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韬待邹
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1 微分几何课程电子课件教师 : 刘培海 Tel: liu@ecust.edu.cn Key:geometry 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 1/ 30

2 第三章外微分形式和活动标架外微分形式活动标架用活动标架法研究曲面华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 2/ 30

3 3.1 外微分形式一格拉斯曼 (Grassmann) 代数二外微分形式三弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 定理华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 3/ 30

4 一格拉斯曼 (Grassmann) 代数古典微积分的弊端 1: 微积分的基本定理没有维数不变性 f( b) f( a) f( x)dx a b D Q P PdxQdy dxdy D x y V PdydzQdzdx Rdxdy P Q R d x d y d z V x y z 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 4/ 30

5 S S PdxQdy Rdz R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y 共同点 : 将某一几何图形上的积分用该图形的边界上的积分来表示. 这些公式彼此不同, 各自冠以著名数学家的名字, 不是普通的推广. 三维空间有两个公式 (2维 1 维, 3维 2 维 ) 四维空间应该有三个公式 n维空间应该有 n 1 个公式 G G d 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 5/ 30

6 古典微积分的弊端 2: 积分表达式没有坐标不变性在 f( x, y)dxdy中通常将 dxdy理解为 dx乘以 d 若采用极坐标, 则该积分变为 2 1 F(, ) dd 若令 x x( u, v), y y( u, v), 则该积分变为 Dxy (, ) Fuv (, ) dudv Duv (, ) 根源 : 未考虑 d x和 d y的方向. y 为了使 dx乘以 d y 能与坐标的选取无关, 就要对乘积赋以新的意义. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 6/ 30

7 外乘 (wedge) 若将 dxdy理解为 dx d y, 则表示以 dx和 dy 为边的平行四边形的有向面积, 具有坐标不变性. 定义一种新的乘法, 叫作外乘, 记为, 使得 a a 刻画以 a与 a 为边的平行四边形的有向面积 ; a1 a2 a3 刻画以 a1, a2, a3为边的平行六面体的有向体积 ; 问题 : 如何定义外乘? 思路 : 特殊一般华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 7/ 30

8 考虑中的三元外乘运算 3 给定三个向量 a a e a e a e i 则以 a1, a2, a3为边的平行六面体为 3 V { x x a a a,0,, 1} 3 i i1 1 i2 2 i3 3,( 1,2,3) 其有向体积为 a11 a12 a13 a a a a a a e e e a a a 其中 e e e 为以单位体积为模长的底一个体积基. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 8/ 30

9 a11 a12 a13 a a a a a a e e e a a a 受行列式启发, 可认为运算应服从以下法则 : 3 1 重线性 : 设 bc,,,, 则 a ( b c) a a b a a c a 反交换律 : 在 a1 a2 a3中任何两个向量交换之后符号相反, 即 a1 a2 a3 a2 a1 a3 a1 a3 a2 a a a 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 9/ 30

10 3 考虑中的二元外乘运算 3 给定两个向量 ai ai1e1 ai2e2 ai3e3,( i 1,2) 以 a1, a2为边的平行四边形为 3 A{ x x 1a1 2a2,0 1, 2 1} a a 引入运算,, 1 2 使其满足重线性和反交换律则 a a ( a e a e a e ) ( a e a e a e ) a a a a a a e e e e e e a21 a 22 a22 a 23 a23 a21 a a a a a a a a,, a a a a 上的投影的有向面积. ( 注意与叉积的区别 ) 3 1 刚好为 A在各个坐标面华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 10 / 30

11 外乘的定义设 V是实数域上的 n维向量空间, 它的一组基底是 e, e,, e. 1 2 n 对于 0,1,, n, 构造上新的向量空间 V 如下 : 1 V V ( e 1, e 2,, e 0 V ( 基底为 1) 基底为 n ) 2 V uv u, v V 要求其中的运算满足重线性和反交换律. 称 u v为 u与 v的外乘. 对基底的作用 : e e e e, e e 0. i j j i i i 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 11 / 30

12 n n 若 u e, v e, 则 i i j j i1 j1 uv ( ) e e. 1 i jn i j j i i j 可见 2 V aijei ej aij 1 i jn 它是以 e e (1 i j n) 为基底的向量空间, i j 称它的元素为 2-形式. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 12 / 30

13 相仿地可给出 V (2 n) 的定义, V u u u u, u,, u V 要求其中的运算满足重线性和反交换律. 称 u u u 为 u, u,, u 的外乘 n 它以 e e e ( 1 i i i n) 为基底. V aiii ei ei ei aiii 1i i i n i1 i2 i 1 2 称它的元素为 -形式. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 13 / 30

14 q V 与 V 的元素之间的外乘运算 q 设 1, q 1, q n, xv, yv, 定义 x y为将 x和 y各自用基底表示后再作运算. 例如设 x Ae 1 Be 2 Ce, 3 y Pe 2 e 3 Qe 3 e, 1 Re 1 e 2 则 x y ( AP BQCR) e 1 e 2 e 3. q 显然 x yv. V 与 V 0 的元素之间的外乘运算 V, V, 定义. 0 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 14 / 30

15 P187 命题 1. q q 设 x V, yv, 则 x y ( 1) y x. P188 命题 2. n 设 y a e, i 1,2,,, i ij j j i i i n 1 2 则 y y y i 1 a1i a 1 1i e e e a a i i i i 1 2 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 15 / 30

16 格拉斯曼 (Grassmann) 代数在 V ( 0,1,, n) 的基础上构造一个更大的 0 1 n 向量空间 GV ( ) V V V. 即 GV ( ) 的每一个元素都可表示为 ( 其中 V i ) 0 1 n i 并且这一表示是唯一的. ( 以后省掉元素符号上的箭头 ) 在 GV ( ) 内不仅具有向量空间的代数结构, 而且还带有外乘, 称 GV ( ) 是由 V生成的 Grassmann代数. GV ( ) 的基底为华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 16 / 30

17 二外微分形式前面定义 Grassmann 代数 GV ( ) 时, V是实数域上的 n维向量空间, 它的一组基底是 e, e,, e. 1 2 称这里的实数域为系数域, 称 V为模 ( module ). 为了推广微分的定义, 将系数域换为定义在以 x, x 为坐标 n 1 n (, ) 的某开集 U上的全体 C 类数量函数的集合. 将模 V取为以 x x 为基底的维向量空间 1 2 n d,d x,,d n. 称以前定义的 -形式为 U上的 -形式. 特别地, 称 U上的 1- 形式为 U 上的 Pfaff( 普法夫 ) 形式. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 17 / 30 n

18 P191 命题 3(Cartan( 嘉当 ) 引理 ) 给出 U上个线性无关的 Pfaff形式 f, f,, f (1 n). 1 2 如果另有 U上的个 Pfaff 形式 g, g,, g, 使得 f g f g f g 0, 则存在 U上的 C 类函数组 a (, i j 1,2,, ) 使得 ij 并且 a ij g a i ij j i1 ji. a f, i 1,2,,. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 18 / 30

19 多元微积分的基本公式 (Stokes 公式 ) : d b b f ( x ) f ( x )d x a a Q P PdxQdy dxdy x y PdydzQdzdx Rdxdy P Q R d x d y d z x y z S S PdxQdyRdz R Q P R Q P dy dz dz dx dx dy y z z x x y 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 19 / 30 G G

20 外微分的引入对于 P( x, y)dx Q( x, y) d y, 若定义 d d P( x, y) dxd Q( x, y) d y, 则有 Q P d dxdy x y Green公式变为 Q P PdxQdy dxdy x y d. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 20 / 30

21 外微分的引入 ( 续 ) 对于 P( x, y, z)d xq( x, y, z)d y R( x, y, z)dz, 若定义 d dpdxdqdyd Rdz, 则有 R Q P R d dy dz dz dx y z z x Q P dxdy x y Stokes d. 公式变为华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 21 / 30

22 外微分的引入 ( 续 ) 对于 PdydzQdzdx Rdxd y, 若定义 d dpdydzdqdzdx drdxd y, 则有 P Q R d d x d y d z, x y z Gauss d. 公式变为教材 P195有 Stokes公式的严格叙述. What haens on the outside is urely a function of the change within. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 22 / 30

23 外微分的定义受上述启发, 定义外微分如下 : 若 V 1 2, 即 ai 12 i i 1i i i n 定义 d ( 称 d 为外微分算子 ) 为 i1 i2 dx dx dx i1 i2 d daii d d d 12i x x x 1i i i n 1 2 n 1 2 i i1 i2 1i 1 i2 i n i 1 a iii i x i dx dx dx dx 显然当时当时 1 0 d n n V ; V d 0. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 23 / 30 i i

24 设 V, V, 定义 d( ) d d. q 外微分的性质 P197 题 4(Poincar é( 庞加莱 ) ) 1 命引理设 GV 2 ( ), 则 d dd d( d ) 0. 2 P198命题 5 设 V q, V, 则 d( ) d ( 1) d. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 24 / 30

25 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业! P214: 1, 2, 3 补充作业题设 yzdxd z, sin zdxcos zd y, dy zd z, 计算 (1),, ; (2)d,d,d 设 f和 g是两个光滑函数, d 为外微分算子, 计算 (1) d( fdg gd f); (2) d[( f g)(df d g)]; (3) d[( fd g) ( gd f)]; (4) d( gd f) d( fd g). 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 25 / 30

26 三 Frobenius( 弗罗贝尼乌斯 ) 定理先看一个例子 Pfaff 3 考虑中的一个方程 Pxyz (,, )d x Qxyz (,, )d y Rxyz (,, )dz 0 它的完全可积条件为 R Q P R Q P P Q R y z z x x y 完全可积是指存在 3 中的曲面 f( x, y, z) 常数, 使得 d f 0 0, 即 ( x, y, z) 使得 d f. 条件 ( ) 存在 Pfaff形式使 d. 0 ( ) 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 26 / 30

27 推广到高维情形 n 设中的坐标是简记为 ( x, y), U n 是中的一个开集, 1 2 n 1 2 ( x, x,,, y, y,, y ) n l l i l k i n k i1 k1 l U det( nk ) 0 ( x, y)d x ( x, y)d y ( l 1, 2,, ) 是上的个线性无关 ( ) 的 Pfaff形式, 它们确定了 U上的 Pfaff方程组 l 0, l 1,,. x, 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 27 / 30

28 如果存在 U中的某个 n维曲面 S( n元函数 ) k k 1 2 n (,,, ), 1,2,, y y x x x k k l l 使得将 y ( x) 代入 ( l 1,2,, ) 以后有 0, 即 n k y i ( x, ( ))dx ( x, yx ( )) dx 0 i i1 x n l i l i yx n k i1 k1 l 则称曲面 S为 Pfaff方程组 0( l 1,2,, ) 的积分曲面, 称 y y( x) 为 Pfaff方程组的解. 如果过 U中任一点只存在唯一的积分曲面, 则称该 Pfaff 方程组是完全可积的. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 28 / 30

29 定义 l 设有 U上的个 Pfaff 形式 ( l 1,2,, ), l 如果存在 U上的 Pfaff 形式 f ( k, l 1,2,, ) 使得 l d k1 f l k l 则称 ( l 1, 2,, ) 满足 Frobenius条件. k k, l 1,2,,, 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 29 / 30

30 定理 n 1 2 n 1 2 设的坐标是 ( x, x,, x, y, y,, y ), U是中的一个开集, ( l 1,2,, ) 是 U上的个 n l Pfaff 形式, 则 Pfaff方程组 n l l i l k i x y x nk x y y i1 k1 (, )d (, )d 0 l ( 其中 l 1,2,,, det( ) 0) nk l 完全可积的充要条件是满足 Frobenius条件. 华东理工大学微分几何电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 30 / 30

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<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63> 高等代数第十章双线性函数第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V