§7.3 微积分基本定理的推广

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戌及
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1 7. 微积分基本定理的推广格林 (Green) 公式高斯 (Gauss) 公式与散度斯托克斯 (stokes) 公式与旋度小结

2 一格林 (Green) 公式. 平面单连通区域设为平面区域, 如果内任一闭曲线所围成的部分都属于, 则称为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域复连通区域

3 区域边界曲线的正向 : 设是区域的边界曲线, 沿边界行走, 区域总在左侧. 由与连成由与组成

4 . 格林 (Green) 公式定理设闭区域由分段光滑的曲线围成, 函数 P (, ) 及 Q(, ) 在上具有一阶连续偏导数, 则有 Q P P d Qd ( )d d () 其中是的取正向的边界曲线. 公式 () 叫做格林公式.

5 证明 () 若区域既是 X 型又是 Y 型, 即平行于坐标轴的直线和至多交于两点. {(, ) ( ) ( ), a b} {(, ) ( ) ( ), c d} A o a ( ) ( ) B b d c o C E ( ) ( )

6 Q d ( ) Q d d d d c ( ) c d CBE CBE Q( ( ), )d Q( ( ), )d c Q(, )d Q(, )d CAE Q(, )d Q(, )d Q (, )d EAC P 同理可证 d d P (, )d d d c o A C E ( ) B ( )

7 Q P 两式相加得 ( )d d P d Qd () 若区域不同时为 X 型与 Y 型 ( 如图 ), 作辅助线将分成三个既是 X 型又是 Y 型的区域,,. Q P Q P ( )d d ( )d d Q P ( )( )d d

8 P d Qd P d Qd P d Qd P d Q d (,, 对来说为正方向 ) () 若区域不止由一条闭曲线所围成 ( 如图 ). 添加直线段 AB, CE. 则的边界曲线由 AB,, BA, AFC, CE,, EC 及 CGA 构成. G B A E F C

9 便于记忆形式 : 由 () 知 P d Qd d d Q P ( )d d { AB BA AFC CE P Q } ( P d Qd ) EC CGA. ( )( P d Qd ) G P d Q d E (,, 对来说为正方向 ). 格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. B A F C

10 . 简单应用 (). 简化曲线积分例. 计算解添加辅助线 CA 则 CA CA CA CA Q P dd CA,. e sin d ( e cos )d 其中, 是从点 A(R, 0) 沿上半圆周到点 C(-R,0) 的有向曲线弧. Q P P d Qd ( )d d C R o R A

11 e sin d ( e cos )d d d e cos e cos d d R. R CA: 0, d 0 CA R R 0 0 d R. C o A CA CA R R.

12 d d 例. 计算, 其中为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, 的方向为逆时针方向. 解记所围成的闭区域为, 令 P, Q 则当 0时, 有 Q ( ) P

13 () 当 ( 0, 0) 时, d d 由格林公式知 () 当 ( 0,0) 时, 0 o 作位于内的圆周方向为顺时针方向. 记为和 l 所围成的区域, 应用格林公式, 得 l : r, o l r

14 d d d d l Q P d d 0 d d d d l 0. r cos r sin d r ( 注意格林公式的条件 ) l o l r rcos :, rsin : 0

15 (). 简化二重积分例. 计算 e dd, 其中是以 O ( 0,0), A(,), B(0,) 为顶点的三角形闭区域. 解令 P 0, Q e, o B A 则 Q P e, 应用格林公式, 有 e dd OAABBO e d

16 e dd AB :, d 0; BO : 0. OAABBO e d B A OA :, : 0 o e dd e OA d 0 e d ( e ).

17 () 计算平面面积格林公式 : ( )d d d d Q P P Q 取 P, Q, 得 d d d d 闭区域的面积 A d d. 取 P 0, Q, 得 A d 取 P, Q 0, 得 A d

18 例 4. 计算抛物线围成的面积. 解 OA : 区域的正向边界曲线为 ( ) a( a 0) 与轴所与抛物线 : a, ( : a 0) A d d d d d d OA OA 0 ( : 0 ) 0 a 0 ( )d ( a )d a a a a d a o A(a,0)

19 练习 : 则设为 ( ) 4的正向一周, d d ( ). 解原积分 d d 4 4 d ( Green公式 ) 4 d d

20 二高斯 (Gauss) 公式定理设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲面所围成, 函数 P(,, z ), Q(,, z ), () R(,, z) C ( V ), 则 P Q R P d d z Q d z d R d d ( )dv z V 或 P Q R ( P cos Q cos R cos )d ( )dv z 这里是 V 的整个边界曲面的外侧,cos,cos,cos 是上点 (,, z ) 处的法向量的方向余弦. V

21 证明设闭区域 V 在面 o 上的投影区域为 z z (, ) : z z (, ) :. 由, 和三部分组成, 为柱面上的一部分. 这里, ) z (, ) z, ( 取外侧. z O V 取下侧, 取上侧,

22 根据三重积分的计算法 V R z z (, ) R V z z d d d d z(, ) R,, z (, ) R,, z(, ) d d. 根据曲面积分的计算法 R(,, z)d d R,, z (, ) d d, R(,, z)d d R,, z (, ) d d, R(,, z)d d 0.

23 于是同理 V V V R(,, z)d d V 和并以上三式得 : { R[,, z (, )] R[,, z (, )]}d d, R d V R (,, z )d d. z P d V P (,, z )d d z, Q d V Q (,, z )d z d, P Q R ( )d V P d d z Q d z d R d d z 高斯公式

24 若记 F ( P, Q, R),,, z, 则有 P Q R F z 高斯公式又可写为向量形式 F d F dv V Gauss 公式的实质 : 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.

25 例 5. 计算积分 ( )d d ( z) d d z 其中为柱面及平面 z = 0, z = 所围成的空间闭区域 V 的整个边界曲面的外侧. z 解 P ( z), Q 0, R, P z, Q 0, R 0, z 原式 ( z)d d d z ( r sin z) r dr d dz V d d r r(sin z) r dz V 9. 0

26 使用 Guass 公式时应注意 : () P,Q,R 是分别对什么变量求偏导数 ; () 是否满足高斯公式的条件 ; () 是取闭曲面的外侧.

27 例 6. 计算曲面积分 ( cos cos z cos )d, 其中为锥面 z 介于平面 z 0 z h( h 0) 之间的部分的下侧,cos,cos,cos 在点 (,, z ) 处的法向量的方向余弦. 及是 z 解曲面在 o 面上的投影域为曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 h 补充 z h h 的上侧 : ( ) o

28 构成封闭曲面, 记围成空间区域为 V. 在 V上使用高斯公式 z ( cos cos cos )d z h ( z)dv V 由对称性可知 V ( )dv 0, ( cos cos z cos )d zdv V 0 0 h d r d r z d z h o h 4.

29 ( cos cos cos )d z z d h dd h 4. 故所求积分为 ( cos cos cos )d z h h h

30 例 7. 设为一光滑闭曲面, n 为上点 (,, z) 处的外法向量, r (,, z), 在下列两种情况 () 曲面不包围原点 ; () 曲面包围原点. 计算 cos( rn, ) d, 其中 r r. r rn rn 解 () cos( rn, ) 0 r n r cos( rn, ) d r n 0 d r r r r d 记所围成的区域为 V, 当曲面不包围原点时, o z V

31 r () r C V ( ), r d r dv r r V 由 Gauss 公式 z dv z r r r 0d V 0 V V cos( rn, ) z 即有 d 0. r () 当曲面包围原点时, o r 在原点不可导, r : z a 在内作一内侧球面,

32 记与所围成的区域为 V, 由 Gauss 公式 cos( rn, ) d r r r z r V z =0 d V 又因为在上有 cos( rn, ) cos o cos( rn, ) d d r a 4 cos( rn, ) 4. a 故 d 4. a r 上页下页返回 z V

33 练习 : V 为所围立体, 判断下列演算是否正确? () () z d d z d zd d d r r r R d d z d z d z d d ( z )dv dv R V R V z dd z d zd d d r r r z ( ) ( ) ( ) dv V r r z r 4 R

34 . 计算 z z z z z z d d d d d d, 其中是上半球面 z R 的上侧. 解作辅助平面 : z R 的下侧 0, ( ). z 则由 Gauss 公式 o R

35 zd d z zd zd z z d d P Q R d V z V V dv R dd. V z z z dv d cos d 0 0 R r r r R 4 4 R R 4 4

36 三斯托克斯 (stokes) 公式定理设为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则, 函数 P (,, z), Q (,, z), R (,, z) 在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 P d R Q Qd Rd z ( )d d z z P R Q P ( )d zd ( )d d z

37 证情形与平行 z 轴的直线只交于一点, 设其方程为 : z z(, ), (, ) 不妨设取上侧 ( 如图 ). z n 设曲线在 o 面投影曲线为 : ( t), ( t) ( t : ). 则的方程为 ( t), ( t), z z( ( t), ( t)) ( t : ). o P(,, z)d P ( t), ( t), z( ( t), ( t)) ( t)dt P (,, z (, ))d

38 P(,, z(, ))d d P P z dd z ( 利用格林公式 ) 另一方面 P P d zd d d z P P z z 0,,,, d d z P P z dd z

39 P P P(,, z)d d zd d d, z 同理可证 Q Q Q(,, z)d d d d d z, z R R R(,, z)d z d d z d zd, 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 情形曲面与平行 z 轴的直线交点多于一个时, 可通过作辅助线把分成与 z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式再相加.

40 便于记忆形式 d d z d zd d d P d Qd Rd z ; z 另一种形式 P Q R cos cos cos P d Qd Rd z d z P Q R 其中 n0 (cos,cos,cos ) 是所在侧的单位法向量.

41 tokes 公式的实质 : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. ( 当是 o 面的平面闭区域时 ) 斯托克斯公式特殊情形格林公式

42 例 8. 计算曲线积分间符合右手规则. 解按斯托克斯公式, 有 zd d d z d d z d zd d d d d z d zd d d z 平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之 z z zd d d z, 其中是 z 0 n

43 由于平面 : z 的上侧法向量 n (,,), 记 F ( P, Q, R) (,,), 如图 d d z d zd d d F nd d zd d d z o

44 例 9. 计算曲线积分 ( z )d ( z )d ( )d z 其中是平面 z 截立方体 : 0, 0,0 z 的表面所得的截痕, 若从轴的正向看去, 取逆时针方向. 解取为平面 z 的上侧被所围成的部分. 则 n 0 (,,) z o n

45 即 cos cos cos, I z d z z 4 ( z)d ( 在上 z ) 4 d d d. 9

46 练习 : 计算 d z d d z, 为圆周 z a, z 0, 从轴正向看去, 这个圆周取逆时针方向. z 解 : z 0, n,, cos cos cos, o n

47 I d z d d z cos cos cos z n z z d o cos cos cos d d a a.

48 . 格林公式小结 Q P ( )d d P d Q d () 其中是的取正向的边界曲线, P, Q C ( ).. 高斯 (Gauss) 公式条件 : () (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) F z P z i Q z j R z k () 其中 P, Q, RC, () 是区域 V 的边界曲面外侧. P Q R P d d z Qd z d Rd d ( )dv z V P Q R ( P cos Qcos Rcos )d ( )dv z V

49 . 斯托克斯公式条件 : () P, Q, R P d Qd Rd z cos cos cos z P Q R C () () 的正向与的侧符合右手规则 d d d z d zd d d z P Q R

作者 : 闫浩 ( 年月段弧标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的坐标其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c

作者 : 闫浩 ( 年月段弧标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的坐标其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c 作者 : 闫浩 ( 年月微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周一第二型曲线曲面积分三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成计算 d si si d BC cos d si d cos