高等数学7
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- 蝠 庄
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1 第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直 相交等 ) 解决有关问题 6 会求点到直线以及点到平面的距离 7 理解曲面方程的概念 了解常用二次曲面的方程及其图形 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 8 了解空间曲线的参数方程和一般方程 9 了解空间曲线在坐标平面上的投影 并会求其方程 教学重点 : 向量的线性运算 数量积 向量积的概念 向量运算及坐标运算; 两个向量垂直和平行的条件; 3 平面方程和直线方程; 4 平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的相互位置关系的判定条件; 5 点到直线以及点到平面的距离; 6 常用二次曲面的方程及其图形; 7 旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; 8 空间曲线的参数方程和一般方程 教学难点 : 向量积的向量运算及坐标运算; 平面方程和直线方程及其求法; 3 点到直线的距离; 4 二次曲面图形; 5 旋转曲面的方程; 7 向量及其线性运算一 向量概念向量 : 在研究力学 物理学以及其他应用科学时 常会遇到这样一类量 它们既有大小 又有
2 方向 例如力 力矩 位移 速度 加速度等 这一类量叫做向量 在数学上 用一条有方向的线段 ( 称为有向线段 ) 来表示向量 有向线段的长度表示向量的大 小 有向线段的方向表示向量的方向 向量的符号 : 以 A 为起点 B 为终点的有向线段所表示的向量记作 AB 向量可用粗体字母表示 也可用 上加箭头书写体字母表示 例如 r v F 或 r v F 自由向量 : 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无 关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量 和 的大小相等 且方向相同 则说向量 和 是相等的 记为 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的模 : 向量的大小叫做向量的模 向量 AB 的模分别记为 AB 单位向量 : 模等于 的向量叫做单位向量 零向量 : 模等于 的向量叫做零向量 记作 或 零向量的起点与终点重合 它的方向可 以看作是任意的 向量的平行 : 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 与 平行 记作 // 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向 量平行又称两向量共线 类似还有共面的概念 设有 k(k 3) 个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k 个终点和 公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面 二 向量的线性运算 向量的加法 向量的加法 : 设有两个向量 与 平移向量使 的起点与 的终点重合 此时从 的起点 到 的终点的向量 c 称为向量 与 的和 记作 即 c 三角形法则 : 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则 : 当向量 与 不平行时 平移向量使 与 的起点重合 以 为邻边作一平行四边形 从 公共起点到对角的向量等于向量 与 的和 A 向量的加法的运算规律 : c B C A D c B C
3 () 交换律 ; () 结合律 ()c(c) 由于向量的加法符合交换律与结合律 故 n 个向量 n (n 3) 相加可写成 n 并按向量相加的三角形法则 可得 n 个向量相加的法则如下 : 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量 n 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量 : 设 为一向量 与 的模相同而方向相反的向量叫做 的负向量 记为 向量的减法 : 我们规定两个向量 与 的差为 () 即把向量 加到向量 上 便得 与 的差 特别地 当 时 有 () 显然 任给向量 AB 及点 O 有 A O OB OBOA AB 因此 若把向量 与 移到同一起点 O 则从 的终点 A 向 的终点 B 所引向量 AB 便是向量 与 的差 三角不等式 : 由三角形两边之和大于第三边的原理 有 及 其中等号在 与 同向或反向时成立 向量与数的乘法向量与数的乘法的定义 : 向量 与实数 λ 的乘积记作 λ 规定 λ 是一个向量 它的模 λ λ 它的方向当 λ> 时与 相同 当 λ< 时与 相反 当 λ 时 λ 即 λ 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 λ± 时 有 () 3
4 运算规律 : () 结合律 λ(µ)µ(λ)(λµ); () 分配律 (λµ)λµ; λ()λλ 例 在平行四边形 ABCD 中 设 AB AD 试用 和 表示向量 MA MB MC MD 其中 M 是平行四边形对角线的交点 解由于平行四边形的对角线互相平分 所以 AC AM 即 () MA D C 于是 MA () 因为 MC MA 所以 MC () 又因 BD MD 所以 MD () A M B 由于 MB MD 所以 MB () 例 在平行四边形 ABCD 中 设 AB AD 试用 和 表 示向量 MA MB MC MD 其中 M 是平行四边形对角线的交点 解由于平行四边形的对角线互相平分 所以 D C AM MA AC 于是 MA ( ) ; MC MA ( ) A 因为 BD MD 所以 MD ( ) ; MB MD ( ) 向量的单位化 : 设 则向量 是与 同方向的单位向量 记为 e 于是 e 向量的单位化 : M B 4
5 设 则向量 于是 e 是与 同方向的单位向量 记为 e 定理 设向量 那么 向量 平行于 的充分必要条件是 : 存在唯一的实数 λ 使 λ 证明 : 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 // 取 λ 当 与 同向时 λ 取正值 当 与 反向时 λ 取负值 即 λ 这是因为 此时 与 λ 同向 且 λ λ 再证明数 λ 的唯一性 设 λ 又设 µ 两式相减 便得 (λµ) 即 λµ 因 故 λµ 即 λµ 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定了数轴 O 对于轴 上任一点 P 对应一个向量 OP 由 OP //i 根据定理 必有唯一的实数 使 OP i( 实数 叫做 轴上有向线段 OP 的值 ) 并知 OP 与实数 一一对应 于是 点 P 向量 OP i 实数 从而轴上的点 P 与实数 有一一对应的关系 据此 定义实数 为轴上点 P 的坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 的充分必要条件是 OP i 三 空间直角坐标系 在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i j k 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂 直的数轴 依次记为 轴 ( 横轴 ) 轴 ( 纵轴 ) 轴 ( 竖轴 ) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角 坐标系 称为 O 坐标系 注 : () 通常三个数轴应具有相同的长度单位 ; () 通常把 轴和 轴配置在水平面上 而 轴则是铅垂线 ; (3) 数轴的的正向通常符合右手规则 坐标面 : 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 轴及 轴所确定的坐标面叫做 O 面 另两个坐标面是 O 面和 O 面 卦限 : 三个坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 5
6 它位于 O 面的上方 在 O 面的上方 按逆时针方向排列着第二卦限 第三卦限和第四卦限 在 O 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限 第七卦限和第 八卦限 八个卦限分别用字母 I II III IV V VI VII VIII 表示 向量的坐标分解式 : 任给向量 r 对应有点 M 使 OM r 以 OM 为对角线 三条坐标轴为棱作长方体 有 OP PN NM OP OQ OR r OM 设 OP i OQ j OR k 则 r OM i j k 上式称为向量 r 的坐标分解式 i j k 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量 显然 给定向量 r 就确定了点 M 及 OP i OQ j OR k 三个分向量 进而确定了 三个有序数 ; 反之 给定三个有序数 也就确定了向量 r 与点 M 于是点 M 向量 r 与三 个有序 之间有一一对应的关系 M r OM i j k ( ) 据此 定义 : 有序数 称为向量 r( 在坐标系 O) 中的坐标 记作 r( ); 有序数 也称为点 M( 在坐标系 O) 的坐标 记为 M( ) 向量 r OM 称为点 M 关于原点 O 的向径 上述定义表明 一个点与该点的向径有相同的坐 标 记号 ( ) 既表示点 M 又表示向量 OM 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 例如 : 点 M 在 O 面上 则 ; 同相 在 O 面上的点 ; 在 O 面上的点 如果点 M 在 轴上 则 ; 同样在 轴上 有 ; 在 轴上的点 有 如果点 M 为原点 则 四 利用坐标作向量的线性运算设 ( ) ( ) 即 i j k i j k 则 ( i j k)( i j k) ( )i( )j( )k ( ) ( i j k)( i j k) ( )i( )j( )k ( ) 6
7 λλ( i j k) (λ )i(λ )j(λ )k (λ λ λ ) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 : 设 ( ) ( ) 向量 // λ 即 // ( )λ( ) 于是 5 3 例 求解以向量为未知元的线性方程组 3 其中 ( ) ( ) 解如同解二元一次线性方程组 可得 3 35 以 的坐标表示式代入 即得 ( )3( )(7 ) 3( )5( )( 6) 例 3 已知两点 A( ) 和 B( ) 以及实数 λ 在直线 AB 上求一点 M 使 AM λ MB OA 解由于 AM OM MB OBOM 因此 OA ( OBOM) OM λ 从而 ( OA OB ) OM λ λ λ λ λ ( ) λ λ λ 这就是点 M 的坐标 另解设所求点为 M ( ) 则 AM ) ( MB ) 依题意有 ( AM λ MB 即 ( )λ( ) ( )( )λ( )λ( ) ) ( λ λ λ ) λ 7 (
8 λ λ λ λ λ λ 点 M 叫做有向线段 AB 的定比分点 当 λ 点 M 的有向线段 AB 的中点 其坐标为 五 向量的模 方向角 投影 向量的模与两点间的距离公式 设向量 r( ) 作 OM r 则 按勾股定理可得 OP OQ OR r OM OR r OM OP OQ 设 OP i OQ j OR k 有 OP OQ OR 于是得向量模的坐标表示式 r 设有点 A ( ) B( ) 则 AB OBOA ( )( )( ) 于是点 A 与点 B 间的距离为 AB AB ( ) ( ) ( ) 例 4 求证以 M (4 3 ) M (7 ) M 3 (5 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解因为 M M (74) (3) () 4 M M 3 (57) () (3) 6 M M 3 (54) (3) (3) 6 所以 M M 3 M M 3 即 M M M 3 为等腰三角形 例 5 在 轴上求与两点 A(4 7) 和 B(3 5 ) 等距离的点 解设所求的点为 M( ) 依题意有 MA MB 即 (4) () (7) (3) (5) () 解之得 4 所以 所求的点为 M ( 4 ) 9 9 例 6 已知两点 A(4 5) 和 B(7 3) 求与 AB 方向相同的单位向量 e 8
9 解因为 AB ( 7 3) (4 5) (3 ) 3 ( ) AB 4 所以 e AB (3 ) 4 AB 方向角与方向余弦 当把两个非零向量 与 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 π 的夹角称为向量 ^ ) ^ ) 与 的夹角 记作 ( 或 ( 如果向量 与 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 与 π 之间任意取值 从而 类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 非零向量 r 与三条坐标轴的夹角 α β γ 称为向量 r 的方向角 向量的方向余弦 : 设 r( ) 则 r cosα r cosβ r cosγ cosα cosβ cosγ 称为向量 r 的方向余弦 cosα r cosβ r cosγ r (cosα cosβ cosγ ) r e r r 上式表明 以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与 r 同方向的单位向量 e r 因此 cos αcos βcos γ 例 3 设已知两点 A ( ) ) 和 B ( 3 ) 计算向量 AB 的模 方向余弦和方向角 解 AB ( 3 ) ( ) ; ( ) ( ) AB ; cosα α π 3 cos β β π 3 γ 3π 4 cosγ ; 9
10 3 向量在轴上的投影 设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴 任给向量 r 作 OM r 轴上的投影 ) 则向量 O M 上的投影 记作 Prj u r 或 (r) u 再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M ( 点 M 叫作点 M 在 u 称为向量 r 在 u 轴上的分向量 设 O M λe 则数 λ 称为向量 r 在 u 轴 按此定义 向量 在直角坐标系 O 中的坐标 就是 在三条坐标轴上的投影 即 Prj Prj Prj 投影的性质 : 性质 () u cos ϕ ( 即 Prj u cos ϕ) 其中 ϕ 为向量与 u 轴的夹角 ; 性质 () u () u () u ( 即 Prj u () Prj u Prj u ); 性质 3 (λ) u λ() u ( 即 Prj u (λ)λprj u ); 7 数量积向量积 一 两向量的数量积 数量积的物理背景 : 设一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 移动到点 M 以 s 表示位移 M M 由物理学知道 力 F 所作的功为 W F s cosθ 其中 θ 为 F 与 s 的夹角 数量积 : 对于两个向量 和 它们的模 及它们的夹角 θ 的余弦的乘积称为向量 和 的数量积 记作 即 cosθ 数量积与投影 : 由于 cosθ cos(^ ) 当 时 cos(^ ) 是向量 在向量 的方向上的投影 于是 Prj 同理 当 时 Prj 数量积的性质 : () () 对于两个非零向量 如果 则 反之 如果 则 如果认为零向量与任何向量都垂直 则 数量积的运算律 : () 交换律 :
11 () 分配律 : () c c c (3) (λ) (λ) λ( ) (λ) (µ) λµ( ) λ µ 为数 () 的证明 : 分配律 () c c c 的证明 : 因为当 c 时 上式显然成立 ; 当 c 时 有 () c c Prj c () c (Prj c Prj c ) c Prj c c Prj c c c 例 试用向量证明三角形的余弦定理 证 : 设在 ΔABC 中 BCAθ ( 图 74) BC CA AB c 要证 c cos θ 记 CB CA AB c 则有 c 从而 c c c()() cos(^) 即 c cos θ 数量积的坐标表示 : 设 ( ) ( ) 则 提示 : 按数量积的运算规律可得 ( i j k) ( i j k) i i i j i k j i j j j k k i k j k k 两向量夹角的余弦的坐标表示 : 设 θ( ^ ) 则当 时 有 cosθ 提示 : cosθ
12 例 已知三点 M ( ) A ( ) 和 B ( ) 求 AMB 解从 M 到 A 的向量记为 从 M 到 B 的向量记为 则 AMB 就是向量 与 的夹角 { } { } 因为 所以 cos AMB 从而 AMB π 3 例 3 设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域 液体在这区域上各点处的流速均为 ( 常向量 )v 设 n 为垂直于 S 的单位向量 ( 图 7-5()) 计算单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量 P( 液体的密度为 ρ) 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A 斜高为 v 的斜柱体 ( 图 7-5()) 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是 v 与 n 的夹角 θ 所以这柱体的高为 v cosθ 体积为 A v cos θ A v n 从而 单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为 PρAv n 二 两向量的向量积在研究物体转动问题时 不但要考虑这物体所受的力 还要分析这些力所产生的力矩 设 O 为一根杠杆 L 的支点 有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 F 与 OP 的夹角为 θ 由力学规定 力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模 M OP F sinθ 而 M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面 M 的指向是的按右手规则从 OP 以不超过 π 的角转向 F 来确定的 向量积 : 设向量 c 是由两个向量 与 按下列方式定出 : c 的模 c sin θ 其中 θ 为 与 间的夹角 c 的方向垂直于 与 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 转向 来确定 那么 向量 c 叫做向量 与 的向量积 记作 即 c 根据向量积的定义 力矩 M 等于 OP 与 F 的向量积 即
13 M OP F 向量积的性质 : () ; () 对于两个非零向量 如果 则 //; 反之 如果 // 则 如果认为零向量与任何向量都平行 则 // 数量积的运算律 : () 交换律 ; () 分配律 : () c c c (3) (λ) (λ) λ( ) (λ 为数 ) 数量积的坐标表示 : 设 i j k i j k 按向量积的运算规律可得 ( i j k) ( i j k) i i i j i k j i j j j k k i k j k k 由于 i i j j k k i j k j k i k i j 所以 ( ) i ( ) j ( ) k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成 i j k i j k k j i ( ) i ( ) j ( ) k 例 4 设 ( ) ( ) 计算 i j k 解 ijkk4ji i5j 3k 积 例 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A ( 3) B (3 4 5) C ( 4 7) 求三角形 ABC 的面解根据向量积的定义 可知三角形 ABC 的面积 S ABC AB AC sin A AB AC 由于 AB ( ) AC ( 4) 因此 i AB AC j k 4i6jk 4 于是 S ABC 4i 6 j k 4 ( 6) 4 3
14 例 6 设刚体以等角速度 ω 绕 l 轴旋转 计算刚体上一点 M 的线速度 解刚体绕 l 轴旋转时 我们可以用在 l 轴上的一个向量 ω 表示角速度 它的大小等于角速度 的大小 它的方向由右手规则定出 : 即以右手握住 l 轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方 向一致时 大姆指的指向就是 ω 的方向 设点 M 到旋转轴 l 的距离为 再在 l 轴上任取一点 O 作向量 r OM 并以 θ 表示 ω 与 r 的 夹角 那么 r sinθ 设线速度为 v 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知 v 的大小为 v ω ω r sinθ v 的方向垂直于通过 M 点与 l 轴的平面 即 v 垂直于 ω 与 r 又 v 的指向是使 ω r v 符合右手规则 因此有 v ω r 7 3 曲面及其方程一 曲面方程的概念在空间解析几何中 任何曲面都可以看作点的几何轨迹 在这样的意义下 如果曲面 S 与三元方程 F( ) 有下述关系 : () 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F( ); () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F( ) 那么 方程 F( ) 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S 就叫做方程 F( ) 的图形 常见的曲面的方程 : 例 建立球心在点 M ( ) 半径为 R 的球面的方程 解设 M( ) 是球面上的任一点 那么 M M R 即 ( ) ( ) ( R ) 或 ( ) ( ) ( ) R 这就是球面上的点的坐标所满足的方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以 ( ) ( ) ( ) R 就是球心在点 M ( ) 半径为 R 的球面的方程 特殊地 球心在原点 O( ) 半径为 R 的球面的方程为 R 4
15 例 设有点 A( 3) 和 B( 4) 求线段 AB 的垂直平分面的方程 5 解由题意知道 所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的几何轨迹 设 M( ) 为所求平 面上的任一点 则有 AM BM 即 ( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 4 ) 等式两边平方 然后化简得 67 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所 以这个方程就是所求平面的方程 研究曲面的两个基本问题 : () 已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程 ; () 已知坐标 和 间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 例 3 方程 4 表示怎样的曲面? 解通过配方 原方程可以改写成 () () 5 这是一个球面方程 球心在点 M ( ) 半径为 R 5 一般地 设有三元二次方程 A A A DEFG 这个方程的特点是缺 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化成方 程 的形式 它的图形就是一个球面 二 旋转曲面 ( ) ( ) ( ) R 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫 做旋转曲面的轴 设在 O 坐标面上有一已知曲线 C 它的方程为 f ( ) 把这曲线绕 轴旋转一周 就得到一个以 轴为轴的旋转曲面 它的方程可以求得如下 : 关系等式 设 M( ) 为曲面上任一点 它是曲线 C 上点 M ( ) 绕 轴旋转而得到的 因此有如下 f ( ) 从而得 f ( ± ) 这就是所求旋转曲面的方程 在曲线 C 的方程 f( ) 中将 改成 ± 便得曲线 C 绕 轴旋转所成的旋转曲面的
16 方程 f ( ± ) 同理 曲线 C 绕 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f ( ± ) 例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 所得旋转曲面叫做圆锥面 两直线的交点叫做圆锥面的顶点 两直线的夹角 α ( < α < π ) 叫做圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐标原点 O 旋转轴为 轴 半顶角为 α 的圆锥面的方程 解在 O 坐标面内 直线 L 的方程为 cot α 将方程 cotα 中的 改成 ± 就得到所要求的圆锥面的方程 ± cotα 或 ( ) 其中 cot α 例 5 将 O 坐标面上的双曲线 分别绕 轴和 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面 c 的方程 解绕 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 ; c 绕 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 c 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面 三 柱面 例 6 方程 R 表示怎样的曲面? 解方程 R 在 O 面上表示圆心在原点 O 半径为 R 的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标 即不论空间点的竖坐标 怎样 只要它的横坐标 和纵坐标 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过 O 面上的圆 R 且平行于 轴的直线一定在 R 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 轴的直线 l 沿 O 面上的圆 R 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 O 面上的圆 R 叫做它的准线 这平行于 轴的直线 l 叫做它的母线 例 6 方程 R 表示怎样的曲面? 6
17 解在空间直角坐标系中 过 O 面上的圆 R 作平行于 轴的直线 l 则直线 l 上的点都满足方程 R 因此直线 l 一定在 R 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 轴的直线 l 沿 O 面上的圆 R 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 O 面上的圆 R 叫做它的准线 这平行于 轴的直线 l 叫做它的母线 柱面 : 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面 定曲线 C 叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线 上面我们看到 不含 的方程 R 在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于 轴 它的准线是 O 面上的圆 R 一般地 只含 而缺 的方程 F( ) 在空间直角坐标系中表示母线平行于 轴的柱面 其准线是 O 面上的曲线 C: F( ) 例如 方程 表示母线平行于 轴的柱面 它的准线是 O 面上的抛物线 该柱面叫做抛物柱面 又如 方程 表示母线平行于 轴的柱面 其准线是 O 面的直线 所以它是过 轴的平面 类似地 只含 而缺 的方程 G( ) 和只含 而缺 的方程 H( ) 分别表示母线平行于 轴和 轴的柱面 例如 方程 表示母线平行于 轴的柱面 其准线是 O 面上的直线 所以它是过 轴的平面 四 二次曲面 与平面解析几何中规定的二次曲线相类似 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面 怎样了解三元方程 F( ) 所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线的形状 然后加以综合 从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法 研究曲面的另一种方程是伸缩变形法 : 设 S 是一个曲面 其方程为 F( ) S 是将曲面 S 沿 轴方向伸缩 λ 倍所得的曲面 显然 若 ( ) S 则 (λ ) S ; 若 ( ) S 则 ( ) S λ 因此 对于任意的 ( ) S 有 F( ) 即 F( ) 是曲面 S 的方程 λ λ 例如 把圆锥面 沿 轴方向伸缩 倍 所得曲面的方程为 ( ) 即 () 椭圆锥面 7
18 8 由方程 所表示的曲面称为椭圆锥面 圆锥曲面在 轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面 沿 轴方向伸缩 倍 所得曲面称为椭圆锥面 以垂直于 轴的平面 t 截此曲面 当 t 时得一点 ( ); 当 t 时 得平面 t 上的椭圆 ) ( ) ( t t 当 t 变化时 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆 当 t 从大到小并变为 时 这族椭圆从大到小并缩为一点 综合上述讨论 可得椭圆锥面的形状如图 () 椭球面由方程 c 所表示的曲面称为椭球面 球面在 轴 轴或 轴方向伸缩而得的曲面 把 沿 轴方向伸缩 c 倍 得旋转椭球面 c ; 再沿 轴方向伸缩 倍 即得椭球面 c (3) 单叶双曲面由方程 c 所表示的曲面称为单叶双曲面 把 O 面上的双曲线 c 绕 轴旋转 得旋转单叶双曲面 c ; 再沿 轴方向伸缩 倍 即得单叶双曲面 c (4) 双叶双曲面由方程 c 所表示的曲面称为双叶双曲面 把 O 面上的双曲线 c 绕 轴旋转 得旋转双叶双曲面 c ; 再沿 轴方向伸缩 c 倍 即得双叶双曲面 c (5) 椭圆抛物面由方程 所表示的曲面称为椭圆抛物面 把 O 面上的抛物线 绕 轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面 再沿 轴方向伸缩 倍 所得曲面叫做椭圆抛物面
19 (6) 双曲抛物面 由方程 双曲抛物面又称马鞍面 所表示的曲面称为双曲抛物面 用平面 t 截此曲面 所得截痕 l 为平面 t 上的抛物线 t 此抛物线开口朝下 其项点坐标为 ( t t ) 当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移 而 l 的项 点的轨迹 L 为平面 上的抛物线 因此 以 l 为母线 L 为准线 母线 l 的项点在准线 L 上滑动 且母线作平行移动 这样得到的曲面 便是双曲抛物面 还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面 : 依次称为椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 7 4 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线 设 F( ) 和 G( ) 是两个曲面方程 它们的交线为 C 因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程 所以应满足方程组 F( ) G( ) 反过来 如果点 M 不在曲线 C 上 那么它不可能同时在两个曲面上 所以它的坐标不满足方程组 因此 曲线 C 可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间曲线 C 的一般方程 例 方程组 表示怎样的曲线? 3 6 解方程组中第一个方程表示母线平行于 轴的圆柱面 其准线是 O 面上的圆 圆心在原点 O 半行为 方程组中第二个方程表示一个母线平行于 轴的柱面 由于它的准线是 O 面上的直线 因此它是一个平面 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线 9
20 例 方程组 ( ) ( 表示怎样的曲线? ) 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 O 半行为 的上半球面 第二个方程表示母线 平行于 轴的圆柱面 它的准线是 O 面上的圆 这圆的圆心在点 ( ) 半行为 方程组就 表示上述半球面与圆柱面的交线 4 例 方程组 ( ) 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 O 半行为 的上半球面 第二个方程表示母 线平行于 轴的圆柱面 它的准线是 O 面上的圆 这圆的圆心在点 ( ) 半行为 方程组就 表示上述半球面与圆柱面的交线 二 空间曲线的参数方程空间曲线 C 的方程除了一般方程之外 也可以用参数形式表示 只要将 C 上动点的坐标 表示为参数 t 的函数 : ( t) ( t) ( t) 当给定 tt 时 就得到 C 上的一个点 ( ); 随着 t 的变动便得曲线 C 上的全部点 方程组 () 叫做空间曲线的参数方程 例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 上以角速度 ω 绕 轴旋转 同时又以线速度 v 沿平行于 轴的正方向上升 ( 其中 ω v 都是常数 ) 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程 解取时间 t 为参数 设当 t 时 动点位于 轴上的一点 A( ) 处 经过时间 t 动点由 A 运动到 M( )( 图 7-44) 记 M 在 O 面上的投影为 M M 的坐标为 由于动点在圆柱面上以角速度 ω 绕 轴旋转 所以经过时间 t AOM ω t 从而 OM cos AOM cos ω t OM sin AOM sin ω t 由于动点同时以线速度 v 沿平行于 轴的正方向上升 所以 MM vt 因此螺旋线的参数方程为 cosω t sinω t vt 也可以用其他变量作参数 ; 例如令 θω t 则螺旋线的参数方程可写为
21 cosθ sinθ θ 其中 v 而参数为 θ ω * 曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如 ( s t) ( s t) ( s t) 例如空间曲线 Γ ϕ( t) ψ( t) ω( t) (α t β) 绕 轴旋转 所得旋转曲面的方程为 [ ϕ( t)] [ ψ( t)] cosθ [ ϕ( t)] [ ψ( t)] sinθ (α t β θ π) (4) ω( t) 这是因为 固定一个 t 得 Γ 上一点 M (ϕ(t) ψ(t) ω(t)) 点 M 绕 轴旋转 得空间的一个圆 该圆 在平面 ω(t) 上 其半径为点 M 到 轴的距离 [ ϕ ( t)] [ ψ( t )] 因此 固定 t 的方程 (4) 就是该圆 的参数方程 再令 t 在 [α β] 内变动 方程 (4) 便是旋转曲面的方程 例如直线 t t 绕 轴旋转所得旋转曲面的方程为 t t t cosθ sinθ ( 上式消 t 和 θ 得曲面的直角坐标方程为 ) 4 又如球面 可看成 O 面上的半圆周 sinϕ cosϕ ( ϕ π) 绕 轴旋转所得 故球面方程为
22 sinϕ cosθ sinϕ sinθ cosϕ ( ϕ π θ π) 三 空间曲线在坐标面上的投影以曲线 C 为准线 母线平行于 轴的柱面叫做曲线 C 关于 O 面的投影柱面 投影柱面与 O 面的交线叫做空间曲线 C 在 O 面上的投影曲线 或简称投影 ( 类似地可以定义曲线 C 在其它坐标面上的投影 ) F( ) 设空间曲线 C 的一般方程为 G( ) 设方程组消去变量 后所得的方程 H( ) 这就是曲线 C 关于 O 面的投影柱面 这是因为 : 一方面方程 H( ) 表示一个母线平行于 轴的柱面 另一方面方程 H( ) 是由方程组消去变量 后所得的方程 因此当 满足方程组时 前两个数 必定满足方程 H( ) 这就说明曲线 C 上的所有点都在方程 H( ) 所表示的曲面上 即曲线 C 在方程 H( ) 表示的柱面上 所以方程 H( ) 表示的柱面就是曲线 C 关于 O 面的投影柱面 曲线 C 在 O 面上的投影曲线的方程为 : H( ) 讨论 : 曲线 C 关于 O 面和 O 面的投影柱面的方程是什么? 曲线 C 在 O 面和 O 面上的投影曲线的方程是什么? 例 4 已知两球面的方程为 (5) 和 () () (6) 求它们的交线 C 在 O 面上的投影方程 解先将方程 () () 化为 然后与方程 相减得 将 代入 得 这就是交线 C 关于 O 面的投影柱面方程 两球面的交线 C 在 O 面上的投影方程为 例 5 求由上半球面 4 和锥面 3( ) 所围成立体在 O 面上的投影
23 解由方程 4 和 3( ) 消去 得到 这是一个母线平行于 轴的圆柱面 容易看出 这恰好是半球面与锥面的交线 C 关于 O 面的投影柱面 因此交线 C 在 O 面上的投影曲线为 这是 O 面上的一个圆 于是所求立体在 O 面上的投影 就是该圆在 O 面上所围的部分 : : 7 5 平面及其方程一 平面的点法式方程法线向量 : 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 唯一确定平面的条件 : 当平面 Π 上一点 M ( ) 和它的一个法线向量 n(a B C) 为已知时 平面 Π 的位置就完全确定了 平面方程的建立 : 设 M ( ) 是平面 Π 上的任一点 那么向量 垂直 即它们的数量积等于零 : M M 必与平面 Π 的法线向量 n 由于 M n M n (A B C) 所以 ( M M ) A( )B( )C( ) 这就是平面 Π 上任一点 M 的坐标 所满足的方程 反过来 如果 M ( ) 不在平面 Π 上 那么向量 M M 与法线向量 n 不垂直 从而 M n M 即不在平面 Π 上的点 M 的坐标 不满足此方程 由此可知 方程 A( )B( )C( ) 就是平面 Π 的方程 而平面 Π 就是平面方程的图形 由于方程 A( )B( )C( ) 是由平面 Π 上的一点 M ( ) 及它的一个法线向量 n (A B C) 确定的 所以此方程叫做平面的点法式方程 例 求过点 ( 3 ) 且以 n( 3) 为法线向量的平面的方程 3
24 解根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 ()(3)3 即 38 例 求过三点 M ( 4) M ( 3 ) 和 M 3 ( 3) 的平面的方程 M 3 解我们可以用 M M M 作为平面的法线向量 n 因为 M M ( 3 4 6) M M ( 3 ) 3 所以 i j k n M M MM i 9 jk 3 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 4()9()( 4) 即 49 5 二 平面的一般方程由于平面的点法式方程是 的一次方程 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 反过来 设有三元一次方程 ABCD 我们任取满足该方程的一组数 即 A B C D 把上述两等式相减 得 A( )B( )C( ) 这正是通过点 M ( ) 且以 n(a B C) 为法线向量的平面方程 由于方程 ABCD 与方程 A( )B( )C( ) 同解 所以任一三元一次方程 ABCD 的图形总是一个平面 方程 ABCD 称为平面的一般方程 其中 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n(a B C) 例如 方程 349 表示一个平面 n(3 4 ) 是这平面的一个法线向量 讨论 : 考察下列特殊的平面方程 指出法线向量与坐标面 坐标轴的关系 平面通过的特殊点或线 ABC; BCD ACD ABD; CD AD BD 提示 : 4
25 D 平面过原点 n( B C) 法线向量垂直于 轴 平面平行于 轴 n(a C) 法线向量垂直于 轴 平面平行于 轴 n(a B ) 法线向量垂直于 轴 平面平行于 轴 n( C) 法线向量垂直于 轴和 轴 平面平行于 O 平面 n(a ) 法线向量垂直于 轴和 轴 平面平行于 O 平面 n( B ) 法线向量垂直于 轴和 轴 平面平行于 O 平面 例 3 求通过 轴和点 (4 3 ) 的平面的方程 解平面通过 轴 一方面表明它的法线向量垂直于 轴 即 A; 另一方面表明它必通过原点 即 D 因此可设这平面的方程为 BC 又因为这平面通过点 (4 3 ) 所以有 3BC 或 C3B 将其代入所设方程并除以 B (B ) 便得所求的平面方程为 3 例 4 设一平面与 轴的交点依次为 P( ) Q( ) R( c) 三点 求这平面的方程 ( 其中 c ) 解设所求平面的方程为 ABCD 因为点 P( ) Q( ) R( c) 都在这平面上 所以点 P Q R 的坐标都满足所设方程 即有 A D B D cc D 由此得 A D B D C D c 将其代入所设方程 得 D D D D c 即 c 上述方程叫做平面的截距式方程 而 c 依次叫做平面在 轴上的截距 三 两平面的夹角两平面的夹角 : 两平面的法线向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 称为两平面的夹角 设平面 Π 和 Π 的法线向量分别为 n (A B C ) 和 n (A B C ) 那么平面 Π 和 Π 的夹角 θ ^ ^ ^ 应是 ( n n) 和 ( n n) π ( n n) 两者中的锐角 因此 cosθ cos( n n) 按两向量夹角余弦 ^ 5
26 的坐标表示式 平面 Π 和 Π 的夹角 θ 可由 ^ A A B B C C cosθ cos( n n) A C B C B A 来确定 从两向量垂直 平行的充分必要条件立即推得下列结论 : 平面 Π 和 Π 垂直相当于 A A B B C C ; A B C 平面 Π 和 Π 平行或重合相当于 A B C 例 5 求两平面 6 和 5 的夹角 解 n (A B C )( ) n (A B C )( ) cosθ A A A B BB CC C A B C ( ) ( ) 所以 所求夹角为 θ π 3 ) 例 6 一平面通过两点 M ( ) 和 M ( ) 且垂直于平面 求它的方程 解方法一 : 已知从点 M 到点 M 的向量为 n ( ) 平面 的法线向量为 n ( 设所求平面的法线向量为 n(a B C) 因为点 M ( ) 和 M ( ) 在所求平面上 所以 n n 即 AC AC 又因为所求平面垂直于平面 所以 n n 即 ABC BC 于是由点法式方程 所求平面为 C()C()C() 即 方法二 : 从点 M 到点 M 的向量为 n ( ) 平面 的法线向量为 n ( ) 设所求平面的法线向量 n 可取为 n n 因为 i j k n n n i j k 所以所求平面方程为 ()()() 即 例 7 设 P ( ) 是平面 ABCD 外一点 求 P 到这平面的距离 解设 e n 是平面上的单位法线向量 在平面上任取一点 P ( ) 则 P 到这平面的距离为 d PP en A( ) B( ) C( ) A B C 6
27 A B C( A B C) A B C A B C D A B C 提示 : e n ( A B C) A B C ( PP ) 例 8 求点 ( ) 到平面 的距离 解 A d A B C D B C ( ) 3 ) 3 ( 空间直线及其方程一 空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面 Π 和 Π 的交线 如果两个相交平面 Π 和 Π 的方程分别为 A B C D 和 A B C D 那么直线 L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组 A B C D () A B C D 反过来 如果点 M 不在直线 L 上 那么它不可能同时在平面 Π 和 Π 上 所以它的坐标不满足方程组 () 因此 直线 L 可以用方程组 () 来表示 方程组 () 叫做空间直线的一般方程 设直线 L 是平面 Π 与平面 Π 的交线 平面的方程分别为 A B C D 和 A B C D 那么点 M 在直线 L 上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组 A B C D A B C D 因此 直线 L 可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程 通过空间一直线 L 的平面有无限多个 只要在这无限多个平面中任意选取两个 把它们的方程联立起来 所得的方程组就表示空间直线 L 二 空间直线的对称式方程与参数方程方向向量 : 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件 : 当直线 L 上一点 M ( ) 和它的一方向向量 s (m n p) 为已知时 直线 L 的位置就完全确定了 直线方程的确定 : 已知直线 L 通过点 M ( ) 且直线的方向向量为 s (m n p) 求直线 7
28 8 L 的方程 设 M ( ) 在直线 L 上的任一点 那么 ( )//s 从而有 p n m 这就是直线 L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向式方程 注 : 当 m n p 中有一个为零 例如 m 而 n p 时 这方程组应理解为 p n ; 当 m n p 中有两个为零 例如 mn 而 p 时 这方程组应理解为 直线的任一方向向量 s 的坐标 m n p 叫做这直线的一组方向数 而向量 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程 设 t p n m 得方程组 pt nt mt 此方程组就是直线的参数方程 例 用对称式方程及参数方程表示直线 4 3 解先求直线上的一点 取 有 3 解此方程组 得 即 ( ) 就是直线上的一点 再求这直线的方向向量 s 以平面 和 34 的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s : s(ijk) (ij3k) 3 k j i 4ij3k 因此 所给直线的对称式方程为 3 4 令 t 3 4 得所给直线的参数方程为
29 4t t 3t 提示 : 当 时 有 此方程组的解为 3 i j k s ( i j k) (i j 3k) 4i j 3k 3 令 t 有 4t t 3t 4 3 三 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角 ( 通常指锐角 ) 叫做两直线的夹角 设直线 L 和 L 的方向向量分别为 s (m n p ) 和 s (m n p ) 那么 L 和 L 的夹角 ϕ 就是 ( ^ ^ ^ s s ) 和 ( s s) π ( s s) 两者中的锐角 因此 cosϕ cos( s s) 根据两向量的夹角的余弦 公式 直线 L 和 L 的夹角 ϕ 可由 ^ cosϕ cos( s s) ^ m m m n n p p n p m n p 来确定 从两向量垂直 平行的充分必要条件立即推得下列结论 : 设有两直线 L : m n L L m m n n p p ; m L // L m n p L : p m n p 9 n p 例 求直线 L : 3 和 L : 的夹角 4 解两直线的方向向量分别为 s ( 4 ) 和 s ( ) 设两直线的夹角为 ϕ 则 所以 ϕ π 4 四 直线与平面的夹角 则 ( 4) ( ) ( ) cosϕ ( 4) ( ) ( ) 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角 ϕ 称为直线与平面的夹角 当 直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为 π
30 设直线的方向向量 s(m n p) 平面的法线向量为 n(a B C) 直线与平面的夹角为 ϕ 那么 ϕ π ( s ^ n) 因此 sinϕ cos( s ^ n) 按两向量夹角余弦的坐标表示式 有 Am Bn Cp sinϕ A B C m n p 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 A B C m n p 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以 直线与平面平行或直线在平面上相当于 AmBnCp 设直线 L 的方向向量为 (m n p) 平面 Π 的法线向量为 (A B C) 则 L Π A B C ; m n p L/ / Π AmBnCp 例 3 求过点 ( 4) 且与平面 34 垂直的直线的方程 解平面的法线向量 ( 3 ) 可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为 4 3 五 杂例例 4 求与两平面 43 和 5 的交线平行且过点 (3 5) 的直线的方程 解平面 43 和 5 的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s i j k 因为 s ( i 4k) (i j 5k) 4 (4i 3j k) 5 所以所求直线的方程为 例 5 求直线 3 4 与平面 6 的交点 解所给直线的参数方程为 t 3t 4t 代入平面方程中 得 (t)(3t)(4t)6 解上列方程 得 t 将 t 代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 3
31 例 6 求过点 ( 3) 且与直线 垂直相交的直线的方程 3 解过点 ( 3) 与直线 垂直的平面为 3 3()()(3) 即 35 直线 与平面 35 的交点坐标为 ( 3 3 ) 以点 ( 3) 为起点 以点 ( 3 3 ) 为终点的向量为 ( 3 3 3) 6 ( 4) 所求直线的方程为 3 4 例 6 求过点 ( ) 且与直线 3 4 垂直相交的直线的方程 解过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为 ()()() 即 7 此平面与已知直线的交点为 ( ) 所求直线的方向向量为 s( )( )( ) 所求直线的方程为 即 提示 : 求平面 7 与直线 3 4 的交点 : 直线的参数方程为 t 3t 4t 代入平面方程得 (t)(3t)(4t)7 解得 t 代入直线的参数方程得 平面束 : 设直线 L 的一般方程为 A B C D A B C D 其中系数 A B C 与 A B C 不成比例 考虑三元一次方程 : A B C D λ(a B C D ) 即 (A λa )(B λb )(C λc )D λd 其中 λ 为任意常数 因为系数 A B C 与 A B C 不成比例 所以对于任何一个 λ 值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的 λ 值 所对应的平面也不同 而且这些平面 3
32 都通过直线 L 也就是说 这个方程表示通过直线 L 的一族平面 另一方面 任何通过直线 L 的平面也一定包含在上述通过 L 的平面族中 通过定直线的所有平面的全体称为平面束 方程 A B C D λ(a B C D ) 就是通过直线 L 的平面束方程 例 7 求直线 在平面 上的投影直线的方程 解设过直线 的平面束的方程为 ()λ() 即 (λ)(λ)(λ)(λ) 其中 λ 为待定的常数 这平面与平面 垂直的条件是 (λ) (λ) (λ) 即 λ 将 λ 代入平面束方程得投影平面的方程为 即 所以投影直线的方程为 3
33 33
34 34
没有幻灯片标题
3. 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 曲面的实例 : 水桶的表面 台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一 曲面方程的概念
第7章
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算 ( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
第一节 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何 教师 : 薛留堂 邮箱 : uelt@nu.edu.cn 办公室 : 后主楼 3 第一节 第八章 向量及其其线性运算 一 向量的概概念二 向量的线线性运算三 空间直角角坐标系四 利用坐标标作向量的线性运算五 向量的模模 方向角 投影 一 向量的概念 向量 : 既有大小, 又有方向向的量称为向量 ( 又称矢量 ). 表示法 : 有向线段 M M M, 或, 或. M 自由向量
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程
高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
(4 ) 垂直 故可取 即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程 所求平面方程为 确定平面的另一类条件是 不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面 设 平面 所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此 和 与平面的法向量 垂直 即可以取法向量
教案 平面和直线 教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象 是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型 由于曲线在局部可以用它的切线来近似 曲面在局部可以用它的切平面来近似 所以平面和直线也是几何和分析中 以直代曲 的最基本元素 因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要 而且是必须要掌握的数学工具 在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 平面和直线的代数表示 即它们的方程的形式如何?
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
T 分 6 分 分 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分 分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为 名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分 故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为
6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误,
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
标题
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第一章 基 本 知 识
第 节向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 第 节点的坐标与向量的坐标 6 空间直角坐标系 6 向量的坐标表示 8 3 向量的模 方向角 4 向量的投影 第 3 节向量的乘法运算 4 3 两向量的数量积 4 3 两向量的向量积 8 33 向量的混合积 第 4 节平面 4 4 平面的方程 5 4 点到平面的距离 8 43 两平面的位置关系 9 第 5 节空间直线 3 5 空间直线的方程 3 5
. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
2 A
1 2 A 3 AB 8 11 12 13 14 15 16 4 5 6 21 200 (l)20 (2)15 (3)10 7 8 9 10 11 11 12 14 15 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 18 203500 1500 500 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
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科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 应用微积分 ( 下册 ) 刘春凤主编 米翠兰彭亚绵副主编 刘琳琳袁书娟参编 北京 内容简介枟应用微积分枠面向接受高等教育的成人和大中专学生 内容主要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 选编了向量代数 空间解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书结构严谨 逻辑清晰 ; 约简理论推导 强调方法阐述
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
2013年3月国家教师资格统一考试
2016 年 导 游 资 格 考 试 导 游 基 础 模 拟 试 题 及 答 案 4 一 单 项 选 择 题 ( 请 选 择 一 个 正 确 答 案, 并 将 正 确 答 案 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 ) 1. 马 克 思 列 宁 主 义 同 中 国 实 际 相 结 合 的 第 二 次 历 史 性 飞 跃 的 理 论 成
过 程 排 除 A 正 确 答 案 是 B 14.A 解 析 本 题 考 查 思 修 第 八 章 中 国 人 权, 新 增 考 点 其 中 直 接 考 查 宪 法 保 障 是 人 权 保 障 的 前 提 和 基 础 A 人 权 保 障 的 最 后 防 线 是 司 法 保 障,B 人 权 保 障 的
2016 考 研 政 治 真 题 答 案 及 解 析 ( 完 整 版 ) 来 源 : 文 都 教 育 一 单 选 题 1.B 解 析 此 题 考 查 的 是 适 度 原 则 AC 选 项 表 述 正 确 但 与 题 目 无 关 D 表 述 错 误, 现 象 表 现 本 质 的 只 有 B 与 题 干 相 符, 所 以 答 案 为 B 2.A 解 析 前 一 句 话 " 自 由 不 在 于 幻 想 中
作者 : 闫浩 ( 年 月 段弧 标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 标 其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c
作者 : 闫浩 ( 年 月 微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周 一 第二型曲线 曲面积分 三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线 为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法 用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成 计算 d si si d BC cos d si d cos
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线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
2009年课标甲乙
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半
( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 884
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高一数学练习2004
北京市西城区 06 07 学年度第一学期期末试卷 高二数学 ( 文科 ) 07. 试卷满分 :50 分 考试时间 :0 分钟 题号一二 分数 三 5 6 7 8 9 0 本卷总分 一 选择题 : 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合要求的. x. 双曲线 y 的一个焦点坐标为 ( ) () ( 0) () (0 ) () ( 0) () (0
精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 7. 根 据 中 华 人 民 共 和 国 会 计 法 的 规 定, 对 登 记 会 计 账 簿 不 符 合 规 定 的 单 位 县 级 以 上 人 民 政 府 财 政 部 门 责 令 限 期 改 正, 并 可 以 处
北 京 市 会 计 从 业 资 格 无 纸 化 考 试 财 经 法 规 与 会 计 职 业 道 德 上 机 考 试 题 库 ( 五 ) 考 试 时 间 :60 分 钟 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 分, 每 小 题 1 分 每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 漏 选, 不 得 分 ) 1. 纳 税 人 生 产 规 模 较 小 产 品 零 星 税 源 分 散
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第 二 章 支 付 结 算 法 律 制 度 考 情 分 析 本 章 在 历 年 考 试 中 所 占 的 分 值 比 重 为 20 35 分 左 右 围 绕 支 付 结 算 展 开, 分 别 介 绍 了 现 金 管 理, 银 行 存 款 管 理, 以 及 各 种 支 付 结 算 工 具 本 章 重 点 为 第 四 节, 难 度 稍 高, 需 要 考 生 在 理 解 的 基 础 上 适 当 记 忆 第
北京第二中学分校初三上期中（20个新题）
如图 在 BC 中 DE BC E : EC : 3 DE 4 则 BC 等于 ( ) D E B C 0 B 8 C 9 D 6 答案 解析 E : EC : 3 E C 5 DE BC DE BC DE E BC C 5 4 即 BC 5 解得 BC 0 已知图中各有两个三 形 其边长和 的度数已在图上标注 ff808084a9e7804a380bdf3a3063 3 如图 在平 四边形 BCD
解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CB
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ;
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2017 12 2 24 1 2 17 2 000 20 2 500 2 400 25 100 3 80 2 17 A B 80 C D 2 2 17 25 000 3 1 2 000 5 5 800 5 30 800 2 17 A B C D 3 2 17 2 16 20 20 2 17 2 16 2 17 20 000 18 000 A B C D 4 2 17 500 800 350 120
习 题 12
.7 Lgrge. ( + = f, ) = f (,, ) = + + + = + + =, f (,, ) = + + A + B + C = 0, > > > 0 A + B + C = L (,, λ) = λ( + ) L = λ = 0 L = λ = 0 λ = ( + ) = 0, = =, + = 4, f m f(, ) = = 4 L (,,, λ) = + λ( + + )
(C) 比 得 上 (D) 如 果 17. ( ) 聖 賢 經 傳 和 傳 奇 小 說 兩 個 傳 字, 其 音 義 關 係 為 何? (A) 音 同 義 異 (B) 音 義 皆 同 (C) 義 同 音 異 (D) 音 義 皆 異 18. ( ) 下 列 選 項 中 的 形 似 字, 何 者 讀 音
國 中 國 文 B4:L7 考 試 卷 年 班 座 號 : 姓 名 : 一 國 字 及 注 音 1. 1 謹 ㄔˋ : 2 裝 ㄕˋ : 2. 1 ㄕㄨˊ 大 於 是 : 2 私 ㄕㄨˊ : 3. 歙 縣 : 4. 拘 泥 : 5. 不 宜 痴 : 6. 1 經 傳 : 2 傳 承 : 7. ㄏㄨㄟ 諧 : 8. 徽 州 : 9. 閒 ㄒㄧㄚˊ : 10. 康 ㄒㄧ : 11. 默 而 識 之 :
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
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0146) : 2 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 957-5.... G726. 9 CIP ( 2004) 069174 : 2 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2800 : 122 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153 -
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2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编 一 方法建议 学而思高考研究中心 武洪姣 曲丹老师 圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后 充分的练习题目 以及掌握在解决题目的必要技巧 方法 主要选择好的方法 二 题型分类 (I) 向量表达相关的问题 向量的数量积与角度问题 直接考查向量的数量积计算 分别是证明是定值 求范围 和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分
<453A5CB8F7B7D6C9E7D4F0B1E05CBFBCCAD4B7D6C9E75CD5D4C3F7CFBC5CCAE9C4BFCEC4BCFE5CB7A8C2C9B3F6B0E6C9E7CBBEB7A8BFBCCAD4B7FECEF1D7A8BFAF2E646F6378>
司 考 通 关 必 备 律 出 版 社 考 试 分 社 真 题 书 系 体 例 书 名 作 者 备 选 理 由 2014 年 国 家 司 考 试 试 题 司 部 国 家 司 考 试 中 官 方 唯 一 出 品, 命 题 专 家 权 威 解 析 心 之 作 2015 年 国 家 司 考 试 历 年 律 考 试 中 心 收 录 6+2 年 真 题 及 详 解, 附 赠 试 题 汇 编 及 详 解 ( 应
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2015 ( ) 1 A. B. C. D. B A ; C ; D 2 A. B. C. D. B C ; D 3 2014 2 5 7 1 100 1.4 2014 12 31 9 1 2015 2 20 8 ;3 20 11.6 1 2015 A.260 B.468 C.268 D.466.6 B = 8+(11.6-9)*100+ (9-7)*100=468 4. A. B. C. D. C
CIP 1500 / ISBN X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D CIP edu. cn
1500 CIP 1500 /. 2006. 8 ISBN 7 5625 2128X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D920. 5 44 CIP 2006 087648 1500 388 430074 027 87482760 027 87481537 E-mail cbb@cug. edu. cn 2006 8 1 2006 8 1 850 1 168 1 /32 8. 625 220 26. 00 1.
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
A.68 B.70 C.80 D.100 答 案 A 解 析 丁 产 品 的 可 变 现 净 值 =110-2=108( 万 元 ), 成 本 =100+40=140( 万 元 ), 可 变 现 净 值 低 于 成 本, 产 品 发 生 的 减 值, 所 以 丙 材 料 的 可 变 现 净 值 =1
2013 年 中 级 会 计 职 称 考 试 中 级 会 计 实 务 真 题 及 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 15 小 题, 每 小 题 1 分, 共 15 分 每 小 题 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 请 将 选 定 的 答 案, 按 答 题 卡 要 求, 用 2B 铅 笔 填 涂 答 题 卡 中 相 应 信 息 点 多 选 错 选 不 选 均
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0-0 高二上期考 命题上 若 >-, 则 >-6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中, 真命题有 个 个 个 D 4 个 已知 b 是实数, 则 >0 且 b>0 是 +b>0 且 b>0 的 ( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 D 不充分不必要条件 已知 = i j+ λk, b= i+ 4j 5k( i, j, k是两两垂直的单位向量 ), b - D -4 4 由程序框图运行后输出的
考试大2011年高考试题答案
持 续 更 新 中... 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 30 小 题, 每 小 题 1 分, 共 30 分 每 小 题 备 选 答 案 中, 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 多 选 错 选 不 选 均 不 得 分 ) 1. 甲 乙 签 订 的 买 卖 合 同 中 订 有 有 效 的 仲 裁 条 款, 后 因 合 同 履 行 发 生 的 纠 纷, 乙 未 声 明 有
Microsoft Word - 第5-7章
3 5 1 2 239 1. 1 2 3 2. 1 2 7 1 1 2 3 4 5 A. B. C. D. ABC 2012 240 A. B. C. D. D D 1 7 2 2012 3 10 2 000 100 1 21 000 000 21 000 000 2 21 000 000 21 000 000 2 7 3 A 2012 1 1 1 2012 12 31 600 3 000 4 000
学年北京市第七中学九年级上学期期中数学试题（含答案）
( 重题 :9) 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测试卷 九年级数学 015 年 11 试卷满分 :10 分考试时间 :10 分钟 选择题 ( 本题共 30 分 每 题 3 分 ) 下 各题均有四个选项 其中只有 个是符合题意的 1 抛物线 = ( x 1) + 的顶点坐标是 ( ) A (1 ) B (1 ) C ( 1 ) D ( 1 ) 解答 解: = ( x 1) + 的顶点坐标为
2013年国家司法考试模拟试卷与答案
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 2013 年 国 家 司 法 考 试 模 拟 试 卷 与 答 案 一 单 项 选 择 题 每 题 所 设 选 项 中 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 或 不 选 均 不 得 分 本 部 分 含 1 50 题, 每 题 1 分, 共 50 分 第 1 题 张 某 从 银 行 贷 得 80 万 元
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
8 A B C D 9 A B C D 10 ABC D 11 A B C D 12 AB C D 13 A B CD 14 A B C D 15 A B C D 16 A B C D A1 B2 C3 D5 18 ABC D 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ABC D 2 AB C D 3 ABC D 4 AB C D 5 300000 153.68 A3.2 B4.3 C0.4 D1.1 6 1000 1 8000 16000 50 10 A4900 B5000 C12900 D600 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 ABC D 11 A B C D 12 AB C D
Microsoft Word - 2015司考真?行政法勘?大表.doc
真 题 书 页 数 P220 P240 P241 P251 题 目 第 6 题 2015 司 考 真 题 行 政 法 与 行 政 诉 讼 法 勘 误 表 格 更 改 内 容 分 析 更 改 为 : 程 序 正 当 原 则 的 内 容 包 括 : 行 政 公 开 ; 公 众 参 与 和 公 务 回 避 选 项 A 中, 环 保 局 对 当 事 人 的 处 罚 听 证, 应 当 由 行 政 机 关 指
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第 第三轮复 复习之 一 一模精品 品集萃 模 模块一 数与式 式 一模精华 再求值 ( + 例 天河一模 先化简 再 + ) 的正 其中 是小于 是 正整数 4 式 = 解析 + 当 = 时 原式 术表演风靡全 全国 小明也 也学起了刘谦 谦发明了一个 个魔术盒 当 当任意实数 例 广外一模 刘谦的魔术 对 ( b) 进入 入其中时 会 会得到一个新 新的实数 + b 例如把 ( ) 放入其中 就会得到
一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.
实 信 用 的 原 则 " 其 中, 诚 实 信 用 原 则 是 指 民 事 主 体 进 行 民 事 活 动 时, 均 应 诚 实, 不 作 假, 不 欺 诈, 不 损 害 他 人 利 益 和 社 会 利 益, 正 当 地 行 使 权 利 和 履 行 义 务 甲 将 平 房 售 与 丙 而 未 告
2012 年 司 法 考 试 模 拟 试 题 及 习 题 详 细 解 析 一 单 项 选 择 题, 每 题 所 给 的 选 项 中 只 有 一 个 正 确 答 案 本 部 分 1-50 题, 每 题 1 分, 共 50 分 1 甲 有 平 房 一 间 某 日, 甲 得 知 乙 将 于 该 平 房 南 建 高 楼 一 栋, 一 旦 高 楼 建 成, 该 平 房 即 无 阳 光 可 见 次 日, 甲 将
同 时 承 销 的 国 际 债 券 是 ( ) A. 龙 债 券 B. 外 国 债 券 C. 欧 洲 债 券 D. 亚 洲 债 券 10. 在 没 有 优 先 股 的 条 件 下, 普 通 股 票 每 股 账 面 价 值 是 以 公 司 ( ) 除 以 发 行 在 外 的 普 通 股 票 的 股 数
2011 年 6 月 份 证 券 业 从 业 资 格 考 试 证 券 市 场 基 础 知 识 真 题 一 单 项 选 择 题 ( 本 大 题 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 以 下 各 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 最 符 合 题 目 要 求 ) 1. 以 下 关 于 公 司 财 务 状 况 分 析 的 说 法, 错 误 的 是 ( ) A.
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解析几何 陈抚良张振兰黄浩然编 北京 内容简介 本书针对中学新课标和大学面向 21 世纪教学改革的实际, 系统地介绍了空间直角坐标系及其相关概念 空间的平面和直线 常见的曲面与曲线 空间区域及作图 一般二次曲线方程的化简与作图 几何学发展及前沿概况等. 本书适合于师范类高校作为必修课的教材或参考书, 也可供高等院校理工类学生 大学自考生 中等学校数学教师 工程技术人员学习使用. 图书在版编目 (CIP)
《侵权法》综合练习题
侵 权 法 综 合 练 习 题 (2011 年 11 月 ) 艾 奇 一 单 项 选 择 题 1. 因 环 境 污 染 受 到 损 害 的 受 害 人, 要 求 排 污 单 位 赔 偿 损 失, 需 证 明 ( ) A. 排 污 致 自 己 的 损 害 和 排 污 单 位 的 过 错 B. 排 污 造 成 自 己 的 损 害 C. 排 污 单 位 的 过 错 D. 自 己 无 任 何 过 错 2.
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
2 2 Λ ϑ Δ Χ Δ Ι> 5 Λ Λ Χ Δ 5 Β. Δ Ι > Ε!!Χ ϑ : Χ Ε ϑ! ϑ Β Β Β ϑ Χ Β! Β Χ 5 ϑ Λ ϑ % < Μ / 4 Ν < 7 :. /. Ο 9 4 < / = Π 7 4 Η 7 4 =
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数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念 向量积的运算规律 向量积的坐标表示 两向量平行的充要条件 向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录 第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法
1.doc
南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 008-009 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建 www.fneprnt.n 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 :
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
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2014 年 注 册 会 计 师 专 业 阶 段 考 试 税 法 试 题 及 答 案 一 单 项 选 择 题 1. 税 法 基 本 原 则 的 核 心 原 则 是 () A. 税 收 法 定 原 则 B. 税 收 公 平 原 则 C. 税 收 效 率 原 则 D. 实 质 课 税 原 则 答 案 A 解 析 税 收 法 定 原 则 是 税 法 基 本 原 则 的 核 心 知 识 点 税 法 基 本
中医疗法（下）.doc
( 20 010010) 787 1092 1/32 498.50 4 980 2004 9 1 2004 9 1 1 1 000 ISBN 7-204-05940-9/R 019 1880.00 ( 20.00 ) ...1...2...3...4...13...15...17...17...24...25...26...26...28...28...29...31...31...33...33
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9 (A) (B) (C) (D) 1.(C) 2. (C) (C) 1. 2. (D) 17 () (A) (B) (C) (D) 1. C 2. C (D) 19 (A) (B) (C) (D) 1.D (D) 20 85 (A) (B) (C) (D) 1. ( ) A BD 2. 88 A 3.(1) (2) 20 (A) (B)(C)(D) A C 4.(1) P.20 (2) 20 C
2007 /,. :, 2006. 2 ISBN 7-89994 - 217-9. 2......... D0 2007 : : : : 2 : 100866 : http: / / www. wendu. com : 010-88422102 831, 832 : : : 850 1168 1 /
2007 /,. :, 2006. 2 ISBN 7-89994 - 217-9. 2......... D0 2007 : : : : 2 : 100866 : http: / / www. wendu. com : 010-88422102 831, 832 : : : 850 1168 1 /32 : 4. 875 : 2006 3 2 2006 3 2 : ISBN 7-89994 - 217-9
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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智 力 測 驗 題 型 分 析 一 智 力 測 驗 的 內 容 與 目 的 1. 精 細 的 觀 察 力 2. 敏 銳 的 辨 別 力 3. 迅 速 的 了 解 4. 敏 捷 的 反 應 5. 正 確 的 記 憶 6. 精 密 的 思 想 7. 妥 當 的 判 斷 8. 豐 富 的 想 像 9. 創 造 的 能 力 10. 推 理 的 能 力 11. 組 織 的 能 力 12. 分 析 的 能 力
a b a = a ϕ λ ϕ λ ρ δ ρ δ ϕ λ M' J' x' = = m MJ x M' K' y' = = n MK y x' x = m 2-1 y' y = n 2 2 x + y = 1 2-2 2 2 x' y' 2 + 2 = 1 m n µ = ds ' ds 2 2 2 2 m + n = a + b 2-3 mnsinθ = ab 2-4 2 2 2 (
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
第一章
第一章向量代数. 已知平行四边形 ABCD 的对角线为 AC = α, BD = β, 求 AB, BC,CD, DA. 设 AD,BE,CF 是 Δ ABC 的三条中线, 已知向量 AB = α,ac = β, 求 AD, BE,CF 3. 向量 α, β 必须满足什么几何性质, 以下各式才成立 : + = ; α + β = λ( α β) α β α β 3 α + β = α β ; 4 α
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
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= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
香 港 舞 蹈 總 會 北 京 舞 蹈 學 院
報 名 規 則 : I. 保 送 教 師 資 格 : 香 港 舞 蹈 總 會 主 辦 二 零 一 六 年 秋 季 趣 學 堂 幼 兒 舞 蹈 課 程 評 核 報 名 及 規 則 ( 請 於 報 名 前 詳 細 閱 讀 整 份 文 件 ) 學 生 必 須 由 認 可 教 師 保 送 參 加 評 核, 而 以 下 為 認 可 教 師 的 資 格 : i. 持 有 由 香 港 舞 蹈 總 會 頒 發 之
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2014 行 测 知 识 点 详 解 班 课 程 讲 义 www.b2cedu.com 言 语 理 解 和 表 达 4 第 一 课 言 语 理 解 与 表 达 概 述... 4 第 二 课 : 逻 辑 填 空 实 词 填 空... 6 第 三 课 : 逻 辑 填 空 成 语 填 空... 9 第 四 课 : 阅 读 理 解 -- 表 面 主 旨... 12 第 五 课 : 阅 读 理 解 -- 隐
2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
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電腦相關罪行跨部門工作小組-報告書
- ii - - iii - - iv - - v - - vi - - vii - - viii - (1) 2.1 (2) (3) 13.6 (4) 1.6 (5) 21 (6) (7) 210 (8) (9) (10) (11) ( ) ( 12) 20 60 16 (13) ( ) (
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