第七章

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含扁郭
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1 第六章空间解析几何与向量代数内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算数量积向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念. 重点 : 向量及其线性运算, 向量的坐标表示式, 数量积和向量积, 平面及直线的方程. 第一节向量及其线性运算一空间直角坐标系在研究空间解析几何的开始, 我们首先建立一个空间直角坐标系方法 : 在空间, 任意固定一点 O, 做三条等长经过以 O 为原点且相互垂直的直线, 对于这三条直线, 分别选取他们的正向, 使他们成为坐标轴 OX,OY, OZ 坐标轴 OX,OY,OZ 是均为原点在 O 点, 长度均选择单位长的数轴 OX 轴又称为 x 轴或横轴,OY 轴又称为 y 轴或纵轴,OZ 称为 z 轴或竖轴, 他们统称为坐标轴习惯上, 总把 x 轴,y 轴放在水平面上,z 轴放在垂直位置上那么如何决定 x 轴,y 轴,z 轴顺序的相对位置呢? 下面介绍两种方法 : 其一课本 P. 所叙他们的正方向符合右手法则, 即以右手握住 z 轴, 大拇指方向为 z 轴的正方向, 其余四指从 x 轴正向旋转 9 时, 所指方向便为 y 轴正向, 这样相对位置便决定好了其二令右手大拇指食指和中指相互垂直时, 可能形成的位置大拇指指向为 x 轴正方向, 食指指向为 y 轴正向, 中指指向则为 z 轴正向, 这样也可以决定三轴间的相位置由上述二方法, 我们就可以由这三条坐标轴组成一个空

2 间直角坐标系, 用 Oxyz 来表示, 如图 : 图中, 点 O 成为坐标原点在某些书中, 这种坐标轴又称为空间直角右手坐标系因为相应的还有一个左手坐标系, 但不常用, 在我们这本教材中, 里面使用的全部都是右手坐标系从上图中, 我们可以确定三个坐标平面, 即三个坐标面, 他们相互垂直, 其中, 垂直于 OX 轴的叫做 YOZ 平面或 Oyz 平面, 其他类似三个坐标平面把整个空间分成了八个部分, 每个部分叫做卦限, 有关八个卦限的排列顺序我们等一下再介绍空间直角坐标系建立以后, 我们就可以建立空间的点与有序数组之间的对应关系, 为此先介绍空间点的坐标对于空间任意一点 M, 过 M 做三个平面, 分别垂直于 x 轴,y 轴和 z 轴, 他们与之的交点分别记做 P Q R ( 如图 ) 此三个点分别在 x 轴, y 轴和 z 轴上的坐标依次为 x,y, z 这样点 M 就唯一的确定了一个有序数组 (x,y,z), 这组数 (x, y,z) 就叫做 M 点的坐标, 并依次称 x,y 和 z 为 M 点的横坐标, 纵坐标和竖坐标, 通常记为 M(x, y,z) 倒过来, 对任意一个有序数组 (x,y,z), 空间总有唯一的点 M, 其坐标就是 (x,y,z) 事实上, 在 x 轴上, 取坐标为 x 的点 P, 在 y 轴上, 取坐标为 y 的点 Q, 在 z 轴上, 取坐标为 z 的点 R 经过 P Q R 分别作平行于坐标面 YOZ,ZOX,XOY 的平面, 这三个平面相互垂直, 且交于一点 M 显然,M 点且仅有 M 点是以有序组 (x,y,z) 为坐标的点从上面两个方面, 我们知道, 在建立空间直角坐标系后, 空间的点 M 和有序数组 (x,y,z) 之间建立一个一一对应的关系, 这样, 说明了 (x,y,z) 可以叫做 M 点的直角坐标, 根据坐标画点时, 可按图的路线进行坐标面和坐标轴上的点, 起坐标各有一些特征, 很简单, 这里就不详写了下面我们讲卦限划分 : 各卦限内的点 ( 除去坐标面上的点外 ) 的坐标符号如下 :

3 Ⅰ(,,),Ⅱ(-,,),Ⅲ(-,-,),Ⅳ(,-,,) Ⅴ(,,-),Ⅵ(-,,-),Ⅶ(-,-,-),Ⅷ(,-,-) 注 : 我们很少用到卦限的概念补充画图注意的地方 : 假定画图用的是方格纸, 上面画有一族纵的和一族横的平行线, 且行距相等, 取任意横线和纵线的交点作为原点 O, 从 O 点起向右的平线作为正的 y 轴, 向上的作为正 z 轴, 向左下方的对角线作为正 x 轴, 在纸上令 y 轴和 z 轴的单位长相等, 但 x 轴上的单位长度等于那个单位长度的, 由于立体感, 直观上会觉得三条轴上的单位长大致相等, 画点时可按图或者图所示去画二空间上两点间的距离在数轴上,M (x ),M (x ) 两点之间的距离为 D M M x x ( x x ) 在平面上,M (x,y ),M (x,y ) 两点之间的距离为 : D M M x x ) ( y y ) ( 那么, 在空间上任意两点 M (x,y,z ),M (x,y,z ) 之间的距离是多少呢? 我们可以证明 :D M M ( x x ) ( y y ) z z ) ( 事实上, 过 M,M, 各作分别垂直于三条坐标轴的平面, 这六个平面围成一个以 M,M, 为对角线的长方体 (P, 图 7- ) D M M N NM M P PN NM M P QQ RR P ( x z x ) ( y y ) ( z ) D ( x z x ) ( y y ) ( z ) 这就是空间两点的距离公式特别的 :() 点 M(x,y,z) 于坐标原点 O(,,) 的距离为 d x y z

4 ()M,M 两点之间的距离等于 M M, 两点重合, 也即 x x,y y,z z () M M M M 例在 y 轴上, 求与 A(,-,7) 和 B(5,7,-5) 两点等距离的点解 : 设 M 为所求的点, 因为 M 在 y 轴上, 故可设 M 的坐标为 :(,y,) 根据题意, 及 ( ) ( y ( )) ( 7) ( 5) ( y 7) ( ( 5)) 去根号, 整理得 :y M(,,) 三向量与向量的线性运算向量的概念 Def: 向量是既有大小 ( 由一个大于等于零的数表示 ) 又有方向的量在物理学中, 有许多量不仅有大学而且有方向特征故称之为向量 ( 矢量 ) 在数学中, 往往用一条有方向的线段, 又称有向线段来表示向量有向线段的长度表示该向量的大小, 有向线段的方向表示该向量的方向以 M 为起点,M 为终点的有向线段表示的向量记为 M M, 有时用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示, 比如 :, i, v j, k v 或者,j,k,v 等等向量大小叫做向量的模即所有有向线段的长称为其模向量 M M,, 的模依次记做 M,, M 注 :() 模为的向量称为单位向量 () 模为的向量称为零向量, 记做, 零向量的方向可以是任意, 但规定一切零向量都相等在直角坐标系中, 坐标原点 O 为始点,M 为终点的向量 OM, 称为点 M 对 4

5 点 O 的向径, 由粗体字表示在实际问题中, 有的向量与始点无关 ( 比如指南针 ), 而有的与始点有关 ( 比如点的运动速度 ) 而我们现在只考虑前一种, 即与始点无关的向量, 并称为自由向量, 简称向量由于我们不考虑始点的所在位置, 因而规定, 两个方向相同, 长度一样的向量或称为相等向量, 或和相等, 记为又说: 如果两个向量经过平行移动后能够完全重合, 就称为两个向量相等若向量,, 长度相等, 方向相反, 就称为它们互为负向量, 用 - 或者 - 表示 ; 若, 方向相同或者相反, 则称, 为平行向量, 记为 // 向量的线性运算在研究物体受力时, 作用于一个质点的两个力可以看作两个向量而它的合力就是以这个力作为边的平行四边形的对角线上的向量我们现在讨论向量的加法就是对合力这个概念在数学上的抽象和概括向量的加法 : 设已知向量, v, 以任意点 O 为始点一般讲, 任意二向量未必同始点, 但是利用自由向量的特点可以做到同一始点, 且分别以 A,B 为终点, A, B, 再以 OA,OB 为边作平行四边形 OACB, 对角线的向量 OC O c, O v v v 这就是, 之和, 记做 c ( 如图 ) v v 由, 求的过程叫做向量的加法, 上述利用平行四边形的对角线上向量来规定两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则若两个向量同一直线上 ( 或者平行 ), 则他们的和规定为 : v () 若, 同向, 其和向量的方向就是, v v 的共同方向, 其模为的模和的模之和 () 若, v 反向, 其和向量的方向为, v 中 v 较长的向量的方向, 其模为, 中较大的模与较小的模之差, v 在 5

6 除了向量加法的平行四边形法则外, 还有一种向量加法的三角形法则 : 设已知向量 v,, 现在以任意点 O 为始点, 做 OA, 再以的终点 A 为始点, 做 AC v, 连接 OC, 且令 OC c, 即得 v c 对于任意向量, 我们有 : (- ) ; 向量的加法满足 : () 交换律 : v v ( 图 4) () 结合律 :( v )c ( v c )( 图 5) 由于向量的加法满足结合律, 三个向量, v,c 之和就可以简单地记为 : v v c,, 其次序可以任意颠倒一般地, 对于 n 个向量, v, v,, v n, 它们的和可记做 v v v v n 它们之间不须加括号, 各向量次序可以任意颠倒 N 个向量 v, v, v,, v n 相加的作图法, 可由三角形法则推广如下 : 由空 OA 间任一点 O 到 v, 由 A 到 A 做 A A v,, 最后由 v n 的终点 A n- 到 A n 作 An A n v n 得到一系列折线 O A AA A n- A n, 连接 O A n, 得 : 6

7 OA v v v v n 向量的减法 : 我们规定 - v (- v ) 由此立即推得 : - (- ) 现在我们给出 - v 的作图法 ( 如图 6), 由图可见, - v 是平行四边形另一对角线上的向量四向量与数量的乘法设 λ 是一个数量, 向量 v 与 λ 的乘积 λ v 规定为 : () 当 λ > 时, λ v 表示一向量, 其方向与 v 方向相同, 其模为 v 的 λ 倍, 即 λ λ v v v () 当 λ 时, v () 当 λ < 时, v 的 λ 倍, 即 λ λ 特别的... : 当 λ - 时,(-) v v v λ 为零向量, 即 v λ λ 表示一向量, 其方向与 v 方向相反, 其模为 v 与 v 互为负向量, 故有 (-) v v 数量和向量的乘积满足下列运算规则 : v v v () 结合律 : λ ( μ) μ( λ) ( μλ) v v v v v v v () 分配律 : ( λ μ) λ μ λ ( ) λ λ 证明从略定理 : 当 v v 时, λ // 5. 坐标表示下的向量运算 7

8 设 i j k, i j k, 则有 () ) i ( ) j ( ) k ; ( () λ λ i λ j k ; λ () ) i ( ) j ( ) k ; ( (4), ;, (5) //. 下面只就 (5) 给出证明. 证若 //, 则存在一个数 λ, 使得 λ, 即 i j k λ i λ j k λ 所以 λ, λ, λ 即 λ ( 对于上式分母为零时, 其分子也必为零 ) 以上每步都是充分必要的, 所以, 结论 (5) 是成立的. 第二节向量的乘法运算一向量的数量积数量积是从物理力学问题中抽象出来的一个数学概念先看一个例子一向量的数量积数量积是从物理力学问题中抽象出来的一个数学概念先看一个例子 8

9 已知力 F 与 x 轴正向夹角为 α 其大小为 F, 在力 F 的作用下, 一质点 M 沿轴 x 由 x 移动到 x 处, 求力 F 所做的功?( 图 6-) 解 : 力 F 在水平方向的分力大小为 F x F cosα 所以, 力 F 使质点 M 沿 x 轴方向 ( 从 A 到 B ) 所做的功 O A W F cosα F AB cosα α 图 6- F B x 即力 F 使质点 M 沿 x 轴由点 A 移动到 B 点所做的功等于力 F 的模与位移矢量的模及其夹角余弦的积. 现实生活中, 还有许多量可以表成二矢量之模与其夹角余弦之积, 为此, 我们引入数量积的概念. 定义设向量与之间夹角为 θ ( θ π ), 则称 cosθ 为与的数量积 ( 或点积 ), 并用表示, 即 cos θ. 例已知向量与的夹角为 π,, 4, 求向量 c 的模. 解根据数量积的定义和性质, 有 c c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以 c cos (, ) 4 π 9 4cos , 9

10 由数量积的定义不难发现, 数量积满足如下运算规律 : 交换律 : ; 分配律 : ( c) c ; 结合律 : λ λ( ) ( λ), 其中 λ 为常数.. 数量积的坐标表示设 i j k, i j k, 则 i j ) i j ) ( k ( k ( i i i j i k j i j j j k k i k j k k ) 故向量 {, }, 与, 的数量积等于其相应坐标积的和. {, 应用向量积可得两向量的夹角及向量垂直的条件. 由于 cosθ, 所以 cos θ ( θ π ) } 此即为向量与夹角余弦公式. 若则 cosθ 若向量 {, }, i j k, i j k, ( θ π ) π 与 {,, } 的夹角为, 则称与正交 ( 垂直 ). 由上述公式可知 : 定理向量与正交 ( 垂直 ) 的充分必要条件是或. 例已知三点 A(,,), B(,,), C(,,5), 求 ABC.

11 u uuu 解作向量 BA, BC 山东城市建设职业学院工程数学电子教案 uuu, 则 AB uuu 与 BC 的夹角就是 ABC. 因为 uuu BA uuu (--,-,-)(-,,) BC (-,-,5-)(-,-,4) 故 uuu uuu BA BC (-)(-) (-) 4 9, uuu BA (-), uuu BC (-) (-) 4 于是所以 uuu uuu BA BC 9 cos ABC uuu uuu BC BA cos ABC π 4 例试证向量 {,,} 与 {,, } 证因为 ( ) 所以与正交. 是正交的. 量例设向量的三个方向角, 并称 i j k 与 x 轴,y 轴,z 轴正向的夹角分别为 α, β, γ 称其为向 cos α, cos β, cos γ 为向量的方向余弦, 试证 cos α, cosβ, cos γ, 并且 cos α cos β cos γ. 证向量 i, j, k 的坐标表达式分别为

12 于是有 i k {,,}, j {,,}, {,,} i cos α i j cosβ j k cosγ k,,., 且 cos α cos β cos γ ( ). 二向量的向量积. 引例设 O 点为一杠杆的支点, 力 F 作用于杠杆上点 P 处, 求力 F 对支点 O 的力矩.( 图 6-) 解根据物理学知识, 力 F 对点 O 的力矩是 F 向量 M, 其大小为 M F d F OP sinθ 其中 d 为支点 O 到力 F 的作用线距离,θ 为矢量 F O d P θ 与 OP 的夹角. 图 7- 力矩 M 的方向规定为 : 伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 OP 方向, 然后让四指沿小于 π 的方向握拳转向力 F 的方向, 这时拇指的方向就是力矩 M 的方向 ( 即 OP, F, M 依次符合右手螺旋法则 ). 因此, 力矩 M 是一个与向量 OP 和向量 F 有关的向量, 其大小为 F OP sinθ, 其方向满足 :() 同时垂直于向量 OP 和 F ;() 向量 OP, F, M 依次符合右手螺旋法则. 在工程技术领域中, 有许多向量具有上述特征.. 向量积的定义定义两个向量与的向量积是一个向量, 记作, 并由下述规则确定 :

13 () sin(, ) () 的方向规定为 : 既垂直于又垂直于, 并且按顺序,, 符合右手螺旋法则 ( 图 6-). 图 7- c θ _ 图 7- _ 若把, 的起点放在一起, 并以, 为邻边作平行四边形, 则向量与向量积的模 sinθ 即为该平行四边形的面积 ( 图 6-). 数量积满足如下运算规律 : () ( 反交换律 ); () ( c) c ( 左分配律 ); () ( c) c ( 右分配律 ); (4) ( λ ) λ( ) λ ( 与数性因子的结合律与交换律 ) 例试证 : 证只证, 因为 sin θ i i j j k k λ. λ 与, 因此 λ λ sinθ, 而模为的向量为零向量, 所以 λ. λ 平行 ( 即共线 ), 所以其夹角 θ 或 π, 从而定理两个非零向量平行的充分条件是它们的数量积为零向量.. 数量积的坐标表示为求得数量积的坐标表示, 设 i j k, i j k. 注意到 i i j j k k λ, 及 i j k, j k i, k i j. 应用数量积的运算

14 规律可得 ( k ( k i j ) i j ) i i i j i k j i j j j k k i k j k k ) i ( ) j ( ) k ( 为了便于记忆, 可将表示成一个三阶行列式, 计算时, 只需将其按第一行展开即 i j k 可. 即例设 (,,), (,, ), 求及. 因为解 i j k i j k i j k i j k 例已知三点 A(,,), B(,, ), C(,,), 求三角形 Δ ABC 的面积. 解根据向量积模的几何意义, Δ ABC 的面积为 uuu uuu S AB AC. uuu AB uuu (-,-,--)(,-,-), AC (--,-,-)(-,,), 故 i j k uuu uuu AB AC - - i j k i j k, 4

15 所以 uuu uuu S AB AC (-) (-) 4. 第三节平面与直线一点的轨迹方程的概念在平面解析几何中, 把平面曲线看作动点的轨迹, 从而得到轨迹方程曲线方程的概念同样在空间解析几何中, 任何曲面或曲线都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程或方程组来表示, 从而得到曲面方程或曲线方程的概念二平面平面的点法式方程设平面的法向量为 n v {A,B,C}, 而平面经过点 P (x,y,z ) 则称 A(x-x )B(y-y )C(z-z ) 为平面的点法式方程例 : 求过点 (,-,) 且与向量 (-,,-) 垂直的平面方程. 解根据平面得法向量的概念, 向量 (-,,-) 是所求平面的一个法向量, 所以由式 () 得所求平面的方程为 ( x ) ( y ) ( z ), 即 x y z. 例求过三点 M(,, ), M(,,), M(,,) 的平面方程解由于点 M,, 在平面上, 故向量 M u uuuuu uuuuuu M M uuuuuu M, Muuuuuu M均在平面上 uuuuuu, 根据向量积的概念及立体几何的知识, 向量积 MM MM 与向量 MM uuuuuu 及 MM 都垂直, 且与所求的平面也垂直, 因此它是平面的一个法向量, 而 uuuuuu MM uuuuuu (--,-(-),-(-))(-,,) MM (-,-(-),-(-))(,4,), 于是平面的法向量为 i j k uuuuuu uuuuuu n MM MM i5 j k 4 4 i 6j 8k,

16 所以, 所求的平面方程为 (x ) 6( y ) 8( z ), 即 x 6y 8z. 平面的一般方程设有三元一次方程 Ax B y C z D ( A B C ) 任取一组满足上述方程的数 x, y, z, 则 A x B y C z D 以上两式相减, 得平面的点法式方程 A x x ) B( y y ) C( z z ) ( v 显然方程与此点法式方程等价, 因此方程的图形是法向量为 n A, B, C 的平面, 此方程称为平面的一般方程. Ax By Cz D ( A B C ) 特殊情形当 D 时, A x B y C z 表示通过原点的平面 ; ( ) 当 A 时, B y C z D 的法向量 n (, B, C) i, 轴 ; 平面平行于 x A xc zd 表示平行于 y 轴的平面 ; A xb yd 表示平行于 z 轴的平面 ; C z D 表示平行于 xoy 面的平面 ; A x D 表示平行于 yoz 面的平面 ; B y D 表示平行于 zox 面的平面. 例求过 x 轴和点 M (, 4,) 的平面方程. 解方法一因为平面过 x 轴, 故原点在平面上, 于是可设平面的方程为 By Cz. 又因为 M点 (, 4,) 在平面, 于是有 4B C, 解得 C 4 B. 将 C 4B 代入方程 By Cz 中得. By ( 4z). B, y 4z. 6

17 而因此所求的平面方程为方法二因为平面过 x 轴, 故原点在平面上, 向量 OM u uuu (-,-4-,-)(,-4,) uuuu 在平面上, 又 x 轴的单位向量 i (,,) 与平面平行, 于是向量积 OM i 与平面垂直, 即它是平面的一个法向量而 i j k uuuu -4-4 OM i -4 i j k j 4k, y 4z. 根据点法式向量方程, 得所求平面方程为例 4 设一平面与 x, yz, 轴的交点依次为 P (,,), Q(,,), R(,, c),( c ), 求它的方程解把点 PQR,, 的坐标代入平面的一般方程, 得 A D, B D, Cc D, 解此方程组, 得 D D A, B, C D c, 将上面的三式代入一般方程中, 于是有 D D D x y z D, c x y z D( ) D, c 由于平面不过原点, 故 D, 方程两边同除以 D, 得所求平面方程为 x y z, (5) c (5) 式称为平面的截距方程, 平面与三条坐标轴的交点的坐标,,c 叫做平面在坐标轴上的截距三直线直线的一般方程直线可视为两平面交线, 因此其一般式方程 A x By Cz D 7

18 A x B y C z D 直线的对称式方程和参数方程 x 设空间直线的方向向量为 s { m, n, p} v x x y y z z 点向式 ( 对称式 ): m n p (t) y y 注当 m 时, 则方程的点向式记为 : n x x 得参数式方程 : x x y y z z m t nt pt z z p t, 例 5 把直线 l 的一般方程 x 4y z, x y z 9 化为点向式方程和参数方程. 解方法一先在直线 l 上找一点 ( x 取代入直线 l, y, z ). x, 的一般方程中, 得 4y z, y z 9. 解方程组, 求得 y, z 4, 则点 (,,4 ) 在直线上, 因为直线是两个平面的交线, 故直线与两个平面的法向量 l n(, 4,) 和 n(,, ) 都垂直, 即与向量积 n n 平行, 从而向量 n n 是直线 l 的一个方向向量而 i j k n n -4 9i 7j k, - 所以, 直线 l 的点向式方程为 x y z 4, 9 7 参数方程为 x 9t y 7t z 4 t 8

19 方法二从所给方程组分别消去 z 和 y 7, x得 9 y 9 和 x 9z 6, 上式可变形得 x y z 并由此可写出参数方程例 6 求过点 A(,,) 和 B(,, ) 的直线方程解向量 uuu AB (,,) 是所求直线的一个方向向量, 因此所求直线方程为 x z, y 即 z, x y. 四平面直线间的夹角即两平面法向量的夹角 ( 常为锐角 ) 称为两平面的夹角. 设平面的法向量为 n 平面的法向量为 n 则两平面夹角 θ 的余弦为 ( A, B, ) C ( A, B, C ) cosθ cos θ A A n n n B B A n C C B C A B C Π Π : : n ( A, B, C ) n ( A, B, C 特别有下列结论 : ( ) Π Π ) n n cos θ n n n n ( ) Π // Π A A B B C C n // n A B C A B C 类似的定义两直线的夹角为直线方向向量的夹角 L, L s ( m, n, p ), s ( m, n, p ) 9

20 设直线的方向向量分别为则两直线夹角 ϕ 满足 cos ϕ s s s s m m nn p p n p m n p m 特别有 : ( ) L L ( ) L // L s // s s s m m nn pp m m n n p p 例 7 求两平面 x y z 和 x y z 5 的夹角 cos (- ), (- ) 所以两平面的夹角 π θ x y π 例 8 求直线 l: 在平面 π: x y 上的投影直线方程. 解过直线 l 作平面 π 与平面 π 垂直. π显然直线的方向向量 s (,,) 及平面的法向量 n (,,) 都与平面 π 平行, 故向量 s n 与平面 π垂直, 即它是平面的一个法向量, 而 i j k s n - i 4 j, - π 又直线上的点 (,, ) 在平面上, 于是平面的方程为即 x y, 所以, 投影直线的方程为 x y, x y.

21 五点到平面的距离设 P ( x, y, z ) 为 Ax By Cz D 外一点, 求过 P 到该平面的距离 d. 又解 : 如图设 n P P P 为平面上任一点, d则 Pj n Pj n P P A( x C( z x ) B( y z ) y ) By Cz ( Ax n P P Ax By ) Cz Ax By Cz D Pj n PP ( Ax By Cz D) A B C d Ax By A B Cz C D 该公式称为点 P x, y, ) 到平面 Ax By Cz D 的距离公式 ( z 第四节曲面与曲线在第三节中已介绍了曲面及曲线方程的概念, 本节首先讨论曲面, 主要围绕以下两个基本问题 :() 已知曲面上点的几何特征, 建立曲面方程 ;() 已知曲面上点的坐标所满足的三元方程 F ( x, y, z), 研究曲面的形状和性质一几种常见的曲面及其方程球面空间一动点到定点的距离为定值, 该动点的轨迹称为球面, 定点叫做球心, 定值叫做半径例. 求动点到定点 M x, y, ) 距离为 R 的轨迹方程. 解 : 设轨迹上动点为 M ( x, y, z), 即故所求方程为 ( z 依题意 ) M M R ( x x ) ( y y ) ( z z R ) ( y y) ( z z) ( x x R

22 特别, 当 M 在原点时, 球面方程为 z ± R x y x y z 表示上 ( 下 ) 球面. R 柱面定义 : 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地, 在三维空间, () 方程 F( x, y) 表示柱面, 母线平行于 z 轴 ; 准线 xoy 面上的曲线 l. () 方程 G( y, z) 表示柱面, 母线平行于 x 轴 ; 准线 yoz 面上的曲线 l. () 方程 H ( z, x) 表示柱面, 母线平行于 y 轴 ; 准线 xoz 面上的曲线 l 旋转曲面定义一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 若点 M(, y, z) C, 则有 f ( y, z) 当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z),

23 则有 z, 故旋转曲面方程为 x y f ( ± x y, z) 二二次曲面三元二次方程 Ax By Cz Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 不全为 ) 的图形通常为二次曲面. ( 二次项系数其基本类型有 : 椭球面抛物面双曲面锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍. 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法. 椭球面 x y z c (,, c 为正数 ) () 范围 : x, y, z c () 与坐标面的交线 : 椭圆黄 x y, z 绿 y z, x c x 红 z y c x y z (,, c c 为正数 ) x z z ( z < c) ( c z c () 截痕 : 与的交线为椭圆 : ) y y ( y ) x x( x ) 同样及的截痕也为椭圆. (4) 当时为旋转椭球面 ; 当 c 时为球面. ( c z z z c y )

24 椭圆抛物面 x y p q z ( p, q 同号 ) 特别, 当 p q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 用截痕法讨论 : 设 p >, q >, 用平行于 xoy 面的平面 z z z ) 去截椭圆抛物面 x, 交线为 y pz qz z z ( > : 它是平面 z z z ) 上的一个椭圆当逐渐由小变大时, 椭圆也逐渐 ( > 由小变大, 这些椭圆就形成了椭圆抛物面椭圆抛物面与 yoz 面及 zox 面的交线分别为 z y qz x pz x y 用平行于 zox 的平面 y y 去截椭圆抛物面, 交线为 y x p z q y y y y 它是平面上的一条抛物线同样用平行于 yoz 面的平面 x d 去截椭圆抛物面, 交线为也是抛物线三曲线方程曲线的一般方程空间中的任何曲线可以看成是两个曲面 Σ 的交线设曲线 Γ 是曲面 Σ : F ( x, y, z) 与曲面 Σ : G ( x, y, z) 的交线, 则曲线方 F( x, y, z) 程为, 称该方程为曲线 Γ 的一般方程 G( x, y, z) 曲面的参数方程 x x( t) 如果曲线 Γ 上的点的直角坐标系可表示为 : y y( t), α t β 则称 z z( t) 4

25 x x( t) y y( t), α t β 为曲线 Γ 的参数方程 z z( t) 例 5 : 求螺旋曲线 ( 动点 M 在圆柱面 x y 上以均匀角速度 ω 运动, 同时以线速度 v 沿平行于 z 轴正向的方向上升,M 点的运动轨迹就是螺旋曲线 ) 方程, 图形如下 : 解 : 设时间 t 刻,M 点的坐标为 (x,y,z) 显然, z vt 而 M 点又落在曲面 x y 上, 且做均匀角速度 ω 的旋转, 转动的角度为 ω t, x cosωt 过 M 点做直线平行于 z 轴, 交 XOY 平面于 (x,y,) 从而可以得到, y sinωt 所以 M 点的坐标为 : ( cosω t, sinωt, vt) x cosωt 所以由曲线的定义可知, 曲线的方程 : y sinωt z vt 空间曲线在坐标面上的投影 F( x, y, z) 已知 : 曲线 Γ :, 求曲线在 XOY 面上的投影曲线 G( x, y, z) 方法 : 就曲线 Γ 的方程, 消去 z, 得到方程 H ( x, y), 称方程 : H ( x, y) 为曲线在 XOY 面上的投影曲线方程 z 注 : 同理 : 消去 x, 得到在 YOZ 上曲线的投影方程 5

没有幻灯片标题

没有幻灯片标题 3. 曲面及其方程一曲面方程的概念曲面的实例 : 水桶的表面台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一曲面方程的概念