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湍却
5 years ago
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1 多元连续函数多元函数定义设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为元函数记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象

2 例 b a z = 是二元函数其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面见图 z 1 b a z = O 图 11..1

3 多元函数的极限定义 11.. 设 D 是 R 上的开集 = D 为一定 1 点 z = f 是定义在 D \ { } 上的元函数 A 是一个实数如果对于任意给定的 ε > 存在 δ > 使得当 O δ \ { } 时成立 f A < ε 则称趋于时 f 收敛并称 A 为 f 当趋于时的重极限记为 f = A 或 f f A = A 或

4 替代多元函数的极限定义 11.. 设 D 是 R 上的开集 = D 为一定注在上面的定义中 O δ \ { } 也可以用下面的条件 < δ < < δ 1 1 δ 1 点 z = f 是定义在 D \ { } 上的元函数 A 是一个实数如果对于任意给定的 ε > 存在 δ > 使得当 O δ \ { } 时成立 f A < ε 则称趋于时 f 收敛并称 A 为 f 当趋于时的重极限记为 f = A 或 f f A = A 或

5 例 11.. 设 f = + si 证明证由于 + f = f = + si 所以对于任意给定的 ε > ε 只要取 δ = 那么当 < δ < δ 且时 ε ε f + < δ + δ = + = ε 这说明了 f =

6 对一元函数而言只要在的左右极限存在且相等函数在处的极限就存在而对多元函数来说根据极限存在的定义则要求当以任何方式趋于时函数值都趋于同一个极限若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时函数的极限不同或不存在那么这个函数在该点的极限一定不存在

7 对一元函数而言只要在的左右极限存在且相等函数在处的极限就存在而对多元函数来说根据极限存在的定义则要求当以任何方式趋于时函数值都趋于同一个极限若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时函数的极限不同或不存在那么这个函数在该点的极限一定不存在 f + 例设 = 当点 = 沿轴和轴趋于时 f 的极限都是但当点 = 沿直线 = m 趋于时 m f = = + m 1 + = m 对于不同的 m 有不同的极限值这说明 m m f 在点的极限不存在

8 下例说明即使点沿任意直线趋于时 f 的极限都存在且相等仍无法保证函数 f 在处有极限 f 4 + 例设 = 当点 = 沿直线 = m 趋于时成立 m f = 4 4 m + = m 当点 = 沿轴趋于时也成立 f = 1 因此当点 = = 沿任何直线趋于时 f 极限存在且相等但 f 在点的极限不存在事实上 f 在抛物线 = 上的值为因此当点 = 沿这条抛物线趋于时它的极限为 = 1 ;

9 一元函数的极限性质如唯一性局部有界性局部保序性局部夹逼性及极限的四则运算法则对二元函数依然成立这里不再细述请读者自行加以证明

10 一元函数的极限性质如唯一性局部有界性局部保序性局部夹逼性及极限的四则运算法则对二元函数依然成立这里不再细述请读者自行加以证明累次极限对重极限 f 即 f 人们很自然会想到的是能否在一定条件下将重极限和分解成为两个独立的极限再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之? 这后一种极限称为累次极限

11 定义设 D 是 R 上的开集 D 为一定点 z = f 为定义在 D \ { } 上的二元函数如果对于每个固定的极限 f 存在并且极限 f 存在那么称此极限值为函数 f 在点的先对后对的二次极限同理可定义先对后对的二次极限 f

12 累次极限存在与重极限存在的关系很复杂例和例其实已经告诉我们二次极限存在不能保证二重极限存在请读者思考理由而从下面的例子可以知道二重极限存在同样不能保证二次极限存在

13 累次极限存在与重极限存在的关系很复杂例和例其实已经告诉我们二次极限存在不能保证二重极限存在请读者思考理由而从下面的例子可以知道二重极限存在同样不能保证二次极限存在例二重极限存在但两个二次极限不存在设由于 f = 所以 f = si cos f + 但在且 = 或 =. 点两个二次极限显然不存在

14 设在例二重极限存在两个二次极限中有一个不存在 1 si f = 且 = 或 =. 点显然有 f 即二重极限存在且 = 1 f = si = 但先对后对的二次极限不存在

15 设在例二重极限存在两个二次极限中有一个不存在 1 si f = 且 = 或 =. 点显然有 f 即二重极限存在且 = 1 f = si = 但先对后对的二次极限不存在此外一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在 ; 即使两个二次极限都存在也不一定相等也就是说两个极限运算不一定可以交换次序参见本节习题 8

16 在二重极限存在时我们有下面的结果 : 定理若二元函数且当那么相等即时存在极限 f 在 f 在 f = A f = ϕ 点存在二重极限点的先对后对的二次极限存在且与二重极限 f = ϕ = f = A

17 使得当证只要证明 ϕ = A 即可对于任意给定的 ε > 由于 f = A < + < δ 时有 ε f A < < < δ 于是对于每个满足的令就得到这就是说对于任意给定的 > ε ϕ A = f A < ε ε 存在 > ϕ A < ε 所以存在 δ > δ 使得当 < < δ 时

18 同样可证 : 在二重极限存在的情况下如果当时存在极限 f = φ 那么 f f = = φ 所以若函数 f 的二重极限及两个二次极限都存在则三者必相等即 f f f = = 这意味着此时极限运算可以交换次序

19 多元函数的连续性定义设 D 是 R 上的开集 z = f 是定义在 D 上的函数 D 为一定点如果 f = f 则称函数 f 在点连续用 ε δ 语言来说就是 : 如果对于任意给定的 ε > 存在 δ > 使得当 O δ 时成立 f - f <ε 则称函数 f 在点连续如果函数 f 在 D 上每一点连续就称 f 在 D 上连续或称 f 是 D 上的连续函数

20 例函数 f si + 证设为 = 在 R 上的任一点则有 R 上连续 f f = si + si + = cos si si 利用三角不等式

21 例函数 f si + 证设为 = 在 R 上的任一点则有 R 上连续 f f = si + si + = cos si si 于是对于任意给定的 ε > 取 δ = ε 当 + < δ 时就成立这说明 f 在 + f 在 f f < ε R 上连续利用三角不等式点连续由于为 R 上的任一点所以

22 一元连续函数和差积商及复合函数性质同样可以平行地推广到多元连续函数例计算极限 1 解注意到函数 l e 由极限的运算法则得到 1 l + e + + 和 l + e + = + 在其自然定义域上的连续性 1 1 l + e = l +

23 [ ] si 例计算极限 si t t 解利用 = 1 得到 t si + [ ] [ ] si = si [ ] = =1

24 向量值函数平面解析几何中熟知的参数方程 = ϕ t = ψ t t [ t t 1] 是一元函数的另一种推广 : 多个因变量和按某种规律随自变量 t 的变化而相应变化

25 向量值函数平面解析几何中熟知的参数方程 = ϕ t = ψ t t [ t t 1] 是一元函数的另一种推广 : 多个因变量和按某种规律随自变量 t 的变化而相应变化 m 定义设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 m f : D R = z = z z z 1 1 m 称为元 m 维向量值函数或多元函数组记为 z = f D 称为 f m 的定义域 f D = { z R z = f D} 称为 f 的值域多元函数是 m = 1的特殊情形

26 显然每个 z i i = 1 m 都是的函数 z i = f i 它称为 f 的第 i 个坐标或分量函数于是 f 可以表达为分量形式因此 f 又可表示为 z1 = f1 z = f z m = f m D f = f f f 1 m

27 例映射的具体分量形式是 3 f :[ + [π ] R r θ z = r θ = r cosθ = r θ = r siθ z = z r θ = r r [ + θ [π ] 这是二元三维向量值函数在空间解析几何中知道这是三维空间上的一张半圆锥面

28 f 定义 11..' 设 D 是 R 上的开集 D 为一定点 : D \{ } R m 是映射向量值函数 A 是一个 m 维向量如果对于任意给定的 ε > 存在 δ > 使得当 O δ \{ } 时成立 f A < ε 即 f O A ε 则称 A 为趋于时 f 的极限并称趋于时 f 收敛记为 f = A 或 f A

29 定义 11..4' 设 D 是 R 上的开集 D 为一定点 f 映射向量值函数如果 f 满足 f = f m : D R 是那么称 f 在点连续用 ε δ 语言来说就是 : 如果对于任意给定的 ε > 存在 δ > 使得当 O δ 时成立 f - f <ε 即 f O f ε 则称 f 在点连续如果映射 f 在 D 上每一点连续就称 f 在 D 上连续这时称映射 f 为 D 上的连续映射

30 : 定理 11.. 设 D 是 m f D R 在续 R 上的开集 D 点连续的充分必要条件为 : 函数为一定点那么映射 f f f 1 在 m 点连

31 : 定理 11.. 设 D 是 m f D R 在续 R 上的开集 D 点连续的充分必要条件为 : 函数为一定点那么映射 f f 1 m 在 f 点连定理的证明可由不等式 f j f j f f = f i f i m i= 1 直接得到 m i= 1 f i f i j = 1 m

32 例设 D = { u v R a < u < b c < v < d} 映射 3 f : D R u v z 是二元三维向量值函数它写成分量形式就是 z = = = u v u v z u v u v D 如果 u v u v z u v 都是 D 上的连续函数从几何上看这就是三维空间上的连续曲面的一般方程

33 k k m 设 Ω 是 R 上的开集 D 为 R 上的开集 g: D R 与 f:ω R 为映射若 g 的值域 g D 满足 g D Ω 则可以定义复合映射 m f g : D R u f g u 定理如果 g 在 D 上连续 f 在 Ω 上连续那么复合映射 f g 在 D 上连续

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高等数学A 高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数三要素图像 2 导数导数的定义基本导数表求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March