没有幻灯片标题

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铮乌
5 years ago
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1 3. 曲面及其方程一曲面方程的概念曲面的实例 : 水桶的表面台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程,

2 一曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 M (,, ) 半径为 R 的球面方程. 解设 M (,, ) 是球面上任一点, 根据题意有 MM R R 所求方程为 R 特殊地 : 球心在原点时方程为 R

3 一曲面方程的概念由 R 得上下半球面的方程分别是 : R ( ) ( ) R ( ) ( ) 由上述方程可得球面的一般式方程为 : A + B + C + D = (*) 反之, 由一般式方程 (*), 经过配方又可得到 : (+A/) +(+B/) +(+C/) =(A +B +C -4D)/4 当 A +B +C -4D > 时, 是球面方程.

4 一曲面方程的概念例已知 A (1,,3), B (, 1,4), 求线段 AB 的垂直平分面的方程. 解设 M (,, ) 是所求平面上任一点, 根据题意有 MA MB, , 化简得所求方程 6 7.

5 一曲面方程的概念以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 : 例已知 A (1,,3), B (, 1,4), 求线段 AB 的垂直平分面的方程. 6 7 R 是球面方程. 1) 已知曲面作为点的轨迹时, 求曲面方程. ( 讨论旋转曲面 ) ) 已知坐标间的关系式, 研究曲面形状. ( 讨论柱面二次曲面 ).

6 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 旋转曲线为为旋转曲面的母线播放

7 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

8 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 旋转曲线为旋转曲面的母线

9 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 旋转曲线为旋转曲面的母线

10 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

11 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

12 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

13 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

14 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

15 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

16 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

17 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.

18 二旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 旋转曲线为旋转曲面的母线

19 二旋转曲面建立旋转曲面的方程 : 曲线 C f (, ) 绕轴 C o

20 二旋转曲面建立旋转曲面的方程 : 曲线 C f (, ) 旋转一周得旋转曲面 S N (, 1, 1 ) 曲线 C 绕轴 S M P 1 N, 1, ) ( 1 C 则有 f ( 1, 1 )= 当曲线 C 绕 Z 轴转时 o 1. N 绕 Z 轴转到另外一点 1 M(,,)

21 1 MP 二旋转曲面建立旋转曲面的方程 : 曲线 C f (, ) 旋转一周得旋转曲面 S N (,, ) 1 1 则有 f ( 1, 1 )= 曲线 C 当曲线 C 绕 Z 轴转时 N 绕 Z 轴转到另外一点绕轴 M(,,) NP 1 M(,,) S M P o 1 1 N, 1, ) ( 1 C. S f(, ) :.

22 二旋转曲面 o 坐标面上的已知曲线 f 绕为 f 轴旋转一周,, (, ) 的旋转曲面方程. S M (,,) P 1 N, 1, ) ( 1 C. 把换成等价于把, 换成 o 1 同理 : o 坐标面上的已知曲线 f (, ) 绕轴旋转一周的旋转曲面方程为 f,.

23 ,, f f (, ) 绕轴旋转一周例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角叫圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解设与 L 相交的直线为轴, o 面上直线方程为圆锥面方程或 cot cot 圆锥面方程 o

24 二旋转曲面抛物线 * 旋转抛物面绕轴一周 o

25 二旋转曲面 * 旋转抛物面抛物线绕轴一周. o

26 二旋转曲面 * 旋转抛物面抛物线绕轴一周得旋转抛物面.. o 坐标面上的已知曲线 f (, ) 绕轴旋转一周生活中见过这个曲面吗? 的旋转曲面方程. 为 f o S,,

27 卫星接收装置.

28 二旋转曲面抛物线绕轴一周得旋转抛物面 o 旋转抛物面方程 o 面上直线方程为绕轴一周得圆锥面圆锥面方程 o

29 * 旋转抛物面抛物线绕轴一周得旋转抛物面直线线 o 坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周如何看出曲面是旋转曲面? f 的旋转曲面方程为 f 绕轴一周, 圆锥面方程 (, ) 把换成等价于把换成,, 如果曲面方程中含有, 就说明是曲线绕 Z 轴旋转而成的球面 1 是由曲线 1(o 面 ) 绕 Z 轴旋转得到

30 三柱面定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线. 动直线 L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程 : 播放

31 三柱面一般柱面 1 F(,)= 表示母线平行于轴的柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 母线 M (,,) S 所形成的曲面称为柱面. 准线 N (,, ) F(, )= 点 N 满足方程, 故点 M 满足方程 F(,)= ( 不含 ) =

32 三柱面一般柱面 F(, )= 准线 F(, )= = ( 不含 ) 母线 F(,)= 表示母线平行于轴的柱面

33 三柱面 1 椭圆柱面 b 1 o b

34 三柱面双曲柱面 = b 1 o

35 三柱面 **3 抛物柱面 p o

36 三柱面 *4 平面平面 o 平面方程 :

37 三柱面只含, 而缺的方程 F (, ), 在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面, 其准线为 o 面上曲线 C : (, ) F. 从柱面方程看柱面的特征 : 实1 例 b c 椭圆柱面, 母线 // 轴 ( 其他类推 ) 1 b 双曲柱面, 母线 // 轴 p 抛物柱面, 母线 // 轴

38 二次曲面的定义 : 四二次曲面三元二次方程 f(,, ) 所表示的曲面称之为二次曲面. 平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面形状的截痕法 : 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线 ( 即截痕 ) 的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌. c o

39 四二次曲面例 4 方程 ( 1) ( ) 1的图形是怎样的? 解根据题意有 1 用平面 ( 1) ( ) 圆心在当平面 c (1,, c), c 去截图形得圆 : c 半径为 1 c ( c1) 1 c 上下移动时, 得到一系列圆 c o 半径随 c 的增大而增大. 图形上不封顶, 下封底. 以上方法称为截痕法.

40 1. 椭球面 o 1 c b 椭球面与三个坐标面的交线 : 1, b 椭球面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. o 面 o 面 o 面 1 c 1 b c

41 1. 椭球面 b c 1 用 = h 截曲面得 1 b c h h 1 b c, h 用 = m 截曲面截痕法 c o b 用 = n 截曲面

42 椭球面, 1) ( b 1 c 旋转椭球面绕轴旋转而成. 1 c 方程可写为 1 c b 1 c 由椭圆或者由椭圆 1 c 绕轴旋转而成. 的几种特殊情况 :

43 椭球面 1 b ( 1) b, 1 旋转椭球面与椭球面的区别 : c c ) 的几种特殊情况 : 旋转椭球面椭球面与平面 1 ( 1 c 1 1 的交线为椭圆. b c, 1 旋转椭球面与平面 1 ( 1 c) 的交线为圆. 1 1 c, 1

44 , ) ( c b 1 球面. 方程可写为, 1) ( b 1 c 与平面的交线为圆. 1 ) ( 1 c 旋转椭球面椭球面 1 c b 的几种特殊情况 :

45 双曲抛物面 p q 截痕法用 = 截曲面 p q = 面上的双曲线用 = 截曲面 p o 面抛物线 b q 用 = b 截曲面 b ( 马鞍面 ) > < =b 面上的抛物线

46 双曲抛物面 ( 马鞍面 ) p q 截痕法用 = 截曲面用 = 截曲面用 = b 截曲面.

47 双曲抛物面 ( 马鞍面 ) p q 截痕法用 = 截曲面用 = 截曲面用 = b 截曲面

48 3 椭圆抛物面 p q 截痕法用 = 截曲面用 = b 截曲面用 = c 截曲面

49 3. 椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下 : o o p q p q

50 3. 椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下 : p q p q 时 : * 旋转抛物面 p o

51 3. 椭圆抛物面 q p o. 双曲抛物面 q p 1. 椭球面 1 c b 四二次曲面

52 1 圆柱面常见曲面抛物柱面 o O ( )

53 3 圆锥面方程常见曲面 4 旋转抛物面 Z D O 直线绕轴旋转一周 ; X 抛物线 Y 绕轴旋转一周

54 曲线 C S:f ( f (, ), ) 本节要点 1 会根据已知平面曲线建立旋转曲面的方程 : 绕轴旋转一周得旋转曲面 S 要求熟练掌握的曲面图形及其对应方程 ( 分片表示 ): 球面 R 圆柱面圆锥面方程抛物柱面旋转抛物面

55 本节要点要求熟练掌握的曲面图形及其对应方程 ( 分片表示 ): 球面圆柱面 R 圆锥面方程抛物柱面 O o o R O 旋转抛物面 ( ) o

第七章空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法向量与数的乘法一判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向二填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)