线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
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- 怡椿 邵
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1 第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 学年第二学期
2 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复数及其上面的运 算 ; 群 环 域 模等代数结构 什么是几何学? F Klein: 群作用下的不变量 例如 : 点 线 面 空间等 ; 距离 面积 体积 夹角等 ; 共线 共面 相似等
3 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 解析几何 解析几何 : 形与数的结合, 其核心思想 : 用代数的方法去研 究几何问题 创立者 : 笛卡尔 ( 哲学家, 数学家, 物理学家 ) 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 逻辑推理 符号运算 计算机运算 ( 几何定理的机械化证明, 吴文俊等 ) 几何问题代数化 : 坐标法或向量法, 图形方程化
4 111 向量及其表示 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 定义 11 既有大小又有方向的量称为向量 例如 : 力, 加速度等, 记为 示, 板书时常用 a ) AB 或 a( 即黑体的小写字母表 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 向量相等 :a = b 向量的长度 : a, 向量的模 零向量与负向量 :0,-a 单位向量 : 模为 1 的向量 向量的夹角, 平行与垂直 ( 正交 ):a// b,a b 规定 : 零向量与任何向量都平行且正交
5 112 向量的线性运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 平行四边形法则 ( 或三角形法则 ) a + c = c, OA + OB = OA + AC = OC λa,λ OA 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 向量不是数, 但可以像数那样运算! 17 复数 18 数域 19 求和符号 基本运算 : 加法 + 数乘 高级运算 : 数量积, 向量积, 混合积
6 112 向量的线性运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 加法运算规律 :( 交换律, 结合律, 单位元, 逆元 ) a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c a + 0 = a a + ( a) = 0
7 112 向量的线性运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 数乘运算规律 :( 两条分配律, 结合律, 单位元 ) λ(a + b) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa λ(µa) = (λµ)a 1a = a
8 112 向量的线性运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 单位向量 :a 0 = a a 线性运算 : 加法 + 数乘 线性空间或向量空间 集合 + 加法 + 数乘 + 八条运算规律 18 数域 19 求和符号 线性代数的核心之一 : 把二维或三维向量空间推广至 n 维抽 象的向量空间!
9 113 向量的共线与共面 几何命题代数化 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 共线 : 一组向量称为共线的 都平行于某条直线 共面 : 一组向量称为共面的 都平行于某个平面 命题 11 向量 a, b 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数 λ, µ, 使得 λa + µb = 0 优点 : 形式对称
10 113 向量的共线与共面 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 命题 12 向量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全为零的实数 λ, µ, ν, 使得 λa + µb + νc = 0 线性组合 给定一组向量 a 1, a 2,, a n 及一组数 λ 1, λ 2,, λ n, 称 a = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n, 为向量 a 1, a 2,, a n 的线性组合
11 113 向量的共线与共面 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 线性相关与线性无关 一组向量 a 1, a 2,, a n 称为线性相关, 如果存在一组不全为 零的数 λ 1, λ 2,, λ n, 使得 a = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 反之, 不是线性相关的一组向量称为线性无关 也就是说, 如果上式成立, 当且仅当 λ 1 = λ 2 = = λ n = 0
12 121 仿射坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 向量运算 坐标运算 ( 通常更方便 ) 定理 13 设 e 1, e 2, e 3 为空间中三个不共面的向量, 则对每个向量 a 都存在唯一的三元有序实数组 (x 1, x 2, x 3 ), 使得 18 数域 19 求和符号 a = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3
13 121 仿射坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 定义 12 空间中任意三个有序的不共面的向量 e 1, e 2, e 3 称为空间的一 组基 对于向量 a, 若 坐标 a = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, 则称 (x 1, x 2, x 3 ) 为向量 a 在基 e 1, e 2, e 3 下的仿射坐标或简称
14 121 仿射坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 定义 13 空间中任意一点 O 和一组基 e 1, e 2, e 3 合在一起称为空间的 一个仿射坐标系, 记为 [O ; e 1, e 2, e 3 ] 点 O 称为坐标原点, e 1, e 2, e 3 称为坐标向量 e 1, e 2, e 3 所在直线分别称为 x 轴,y 轴和 z 轴, 统称为坐标轴 三个坐标轴的任意两个决定了一 个平面, 称为坐标面, 分别记为 Oxy, Oyz, Ozx 18 数域 19 求和符号 八个卦限 位置关系 : 左手仿射坐标系 ; 右手仿射坐标系
15 121 仿射坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 虽然空间中的点和向量都可以用坐标表示, 但在仿射空间中, 点与向量是不同的! 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 点 + 向量 = 点 点 - 点 = 向量 点 + 点 =?( 无意义!)
16 122 直角坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 空间直角坐标系 : 要求三个坐标向量为两两垂直的单位向量, 用 i, j, k 表示, 相应的坐标轴为 x 轴,y 轴,z 轴 向量长度 : a = OP = OR 2 + RQ 2 + QP 2 = a a2 2 + a 数域 19 求和符号 ( 思考 : 若为一般的仿射坐标系, 如何计算?)
17 122 直角坐标系 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 空间中任意两点 A(x 1, x 2, x 3 ), B(y 1, y 2, y 3 ) 之间的距离 : AB = AB = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 方向余弦 :cos α, cos β, cos γ, 满足 17 复数 18 数域 19 求和符号 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
18 123 向量的坐标运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) 加法 : c = a + b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) + (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = (a 1 + b 1 )e 1 + (a 2 + b 2 )e 2 + (a 3 + b 3 )e 3 数乘 : d = λa = λ(a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) = (λa 1 )e 1 + (λa 2 )e 2 + (λa 3 )e 3
19 131 数量积的定义与性质 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 定义 14 两个向量 a 与 b 的数量积为一个实数, 它等于两个向量的模 长与两向量夹角的余弦的乘积, 记为 a b 如果向量 a, b 的 夹角为 θ, 则 数量积也常称为内积 a b = a b cos θ 18 数域 19 求和符号 向量 a 与 b 的内积 a b = 0 两个向量是正交的 ( 垂直 ) 常用于证明垂直
20 131 数量积的定义与性质 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 命题 14 对向量 a, b, c 及实数 λ, 我们有 a b = b a, (a + b) c = a c + b c (λa) b = λ(a b) = a (λb)), (a) 2 = a a 0, 等号成立当且仅当 a = 0 19 求和符号 (a ± b) 2 = (a ± b) (a ± b) = a 2 ± 2b + b 2 思考 : 几何含义?
21 132 直角坐标系下数量积的计算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 取空间直角坐标系 [O; i, j, k] a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ( 思考 : 若为一般的仿射坐标系, 如何计算?) 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 a a = a a2 2 + a2 3 a = a a2 2 + a 求和符号 cos θ = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a2 2 + a2 3 b b b 2 3
22 141 向量积的定义与性质 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 定义 15 两个向量 a, b 的向量积 a b 为一个向量, 它的方向与 a, b 都垂直, 且使 a, b, a b 构成右手系 ; 它的模等于以 a, b 为 边的平行四边形的面积, 即 a b = a b sin θ, 其中 θ 为 a, b 间的夹角 向量积也常称为外积 例如 : 力矩, 电磁场的旋量等 18 数域 19 求和符号 方向的选取 : 左手系或右手系 常用于证明平行
23 141 向量积的定义与性质 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 向量积运算性质 命题 15 设 a, b, c 为三个向量,λ 为实数, 则有 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 a b = b a, (λa) b = λ(a b) = a (λb), (a + b) c = a c + b c
24 142 角坐标系下向量积的计算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 取空间直角坐标系 [O ; i, j, k, 其中 i, j, k 为两两垂直的单位向量且满足右手法则 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i + (a 3 b 1 a 1 b 3 )j + (a 1 b 2 a 2 b 1 )k 是否有更简洁的记号? 行列式
25 142 直角坐标系下向量积的计算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 二阶行列式 a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1b 2 a 2 b 1 三阶行列式 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 b 2 b 3 = a 1 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a b 1 b 3 3 c 1 c 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1
26 142 直角坐标系下向量积的计算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 利用行列式的语言 a 2 a 3 a b = b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k i j k = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ( 思考 : 若为一般的仿射坐标系, 如何计算?)
27 151 混合积的定义 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 定义 16 给定三个向量 a, b, c, 称 (a b) c 为 a, b, c 的混合积, 它是 一个数量 几何含义 : 以 a, b, c 为棱的平行六面体的有向体积 正 负的含义 : 左手系或右手系 轮换对称性 :(a b) c = (b c) a = (c a) b 常用于证明共面
28 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 152 直角坐标系下混合积的计 算 利用行列式的语言 a 1 a 2 a 3 (a b) c = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ( 思考 : 若为一般的仿射坐标系, 如何计算?) 命题 16 三个向量 a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ) 共面 当且仅当 (a b) c = 0
29 153 二重向量积 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 定义 17 给定三个向量 a, b, c, 称 (a b) c 为这三个向量的二重外 积 命题 17 对任意向量 a, b, c, 有 19 求和符号 (a b) c = (a c)b (b c)a
30 16 高维数组向量 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 定义 18 一个 n 维数组向量 a 是一个有序的 n 元数组 a = (a 1, a 2,, a n ), 其中 a i F, i = 1, 2,, n 称为向量 a 的第 i 个分量 这里 F 表示实数集 复数集或其他数域 行向量 :n 维数组写成行的形式, 如 a = (a 1, a 2,, a n ) a 2 列向量 :n 维数组写成列的形式, 如 a = a 1 a n
31 16 高维数组向量 向量 a = (a 1, a 2,, a n ), b = (b 1, b 2,, b n ), λ F 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 向量相等 当它们对应的分量分别相等, 即 a i = b i, i = 1, 2, n 加法运算 :a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) 数乘运算 :λa = (λa 1, λa 2,, λa n ) 零向量, 负向量, 八条运算规律 n 维数组向量构成数域 F 上的线性空间!
32 16 高维数组向量 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 基本概念 : 线性组合 线性相关 线性无关 维数 基本向量 : 第 i 个分量为 1, 其余分量为 0, 即 i e i = (0,, 1,, 0), i = 1, 2,, n 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 n 个基本向量 e 1, e 2,, e n 构成 n 维数组空间的一组基任何一个 n 维数组向量都可以唯一的表示为基本向量的线性组合, 即 a = a 1 e 1 + a 2 e a n e n
33 17 复数 复数起源于求解三次方程的根 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 虚数单位 i = 1 i 2 = 1 欧拉 (e ix = cos x + i sin x) 高斯 ( 复数的几何解释 ) 代数基本定理 任何一个一元复系数方程式都至少有一个复数根, 即复数域 是代数封闭的 推论 : 任何一个非零的一元 n 次复系数多项式有且仅有 n 个 复数根 ( 计根的重数 )
34 171 复数的四则运算 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 复数 z = x + iy, x, y R x, y 分别称为复数 z 的实部与虚部, 记作 Rez 和 Imz z 1 = x 1 + i y 1,z 2 = x 2 + i y 2,λ R 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 加法运算 :z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 数乘运算 :λz 1 = λx 1 + i λy 1 乘法运算 :z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 除法运算 : z 1 = (x 1x 2 + y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 x 2 y 1 ) z 2 x 2 1 +, z 2 0 y2 1
35 172 复数的几何表示 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 定义 19 在平面中取一个直角坐标系 Oxy, 我们用坐标为 (x, y) 的点 P 表示复数 z = x + i y 这样, 复数就与平面中的点一一对 应 x 轴与实数对应, 也称为实轴 ;y 轴与纯虚数对应, 也称 为虚轴 与复数建立了这种对应关系的平面称为复平面 17 复数 18 数域 19 求和符号 复数的模 : z = r = x 2 + y 2 三角不等式 : z 1 + z 2 z 1 + z 2
36 172 复数的几何表示 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 定义 110 复数 z 所对应的向量 幅角, 记作 arg z OP 与 x 轴正向的夹角 θ 称为复数 z 的 复数 z 的幅角不并唯一, 它们彼此相差 2π 的整数倍 在实 际中, 我们一般规定 0 arg z < 2π, 称之为幅角的主值 复数 x i y 称为复数 z = x + i y 的共轭复数, 记为 z z 2 = z z, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 利用共轭复数有 : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 = z 1 z 2 z 2 2
37 172 复数的几何表示 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 复数的三角表示 : z = x + i y = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ) z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ),z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 利用欧拉公式 z 1 z 2 = r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i (θ 1+θ 2 ) 恒等式 :e i 2π = 1
38 18 数域 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 常用的数集 :N Z Q R C ( 思考 : 是否有更大的数域?) 运算 : 二元函数或一元函数封闭 : 设 F 为一个数集, 在 F 中任取两数作某种运算, 如果其结果仍在 F 中, 则称数集 F 对这种运算是封闭的
39 18 数域 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 定义 111 设数集 F 至少包含两个不同的元素, 称 F 为数域, 如果 F 对数的加减乘除运算是封闭的, 即当 a, b F 时, a ± b, ab, a (b 0) F b 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 一个数域必含有 0, 1 两个元素 容易验证 :C, R, Q 是数域,Z, N 不是数域
40 19 求和符号 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 求和符号 n 设 a 1, a 2, a n 为 n 个数, 通常我们用 a i 表示和式 i=1 a 1 + a a n 其中为求和符号,i 为求和指标, 的上下标表示求和指标 i 的取值范围 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 ( 在数学 物理 化学 生物等学科中, 书写符号也是非常 重要的, 可以简化描述, 帮助我们思考!) 注意 : 求和指标是可以替换的, 不影响求和符号的值, 与积 分变量类似
41 19 求和符号 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 求和符号性质 : n n n (a i + b i ) = a i + b i, i=1 n λa i = λ i=1 i=1 i=1 i=1 n a i ( 其中 λ 为常数 ) 若视求和符号为作用于 n 数组向量空间上的映射, 则求和符号是线性映射
42 19 求和符号 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 多重求和 : 从内向外对每个求和符号逐次求和, 例如 : m n m a ij = (a 1j + a 2j + + a nj ) j=1 i=1 = j=1 m a 1j + m m a 2j + + a nj j=1 j=1 j=1 m n n 容易看出 : a ij = m j=1 i=1 i=1 j=1 性质 : 在多重求和时, 可以交换求和符号的次序 a ij 思考 : 与积分符号有什么相似与不同之处?
43 19 求和符号 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 条件求和 : 不是对所有的项求和, 而只是对满足一定条件的项求和, 例如 : a ij = a 11 + (a 12 + a 22 ) + (a 13 + a 23 + a 33 ) 1 i j n + + (a 1n + a 2n + + a nn ) n j n n = a ij = j=1 i=1 i=1 j=i 注意 : 带变量范围的求和不可轻易交换求和指标! a ij
44 19 求和符号 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 一般求和 : 设 Λ 为一个有限集,Λ 中每个元素 λ 对应了一 个数 a λ, 我们将所有 a λ (λ Λ) 的和记为 a λ λ Λ 乘积符号 : 设 a 1, a 2,, a n 为一列数, 我们用积 a 1, a 2, a n n a i 表示乘 i=1 乘积符号的上下标的含义等与求和符号完全一样
45 第一章向量与 复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 Thanks for your attention! 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
1.1－复数打印版
第一章复数与复变函数 本章首先引入复数的概念及其运算, 讨论几何 三角函数等其他表示方式 然后介绍平面点集的概念, 以此为基础讨论复变函数的连续性 第一节复数域及各种表示 一 复数的定义 二 复数的代数结构三 共轭复数 四 复数的有序实数对表示 五 复数的几何表示六 复数的三角表示 七 复球面及无穷大 一 复数的定义. 虚数单位实例 : 方程 x = 在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数称为虚数单位.,
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
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南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 008-009 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建 www.fneprnt.n 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 :
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
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.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
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数域定义 第一章多项式一 内容提要 1.1 数域 设 F 是由一些复数组成的集合, 其中包括 和 1. 如果 F 中任意两数 ( 这两个数可以相同 ) 的和 差 积 商 ( 除数不为零 ) 仍然是 F 中的数, 那么 F 就称为一个数域. 1. 一元多项式定义设 是一非负整数. 形式表达式 其中 1 1.2 一元多项式 1 ax + a 1x + + a L, a, a, L, a 属于数域 F,
习 题 12
.7 Lgrge. ( + = f, ) = f (,, ) = + + + = + + =, f (,, ) = + + A + B + C = 0, > > > 0 A + B + C = L (,, λ) = λ( + ) L = λ = 0 L = λ = 0 λ = ( + ) = 0, = =, + = 4, f m f(, ) = = 4 L (,,, λ) = + λ( + + )
学习指导（四）：欧氏空间
一 内容提要 第五章向量空间 本章首先从 R 中向量的线性关系出发 建立起线性空间的初步概念 ; 然后定义若干基本度量 建立起度量空间的初步概念 从而构成初步的欧氏空间 本章的讨论仅限于 R 及其子集 所有概念均是狭义的 初步的 一个较为一般的定义可参见文献上一章我们讨论过向量组的结构 : 极大无关组 秩 线性表示等等 但一般的向量组不一定是完备的 即本组内的向量经过线性运算后未必还在这个向量组内
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Microsoft PowerPoint - DiffGeom3.1 [兼容模式]
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微分几何 课程电子课件 教师 : 刘培海 Tel: 13816926110 Email: liu@ecust.edu.cn Key:geometry 华东理工大学 微分几何 电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn 1/ 30 第三章 外微分形式和活动标架 外微分形式 活动标架 用活动标架法研究曲面 华东理工大学 微分几何 电子课件 ( 3.1 外微分形式 ) qmyang@ecust.edu.cn
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
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解析几何 陈抚良张振兰黄浩然编 北京 内容简介 本书针对中学新课标和大学面向 21 世纪教学改革的实际, 系统地介绍了空间直角坐标系及其相关概念 空间的平面和直线 常见的曲面与曲线 空间区域及作图 一般二次曲线方程的化简与作图 几何学发展及前沿概况等. 本书适合于师范类高校作为必修课的教材或参考书, 也可供高等院校理工类学生 大学自考生 中等学校数学教师 工程技术人员学习使用. 图书在版编目 (CIP)
高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
(p.29). (a) F Qq r 2 ()() N (b) Q 2 r 2 F ( 2 )() Q 0 5 C 2. (a) F (b) F 3. 7 (p.42). (a) T (b) F (c) T 2. (a) A (b) (c) 4. (a) 4 (b) (
20 (p.7). (a) T (b) T (c) T (d) F 2. B 3. 3 (p.4). D 2. C D A B D B D B D 3. (a) F (b) F (c) T 4. 2 (p.0) 4 (p.23). (a) B (b) A P 2. (a) F (b) T 3. 4. 5. 6. (a) (b).6 0 9.6 0 9 0 0. (a) X Y (b) X Y Z 2.
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =
求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
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. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
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第六章线性空间与线性变换 一 内容提要 6. 线性空间与简单性质. 定义设 V 是一个非空集合,K 是一个数域在 V 上定义了一种加法运算 +, 即对 V 中任 意的两个元素 α 与 β, 总存在 V 中唯一的元素 γ 与之对应, 记为 γ = α + β ; 在数域 K 和 V 的元素之间定义了一种运算, 称为数乘, 即对 K 中的任意数 k 与 V 中任意一个元素 α, 在 V 中存在唯一的一个元素
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者
解析几何习题全解 卢涛安佰玲黄保军 主编 中国科学技术大学出版社 内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者解疑释惑, 进一步理解知识点. 其中习题详解部分对
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, 5, ;,,,,,, ; ; 4,,, ; () 1345, 2,,,,,,,, 2014 2 1 1 11 1 111 1 112 2 113 Cramer 3 12 3 121 3 122 4 123 4 13 5 131 5 132 13 133 13 134 Cramer 14 135 16 14 17 15 20 16 () 27 2 30 21 31 211 31 212 31 213
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第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
00.S72
普通高等教育 十一五 国家级规划教材 空间解析几何 ( 新版 ) 李养成编著 北京 内容简介本书内容包括向量代数 空间的平面与直线 常见的曲面 二次曲面的一般理论 正交变换和仿射变换. 本书结构紧凑, 突出了解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 注意展现数学知识的发生过程和数学问题解决的思维过程, 注重思维训练和空间想象能力的培养. 本书表达清晰, 论述深入浅出, 力求使读者便于学习领悟. 书末附有习题答案与提示,
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
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6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
P r = 1 + ecosθ 2 V = V + V 1 2 2V1V2 cosθ 2 2 = ( V V ) + 2V V ( 1 cos θ) 1 2 1 2 40000 V = 0. 5( / ) 24 60 60 λ m = 5100A = 0.51 Å 2 u e d s 3 1 e uud udd 3 2 3 e 1 3 e V = 2 9. 8 2000 = 198 V
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标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.
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PowerPoint 演示文稿
多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
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习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
Microsoft Word - 095_2015.09.26 什麼最快樂 （白話與經文加註）-ok .doc
釋 厚 觀 ( 福 嚴 推 廣 教 育 班,2015.9.26) 各 位 法 師 各 位 居 士, 大 家 好! 今 天 跟 大 家 分 享 一 則 佛 典 故 事, 這 故 事 出 自 法 句 譬 喻 經, 在 大 正 藏 第 4 冊 595 頁 中 欄 到 596 頁 上 欄 過 去, 佛 在 舍 衛 國 祇 園 精 舍 時, 有 四 位 新 學 比 丘 一 起 來 到 㮈 樹 下 坐 禪 修
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高等数学7
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
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第7章
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算 ( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
5. 10(1) 10(2) A-1 17(2) 7. A-2 18A B
立法會 CB(2)520/05-06(01) 號文件 2005 ( )( ) 20051031 2005 10 31 2005 ( )( ) ( ) 10(2) 2. 10(2) 10(2) 3 1969 ) 1985 4. 1953 1969 1969 5. 10(1) 10(2) 6. 1953 A-1 17(2) 7. A-2 18A B 2005 11-2 - A-1 1953 17(2)
2 2 12 12 4 81 = 108 3 2 108 = 72 3 4 72 = 96 3 2 96 = 64 3 12 t = 2 1 2 11 12 12 12 2 l 2 l 2 l 2 12 ò ED = CB DA BA DE
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
n 维实向量空间 R n 3 维欧 空间 R 3 n 维欧 空间 R n 线性空间 前 我们建 了 n 维实向量空间 R n 的概念, 但它还不是三维欧 空间的推, 因为它还缺少向量的长度 夹 垂直等 何概念 ( 何建立的早期目的就是讨论长度 夹角等度量性质 ) 长度 夹 这 个概念都可以由内积导出
Chapter 4 向量空间与线性变换 Linear Algebra November 24, 207 黄正华, 数学与统计学院, 武汉大学 4 目录 R n 的基与向量关于基的坐标 2 2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵 6 2 n 维实向量的内积, 欧 空间 6 22 标准正交基 8 23 施密特正交化 法 8 24 正交矩阵及其性质 2 3 线性空间的定义及简单性质 4 4 线性子空间
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
4 # = # 4 Γ = 4 0 = 4 = 4 = Η, 6 3 Ι ; 9 Β Δ : 8 9 Χ Χ ϑ 6 Κ Δ ) Χ 8 Λ 6 ;3 Ι 6 Χ Δ : Χ 9 Χ Χ ϑ 6 Κ
! # % & & ( ) +, %. % / 0 / 2 3! # 4 ) 567 68 5 9 9 : ; > >? 3 6 7 : 9 9 7 4! Α = 42 6Β 3 Χ = 42 3 6 3 3 = 42 : 0 3 3 = 42 Δ 3 Β : 0 3 Χ 3 = 42 Χ Β Χ 6 9 = 4 =, ( 9 6 9 75 3 6 7 +. / 9