八年级数学 ( 上 ) 北师大版说明在平面上如何确定一个点的位置, 因为平面是二维的, 自然需要两个独立的数据, 而在空间中确定位置, 因为空间是三维的, 所以两个量是不够的, 自然需要三个量, 甚至更多一些, 因此在解决实际问题时, 应灵活处理, 不能按部就班. 2. 平面直角坐标系及点的坐标

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料午干
7 years ago
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1 系统的知识归纳第五章位置的确定知识导航考点梳理 1. 确定平面位置的方法确定平面上的点的位置的方法有很多, 通常需要两个量来确定一个点的位置, 这两个量可以是两个数, 也可以是一个角度一个数等两个相同或不同的量. 成年人的身体里大约有 650 块肌肉分析生活中确定位置的多种方式方法总结平面内确定位置的基本规律确定位置的极坐标思想确定位置的其他方式平面直角坐标系的基本概念图形的坐标变化与图形的轴对称平移压缩放大等之间的关系图形与位置 ( 第一二学段 ) 图形的平移旋转轴对称在相互联系中强化认识回味反思第五章位置的确定 59

2 八年级数学 ( 上 ) 北师大版说明在平面上如何确定一个点的位置, 因为平面是二维的, 自然需要两个独立的数据, 而在空间中确定位置, 因为空间是三维的, 所以两个量是不够的, 自然需要三个量, 甚至更多一些, 因此在解决实际问题时, 应灵活处理, 不能按部就班. 2. 平面直角坐标系及点的坐标科学的备考方略重点提示 (1) 平面直角坐标系中的点是用一对有序实数对来表示的, 所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系, 点 (a,b) 与点 (b,a) 是不同的两个点, 在描点时应注意 ; (2)x 轴上的点的纵坐标为 0,y 轴上的点的横坐标为 0; (3) 平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同 ; 平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 3. 与坐标有关的距离 (1) 点 P(a,b) 到 x 轴的距离为 b ; (2) 点 P(a,b) 到 y 轴的距离为 a ; (3) 点 P(a,b) 到原点的距离为 OP= 姨 a 2 +b 2 ( 由勾股定理可得 ); (4) 两点 A (a 1,b 1 ) 和 B 2 (a 2,b 2 ) 之间的距离 AB= 姨 (a 1 -a 2 ) 2 +(b 1 -b 2 ) 图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系 (1) 纵坐标保持不变, 横坐标分别变成原来的 k 倍. 1 当 k>1 时, 原图形被横向拉长为原来的 k 倍 ; 60 成年人的身体共有 100 多个关节

3 2 当 0<k<1 时, 原图形被横向缩短为原来的 k 倍. (2) 横坐标保持不变, 纵坐标分别变成原来的 k 倍. 1 当 k>1 时, 原图形被纵向拉长为原来的 k 倍 ; 2 当 0<k<1 时, 原图形被纵向压缩为原来的 k 倍. (3) 纵坐标保持不变, 横坐标分别加 k. 1 当 k 为正数时, 原图形形状大小不变, 向右平移 k 个单位长度 ; 2 当 k 为负数时, 原图形形状大小不变, 向左平移 k 个单位长度 ; (4) 横坐标保持不变, 纵坐标分别加 k. 1 当 k 为正数时, 原图形形状大小不变, 向上平移 k 个单位长度 ; 2 当 k 为负数时, 原图形形状大小不变, 向下平移 k 个单位长度 ; (5) 横坐标保持不变, 纵坐标分别乘 -1, 所得图形与原图形关于横轴成轴对称. (6) 纵坐标保持不变, 横坐标分别乘 -1, 所得图形与原图形关于纵轴成轴对称. (7) 横纵坐标分别乘 -1, 所得图形与原图形关于原点成中心对称. (8) 横纵坐标分别变成原来的 k 倍. 来的 k 2 倍 ; 原来的 k 2 倍. 说明 1 当 k>1 时, 所得图形与原图形相比, 形状不变, 面积扩大为原 2 当 0<k<1 时, 所得图形与原图形相比, 形状不变, 面积缩小为 5. 直角坐标系中两对称点的坐标的关系 (1) 点 P(a,b) 关于 x 轴的对称点是 (a,-b); (2) 点 P(a,b) 关于 y 轴的对称点是 (-a,b); (3) 点 P(a,b) 关于原点的对称点是 (-a,-b). 利用上述关系可以作出一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形, 也可以作出一个图形关于原点成中心对称的图形. 第五章位置的确定系统的知识归纳成年人的身体共有 130 亿个神经细胞 61

4 八年级数学 ( 上 ) 北师大版例题解析科学的备考方略例 1 下列各种说法中, 正确的有 ( ) 1 在平面内, 两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系 ; 2 如果点 A 到 x 轴和 y 轴的距离分别为 4,3, 那么点 A 的坐标为 (3,4); 3 如果点 A 在第三象限, 且点 A 的坐标为 (a,b) 那么 ab>0; 4 如果点 A 的坐标为 (a,b), 那么点 A 到坐标原点的距离为姨 a 2 +b 2. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个解析淤错误, 组成平面直角坐标系的两条数轴除了互相垂直外, 还需解 B 有一个公共的原点 ; 于错误, 点的横纵坐标并不一定是它到 y 轴和 x 轴的距离 ; 盂正确, 因为第三象限点的横纵坐标同为负数 ; 榆正确, 利用坐标与距离的关系和勾股定理不难求出. 例 2 若表示最小的正整数, 表示最大的负整数, 表示绝对值最小的实数, 则在直角坐标系中, 点 (, ) 关于点 (, ) 的对称点的坐标是 ( ) A. (-1,1) B. (1,-1) C. (-1,0) D. (0,1) 解析吟是最小的正整数, 所以吟 =1, 茵是最大的负整数, 所以茵是 -1, 解 A 阴表示绝对值最小的实数, 所以阴 =0, 点 ( 吟, 茵 ) 为 (1,-1), 点 ( 阴, 阴 ) 为 (0,0), 根据对称的意义可求得对称点坐标为 (-1,1). 62 成年人的身体共有 206 块骨头

5 例 3 如图 5-1, 在方格棋盘中放入 3 枚棋子, 位置分别是 (3,4), (7,4), (5,6), 这三枚棋子组成了一个什么样的图形? 能不能再放入一枚棋子, 使得这四枚棋子组成一个平行的四边形? 如果能, 请说出应放在什么位置上. 图 5-1 解通过观察三枚棋子的位置, 可得出这三枚棋子组成的图形是一个三注意角形 ( 或等腰三角形或等腰直角三角形 ), 由平行四边形的判别, 我们可知第四枚棋子共有三个位置可放, 即 (1,6) 或 (9,6) 或 (5,2). 解决此类问题时要考虑全面, 以免漏解. 例 4 若点 P 在 x 轴上, 且与点 A (3,0) 的距离是 7, 求点 P 的坐标. 解点 P 在 x 轴上, 设点 P 的坐标为 (x,0), PA= x-3, 即 x-3 =7, x-3=7 或 x-3=-7, x=10 或 x=-4, 点 P 的坐标为 (10,0) 或 (-4,0). 技巧总结第五章位置的确定掌握特殊的点的坐标的设法注意必须用减号象限角平分线上的点的坐标特点 (1) 第一三象限角平分线上的点的横纵坐标相等 ; (2) 第二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数. 例 5 小红将某点关于 x 轴的对称点误以为是关于 y 轴的对称点, 得到点 (-3,-2), 求该点坐标及关于 x 轴原点的对称点的坐标. 解析本题主要考查对称点与坐标之间的关系, 解题关键是了解轴对称图形和中心对称图形的性质. 解因为小红将所求点误认为是关于 y 轴的对称点而得到 (-3,-2) 点, 所以该点是 (-3,-2) 关于 y 轴的对称点, 因此由点 (-3,-2) 可系统的知识归纳婴儿出生时有 300 块骨头, 在童年时期有 94 块骨头渐渐融合 63

6 科学的备考方略八年级数学 ( 上 ) 北师大版得该点坐标为 (3,-2); 该点关于 x 轴的对称点的坐标为 (3,2); 关于原点的对称点的坐标为 (-3,2). 例 6 在河的北岸有张庄李村两个村庄, 张庄离河北岸的距离为 1km, 李村位于张庄北偏东 60 的方向, 离张庄 4km, 若以河的北岸为 x 轴, 张庄在 y 轴的正半轴上建立如图 5-2 所示的直角坐标系 ( 单位 : 千米 ). (1) 在直角坐标系中标出张庄李村所在的位置, 并写出其坐标 ; (2) 若在河北岸边修一个水泵站, 分别向张庄李村各铺一条水管, 要使所用的水管最短, 水泵站应修在什么地方? 在图中标出其位置, 并求出所用水管的长度. ( 答案中若有开方开不尽的数, 用根号表示 ) 解析如图 5-2, 由张庄在河流的北岸 1km 处, 且在 y 轴的正半轴上, 故张庄的位置在直角坐标系中的坐标为 (0,1), 李村在张庄的北偏东 60 毅, 且距张庄 4km, 因此李村的坐标应在 (2 姨 3,3), 在确定水泵站的位置时, 应联想两点之间线段最短, 运用轴对称性作图. 解 (1) 如图 5-2, 张庄的位置在点 A (0,1) 处, 李村的位置在点 B(2 姨 3,3) 处. (2) 作出 A (0,1) 关于 x 轴的对称点 A, 其坐标为 (0,-1), 连结 BA, 交 x 轴于点 P,P 点就是水泵站的位置. A 点与 A 1 关于 x 轴对称, AP=A 1 P, 水管最短长度为 PA+PB=A 1 P+PB=A 1 B. 在 Rt A 1 BC 中,A 1 C=4,BC=2 3 姨, A 1 B= 姨 (2 姨 3 ) =2姨 7. 即水管最短的长度为 2 7 姨 km. 图火柴盒大小的骨头能承重 9 吨, 比混凝土的强度大上 3 倍

7 第五章位置的确定技巧总结应用轴对称和两点之间线段最短来解决两线段之和最小问题, 是这类问题的常用方法. 例 1 下列数据不能确定物体位置的是 ( ) 错解 C 正解 B 误点分析 A. 4 楼 8 号 B. 北偏东 30 C. 希望路 25 号 D. 东经 118 北纬 40 没有准确理解极坐标定位法的意义, 北偏东只能确定一个方向, 一个数据不能确定该物体平面上的位置 ; 希望路 25 号是由路和号两个数据组成的, 能确定平面位置 ;4 楼 8 号, 两个数据能唯一确定位置 ; 东经 118 毅北纬 40 毅有两个数据, 可确定位置. 例 2 若点 P(a,b) 在第二象限, 则点 M (b-a,a-b) 在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限错解 A 或 B 或 C 正解 D 误点分析错误的原因有两个 : 一是对象限内点的坐标特点没有掌握好, 二是没有弄清 b-a 与 a-b 的符号. 例 3 如图 5-3, 已知 A (-2,0),B (2,0), C (0,1), 将 ABC 沿 x 轴翻折后得到 ABC 忆, 再将 ABC 忆沿过点 C 且与 x 轴平行的直线翻折后, 得到 A 忆 B 忆 C 忆, 求 A 忆 B 忆的坐标. 图 = 系统的知识归纳

8 八年级数学 ( 上 ) 北师大版错解第一次翻折后 A B 两点的坐标不变, 第二次翻折后 A 忆 (-2, -1),B 忆 (2,-1). 正解 A 忆 (-2,-2),B 忆 (2,-2) 误点分析吟 ABC 经过两次翻折后, 实质是将吟 ABC 沿 y 轴向下平移 2 个单位. 科学的备考方略情境探究例 1 如图 5-4 是王先生祖居的位置图, 由于不慎已残缺不全, 但可知钟楼坐标 A (5,-2), 街口坐标 B (5,2), 资料记载王先生祖居的老屋坐标为 (1,1), 你能帮助王先生找到祖居的老屋吗? 图 5-4 图 5-5 解析此题是由坐标找坐标原点和坐标轴, 再找坐标, 由 A B 的坐标, 可知线段 AB 平行于 y 轴, 距 y 轴 5 个单位, 而 A,B 到 x 轴的距离都是 2, 故 x 轴是线段 AB 的垂直平分线. 解由于 A (5,-2),B (5,2), 所以 AB y 轴, 且 A,B 到 x 轴距离都是 2, 故作线段 AB 的垂直平分线 MN, 交 AB 于 C, 如图 5-5. A (5,-2) 在第四象限,B (5,2) 在第一象限, MN 左下方为 x 轴正方向, 再以 C 点向右上方作 CO=5, 确定坐标原点 O, 再过 O 点作 x 轴的垂线, 建立了 y 轴, 且右下方为正方向, 最后在直角坐标系中找出点 P(1,1), 则点 P 的位置是王先生祖居的老屋. 在人的一生里 66, 心脏一共压送大约五亿升血液

9 第五章位置的确定例 2 如图 5-6, 在直角坐标系中, 第一次将 OAB 变换成 OA 1 B 1, 第二次将 OA 1 B 1 变换成 OA 2 B 2, 第三次将 OA 2 B 2 变换成 OA 3 B 3. 已知 A(1,3),A 1 (2,3),A 2 (4,3),A 3 (8,3);B(2,0),B 1 (4,0),B 2 (8,0),B (16,0). 3 图 5-6 (1) 观察每次变换前后的三角形有何变化, 找出规律, 按此变换规律再将 OA 3 B 3 变换成 OA 4 B 4, 则 A 4 的坐标是,B 4 的坐标是 ; (2) 若按第 (1) 题找到的规律将 OAB 进行 n 次变换, 得到 OA n B n, 比较每次变换中三角形顶点有何变化, 找出规律, 推测 A n 的坐标是,B n 的坐标是. 解析作为开放题型, 此题要求同学们从具体的点的坐标中寻找规律, 着重考查同学们的观察能力和抽象概括能力, 其难点是从哪些方面来找坐标的变换规律, 如何把它一般化, 在此题中, 应从点的横坐标和纵坐标两方面来总结 : (1)A,A 1,A 2,A 3 等点的纵坐标都是 3, 是固定不变的, 而点 A,A 1,A 2,A 3 的横坐标分别为 1,2,4,8, 我们可写成 2 0,2 1,2 2,2 3, 故不难发现,A 4 的横坐标为 2 4,A n 的横坐标为 2 n ; (2)B,B 1,B 2,B 3 等点的纵坐标都为 0, 而横坐标分别为 2,4,8,16, 我们可以写成 2 1,2 2, 2 3,2 4 因此,B 4 的横坐标应为 2 5,B n 的横坐标为 2 n+1. 解 (1)A 4 (16,3), B 4 (32,0) (2)A n (2 n,3),b n (2 n+1,0) 技巧总结不能被图形的变换所迷惑, 关键要弄清点的坐标的变化规律. 系统的知识归纳睡眠时成年人的心脏每小时能够压送 340 升左右的血液 67

10 科学的备考方略八年级数学 ( 上 ) 北师大版学科综合例 1 小强要从 A 地赶往 C 地去参加科技夏令营, 他拿出一张地图, 图上有 A B C 三地, 但地图被墨迹污染,C 地具体位置看不清楚了, 但知道 C 地在 A 地的南偏西 55 毅, 在 B 地的北偏西 70 图 5-7 ( 如图 5-7). (1) 请帮助小强确定 C 地的位置 ; (2) 若地图的比例尺是 1: , 从 A 地到 C 地的实际距离约是多少千米? 解析用数形结合法观察探究. 解 (1) 先以 A 为顶点画南偏西 55 毅的方向角, 然后以 B 为顶点, 画北偏西 70 毅的方向角, 两条射线的交点, 就是 C 点. (2) 量出线段 AC 的长约是 2.2cm, 即图上距离约为 2.2cm, 实际距离约为 =220 (km) 技巧总结平面上, 确定一个位置需要两个条件, 而空间确定一个位置则需要三个条件. 例 2 如图 5-8, 在一次寻宝游戏中, 已知寻宝图上两个标志点 A 和点 B 的坐标分别为 (-3,0) 和 (5,0), 宝藏分别埋在 C (3,4) 和 D (-2,3) A B 两点, 请你首先在直角坐标系中确定宝 (-3,0) (5,0) 藏的位置, 然后在图上标出宝藏的图 5-8 位置并计算四边形 ABCD 的面积. 解析显然直线 AB 为 x 轴, 射线 AB 的方向为正方向, 由于线段 AB 的长为 8, 可以考虑将 AB 八等分, 找出坐标原点, 从而就确定了直角坐标系的三个要素, 即原点正方向和单位长度, 于是宝藏的地点就可以找出了 ( 如图 5-9 所示 ). 四边形 ABCD 的面积可以通过分割分别来求. 人的心肌每天所做的功能把一辆普通汽车抬高米

11 解宝藏的位置如图 5-9. 过 C 作 CF x 轴于 F, 过 D 作 DE x 轴于 E, 则点 E,F 的坐标分别为 (-2,0) 和 (3,0), 第五章位置的确定 S 四边形 ABCD=S 吟 AED+S 梯形 DEFC+S BFC = (3+4) =23. 图 5-9 技巧总结在平面直角坐标系中, 求多边形的面积, 经常通过向坐标轴作垂线, 将多边形分割成直角三角形直角梯形矩形等的面积和. 在求多边形的面积时一定要处理好坐标与距离的关系, 各个点的横纵坐标是一个实数, 可以为负数, 而距离是一个非负数. 例 1 ( 云南中考题 ) 已知点 P(a,b) 在第二象限, 则化简 a-b + b-a 的结果是 ( ) A. -2a+2b B. 2a C. 2a-2b D.0 解析由于 P (a,b) 在第二象限, 所以 a 约 0,b 跃 0, 故 a-b 约 0,b-a 跃 0, 所以渣 a-b 渣 + 渣 b-a 渣 =b-a+b-a=-2a+2b. 例 2 ( 杭州中考题 ) 如图 5-10 的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内, 白棋 2 的坐标为 (-7, -4), 白棋 4 的坐标为 (-6,-8), 那么, 黑棋 1 的坐标应该是. 解析由白棋于, 榆的坐标, 确定 x 轴 y 轴, 再在平面直角坐标系下, 找出黑棋淤的坐标. 解 (-2,-7) 技巧总结图 5-10 关于棋类问题中找点的坐标, 首先要明确由已知条件确定 x 轴和 y 轴, 再在平面直角坐标系中解决问题. 系统的知识归纳成年人的肠子, 总长度约为他身高的 4 倍 69

12 八年级数学 ( 上 ) 北师大版例 3 ( 青岛中考题 ) 观察图象, 与图 5-11 中的鱼相比, 图 5-12 中的鱼发生了一些变化, 若图 (1) 中鱼上点 P 的坐标为 (4,3.2), 则这个点在图 (2) 中的对应点 P 1 的坐标应为. 科学的备考方略解析经观察发现, 图形上各个点的横坐标不变, 而纵坐标分别减 1, 所得图形的形状大小不变, 位置向下平移一个单位, 所以图 5-12 中 P 1 的坐标为 (4,2.2). 解 (4,2.2) 学习札记图 5-1 图

平安大路 D 4. 易已知直角三角形中, 90,, 3, 若点在坐标原点, 点在轴上. ⑴ 在平面直角坐标系中画出三角形 ; ⑵ 求点, 的坐标. 坐标系中的点的特征 5. 易 ( 中关村中学第二学期初一年级其中测试 ) 在平面直角坐标系中, 点 P ( ). 第一象限. 第二象限. 第三

平安大路 D 4. 易已知直角三角形中, 90,, 3, 若点在坐标原点, 点在轴上. ⑴ 在平面直角坐标系中画出三角形 ; ⑵ 求点, 的坐标. 坐标系中的点的特征 5. 易 ( 中关村中学第二学期初一年级其中测试 ) 在平面直角坐标系中, 点 P ( ). 第一象限. 第二象限. 第三各章节核心题系列平面直角坐标系 35 题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (8)) 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 7 大题型 ) 平面直角坐标系的概念一坐标平面内点的位置的确定二坐标系中点的特征三坐标平面内的距离和面积平面直角坐标系的变换四平移五对称六旋转七综合第二部分 : 经典例题 (35 道核心题 ) 坐标平面内点的位置确定. 易小明家的坐标为,, 小丽家的坐标为,,