Remark：随机变量不只离散和连续两种类型

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远居
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1 Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型当题目要求证明随机变量的某些共同性质时很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论这是比较典型的错误练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a : aj a : aj = j 由 l a =+知 l =+ 而 E m m = a p < j= j j 所以 lm ap j ( aj) lm ap = 从而 lm ap j ( aj) = j j = j j 4.7 设 Y 都是只取两个值的随机变量则 a a b b R st.. a Y a = B( p ) Y = B p b b Y 独立 Y 独立 Y 不相关 Y 不相关所以只需说明 B( p ) 关 ( 详细证明略 ) ( ) Y B( p ) 时 Y 独立的充要条件是 Y 不相 Y 不相关 EY ( ) = EEY P ( = Y = ) = pp Y 独立 C 令表示抽中前的抽签次数则 P ( ) = C 46 C E = P = = = = ( C5) C 9 = C5 = m+ E = f ( ) d = e d m = + m! P( < < ( m+ )) = P( m < E < m+ )

2 计算 Var( ): = P( E < m+ ) = P( E m+ ) (*) Var E E e d m m! m+ = = ( + ) = ( m+ )( m+ ) ( m+ ) = m+ m + P( E m+ ) = m+ m+ m 从而由 (*) 知 P( < < ( m+ )) m 由练习 4.5() 知 [ E ( Y)] E ( Y) 又 E( Y) = μ E ( Y) = a μ a 即 μ a E E EE [ ( Y)] a μ = μ = μ = μ μ = as.. 即 = μ as.. 的充要条件是 a = μ 4.38 首先说明 E <: = E E M E < 其中 M 是 E 的上界 = = = = 再来证 E = μ P( ): E = E( E( )) = E( E ) = = = = E( μ ) = ( μ ) P ( = ) = μ ( P ( = )) = μ P ( ) = = = = = = 4.38 ( 详细的证明 ) 首先说明 : E < =

3 E( ) E = E( ( ω)) { = } = = = = = E( ) = E( ; = ) { = } = = = = = E( ; = ) = E( ) P( = ) = E( ) P( = ) = = = = = = = E P( = ) = E P( ) M P( ) = = = M E < = = E( ) = E( ( ω)) = E( ( ) ) = E( ( ) { = } { = } { = } = = = = = = = Fub = E( ; = ) = E( ) P( = ) = = E P( ) = = = = = = = μ P ( ) ) ) E = E E = E = E + ( σ ) E = E E ) P ( E> σ ) = P(( μ) + ( μ) >σ ) + + P(( μ) > σ) E( μ) σ 4.6 () ( F( )) d = P( > ) d y = = d f y dy = f y dy d = yf y dy E t= α α α α α α () E = P( > t) dt = P( > ) α d Or: P ( ) α α α d ( F ) α d = > = α α ( F( )) α d= P( > ) α d α y α α = α d f ( y) dy = f ( y) dy α d = y f ( y) dy = E α 3

4 4. 设库存为台由于销量 Y 是随机变量所以利润 R 也是随机变量其中 ay b( Y ) Y R = a Y > = [( a+ b) Y b] + a { Y } { Y> } ER = ( a + b) yf ( y) dy bp( Y ) + ap( Y > Y ) = ( a+ b) yf ( y) dy ( a+ b) P( Y ) + a Y = ( a + b) yf ( y) dy ( a + b) f ( y) dy + a Y ER a ( a b ) e λy dy a ( a b )( e λ = + λ = + ) ER a λ 令 = 得 = e a+ b a+ b = l 时平均利润达到最大 λ b Y Z 5.7 设 Z = 已知 Φ () t = ep t μ t Σ Z t 其中 Σ 是阶对称非负定 Z 矩阵要证一定存在 μ 矩阵 ε ε ε 使得 B 及..d. 服从 ( ) 分布的随机变量由 Σ 是对称矩阵知正交矩阵 U( Z = μ + Bε. UU I = 阶单位阵 ) 使得 U λ λ r Σ U =Λ= 其中 λ λ λ r ( r 称为 r r Σ 的秩 ) 又因 Σ 非负定所以 λ > = r 4

5 λ λr 从而 Λ=D 其中 D = 从而 Σ= UΛ U = UDDU = UD UD.( 提示我们取 B= UD) 因 U ( Z μ ) 的特征函数为 ( μ) ( μ) Φ t = Ee = Ee = ep Ut μ Ee U ( Z μ )() ( ) ( Ut μ ) Z ( Ut) ( ( Ut) μ) ep( Ut) μ ( Ut) ( Ut) t U Z Ut Z Ut Z = ep Φ = ep Σ = ep tu Σ Ut= ep tλt U ( Z μ ) ( Λ) 即 U ( Z μ ) 的前 r 个分量是 r 个互相独立的正态随机变量方差分别为 λ λr 后 -r 个分量为取 ε ε r U Z μ 前 r 个分量的正规分别为化 ε r ε 分布且 ε εr εr+ ε互相独立 D ε = U Z μ 即 Z = μ + UDε. +..d. 服从则 5.7 另解 : Σ 非负定设秩为 m m阶矩阵 Bs.t. Σ= BB 且 B B 是 m 阶可逆矩阵令 ε = ( B B) B ( Z μ ) 即可 5.47 设..d. 服从 U() 分布设 hd<+ ( 若望为 + 的情形不要求 ) hd= + 结论仍成立但需推广强大数律到期 5

6 as.. 由强大数律 ( 由 g Eg g( ) d = = Eg M Eh M h d < as.. 同理 = = h Eh h( ) d as.. ( ) ( ) = = + 知可用强大数律 ) g h g( ) d h( ) d = = 又由 g < M h 知 g( ) h( ) M E g h = = <+ g + g + + g gd 且 E h ( ) + h ( ) + + h ( ) hd ( ) g + g + + g gd 即 lm d d. = h( ) + h( ) + + h( ) hd U = + Y 5. 另设 U V 的 p.d.f. 分别为 g(u) h(v) V = Y 由 U V 独立知 (UV) 的联合 p.d.f. 为 g(u) h(v) 由 Y 独立知 (Y) 的联合 p.d.f. 为 f(u) f(v) 从而求得 (UV) 的 p.d.f. 为 u + v f f u v u+ v u v g u h v = f f u v u v log g u log h v log log f + log f + = + + 两边取对数 : 令 m = log f( ) 上式变为 u v u v log g( u) log h( v) log m + m + = + + 6

7 两边求 u v 得 m'' u+ v m'' u v = 常数 c 使得 m'' c 从而常数 a b 使得 m a+ b+ c f ( ) = ( a+ b+ c ) ep 又 f() 是 p.d.f. 且 f() 恒正 c 再由 P 75 练习.3(3) 知 f() 是正态 p.d.f. 从而也服从正态分布由 5.3 节相关知识 +Y -Y 都服从正态分布 5.44 设..d. 服从 Posso() 分布由中心极限定理 d ( ) P lm = P( ) 服从 Posso() 分布又 = = P e P( )! lm = = = 即 lm e =.! = μ μ = = 5.33 由中心极限定理近似有 ( ) 即 ( / ) σ σ σ μ = m σ 同理 Y μ m = m 7

8 m σ σ Y μ μ +. = m = m 5.35 注意 + 是单增函数 ( ) μ μ μ 由 E = E { } + E { } μ μ μ > ε μ μ ε ε P( μ > ε ) μ + ε 知 E + ( μ ) ε P( μ > ε) + + ε μ 由 () 知 lm E = + μ P μ. 由 () 知若 P μ 则对 ε μ 由 ε 的任意性知 lm E =. + μ (). () 可推出对 ε > P( μ > ε) μ ε > lm E + μ + ε 5.3 只需证明 P ( ξ η > ε) = 对任意 ε 成立 ε ε 而 ξ η > ε ξ or η ε ε > + P( ξ η ε) P ξ P η P ( ξ η > ε) = P( ξ η) = P( ξ η ) = P ξ η > P ξ η > = 对任意 ε > ε ε P( + Y Y > ε ) P > + PY Y > P 由 ε 的任意性知 + Y +Y. 8

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PowerPoint 演示文稿 . ttp://www.reej.com 4-9-9 4-9-9 . a b { } a b { }. Φ ϕ ϕ ϕ { } Φ a b { }. ttp://www.reej.com 4-9-9 . ~ ma{ } ~ m m{ } ~ m~ ~ a b but m ~ 4-9-9 4 . P : ; Φ { } { ϕ ϕ a a a a a R } P pa ttp://www.reej.com