第三章力偶的力偶矩 第四章力对点的矩中针对空间三维情况给出了力矩矢量和力偶矩矢量的定义 : 力偶矩矢量 : 如图 - 所示 力矩矢量 : 如图 -b 所示 图 - 本章将在力矢量 力偶矩矢量和力对点的矩矢量这三个基本力学量的基础上 对空间力系的平衡问题进行简单的分析 - 空间力系的简化 空间任意力系 : 当作用在刚体上的力和力偶 其力的作用线和力偶的力偶面不都在同一平面时
2018 秦外 三中 钟英 中华四校联考 初二 ( 上 ) 数学期末试卷 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 2 分, 共 12 分 ) 1.3 的算术平方根为 ( ) A.3 B. ± 3 C. 3 D 如图, ABC ADC, ABC=118, DAC=40, 则 BCD
018 秦外 三中 钟英 中华四校联考 初二 ( 上 ) 数学期末试卷 一 选择题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 分, 共 1 分 ) 1. 的算术平方根为 ( ) A. B. ± C. D.. 如图, ABC ADC, ABC=118, DAC=0, 则 BCD 的度数为 ( ) A.0 B. C.50 D.8 A B D C ( 第 题 ) ( 第 题 ) ( 第 6 题 ). 如图, 给出下列四组条件
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷
西城区高三模拟测试 数学 ( 理科 ) 8.5 第 Ⅰ 卷 ( 选择题共 4 分 ) 一 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 4 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出 符合题目要求的一项.. 若集合 A { }, B { }, 则下列结论中正确的是 (A) A B (B) A B R (C) A B (D) B A. 若复数 z 满足 ( i) z, 则 z (A) i (B)
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一. 函数方程. 已知 f () 是定义在 R 上的奇函数, 对任意 R 均有 f ( + ) = f ( ), 且 (0,) 时, f ( ) =, 则 f ( ) + f () =. 己知函数 f ( ) 满足对所有的实数, y, 都有 f( ) + f( + y) + 5 y = f( y) + +, 则 f (0) =.. 已知定义在 R 上的函数 f ( ) 满足 :() f () =,()
一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh e e 双曲余弦 : h sh e 双曲正切 : h h e sh l h l h l e e si lim lim e 三角函数公式 : 三角函数 : 正弦函数 si ; 余弦函数 ; si 正切函数 ;
高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g l log l s s se se s se si g g sh h h sh g g g g l l s s se se s si se g g g g g si l l l s s l se se l si l I I si l l si 一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh
第二节 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性 一 维向量组的线性相关性若干个同维数的向量所组成的集合称为向量组. 定义. 设有 维向量组 m 若存在不全为零的数 c c c m 使得 c c c m m 0 则称向量组 m 线性相关 否则称向量组 m 线性无关. 当向量组线性无关时 也称这个向量组是线性无关 ( 向量 ) 组. 由定义. 可知 m 线性无关的充分必要条件是 : 成立当 且仅当 c=c= =cm=0 c
顺义区2014届初三第一次统一练习
一 选择题 ( 本题共 3 分, 每小题 4 分 ) 顺义区 04 届初三第二次统一练习数学试卷. 04 年 月 4 日, 在 百度搜索 的 手机型号排行榜 中显示, 排名第一位的是 苹果 iphones, 关注指数为 46 90, 将 46 90 用科学记数法表示为 4. 4.69. 4.69. 0.469. 46.6.6 的平方根是. 4.4.-4. 8 3. 某中学九 () 班 6 个同学在课间体育活动时进行
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
前言 高考命题规律 年份 题号 题型 考查内容 思想方法 分值 011 年 理 10 选择题 向量积与三角函数 不等式 模平方 5 分 文 1 填空题单位向量, 向量垂直方程思想 5 分 01 年理 1 填空题向量模长, 夹角模平方 5 分 文 15 填空题向量模长, 夹角模平方 5 分 01 年理
平面向量综合讲义 前 言...0 近七年全国 Ⅰ 卷高考真题...06 第 1 讲 数量积基础...07 1.1 平行 ( 共线 )...07 1. 垂直...07 1. 夹角...08 1.4 模长...09 1.5 投影...10 第 讲 平面向量基本定理...1 第 讲 最值 ( 范围 )...15 第 4 讲 等和线...18 第 5 讲 极化恒等式...0 第 6 讲 五心问题 ( 奔驰定理
八年级数学 ( 上 ) 北师大版 说明在平面上如何确定一个点的位置, 因为平面是二维的, 自然需要两个独立的数据, 而在空间中确定位置, 因为空间是三维的, 所以两个量是不够的, 自然需要三个量, 甚至更多一些, 因此在解决实际问题时, 应灵活处理, 不能按部就班. 2. 平面直角坐标系及点的坐标
系统的知识归纳第五章位置的确定知识导航考点梳理 1. 确定平面位置的方法确定平面上的点的位置的方法有很多, 通常需要两个量来确定一个点的位置, 这两个量可以是两个数, 也可以是一个角度 一个数等两个相同或不同的量. 成年人的身体里大约有 650 块肌肉分析生活中确定位置的多种方式方法总结平面内确定位置的基本规律确定位置的极坐标思想确定位置的其他方式平面直角坐标系的基本概念图形的坐标变化与图形的轴对称
6. 易 ( 理工分校第二学期初二数学期中练习 ) 如图, 在四边形 中, = =, = 3, = 1, 且 = 90, 试求 的度数.. 简单的计算 7. 易 ( 黔西南州 ) 一直角三角形的两边长分别为 3 和 4. 则第三边的长为 ( ) 或 7 8. 易 已知, 三角形的
各章节核心题梳理 勾股定理 43 题 知识框架一 勾股定理及证明 1. 勾股定理基础. 简单的计 3. 几何图形中的计算 4. 勾股定理的几何证明二 勾股定理的逆定理三 勾股定理的应用 例题精炼 一 勾股定理及证明 1. 勾股定理基础 1. 易 ( 沈阳 ) 在下列说法中正确的是 ( ). 在 Rt 中, + =. 在 Rt 中, 若 a = 3, b = 4, 则 c = 5. 在 Rt 中, 两直角边长都为
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为
谷 德军 等 对 流边 界层 中 公 路 线 源 扩 散的 期 扩 散 的模 拟 式 大 气扩 散 的 方 法 是 把 污 染物 在 大 气 中 的 扩 散 看 成 标 记 粒 子 在 平 均 风 场 约束 下 的 随机 运 动 假 定 粒 子 的运 动 是 相 互独 立 的 向上 的 坐 标 为 时间 步长 的 脉 动速 度 可 以 用 小 匡 每 个 粒 子 的运 动 为 小 分别 代表粒子 在
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器
数字带通 带阻 高通滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器, 再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器, 再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) H ( j) 3 3 3 模拟原型方法 : 模拟低通 - 模拟带通 H ( j) 模拟低通
2016~2017 学年北京海淀区人大附中初二上学期期中数学试卷 一 选择题 ( 每小题 3 分, 共 36 分 ) 1. 下面四个图形分别是低碳 节水 节能和绿色食品标志, 在这四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是 ( ). A. a 2 a 3
2016~2017 学年北京海淀区人大附中初二上学期期中数学试卷 一 选择题 ( 每小题 3 分, 共 36 分 ) 1. 下面四个图形分别是低碳 节水 节能和绿色食品标志, 在这四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). 2. 下列计算正确的是 ( ). A. a 2 a 3 = a 6 B. (ab) 2 = a 2 b 2 C. ( a 2 3 ) = a 5 D. (xy) 3 x y 3 =
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,2009) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 120 分钟满分 : 100 分. 题号一二三四五六七总分 专业 : 线满分 得分 注意 :1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效.
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,9) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 分钟满分 : 分. 题号一二三四五六七总分 专业 : 线满分 5 5 5 5 注意 : 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 一 (5 分 ) 求经过三平行直线 L : x= y = z, 年级 : 封 L : x = y = z+,
内 容 简 介 高等数学 上 下册 是为普通高等学校理工科专业学生编写的基础课教材 以微积分学的基本理论和方法为核心内容 本书为下册 主要内容包括空间解析几何 多元函数微分学 无穷级数 微 差 分方程等 本书叙述直观 概念清晰 通俗易懂 便于学生理解和掌握 本书可作为理工科大学 高等师范院校理 工
高等教育 十二五 规划教材 高等数学 下册 刘仁云 赵 虹 主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介 高等数学 上 下册 是为普通高等学校理工科专业学生编写的基础课教材 以微积分学的基本理论和方法为核心内容 本书为下册 主要内容包括空间解析几何 多元函数微分学 无穷级数 微 差 分方程等 本书叙述直观 概念清晰 通俗易懂 便于学生理解和掌握 本书可作为理工科大学 高等师范院校理
绝对值 绝对值 - 5 = 5 绝对值 - 5 = 5
Chinese 6 th Grade A-L Vocabulary Cards and Word Walls Revised: 5/8/15 Important Notes for Teachers: The vocabulary cards in this file match the Common Core, the math curriculum adopted by the Utah State
平谷区 初三数学统练二
一 选择题 ( 本题共 3 分, 每小题 4 分 ). 的绝对值是 平谷区 03-04 初三数学统练二..... 打开百度搜索栏, 输入 数学学习法, 百度为你找到的相关信息约有 000 000 条, 将 000 000 用科学记数法表示为.. 0 7.. 0. 0. 3. 一个正多边形的一个外角是 40, 这个正多边形的边数是 0.0.9.8. 4. 有分别写数字 3 4 的五张卡片, 除数字不同外其它均相同,