§３　行列式和向量积

Size: px

Start display at page:

Download "§３　行列式和向量积"

栽於
7 years ago
Views:

1 第七章空间解析几何在平面几何中通过平面的解析几何将数与形紧密地连接起来用代数的方法研究平面几何起到了非常良好的效果本章将用类比法用代数的方法研究立体几何为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念第一节空间直角坐标系在我们生活的三维空间中取一个平面将之分割为两部分在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里表示轴表示轴 O 表示轴的共同原点过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足作为新的数轴叫做轴并与轴拥有相同的长度单位这样我们就得到空间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴 : 轴轴轴这就形成了我们所谓的空间直角坐标系相同的原点 O 叫做空间直角坐标系的原点从立体几何可以知道轴与轴也唯一的决定了一个平面称为 o 平面同样轴与轴也唯一的决定了一个平面叫做 o 平面这三个平面都叫做坐标面这三个轴都叫做坐标轴如图 7- 显然三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦限其中含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限记为 I 其余按逆时针依次叫做第二卦限第三卦限第四卦限第一卦限的下方为第五卦限等等记为 IIIIIIVVVIVIIVIII 如图 7- 图 7- 另外我们注意到在直角坐标系的形成过程中我们实际上可以看到轴是由轴绕原点逆时针旋转而得到的而此时过原点 O 且垂直于 o 面的轴虽然仅有一条但是轴的正方向却有两种选择如图 7- 的选择称为右手系另外一种选择得到的坐标系叫做左

2 图 7- 手系不失一般性我们以后仅考虑右手系所以我们的空间中就多了直角坐标系确定了坐标系之后对于空间中的任意一点 M 作 o 面的垂线交 o 面于一点 M 则对应于 o 平面的坐标为这时 MM 的距离也是一定的若当从点 M 指向点 M 时与轴正方向相同则记为 MM 否则认为是负的记为 MM 所以任意一点 M 就有唯一的三个数反之任意给定三个数作为面 o 的点时根据的正负以上面的逆推可以唯一得到空间一点因此空间的点与有序数组建立了这样的一一对应关系称当分别为点 M 的横坐标纵坐标竖坐标常记 M 点为或 M 推论过点 M 分别垂直于轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也分别是推论坐标面上的 : o 面上点的坐标为上点的坐标为推论坐标轴上点的坐标分别是 : 轴上点的坐标是轴上点的坐标是 o 面上点的坐标为 o 面轴上点的坐标是图 7- 设空间中两个点 M 和 M 则两点 M M 的距离为事实上分别过 M M 点作三个坐标轴的垂直平面这些平面围成了一个以 M M 为对角线的长方体如图 7- 长方体的三个棱长分别是由长方体对角线的长度公式知 :

3 M M 这就是空间中两点的距离公式在实数轴上实数表示一个点在平面中两个数的数组表示一个点在三维空间中三个数的数组表示一个点一般的 n 个有序数组 n 表示 n 维空间的 n 点并用 R 表示 n 维空间特别地 R R 为实数轴 R 表示平面的二维空间 R 就是后面主要讨论的三维空间第二节向量及其应用我们知道三维空间 R 的点对应一个有序数组反之亦然从另外一个角度来看对任意一个这样的有序数组唯一地表示一个以原点为起点点为终点的有向线段反过来任意一个以原点为起点为终点的有向线段则可以唯一地对应一个有序数组所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应在力学等学科中常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量如力速度等等我们称既有大小又有方向的量叫做向量因此从原点到点所确定的有向线段是一个向量我们也把形如的有序数组称为 R 的向量为了与点的坐标相区别我们常把向量记为称为向量的坐标表示叫做向量的分量同时把空间 R 中某向量平移后所得到的有向线段认为是同一个向量我们称这种向量为自由向量我们仅仅研究自由向量空间中起点 A 到终点 B 的有向线段当然也可以看成是一个向量此向量经过平移后将点 A 置于原点易得此向量可表示为通常记为 AB 特别当 A 为原点时即 OB 这个向量叫做点 B 对于点 O 的向径常用 r 表示当已知一向量的起点和终点时一般用上方带有箭符的小写字母表示或用粗体字母表示如 b b 等向量的大小叫做向量的模长度向量 AB 的模记为 AB 模等于的向量叫做单位向量模等于零的向量叫做零向量记为或零向量的起点和终点重合它的方向可以看作是任意的两个非零向量 b 的方向相同或相反我们称这两个向量平行记为 // b 显然零向量平行于任何向量以 i j k 分别表示沿为轴正向的单位向量并称它们为坐标系的基本单位向量那么向量 AB 也可以表示 AB 上式称为向量 AB 按基本单位向量的分解式向量 AB 在轴上的分向量 i j k i j k 分别称为在中学学习物理学时我们已经学习了向量的加减法下面我们给出向量的基本代数运

4 算点 B 是由 OA OB 所决定的向量并且 AB = A 对应一个向量 OA 对应一个向量 OB 这时向量 AB 即因为 AB 的分量由 OB 的分量相应地减去 OA 的分量即得向量 OB 与向量 OA 的差向量也记为 AB =OB -OA 特别地原点 O 所对应的向量即为零向量那么对于两个向量的差 OB OB 记为 OB 称为向量 OB 的负向量显然 OB 所表示的向量与 OB 的关于原点对称再进一步地有 OA - OB = BA =OA - OB 所对应的向量与以 OA OB 为相邻边的平行四边形 OBCA 的对角线 OC 所确定的向量 OC 是同一个向量如图 7-4 图 7-4 于是 OA - OB 即为向量 OA 与 OB 的和向量从而有 OA +OB =OA -OB =OA --OB = 即两向量相加等于对应分量相加向量的加法满足交换律结合律即对于任意的向量 b 有 b b ; 对于任意的向量 b c 特别地设点 P 有 b c b c 那么 OP OP 相似地 OP OP OP 若记 OP OP OP 那么 OP 若记 OP OP OP OP 那么 OP 所以我们可以定义向量与数的乘积如下 : 定义 7 设 c 为任意实数 c OP 即是 c 分别乘以 OP 的每一个分量即 cop c c c 从而可以很容易证明 : c OA OB coa cob ; 对 c c 为实数有 : c OP c OP c OP ; c cc OP c c OP ; OP OP 4

5 若用 OP 表示有向线段 OP 的长度那么 OP = 离从而可得 OP c OP c 事实上即为点 P 到原点的距 cop OP { } cop { c c c} c c c c 显然成立 c OP 的几何意义如下 : 如 c 那么 c OP 是以原点 O 为起点点 C c c c 为终点的有向线段而此是由 OP 线段或 OP 延长线上将 OP 扩大 c 倍后得到的当 c 时 cop c OP =- c OP 显然是 c OP 的关于原点对称的向量当 c = 时 c OP 就是零向量如上所示对于两个向量 OA OB 具有同一起点 O 他们的关系有共线 ; 或者由 OA 和 OB 能唯一地确定一个平面在此平面上以 OA OB 为相邻的两边唯一地决定了一个平行四边形 OBCA 如图 7-5 图 7-5 作为线段如果 OA 垂直 OB 我们记为 OA OB 可以得到结论 : 定理 7 A 和 B 为两点则 OA OB 的充分必要条件是证明如果 OA OB 那么由 OA OB 为相邻的两边所确定的平行四边形为矩形所以对角线向量 OA OB BA 与 OA OB OC BA = BA OC 的长度是相同的即 BA OC 而 OC 展开之后再化简得到 : 反之很容易得到 OC BA 即平行四边形两对角线相等所以此平行四边形为矩形从而 OA OB 一般情况下设 OA OB 的夹角为有时也记为 < OA OB > 如过 B OA 作 OA 的垂线交 OA 于 D 点如图 7-6 那么 OD OB cos OD OB cos OA 5

6 OA 注意到 DB OB OD 即 OD cos 若令 c 由定理知故即 cos 则 DB 图 7-6 c c c OD c c c c c c c c c c c c cos OA OB cos c 为此为了方便起见定义 OA OB 为此对应分量乘积之和即 OA OB = 这种运算被称为两个向量 OA 与 OB 的数量积由此可得 : OA OB cos OA OB cos OA OB 所以有推论 :OA OB 的充分必要条件是 OA OB = 如果 OA 与 OB 的夹角为零时即 OA 平行于 OB OA OB 所以 OA OB 的充分必要条件是 OA OB OA OB 从数量积的定义可以看出它在物理上的应用一个物体在常力 F 的作用下沿直线从点 M 移动到点 M 则力 F 所做的功为 6

7 W F M M cos F M M M 表示位移另外数量积还有满足交换律分配律其中为 F 与直线的夹角 M 定理 7 若 b 为任意两个向量则 b b ; 若 b c 为任意三个向量则 b c c b c 对于任意的常数 b b b 证明只证明设 b b b b c c c c c c b c b c c c b c b c b c b c b c c b c b c b c c c b c 那么得证对于向量 b 它们的夹角为称 cos 为在 b 上的投影记为 Pr cos 对空间任意向量我们称与轴的夹角即为与 i j k 的夹角 ; 我们把向量在 i j k 上的投影称为在轴的投影我们记的投影为于是在坐标轴上的分向量是 i j k 即 = { } = i + j + k 那么例设向量解显然 i j 我们称求与三个坐标轴的夹角的余弦 cos cos cos k 记它们与向量的夹角分别是 i i ; j j ; k k 为的方向角时则向量的方向角 i j k b 都满足 : cos cos cos 并且 Pr Pr Pr 我们称 cos cos cos 为的方向余弦常用它们表示的方向即 cos cos cos 7

8 且方向相同我们记的单位向量为则 { } {coscos cos } 第三节二三阶行列式和向量积为了研究两向量的另外一种运算向量积先介绍一下二三阶行列式的定义定义 7 已知四个数用记号称为二阶行列式表示数当已知 9 个数时用列式表示这样一个数称为三阶行例求二阶行列式和三阶行列式解 = ; = 下面从物理中的一个例子来引入两个向量的向量积设 O 为一根杠杆的支点有一个力 F 作用于这个杠杆 L 上的点 P 处力 F 与 OP 的夹角为那么由力学知识我们知道支点 O 的力矩是一个向量 M 它的模为 M OP F sin 如图 7-7 8

9 图 7-7 而 M 的方向垂直于 OP 与 F 所决定的平面满足由 OP 到 F 的右手规则即当大拇指与另外四个手指垂直时这四个手指从 OP 以不超过的角转向 F 握拳时大拇指的指向即是 M 的方向见图 7-7 记为 M = OP F 要注意的是 :OP 与 F 交换后可能改变 M 的方向例 OP 与 F 均不为零向量 M 的指向是右手规则中从第一个向量转到第二个向量即由 OP 转到 F 而对于 F OP 而言此向量的方向是由 F 转到 OP 正好与 OP F 的方向相反不过两个模是相同的因此 OP F = - F OP 定义 7 设 b 为两个向量称向量 c 为与 b 向量积若 c 的模为 b 方向是右手规则中四指由转到 b 时的大拇指的指向记为 c = b 由定义可知 : 对于任意的向量 b c 有 b b ; 若 b 时 b = ; 设 c 为一个向量 +b c = c +b c ; 4 为数 b = b = b ; 5 i j k ; j k i k i = j ; 6 对 b b sin 有 i j k i j k ; b i i j j k k b i j i k j i = 为了帮助记忆当把 i j k 看作数时有 j k k i k j i j k i j j b = 9

10 A B 45 和 C 47 求三角形的面积解 : ABC 的面积 = AB AC sin = AB AC = 4 4i 6 j k = 4 例设下面介绍三向量 b c 的混合积及其几何意义 : 称数 d = b c 为此三个向量的混合积且有由向量积和数量积的定义可以知道 : d 图 7-8 b c b c cos b sin c cos 这里为 c 与 b 的夹角是与 b 的夹角从几何上来说 b c 是由 b c 做为相邻的三个棱的平行六面体的体积如图 7-8 第四节平面及其方程在立体几何中点直线平面均为几何元素而一平面是由不共线的三个点唯一确定的设一个平面过不共线的三个点 P P P 注意到立体几何中的定理 : 如果一直线垂直于一平面上的两条不同的相交直线则垂直于平面上任何一条直线这条直线我们称为此平面的法线与这条直线平行的向量我们称之为法向量显然 P 就是平面的法向量 P P P

11 一般情况下设 n A B C 是平面的法向量平面过一点 P 设点 Q 是平面上任意一点那么 n 一定垂直与 P Q 即 n Q 所以有即当记 D A B C 时有 P B C A 7- A B C 7- A B C D 7- 对空间中任意一点 Q 如果 n AQ 则 Q 一定在平面 P 上就是说以 n 为法向量的过 P 的平面方程是 A B C D 反过来已知一个形如 7- 的方程所有满足方程的点就形成了一个平面此平面经过点 P 法向量为 A B C 其中 A B C 称方程 7- 为过点 P 以 n 为法向量的平面的点法式方程称方程 7- 为平面的一般式方程例 4 求过三点 M 4 M 的平面方程 M 解法一 : 向量 M M { ;4; 6} M M { ;; } 那么 M 就是法平面的法向量故由 7- 得 M M M 49 即解法二 : 设其方程形如 7- 将 M M M 的坐标代入 7- 得到关于 A B C D 的方程组解出 A B C D 从而可以得到平面的方程 : 从 7- 和 7- 可知 7- 可化为 7- 而 7- 也可以化为 7- 例 5 将平面 5 化为点法式解取平面上的一点即有 5 与原方程相减即得 5 这就是平面的点法式方程从平面的一般方程 A B C D 可以得到如 D 则平面过原点 b 如 A 则平面的法向量为 BC 此法向量垂直与轴即平面平行于轴 c 如 A B 则法向量为 c 平行与轴所以此平面平行于 O 平面例 6 设平面与轴的交点依次为 P Q b R c bc 求此平面的方程解设此平面的方程为 A B C D 将 P 点的坐标代入得 A D 即

12 D A ; 同理可求得 D D B C b c 由条件可知 D 不能取将 A B C 代入原方程得 b c 这个方程叫做平面的截距式方程 b c 分别叫做平面在轴上的截距例 7 设两平面的方程为 : 求与的夹角 : A B C D : A B C D 解由立体几何可知与的夹角就是这两个平面的法向量 n n n A B } n A B } { C { C n cos cos n n n 所以 A A A B B B C A C C B C 的夹角特别若与平行则 cos 若与垂直有 cos 例如 : 6 : 5 两平面的夹角为则有 cos 从而例 8 设平面 : A B C D P 是空间中的一点求点 P 到平面的距离图 7-9 解 : P 到的距离就是过点 P 作的垂线的垂足 P 到 P 的距离 PP 在平面上任取一

13 点 P 即有 D C B A 那么 PP 到 n 上的投影的绝对值就是 PP 如图 7-9 即 cos Pr C B A D C B A C B A C B A PP n C B A PP PP n PP PP PP n 例如当平面的方程为 P 时点 P 到平面的距离为 d 第五节直线及其方程我们知道 : 两个不平行的平面相交的部分就是直线两个不平行的平面唯一地决定了一条直线换句话说直线上的点的坐标必须同时满足这两个平面的方程即 : D C B A D C B A 7-4 当两向量 C B A 与 C B A 不平行时满足 7-4 的所有点的集合就是一条直线反过来任意一条直线都可以看成是两个平面的交线因此 7-4 就称为空间直线的方程严格来说是一般形式下的方程从几何公理中我们还知道过两个不同的点能作也只能作一条直线设直线 L 过两点 P 和点 P 对于直线 L 上的任意一点 P 则必有 P P P P 即对确定的 P 就有实数 t 使得 } { } { t 7-5 或 7-6 令 l n m 则分别化为 tl tn tm R t 7-7 或

14 显然 n l m m n 7-8 l 我们注意到向量 P P 就是直线所平行的方向所以我们已知直线经过一点 P 平行于一个方向 n m n l 也称此非零向量为已知直线的方向向量则我们同样可以得到 7-7 或 7-8 也是此直线的方程 7-7 称为直线的参数式方程 7-8 称为直线的对称式方程 7-7 和 7-8 是可以互相转化的从 7-8 可以看出它也是两个平面所决定的如果 7-8 中 m n l 有一个取则可以考虑用 7-7 式例如 m nl 则两个平面 tn 为和即和如 n l 则两个平面为 tl n l 事实上这直线平行于 m 即平行于轴 7-7 式称为直线的参数方程它可由对称式方程中取比值为 t 而得到对称式方程是直线的一般式方程的特殊情况即用垂直于坐标面的平面的交线来决定直线例 9 用对称式方程和参数方程表示直线 : 解一 : 在直线 7-9 中取两点 P Q 这时 m n l 故对称式为 4 4 即 4 从而参数方程为 4t t t 解二 : 直线在两个平面上故为垂直于两个平面的法线所以此线一定平行于两个平面法向量的向量积可以以向量积代表直线的方向 : 4 由解一知此直线过点所以对称式方程为 4 类似地可以得到此直线的参数方程例设直线 L 的方向向量 s { m n l} 直线 L 的方向向量 s { m n l} 求两直线的夹角 4

15 则有如 l 即解 : 由立体几何知道两直线的夹角锐角就是它们方向向量的夹角若记其夹角为 : 4 s s mm nn ll cos ; s s m n l m n l 和 l : 那么夹角满足 4 cos 4 4 另外可以得到两直线 L 与 L 垂直的充分必要条件为 : mm nn ll = 平面 : A B C D 求直线 L 和平面的夹角解 : 我们知道在立体几何中线与面的夹角是直线与其在平面的垂直投影线的夹角如例设直线 L 的方向为 s m n l 设此角为则此直线与的法向向量夹角为令平面法向量为 n { A B C} 两方向 n s 夹角满足 : cos 即 n s Am Bn Cl sin A B C m n l 由此可知直线与平面平行的充分必要条件为 : Am Bn Cl 直线 L 和平面垂直即 L 平行于的法向量的充分必要条件为直线的方向向量与的法向量平行例过一点 P-4 作垂直于平面 : 4 的直线解 : 由于此直线垂直于即直线方向向量可取的法线向量 {-} 由点法式知此直线为 4 本节的最后来考虑如下问题 : 已知两不平行平面所决定的直线为 A B C D 7- A B C D 那么对任何直线上的点对任何数 pq 都有 P A B C D q A B C D 7- 进行整理得 : pa qa pb qb pc qc pd qd 这是一平面的方程显然过直线 7- 就是说 7- 是过直线 7- 的平面随着 p q 的变化就得到过直线 7- 的所有平面称为平面束方程 5

16 例求过直线和点的平面方程解 : 过直线的平面为 p q 将点代入得 p q 即 p q 于是得到平面的方程为 q q 由于 q 是任意的故所求的平面的方程是 4 4 第六节二次曲面及一般曲面前面我们研究了直线和平面除了平面之外还有更一般的曲面如圆柱面球面等等注意到一个平面它的点是满足一个特定的三元一次方程 : A B C D 的反之满足方程的点都在平面上一般情况下设曲面 S 与三元方程 F 如果有如下关系 : 曲面 S 上的点的坐标都满足方程 ; b 不在曲面上的点的坐标都不满足方程这时方程 F 就叫做曲面 S 的方程 S 叫做方程的曲面例 4 建立球心在点 M 半径为 R 的球面方程解 : 设 M M R M 所以是球面上的任意一点那么由球面的定义知道 M M R 即 R 显然不在球面上的点不满足方程球面上的点一定满足方程所以上面的方程是球面方程对于一般的曲面方程 F 所确定的曲面常用平行于坐标面的平面相截考察其交线的形状然后加以综合从而了解曲面的全貌这种方法叫做截痕法例 5 研究方程 b c b c 所决定的曲面它称为椭球面解首先所以 b c 故此曲面在 b c b c 所围成的六面体的内部且过 b c 当用平面 h h c去截时其截线为 6

17 h b c h 即 h h b c c h 它是平面 h上的一个椭圆它的长短轴随着 h 的增大而减少时为最大 c 时为一点所以它的图形应该是象鸡蛋一样的如图 7- 图 7- 例 7 考察方程所表示的曲面 p q 当 p q 时即曲面在 O 平面的上方时即最低点为当用 h相截后得到曲线 : ph qh h 显然也是平面 h 上的椭圆其长短轴随着 h 的增大而无限地增大当用 h 或 h 去截时得到 h p q h 是 h 平面上的抛物线同理可得可用 h 去截从而知道其形状是形如锅一样如图 7- 同理 p q 时也有同样的图形只是在 o 平面的下方当 pq 时方程所决定的曲面称为椭圆抛物面 p q 当 p q h 时方程为 7

18 p h qh 当 h 时是双曲线当 h 时也是双曲线这样的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面如图 7- 同样可以讨论 p q 时的情形图 7- 图 7- 例 8 研究方程 : b c 所表示的曲面同样用截痕法 : 当 h 时方程化为 : h c b 8

19 即 h h b c c 这条曲线显然是椭圆并且随着 h 的增大其长短轴增大并且 =h 和 =-h 时同样大的椭圆此曲面的图形如图 7- 称此曲面为单叶双曲面图 7- 图 7-4 类似前面的做法讨论方程 b c 所确定的曲面当 =h 时即得 h h b c c 这是一条双曲线其实虚轴随着 h 的增大而增大当 = 时为最小如图 7-4 这个曲面叫做双叶双曲面例 9 设已知在 o 平面的坐标面上的一曲线 C: f 到的曲面方程解 : 任取曲面上一点 M 求此曲线绕轴旋转一周所得可设它是由曲线 C 上的一点 M 绕轴旋转所得则有 : 而 f 所以 9

20 f 即轴旋转时不变另一个变量由余下的两个变量的平方和的平方根含号来代替类似对 f 绕轴旋转得到的曲面为 f 这些曲面叫做旋转曲面如图 7-5 图 7-5 例如对 O 坐标系上的双曲线绕轴旋转后的曲面方程为 : c c 绕轴旋转后得到的曲面方程 c 这些曲面都叫做旋转曲面例直线 L 绕另一条与 L 相交的直线 l 旋转一周所得旋转曲面叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的顶点两直线的夹角叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点旋转轴为轴半顶角为的圆锥面方程方程为解如图 7-6 建立坐标系 o 面上直线 L 的 cot 绕轴旋转一周所得圆锥面方程为 : 即 k cot 其中 k cot 图 7-6

21 例研究方程 f 所表示的曲面解 : 在这个方程中用任何 =h 去截都得到曲线 f 这就是说该曲面是 O 平面的曲线 C : f 沿轴方向平行移动所得到的这样的曲面叫做柱面 f 叫做柱面的准线过 C 的平行于轴的直线叫做它的母线类似只含而缺的方程 g 在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面其准线为 o 面上曲线 g 只含而缺的方程 h 在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面其准线为 o 面上曲线 h 例如 c 表示的柱面叫做抛物柱面表示的柱面叫做双曲柱面等等 b c 表示的柱面叫做椭圆柱面空间中的曲面除了用三元方程 F 表示外还可以用含两个参数的参数方程来描述如设 u v 为参数则曲面的方程为 : 为 : u v u v u v 上面的方程称为曲面的参数方程例如以 R 为半径以原点为球心的球面参数方程可以写为 : 若 Rsin cos Rsin sin Rcos F 和 G 为两个曲面方程则称其公共部分为曲线一般记 F G 例方程组表示怎样的曲线? 解表示圆柱面 6 表示平面交线 6 6 为椭圆

22 一般情况下对于空间的曲线 C F F 当从中消去后得到一个空间的曲线 C 上点都满足的方程 H 该方程表示一个母线平行于轴的柱面且由于该柱面包含 C 所以该柱面可以看成是准线为 C 母线平行于轴的柱面我们称其为 C 关于 o 面的投影柱面投影柱面与 o 面的交线称为 C 在 o 面上的投影曲线简称投影同样可以将此曲线垂直投影到另外的两个坐标面上如 O 上的投影柱面 L 这时投影曲线可以由下面方程组决定 L 例 4 求曲线在坐标面上的投影解消去变量后得 4 在 o 面上的投影为 : 4 因为曲线在平面上所以在 o 面上的投影为线段 ; 同理在 o 面上的投影也为线段空间的曲线除了用两个曲面来确定之外还可以用参数方程来描述如设 t 为参数则曲线为

23 上面的方程称为曲线的参数方程 t t t H 事实上对一般的曲线方程当适当令 t L t t t 为参数例 5 求球面 R 与平面 h 的交线的参数方程解令 R h cost 得到 R h sin t h R R h h h cost sin t 以后可以从中解出故参数方程为

没有幻灯片标题

没有幻灯片标题 3. 曲面及其方程一曲面方程的概念曲面的实例 : 水桶的表面台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一曲面方程的概念

§３ 行列式和向量积

§３　行列式和向量积