高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
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- 阳仲耀 黎
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1 第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程 截距式方程. 知道空间一点到平面的距离公式. 掌握直线的对称式 参数式 一般式方程及求方程的方法. 会判定直线和平面的位置关系 ( 垂直 平行 直线在平面上 ). 了解母线平行于坐标轴的柱面, 旋转抛物面, 圆锥面, 椭球面方程及图形. 5. 空间直角坐标系 一 向量的概念 在客观世界里有一些量, 如时间 重量 温度 面积等在给定单位后, 可以用一个实数 来表示, 这种只有大小的量称为数量或标量. 但有些量除了大小, 还有方向. 如物体的位移 ( 沿 某方向移动一段距离 ) 质点运动的速度 作用在物体上的力等, 它们除了大小以外还有方向. 这 种既有大小, 又有方向的量称为向量或矢量. 在数学上, 常用有向线段 AB 表示向量, 如图 5.. 所示, 有向线段的长度 AB 表示向量 的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A B 分别叫做向量 AB 的起点和终点, 向量也常 用粗体字或上面加一箭头的字母表示, 如 b c 或 b c 等. 向量的大小称为向量的模 ( 或长度 ), 记做 AB 或 b, 模为零的向量称为零向量, 记做 或, 规定零向量的方向是任意的. 模为 的向量称为单位向量, 与非零向量 同方向的单位向量记为, 即 = ; 与向量 的模相等, 方向相反的向量称为 的负向量, 记为 -. 数学上常讨论与起点无关的向量, 这种向量称为自由向量. 只要两个向量 和 b 的模相等, 且方向相同, 就认为它们是同一向量, 或称这两个向量相等, 记做 = b. 如图 5.. 所示, AB = DC.
2 高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为 (, b ), 即 (, b ), OB = b, 规定角 = θ. π 若两个向量 和 b 的夹角为 θ = 或 θ = π, 则称两向量 和 b 平行, 记为 // b, 若 θ =, 则称两向量 和 b 垂直 ( 或正交 ), 记为 b. 二 向量的线性运算. 向量的加法 定义 5.. 设 b 是两个向量, 任取一点 A 作为 的起点, 使得 AB =, 再以 B 作为 b 的起点使得 BC = b, 记向量 AC = c, 则称向量 c 为向量 与 b 的和向量, 记做 c = + b. 由于向量 b 与 + b 构成一个三角形 ( 如图 5.. 所示 ), 因此, 上述作两向量之和的方 法叫做向量加法的三角形法则. 如果向量 与 b 不平行, 对于取定的一点 A, 以 A 作为 与 b 的公共起点, 使得 AB =, AD = b, 以 A B A D 为邻边的平行四边形 A B C D 的对角线向量 AC = + b( 如图 5..4 所示 ), 这种求两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足以下运算律 : () 交换律 : + b = b +. () 结合律 : ( + b) + c = + ( b + c ). 另外, 我们规定向量 和 b 的和向量叫做 与 b 的差向量, 记为 b. b c=+b c=+b b 图 5.. 图 数与向量的乘法定义 5.. 设 λ 是一个实数, 是一个向量, 定义 λ 与 的乘积为一向量, 记为 λ, 其 模 λ = λ, 其方向当 λ > 时, 与 同向 ; 当 λ < 时, 与 反向. 4
3 第 5 章空间解析几何 当 λ = 时, 显然 λ =, 数与向量的乘法又称为向量的数乘运算, 向量的加法运算和数 乘运算叫做向量的线性运算. 向量的线性运算满足如下运算律 ( 其中 b c 为向量, λ µ 为实数 ): 从而 () 数乘的结合律 : λ ( µ ) = ( λ µ ). (4) 数乘对加法的分配律 : λ ( + b ) = λ + λ b. (5) 数的加法对数乘的分配律 : ( λ + µ ) = λ + µ. 例 5.. 设 为任意非零向量, 验证 =, 即 =. 证明由于 与 平行, 故存在 k ( k > ), 使得 = k, 所以有 = = k, 即 k =, =, 即 =. 例 5.. 证明三角形两边的中位线平行于第三边, 且长度为第三边的一半. 证明如图 5..5 所示, 在三角形 ABC 中,D 与 E 分 别为 AB 与 BC 的中点, 即 DB = AB, BE = BC 所以 DE = DB + BE = ( AB + BC ) = AC. 三 空间直角坐标系 过空间一个定点 O, 作 条相互垂直的数轴 ox oy oz, 它们都以 O 为原点, 且有相同 的单位长度, 这 条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) z 轴 ( 竖轴 ), 统称为坐标轴. 它们的正向通常符合右手法则, 即右手的食指指向 ox 轴的正向, 中指指向 oy 轴的正向, 大拇指 指向 oz 轴的正向 ( 如图 5..6 所示 ), 这样的 条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系 oxyz, 点 O 叫做坐标原点. 在坐标系 oxyz 中, 由任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这样确定的 个平面统称为坐 标面, 分别记为 xoy 面 yoz 面 zox 面. 个坐标面将空间分为 8 个部分, 每个部分叫做一 个卦限. 含有 x 轴 y 轴 z 轴正半轴的卦限称为第 Ι 卦限, 在 xoy 面的上方, 按逆时针方向, 依次是第 Ⅱ Ⅲ Ⅳ 卦限, 在 xoy 面的下方, 第 Ι 卦限的下方称为第 Ⅴ 卦限, 按逆时针方向, 依次为第 Ⅵ Ⅶ Ⅷ 卦限, 如图 5..7 所示. 图 5..5 图 5..6 图
4 高等应用数学 ( 上册 ) 四 点的坐标和空间中两点间的距离公式 设 M 是空间中任意一点, 过点 M 分别作垂直于 x 轴 y 轴 z 轴的 个平面, 它们与 个坐标轴的交点依次为 P Q 和 R ( 如图 5..8 所示 ), 这 个点在 x 轴 y 轴 z 轴上的坐标 依次为 x y z, 则点 M 就唯一确定了一个有序数组 ( x, y, z ), 反之, 将以上过程倒过来可知, 任何有序数组 ( x, y, z ) 一定对应空间中唯一的一点, 这样, 空间的点就与有序数组 ( x, y, z ) 之 间建立起一一对应关系, 称有序数组 ( x, y, z ) 为点 M 的坐标, 并依次称 x y z 为点 M 的横坐 标 纵坐标和竖坐标, 记为 M ( x, y, z ). 显然, 原点的坐标为 (,, ), 横轴上坐标为 x 的点的坐标为 ( x,, ). xoy 面上的点的坐 标为 ( x, y, ). 第一卦限的点的坐标为 ( x, y, z ), 其中 x >, y >, z >. 在空间直角坐标系下, 设 P 点的坐标为 (, b, c ), 那么点 P 关于原点 O 的对称点 P 的坐 标为 (, b, c ). 点 P 关于 xoy 面的对称点的坐标为 (, b, c ). 点 P 关于 ox 轴的对称点的 坐标为 (, b, c ). 图 5..8 设 M ( x, y, z ) 和 M ( x, y, z ) 为空间中两点, 过点 M 和 M 分别作垂直于 个坐标 轴的平面, 这 6 个平面围成一个长方体 ( 如图 5..9), 其棱长分别为 x x y y z z, M M 是它的一条对角线, 由勾股定理知 d = M M = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) (5..) 特别地, 点 M ( x, y, z ) 到原点的距离为 例 5.. 直角坐标系中, 已知一点 P ( 6, 5, 4 ), 求 : () P 点到三坐标面的距离 ; d = OM = x + y + z (5..) () P 点到三坐标轴的距离. 解 () 自 P 点向 xoy 面引垂线, 垂足 P 的坐标为 ( 6, 5, ), 于是 P 点到 xoy 面的距离为 PP = ( 6 6 ) + ( 5 5 ) + ( 4 ) = 4 同理, 可求得 P 点到其他坐标面的距离分别是 5 6. 和 44
5 第 5 章空间解析几何 () P 到 x 轴的距离为 图 5..9 d = ( 6 6 ) + ( 5 ) + ( 4 ) = 4 同理, 可求出点 P 到 y 轴的距离 d = 5, 到 z 轴的距离 d = 6. 习题 5.. 在空间直角坐标系中, 位于第七卦限的点是 ( ). A. (,,) B. (,,) C. ( 5,, ) D. ( 5,, ). 下列各向量表示单位向量的是 ( ). A.{,,} B.{,,} C.{,,} D.{,,}. AB + BC + CD + DA =. 4. 已知空间两点 A (,, ) 和 B (,,), 则 AB =, AB =, BA =. 5. 求点 (,, ) 关于 () xoy 平面 ;() y 轴 ;() 原点对称的点的坐标 6. 求两点 A B 间的距离 : () A (,,), B (,, ) () A (,, ), B (, 5,) 7. 证明 : A (,,) B (,,5) C (, 4,) 是一个直角三角形的 个顶点. 5. 向量的坐标 空间中的向量 可以经过平移, 把起点移到坐标原点 O, 设其终点为 P, 则向量 OP 决定 终点 P, 反之, 空间中任一点 P 也确定了一个向量 OP, 这样空间的点与向量之间建立了一一 45
6 高等应用数学 ( 上册 ) 对应关系, 点 P 的坐标 (,, ) 也叫做向量 OP 坐标, 向量的坐标记为 等, 即 OP = = {,, } 的坐标或分量, 为了区别点的坐标与向量的 如图 5.. 所示, 零向量可用记号 = {,, } 表示, 两个向量相等当且仅当它们的分量相 {,, } = { b, b, b } = b, = b, = b 图 5.. 一 向量的模与方向余弦的坐标表示式 向量的主要特征是长度和方向, 任给一向量 = OM = {,, }, 由图 5.., 可以看出它的模是线段 OM 的长, 于是有 以下讨论如何确定向量的方向. = + + (5..) 图 5.. 设向量 = OM 与 x 轴 y 轴 z 轴的夹角分别为 α β γ, 则称 α β γ 为向量 = OM 的 方向角, 由图 5.. 知 = cos α, = cos β, = cos γ 即 cos α =, cos β =, cos γ =. 将 = + + 代入以上各式, 得 46
7 cos α = + +, cos β = cosα cos β cosγ 称为向量 的方向余弦. + + 将式 (5..) 的 个等式两边平方后相加可得, cos γ = cos α + cos β + cos γ = + + 第 5 章空间解析几何 (5..) 这就是说, 任一非零向量的方向余弦所组成的向量 { cosα, cos β, cos γ } 为单位向量. 两个非零向量 与 b, 如果它们的方向相同或相反, 则称 与 b 平行. 两非零向量 = {,, } 与向量 b = { b, b, b } 平行的充要条件是存在唯一的实数 λ, 使得 = λ b, {,, } = λ { b, b, b }, 即两向量 与 b 对应的坐标成比例 其坐标表示为 = = = λ b b b 例 5.. 已知两点 M ( 4,, ) 和 M (,, ), 求向量 M M 的模 方向余弦和方向角. 解 M M = { 4,, } = {,, } 向量的模为 方向余弦为 M M = + + = ( ) ( ) cos α =, cos β =, cos γ = 方向角为 π π π α =, β =, γ =. 4 例 5.. 设空间中点 A 的坐标为 A(, b, c ), 其中 = 5, b = 8, c <,OA 与 ox 轴的夹角 为, 求 OA 的模 方向余弦及点 A 的坐标. 解设 OA 的方向角为 α β γ, 已知 α =, 故 cos α =, 于是 OA = = cos α b 8 4 cos β = = = OA 5 又 c <, 且 cos α + cos β + cos γ =, 从而 因此 于是点 A 的坐标为 ( 5, 8, ). 4 cosγ = = 5 c OA cosγ = = = 例 5.. 已知两点 A ( 4,, 5 ) 和 B ( 7,, ), 求方向与 AB 一致的单位向量及与 AB 平行的 47
8 高等应用数学 ( 上册 ) 单位向量. 解 AB = {7 4,, 5} = {,, } AB = + + ( ) = 4 设 是与 AB 方向一致的单位向量, 则 AB = = {,, } =,, AB 与 AB 平行方向的单位向量为 ±, 即 二 向量的加法 减法和数乘,, 和,, 前面我们介绍了向量的加法 减法和数乘运算, 引入了向量的坐标表示, 向量间的运算 可以转化为它们的坐标之间的运算. 定义 5.. 设向量 = {,, } 与向量 b = { b, b, b }, 则向量 与向量 b 的加减法规 定为 向量 = ± b = { ± b, ± b, ± b } {,, } 与数 λ 的乘法 ( 即数乘 ) 规定为 λ = { λ, λ, λ } 显然, 向量 的负向量 = ( ), 零向量 =. 以 i j k 分别表示在 x y z 轴正向的单位向量, 称它们为这一坐标系中的基向量, 即 i = {,, }, j = {,, }, k = {,, } 则向量 可表示为 = {,, } = {,, } + {,, } + {,, } = {,, } + {,, } + {,, } = i + j + k (5..) 上式称为向量 按基向量的分解式. 由图 5.. 可以看出, 向量加法的坐标也满足平行四边形法则. 图
9 第 5 章空间解析几何 三 两向量的数量积 定义 5.. 两个向量 和 b 的模与它们之间夹角的余弦的乘积称为向量 和 b 的数量积 ( 或点乘 ), 记做 b, 即 b = b cos(, b ) 在力学中, 某物体在常力 F 的作用下, 沿直线 A 点移到 B 点, 力 F 所作的功 W 就是 F 与 位移 AB 的数量积, 即 W = F AB = F AB cos ϕ 其中 ϕ 是 F 与 AB 的夹角. 由数量积的定义, 可以推得向量的数量积有以下性质 : () =. () 两个非零向量 b 垂直的充要条件是 b =. 向量的数量积满足以下运算律 : 设 b c 是向量, λ 是实数, 则有 () 交换律 : b = b () 分配律 : ( + b) c = c + b c () 结合律 : ( λ ) b = λ ( b) = ( λ b ) 根据向量的数量积的运算律和性质, 可知若 = {,, }, b = { b, b, b } 则 = + + b + b + b b ( i j k ) ( i j k ) = i ( b i + b j + b k ) + j ( b i + b j + b k ) + k ( b i + b j + b k ) = b i i + b i j + b i k + b j i + b j j + b j k + b k i + b k j + b k k 由于 i j k 为相互垂直的单位向量, 所以 于是有 i j = j k = k i = j i = k j = i k = i i = j j = k k = b = b + b + b (5..4) 上式叫向量数量积的坐标表达式, 由上式知两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之 和, 由此可知, 当, b 时, cos (, b ) = b + b + b (5..5) + + b + b + b 这是两向量夹角余弦的坐标表达式. 向量 b 的充要条件是 b + b + b =. 例 5..4 设向量 = {,, }, b = {,, }, 求 : 49
10 高等应用数学 ( 上册 ) () b ; () b 和 (, b ). 解 () b = + + ( ) ( ) = () b = + + ( ) = = + + ( ) = 所以 b cos (, b ) = = = b 于是 (, b ) π =. 4 四 两向量的向量积 定义 5.. 两个向量 和 b 的向量积 ( 或叉积 ) 为向量 c, 记作 b, 如图 5..4 所示, 其模和方向分别为 () c = b sinθ, 其中 θ 是 和 b 的夹角. 所示. () c 的方向垂直于 和 b 所决定的平面, 且指向使 b c 符合右手法则, 如图 5..5 c= b c= b b b 图 5..4 图 5..5 在力学中, 设 O 为一杠杆的支点, 力 F 作用在杠杆上的点 P 处, 如图 5..6 所示, 力 F 对支点 O 的力矩 M 是一个向量, 可表示为 M = OP F 当, b, 且 (, b ) 不等于 或 π 时, 和 b 向量积的模 b = b sin (, b ), 等于以 和 b 为邻边的平行四边形的面积 ( 如图 5..7 所示 ). 向量积有如下性质 : () =. () 若 b 为非零向量, 则 // b 的充要条件是 b =. b sin (, b) 图 5..6 图
11 向量积满足以下运算律 : 设 b c 是向量, λ 是实数, 则有 () 反交换律 : b = b () 分配律 : ( + b ) c = c + b c, c ( + b ) = c + c b () 结合律 : ( λ) b = ( λb ) = λ ( b ) 由向量积的定义, 可以得到基向量 i j k 的向量积有如下结果 : 设 = i i = j j = k k = i j = k, j k = i, k i = j j i = k, k j = i, i k = j 第 5 章空间解析几何 {,, }, b = { b, b, b }, 利用向量积运算律及基向量 i j k 的向量积结果可 以得到两个向量的向量积的坐标表示形式. b = ( i + j + k ) ( b i + b j + b k ) 即 = b ( i i ) + b ( i j ) + b ( i k ) + b ( j i ) + b ( j j ) + b ( j k ) + b ( k i ) + b ( k j ) + b ( k k ) b = ( b b ) i + ( b b ) j b b 为了便于记忆, 可将上式写成三阶行列式 i j k b = b b b 例 5..5 已知 = {, 5, 7 }, = {,, 4 } 解向量 ± ( b ) 与向量 b 都垂直, ± 由于 + ( ) k (5..6) b, 求同时垂直于 和 b 的单位向量. i j k b b b = 5 7 = 6 i j k 4 即为所求单位向量. b = 6 + ( ) + ( ) = 8, 因此所求的单位向量为 b ± b = ± (6 i j k ). 8 习题 5.. 如果向量 = i + j k 与 b = i + 6 j + z k 垂直, 则 z =.. 设 b 和 c 是三个任意向量, 则 ( + b) c =.. 设向量 = i + j, b = j k, 则 (, b ) = 4. 设 A(,, ) B (,, ), 则向量 AB. 在坐标轴上的投影分别是. 5. 设向量 = {,,}, b = {,, 4}, 则 b =. (5..7) 5
12 高等应用数学 ( 上册 ) 6. 设向量 = i + j k 与 b = i j + k, 求 : () b ;() 5 b ;() i j k. 7. 设向量 = {,, }, b = {,,}, 求 : () b ;() 7 b ;() i i. 8. 设 b c 为单位向量, 且满足 + b + c =, 求 : b + b c + c. 9. 已知向量 = {,,}, b = {,,}, c = {,,}, 求 : () ( b) c ;() ( b) c ;() ( b c ). 5. 平面方程与空间直线方程 本节将以向量为工具, 在空间直角坐标系中建立平面方程和空间直线方程, 研究它们之间的关系. 一 平面方程. 平面的点法式方程平面的方向可以由与它垂直的一个向量来确定, 和平面垂直的非零向量称为该平面的法向量. 设平面 π 过点 M ( x, y, z ), 其法向量为 n = { A, B, C } ( 其中 A B C 不全为零 ). 设 M ( x, y, z ) 是平面 π 上的任意一点 ( 如图 5.. 所示 ), 则向量 M M 与 n 垂直, 故 n M M = 而所以 这个方程叫做平面的点法式方程. M M = { x x, y y, z z } A( x x ) + B ( y y ) + C ( z z ) = (5..) 图 5.. 例 5.. 求过三点 M (,, 4 ) M (,, ) 和 M (,, ) 的平面方程. 解由于过三个已知点的平面的法向量 n 与向量 M M 和 M M 都垂直, 而 M M = {, 4, 6 }, M M = {,, }, 故可取 5
13 其中 i j k n = M M M M = 4 6 = 4 i + 9 j k 由平面的点法式方程 (5..), 得所求平面方程为 4 x + 9 y z 5 =.. 平面的一般方程平面的点法式方程是 x y z 的三元一次方程, 它可以化为 第 5 章空间解析几何 Ax + By + Cz + D = (5..) D = Ax By Cz 这个方程叫做平面的一般式方程, 其中 x y z 的系数构成的向量 { A, B, C }, 就是该平面 的一个法向量. 当 A B C D 中有一些为零时,(5..) 式表示的平面具有特殊的位置. 若 D = 时, 方程 Ax + By + Cz = 表示一个过原点的平面. 若 A B C 中有一个为零, 例如 C = 时, 在方程 Ax + By + D = 中, 法向量 { A, B, } 垂 直于 z 轴, 方程表示一平行于 z 轴的平面. D 若 A B C 中有两个为零, 例如 A = B = 时, Cz + D = 或 z =, 法向量 {,, C } 同 C 时垂直于 x 轴和 y 轴, 方程表示一个平行于 xoy 面的平面. 例 5.. 画出平面 x =, x + y = 的图形. 解平面 x = 平行于 yoz 面, 交 x 轴于点 (,, ), 如图 5..() 所示. 平面 x + y = 平行于 z 轴 ( 垂直于 xoy 面 ), 过 xoy 面上连接两点 (,,) 和 (,, ) 的直线, 如图 5..(b) 所示. () 图 5.. (b). 平面的截距式方程设平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 且 ABCD, 若平面通过坐标轴上的三点 P (,,) P (, b,) P (,, c ), 则有 5
14 高等应用数学 ( 上册 ) A + D = B b + D = C c + D = D D D 得 A =, B =, C = b c 将解出的 A B C 代入所设方程并化简得 x y z + + = (5..) b c 这个方程叫做平面的截距式方程, b c 分别叫做这个平面在 x 轴 y 轴 z 轴上的截距. 例 5.. 作平面 6x + y + z = 6 的图形. 解将方程化为平面的截距式方程 x y z + + = 即平面过 (,, ) (,, ) (,, ) 三点, 如图 5.. 所示. 图 5.. 二 空间直线的方程. 直线的点向式方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量, 由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线, 所以当直线 L 上一点 M ( x, y, z ) 和它的一方向向量 s = { m, n, p } 为已知时, 直线 L 的位置就完全确定了. 设点 M{ x, y, z } 是直线 L 上任意一点, 则向量 M M 平行于方向向量 s, 所以两向量对应坐标成比例, 由于 M M = { x x, y y, z z }, s = { m, n, p }, 从而有 x x y y z z = = (5..4) m n p 这个方程叫做直线的点向式方程. 例 5..4 一条直线经过点 (,, 5), 与平面 x + y z = 垂直, 求这条直线的方程. 解由题意知, 所求直线与平面的法向量 n 平行, 而 n = {,, } x y + z 5 = =. 例 5..5 直线 L 通过点 M {,, } 和 M {,, }, 求它的方程., 故所求直线方程为 54
15 解由于 M M = {,, 5 } 是直线 L 的方向向量, 故所求直线 L 的方程为. 直线的参数方程 x y z + = =. 5 在直线的点向式方程中, 若令 x x y y z z = = = t m n p 则 x = x + mt y = y + n t z = z + p t 上式叫做直线的参数方程,t 为参数, 不同的 t 对应于直线 L 上不同的点. 第 5 章空间解析几何 (5..5) 例 5..6 设直线 L 过点 M (,, ),s 是 L 的方向向量,s 的方向角为 π 4 π π, 求 直线 L 的参数方程. π π π 解因为 cos, cos, cos =,, 4, 取 s = (,, ) 所以直线 L 的参数方程为. 空间直线的一般方程 x = t + y = t z = t. 空间中的一条直线可以看做两个平面的交线, 于是直线方程可以表示为 A x + B y + C z + D = A x + B y + C z + D = 这个方程叫做空间直线的一般方程. 例 5..7 将直线 L 的一般式 化为点向式方程及参数方程. x + y + z + = x y + z + 4 = 解先找出直线上的一点, 由一般式得 y + z = x, y + z = x 4 (5..6) 取 x =, 代入方程组, 得 y + z =, y z = 6, 解得 y =, z =, 即 (,, ) 是 直线 L 上的一点. 再找出该直线的方向向量 s, 由于两平面的交线与平面的法向量 n = {,, }, n = {,, } 都垂直, 所以可取 55
16 高等应用数学 ( 上册 ) s = n n = = 4 i j k 因此, 所给直线的点向式方程为 令 则所给直线的参数方程为 例 5..8 x + 5 y 7 z 4 求直线 = = 解所给直线的参数方程为 代入平面方程中, 得 i j k x y z + = = 4 x y z + = = = t 4 x = + 4 t y = t z = t. 与平面 x + y 5z = 的交点. x = t 5 y = t + 7 z = t + 4 ( t 5 ) + ( t + 7 ) 5 ( t + 4 ) = 解得 t =, 代入参数方程中, 解得 x =, y =, z = 即得所求交点的坐标为 (,, ). 习题 5.. 列出下列平面方程的一般形式 : () 过原点的平面方程. () 过 y 轴的平面方程. () 平行于 y 轴的平面方程. (4) 平行于 yoz 面的平面方程. x = (5) 表示. y = (6) x = 表示. y = b. 求通过点 (,,) M 且法向量为 { } 4,, 的平面方程.. 求过三点 A (,,) B (,,) C (,, 4) 的平面方程. 56
17 4. 求过点 A (,,) 和 B (,,) 且与平面 x + y z = 垂直的平面. 第 5 章空间解析几何 5. 过点 M (4,, ) 且垂直于两平面 x + y z = 和 x y + 4z 5 = 的平面方程. 6. 求下列方程中的系数 和 b : () 两平面 x + by + z 5 = 与 x 6 y z + = 平行 () 两平面 x + 4y + z = 与 x 6 y z + = 垂直 7. 判断下列各对平面的位置关系 : () x + y + z 8 = 与 5x + y + 5z 7 = () x y + z + = 与 x y z + 5 = () x y + z = 与 5x + y 7 = 8. 求下列各对平面间的夹角 : () x y + z = 6 与 x + y + z = ()x + 4y 5z 9 = 与 x + 6y + 6z 7 = 9.() 求点 M (,,) 到平面 x y z + = 的距离. () 求点 M (,,) 到平面 x y z + = 的距离.. 求平行于平面 x + y z = 且距离为 的平面方程. x = 5 + t. 判断直线 y = 6 平行于哪个坐标轴. z = x + y z. 若平面 π 过点 M (,,5) 且与直线 L : = = 垂直, 求 π 的方程.. 求过点 A (,,) 和 B (, 4,) 的直线方程. x + y + z = 4. 将直线 L : 化为标准方程和参数方程. x y + 5z 5 = 5. 求过点 (,,4) 且与平面 x y + z 4 = 垂直的直线的方程. x y z 6. 求过点 (4,,) 且平行于直线 = = 的直线方程. 5 x y + 4z 7 = 7. 求过点 (,, ) 且与直线 垂直的平面方程. x + 5y z + = x + z 4 = 8. 求过点 A (,, ) 且平行于直线 的直线方程. y + z 5 = 9. 确定下列直线与平面间的位置关系 : x y + z () = = 与 5x y 4z + 7 = 8 x y z + 8 () = = 与 x + 6y z + 9 = 5 x y z + x y + z. 求直线 L : = = 和 L : = = 的夹角. 4 57
18 高等应用数学 ( 上册 ) 5.4 曲面与空间曲线 一 曲面方程的概念 在空间中, 任何一个曲面都可看成是按一定规律运动的点的轨迹, 因此在引进空间直角坐标系 oxyz 后, 曲面上点的坐标应满足一定的条件, 也就是满足一个方程式, 一般地, 满足 一个三元方程 F ( x, y, z ) = (5.4.) 的点 M ( x, y, z ) 的轨迹形成一个曲面 S, 如果曲面 S 上的点都满足方程 (5.4.), 而不在曲面 S 上的点都不满足方程 (5.4.), 则称 (5.4.) 式为曲面 S 的方程, 曲面 S 就称为方程 (5.4.) 的图形. 二 几种特殊曲面. 球面球心在点 M ( x, y, z ), 半径为 R 的球面, 由于球面上任一点 M ( x, y, z ) 到 M ( x, y, z ) 的距离满足 M M = R, 即 或 ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = R (5.4.) 这就是以点 M ( x, y, z ) 为球心, R 为半径的球面方程, 如图 5.4. 所示, 特别地, 球 心在坐标原点, 半径为 R 的球面方程为 x + y + z = R.. 柱面 图 5.4. 先分析一个具体的例子. 例 5.4. 方程 x + y = R 表示怎样的曲面? 解方程 x + y = R 在 xoy 面上表示圆心在原点 O, 半径为 R 的圆, 在空间直角坐标系 中, 这方程不含竖坐标 z, 即不论空间点的竖坐标 z 怎样, 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满 足这个方程, 那么这些点就在曲面上, 也就是说, 凡通过 xoy 面内圆 x + y = R 上一点 58
19 M ( x, y, ) 第 5 章空间解析几何, 且平行于 z 轴的直线 L 都在这个曲面上, 因此, 这个曲面可以看做是由平行于 z 轴 的直线 L 沿 xoy 面上的圆 x + y = R 移动而形成的. 这个曲面叫做圆柱面 ( 如图 5.4. 所示 ), xoy 面上的圆 x + y = R 叫做它的准线, 这平行于 z 轴的直线 L 叫做它的母线. 图 5.4. 一般地, 直线 L 沿定曲线 C 平行移动形成的轨迹叫做柱面, 定曲线 C 叫做柱面的准线, 动直线 L 叫做柱面的母线. 一般地, 形如 F ( x, y ) = 的方程 ( 特点为不含变量 z ), 在平面直角坐标系 xoy 中表示一 条曲线 C, 在空间直角坐标系 oxyz 中表示以 xoy 面上的曲线 C 为准线, 母线平行于 z 轴的柱面. 类似地, 形如 G ( x, z ) = 的方程 ( 不含 y ), 表示以 zox 面上的曲线 G ( x, z ) = 为准线, 母 线平行于 y 轴的柱面 ; 形如 H ( y, z ) = 的方程 ( 不含 x ), 表示以 yoz 面上曲线 H ( y, z ) = 为 准线, 母线平行于 x 轴的柱面. 例如, 在空间直角坐标系中, 方程 x + y = 表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面 ( 如图 5.4. 所示 ). z = x 表示母线平行于 y 轴的抛物柱面, 如图 所示. 图 5.4. 图 二次曲面下面介绍几种常见的二次曲面. () 椭球面由方程 59
20 高等应用数学 ( 上册 ) x y z + + = ( b c 为正的常数 ) (5.4.) b c 所确定的曲面叫椭球面, 其中 b c 称为半轴, 如图 所示. 图 由方程 (5.4.) 易知, 此椭球面关于 个坐标面 个坐标轴以及原点对称, 原点叫做椭 球面中心, 当 = b = c 时, 方程 (5.4.) 表示半径为 的球面. () 双曲面 由方程 所确定的曲面叫做双曲面. 其中由 x y z + = ± ( b c 为正的常数 ) b c 所确定的曲面叫做单叶双曲面, 如图 所示. x y z + = (5.4.4) b c 图 由 x y z + = (5.4.5) b c 所确定的曲面叫做双叶双曲面, 如图 所示. 6
21 第 5 章空间解析几何 图 () 锥面由方程 x y + = ( b 为正的常数 ) (5.4.6) b z 所确定的曲面叫做椭圆锥面, 如图 所示. 当 图 = b 时, 方程表示的曲面叫做圆锥面. (4) 抛物面 由方程 所确定的曲面叫做抛物面. x 当平方项同号, 即 x 当平方项异号, 即 x y ± = z ( b 为非零常数 ) (5.4.7) b y + = z 时, 叫做椭圆抛物面, 如图 所示. b y = z 时, 叫做双曲抛物面, 如图 5.4. 所示. b 6
22 高等应用数学 ( 上册 ) 图 图 5.4. 三 空间曲线的方程. 空间曲线的一般方程 空间曲线可以看做两个曲面的交线. 设两个曲面方程为 F ( x, y, z ) = 和 G( x, y, z ) =, 它们的交线为 C, 因曲线 C 上任一点的 坐标同时满足这两个方程, 而不在曲线 C 上的点的坐标不能同时满足这两个方程, 所以方程组 F ( x, y, z ) = (5.4.8) G ( x, y, z ) = 就是曲线 C 的方程, 叫做曲线 C 的一般方程. x y z 例如, + + = z = 表示平面 z = 上的半径为, 圆心在 (,,) 的圆周. x + y = 类似地, 中, 第一个方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面, 其准线是 xoy 面上 x + z = 6 的圆, 圆心在原点 O, 半径为 ; 第二个方程表示一个母线平行于 y 轴的柱面, 由于它的准线 是 zox 面上的直线, 因此, 它是一个平面. 方程组就表示这个平面与圆柱面的交线, 如图 5.4. 所示. 图
23 . 空间曲线的参数方程 第 5 章空间解析几何 空间曲线也可以看做动点的运动轨迹, 因而曲线 L 上点的坐标可表示为参数 t ( 如 t 为时 间或角度等 ) 的函数 x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) (5.4.9) 则这个方程组叫做空间曲线的参数方程, 变量 t 叫做参数. 例 5.4. 设空间一点 M 在圆柱面 x + y = 上以角速度 ω 绕 z 轴旋转, 同时以速度 v 沿 平行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 v ω 都是常数 ), 试建立点 M 的轨迹的参数方程. 解取时间 t 为参数, 设 t = 时, 动点位于点 A (,, ), 如图 5.4. 所示, 经过时间 t, 动点运动到点 M ( x, y, z ) 处, 旋转角为 ω t, 由于动点 M 在圆柱上运动, 所以动点的坐标 x y 满足柱面的准线方程 这条曲线叫做螺旋线, 如图 5.4. 所示. x = cos ω t y = sin ω t z = v t. 空间曲线在坐标面上的投影 我们已知, 方程组 图 5.4. F ( x, y, z ) = G ( x, y, z ) = (5.4.) 表示空间曲线 C 的一般方程. 以下, 我们来研究由方程 (5.4.) 消去变量 z 后所得的方程 H ( x, y ) =. (5.4.) 首先, H ( x, y ) = 表示母线平行于 z 轴的柱面, 其次它是由方程组 (5.4.) 消去变量 z 而得. 因此, 当 x y 和 z 满足方程组 (5.4.) 时, 前两个数 x y 必定满足方程 (5.4.), 这 说明曲线 C 上所有的点都在由方程 (5.4.) 所表示的曲面上, 即此柱面必包含曲线 C, 或者说此柱面通过曲线 C. 由以上结果可知, 方程 H ( x, y ) = 表示通过曲线 C 且母线平行于 z 轴的 柱面, 这个柱面叫做曲线 C 关于 x oy 面的投影柱面. 另将投影柱面的方程 H ( x, y ) = 与 x oy 面的方程 z = 联立起来所得的曲线 6
24 高等应用数学 ( 上册 ) H ( x, y ) = z = 叫做曲线 C 在 x oy 面上的投影曲线 ( 或简称为投影 ). 同理, 可讨论空间曲线 C 在 yoz 面和 zox 面上的投影曲线的方程. 例 5.4. 求曲线 C z = x + y y = 在坐标面上的投影曲线的方程. 解从曲线 C 的方程中消去变量 z, 得 z = /. 这是 C 关于 xoy 面的投影柱面. 于是曲线 C 在 xoy 面的投影曲线方程为 这是 xoy 面上的一条直线. y = z = 从曲线 C 的方程中消去变量 y, 得 z = x +. 这是 C 关于 zox 面的投影柱面. 于是在 zox 面的投影曲线方程为 z = x + y = 这是 zox 面上的一条抛物线. 从 C 的方程中消去 x, 得曲线 C 关于 yoz 面的投影柱面 y =. y = C 在 yoz 面的投影曲线方程为, 表示 yoz 面上的一条半直线. x = 思考题 : () 在空间直角坐标系中, 三元方程 F( x, y, z ) = 表示的图形为. (5.4.) () 空间曲线可以视为两个曲面的交线, 因此, 在空间直角坐标系中, 可以由 表示空间曲线. 习题 5.4 ( 曲面部分 ). 求下列各球面的方程 :() 球心在 (,,), 且通过坐标原点 ;() 一条直径的两个 端点是 (,,5) 和 (4,, ).. 求下列球面的球心和半径 : () x + y + z x + z = () x + y + z 4x + 8y 8z 4 =. 求下列曲线绕指定轴旋转一周所生成的曲面方程 : () xoz 平面上的的抛物线 z = 5 x, 绕 x 轴. 64
25 () xoy 平面上的圆 x + y = 9, 绕 x 轴和 y 轴. () xoz 平面内的双曲线 4x z =, 绕 x 轴. 4. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形 : x y () = 4 6 () x = () x + y = (4) y = x 第 5 章空间解析几何 5. 一动点 P 与 (,5, 4) 和 ( 7,,6) 两点等距离, 又与 (4, 6,) 和 (,8,5) 两点等距离, 求此 动点 P 的轨迹. ( 空间曲线部分 ). 指出下列方程在平面解析几何中与空间解析几何中分别表示什么图形 : y = 5 x () y = x x + y = 4 () z = 4. 求球面 x + y + z = 与 x + z = 的交线在 xoy 面上的投影的方程. x + y + z = 6. 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴, 而且通过曲线 的柱面的方程. x y + z = 4. 将下列曲线的一般方程化为参数方程 : x z () + = x + y = ( x ) y ( z ) 4 () = z = x + y = z 5. 求曲线 C : 在坐标平面 xoy 和 yoz 内的投影曲线的方程. y = z * 5.5 简介 Mthemtic 在空间解析几何中的运用 向量方法是研究空间问题的基本方法, 而空间曲面又是学习空间问题的主要方面之一. 本 节我们在前面介绍了曲面及向量方法的基础上, 再借助现代化的教学手段, 简介用数学软件 Mthemtic 进行向量的运算和空间曲面图形的绘制 利用 Mthemtic 进行向量的运算 向量的运算命令与功能如表 5.5. 所示. 表 5.5. 命令 功能 + b, b 向量 与 b 的加减法 µ ( µ 为常数 ) 数量 µ 与向量 的乘积 Dotproduct[, b ] 向量 与 b 的数量积 Crossproduct[, b ] 向量 与 b 的向量积 65
26 高等应用数学 ( 上册 ) 我们在进行向量的相关运算时除了上述一些运算外, 还要考虑到向量模的运算. 而在 mthemtic 中没有直接提供计算向量的模的命令, 为了满足需要我们可以利用以前学过的相关知识来定义. = x i + y j + z k, 则向量 的模 m[ _] = sqrt[ ] 设 下面我们结合具体问题介绍向量的加法 减法 数量积 向量积以及向量的模的求法 : 例 5.5. 已知设 = i + j k, b = i + j + 4 k, 求向量 + b, b,6, b, b 并计算向量 的模及 b 的模. 解 5.5. 利用 Mthemtic 绘制空间曲面 三维空间曲面我们已认识了平面 柱面 旋转曲面 椭球曲面 单叶双曲面 双叶双曲 面 双曲抛物面等, 虽然我们已经知道空间的任一曲面都与一个二元函数对应, 但是如果给出 一个二元函数, 即使是一元的, 绘制其曲面也是非常困难的. 前面我们学习的几种曲面也只限 于几种简单 可循其规律性的曲面, 而对于其它曲面的认识, 我们通过数学软件 mthemtic 便可目睹千姿百态的曲面图形. 下面简介该软件绘图的基本方法. 命令格式 : plotd[f,{x,x min,x mx},{y,y min,y mx }] 功能 : 描绘函数 z = f ( x, y ) 的图形 ( x ( xmin, xmx ), y ( ymin, y mx ) ) 例 5.5. 画出函数 z = ( x + y ) 的图形 解 66
27 第 5 章空间解析几何 注 :PlotRnge {,} 表示指定 z 轴的显示范围为 到. 例 5.5. 画出函数 y = z 的图形. 解 x y 例 画出函数 z = + 的图形. 4 8 解 67
28 高等应用数学 ( 上册 ) 例 画出函数 z = sin xy 的图形. 解 习题 5.5. 选用合适的作图命令画出下列方程所表示的曲面 : () x y z = 4 () x + y z = 9 () x y = z (4) y + z = (5) y = x (6) x = y. 作出下列各组曲面所相交的图形 : x y () + = 4 9 x = () x + y = x + z = y = x () y = x x = y (4) x + z = 复习题 5. 选择题 = () 设 {,, }, = {,, } b, λ 为非零常数, 若 + λ b 垂直于, 则 λ 等于 ( ). A. B. C. D. () 设向量, b 的夹角为 θ, 与其同方向的单位向量为, b, 则 在上 b 的投影为 ( ). A., b B., b b C. sinθ D. b cosθ 68
29 第 5 章空间解析几何 () 以下等式正确的是 ( ). A. i + j = k j C. i i = j j x y z (4) 设直线 L 方程为 = = 则直线 L ( ). B. i + j = k j D. i i = i i A. 过原点且平行于 x 轴 B. 不过原点但平行于 x 轴 C. 过原点且垂直于 x 轴 D. 不过原点但垂直于 x 轴 (5) 平面 x y 6 = 的位置是 ( ). A. 平行于 xoy 面 B. 平行于 z 轴, 但不经过 z 轴 C. 垂直于 z 轴 D. 通过 z 轴 x y z (6) 设直线 L : = =, 平面 π : x + y + 4z + 4 =, 则它们的关系为 ( ). 4 A. 垂直 B. 斜交 C. 平行但直线不在平面上 D. 直线在平面上 x y + = (7) 方程组 4 9 在空间解析几何中表示的图形是 ( ). y = A. 椭圆柱面 B. 椭圆曲线 C. 两条平行直线 D. 平行于 z 轴的一条直线. 填空题 () 点 (,,) 与点 (,,) 关于 平面对称. () 向量 = i + 4 j k 的负向量是, =. () 设 = {,, }, b = {,, }, 则向量 与 b 的夹角为. (4) 向量, b 满足 b =, 则必有. (5) 若向量 d 垂直于向量 = {,, } 与 b = {,, }, 且与 c = {,, } 的数量积等于 6, 则向量 d =. x = + t (6) y = 是平行于 坐标轴的直线. z = (7) 平面 x z = 5y + 的法向量为. (8) 设平面 π 过点 (,, ), 且与平面 4x y + z 8 = 平行, 则平面 π 的方程为.. 已知点 A (,, 4), B(, x, 4) 且 AB = 5, 求 x 的值. 4. 一向量的终点在点 B (,,), 它在坐标轴上的投影依次为,,, 求这向量的起点 A 的坐标. 5. 设 = {,,} b = {,,}, 求 + b, b, b. 6. 如果向量 = m n, b = m + n, m 和 n 是互相垂直的单位向量, 试 b 7. 求同时垂直于 = i j + k, b = i j k 的单位向量. 69
30 高等应用数学 ( 上册 ) π 8. 设 =, b =,(, b ) =, 求向量 + b 与 b 的夹角 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A(,,), B (,4,5) 和 C (, 4,7), 求三角形 ABC 的面积.. 一直线过点 M (,,5) 且与两平面 x 4z = 和 x y 5z = 的交线平行, 求该直线方程. x y + z x + 5 y z +. 求过点 M (,, ) 且平行于直线 = = 和 = = 的平面方程. x + y + z = x y z =. 求直线 与 间的夹角. x y + z + = x y + z + =. 直线 L : x + y = 与平面 π : x + y z = 是否平行? 若不平行, 求直线 L 与面 π x + z = 的交点 ; 若平行, 求直线 L 与平面 π 间的距离. 4. 已知动点 M ( x, y, z ) 到 xoy 平面的距离与点 M 到点 (,,) 的距离相等, 求点 M 的轨 迹的方程. 5. 求点 (,,) 在平面 x + y z + = 上的投影. x + y + z = 5 6. 求曲线 在 xoy 平面上的投影曲线的方程. z = 本章小结. 空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标 ;. 空间直角坐标系中任意两点 p ( x, y, z ), p ( x, y, z ) 间的距离公式 : d = p p = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). 空间向量的有关概念及向量的坐标表示 ; 4. 空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算 ; 5. 空间向量模的坐标表示 : 设向量 = { x, y, z }, 其模 = x + y + z. 向量 的单位向量 : xi + y j + z k = = {cos α,cos β,cos γ }. x + y + z 6. 向量的数量积 : 对于给定的向量, b, 数 b cos <, b > 称为向量 和 b 的数量积, 记 作 b = b cos <, b > ; 7. 向量的向量积 : 两个向量 和 b 的向量积是一个向量, 记作 b, 它的模和方向分别 定义为 : () b = b sin <, b > ; () b 垂直于 和 b, 且, b, b 成右手系. 8. 数量积 向量积的坐标运算法 : 设 = {,, }, b = { b, b, b }, x y z x y z 7
31 i j k 则 b = x bx + y by + z b z, b = x y z b b b x y z 第 5 章空间解析几何 9. 两向量垂直 平行的条件及判定 : x y z () 两向量 b b = λ b = 与 b 的对应坐标成比例 = =. bx by b z () 两向量 b b = x bx + y by + z b z =.. 方向余弦 向量投影的坐标表达式及有关计算 : 设 = { x, y, z}, b = { bx, by, b z } 则向量 的方向余弦 : cos α = x,cos β = y,cos γ = z 且 x y z x y z x y z cos α + cos β + cos γ =. b 投影公式 : Pr j = cos(, b) = = b. b b F( x, y, z ) =. 空间曲线的一般方程 : G( x, y, z ) = x = x( t ). 空间曲线的参数方程 : y = y( t ) ( t 为参数 ) z = z( t ) F( x, y, z ) =. 空间曲线在坐标平面内的投影 : G( x, y, z ) = H ( x, y ) 消去 z 得 H ( x, y ) =, 则 = 是曲线 在坐标面 xoy 面上投影. z = R( x, z ) = T ( y, z ) = 同理, 和 是曲线 分别在 xoz 面和 yoz 面上的投影. y = x = 4. 平面的点法式方程 : M ( x, y, z ) 是平面的一点,n = Ai + Bj + Ck 是该平面的法向量, 则此平面的方程为 : A( x x ) + B( y y ) + C( z z ) =. 5. 平面的一般式方程 : Ax + By + Cx + D = ( A, B, C 不能同时为 ). 6. 平面外一点 p ( x, y, z ) 到平面 π : Ax + By + Cz + D = 的距离 d 的公式 : d = Ax + By + Cz + D. A + B + C π 7. 平面 π 和平面 π 的夹角为 θ ( < θ < ), π 的法向量为 n, π 的法向量为 n, 则有 n n cos θ =. n n 7
32 高等应用数学 ( 上册 ) 8. 直线的一般式 对称式 参数式方程及其求方程的方法. A x + B y + Cz + D = 一般式 : A x + B y + C z + D = x x y y z z 对称式 : = = m n p x = x + mt 参数式 : y = y + nt z = z + pt 三种方程形式的相互转化. (t 为参数 ) 9. 两直线垂直 平行的充分条件及其夹角公式 : 设直线 L 和直线 L 的方向向量依次为 : S = { m, n, p }, S = { m, n, p }, 若两直线垂直有 : L L m m + n n + p p = m n p 若两直线平行有 : L L = = m n p mm + nn + p p π 若两直线相交有 : cos ϕ =, ( < ϕ < ) m + n + p m + n + p. 空间直线与平面的位置关系 : 设直线 L 的方向向量 s = { m, n, p }, 平面 π 的法向量 n = { A, B, C }, A B C 直线 L 与平面 π 垂直有 : L π = = m n p 直线 L 与平面 π 平行有 : L π Am + Bn + Cp = π 直线 L 与平面 π 的夹角 ϕ ( ϕ < ) 由下列公式给出 : Am + Bn + Cp sin ϕ = A + B + C m + n + p. 数学家简介 笛卡儿 笛卡儿 (596 65), 法国哲学家, 数学家, 物理学家, 解析几何学奠基人之一. 他认为数学是其他一切科学的理论和模型, 提出了数学为基础, 以演绎为核心的方法论, 对后世的哲学 数学和自然科学发展起到了巨大的作用. 笛卡儿认为 : 应该把几何学的问题归结成代数形式的问题, 用代数学的方法进行计算 证明, 从而达到最终解决几何问题的目的. 依照这种思想他创立了我们现在称之为的 解析几何学.67 年, 笛卡儿发表了 几何学, 创立了直角坐标系. 他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离, 用坐标来描述空间上的点. 他进而又创立了解析几何学, 表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式, 而且可以通过代数变换来实现发现几何性质, 证明几何性 7
33 第 5 章空间解析几何 质. 几何学 确定了笛卡儿在数学史上的地位, 几何学 提出了解析几何学的主要思想和方 法, 标志着解析几何学的诞生, 思格斯把它称为数学的转折点, 以后人类进入变量数学阶段. 同时他也是欧洲近代哲学的奠基人之一, 黑格尔称他为 现代哲学之父. 他自成体系, 熔唯物主义与唯心主义于一炉, 在哲学史上产生了深远的影响. 始祖. 笛卡儿堪称 7 世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一, 被誉为 近代科学的 7
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
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3. 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 曲面的实例 : 水桶的表面 台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一 曲面方程的概念
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
高等数学7
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
(4 ) 垂直 故可取 即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程 所求平面方程为 确定平面的另一类条件是 不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面 设 平面 所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此 和 与平面的法向量 垂直 即可以取法向量
教案 平面和直线 教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象 是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型 由于曲线在局部可以用它的切线来近似 曲面在局部可以用它的切平面来近似 所以平面和直线也是几何和分析中 以直代曲 的最基本元素 因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要 而且是必须要掌握的数学工具 在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 平面和直线的代数表示 即它们的方程的形式如何?
第7章
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算 ( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
第一节 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何 教师 : 薛留堂 邮箱 : uelt@nu.edu.cn 办公室 : 后主楼 3 第一节 第八章 向量及其其线性运算 一 向量的概概念二 向量的线线性运算三 空间直角角坐标系四 利用坐标标作向量的线性运算五 向量的模模 方向角 投影 一 向量的概念 向量 : 既有大小, 又有方向向的量称为向量 ( 又称矢量 ). 表示法 : 有向线段 M M M, 或, 或. M 自由向量
第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
T 分 6 分 分 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分 分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为 名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分 故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为
6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误,
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科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 应用微积分 ( 下册 ) 刘春凤主编 米翠兰彭亚绵副主编 刘琳琳袁书娟参编 北京 内容简介枟应用微积分枠面向接受高等教育的成人和大中专学生 内容主要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 选编了向量代数 空间解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书结构严谨 逻辑清晰 ; 约简理论推导 强调方法阐述
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
第一章 基 本 知 识
第 节向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 第 节点的坐标与向量的坐标 6 空间直角坐标系 6 向量的坐标表示 8 3 向量的模 方向角 4 向量的投影 第 3 节向量的乘法运算 4 3 两向量的数量积 4 3 两向量的向量积 8 33 向量的混合积 第 4 节平面 4 4 平面的方程 5 4 点到平面的距离 8 43 两平面的位置关系 9 第 5 节空间直线 3 5 空间直线的方程 3 5
标题
微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 ) 李红英 主编 图书在版编目 (CIP) 数据微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 )/ 李红英主编. 上海 : 华东理工大学出版社,2014.2 ISBN978 7 5628 3454 0 Ⅰ.1 微 Ⅱ.1 李 Ⅲ.1 微积分 高等学校 教学参考资料 Ⅳ.10172 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2014)
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
作者 : 闫浩 ( 年 月 段弧 标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 标 其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c
作者 : 闫浩 ( 年 月 微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周 一 第二型曲线 曲面积分 三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线 为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法 用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成 计算 d si si d BC cos d si d cos
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1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - 参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.
高一数学练习2004
北京市西城区 06 07 学年度第一学期期末试卷 高二数学 ( 文科 ) 07. 试卷满分 :50 分 考试时间 :0 分钟 题号一二 分数 三 5 6 7 8 9 0 本卷总分 一 选择题 : 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合要求的. x. 双曲线 y 的一个焦点坐标为 ( ) () ( 0) () (0 ) () ( 0) () (0
2018/5/25 预览页 2016 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择 1. 设集合 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 8}, 则 A B = ( ). A. {4, 8} B. {0, 2, 6} C. {0, 2, 6, 10} D. {0, 2, 4
06 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择. 设集合 A = {0,,, 6, 8, 0}, B = {, 8}, 则 A B = ( ). A. {, 8} B. {0,, 6} C. {0,, 6, 0} D. {0,,, 6, 8, 0} z. 若 z = + i, 则 = ( ). z A. B. C. + i D. i. 已知向量 BA = (, ), BC = (, ), 则 ABC
北京第二中学分校初三上期中（20个新题）
如图 在 BC 中 DE BC E : EC : 3 DE 4 则 BC 等于 ( ) D E B C 0 B 8 C 9 D 6 答案 解析 E : EC : 3 E C 5 DE BC DE BC DE E BC C 5 4 即 BC 5 解得 BC 0 已知图中各有两个三 形 其边长和 的度数已在图上标注 ff808084a9e7804a380bdf3a3063 3 如图 在平 四边形 BCD
2009年课标甲乙
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半
2 2 12 12 4 81 = 108 3 2 108 = 72 3 4 72 = 96 3 2 96 = 64 3 12 t = 2 1 2 11 12 12 12 2 l 2 l 2 l 2 12 ò ED = CB DA BA DE
北京中考微信公众号（BJ_zkao）
015 北京三帆中学初一 ( 下 ) 期中 数 学 班级 姓名 学号 分层班级 成绩 一 选择题 ( 每题 分, 共 0 分 ) 注意 : 时间 100 分钟, 满分 10 分 ; 1. 的相反数是 ( ). 1 B. C. 1. +1. 下列图形中, 不能.. 通过其中一个四边形平移得到的是 ( ) () (B) (C). B. C. ().. 若 a
untitled
arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
PowerPoint 演示文稿
6.6 积分在物理上的应用 一 质心二 转动惯量三 引力 一 质心 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在 上连续, 平面薄片的质心 当薄片是均匀的,
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
学年北京市第七中学九年级上学期期中数学试题（含答案）
( 重题 :9) 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测试卷 九年级数学 015 年 11 试卷满分 :10 分考试时间 :10 分钟 选择题 ( 本题共 30 分 每 题 3 分 ) 下 各题均有四个选项 其中只有 个是符合题意的 1 抛物线 = ( x 1) + 的顶点坐标是 ( ) A (1 ) B (1 ) C ( 1 ) D ( 1 ) 解答 解: = ( x 1) + 的顶点坐标为
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
1.doc
南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 008-009 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建 www.fneprnt.n 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 :
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解析几何 陈抚良张振兰黄浩然编 北京 内容简介 本书针对中学新课标和大学面向 21 世纪教学改革的实际, 系统地介绍了空间直角坐标系及其相关概念 空间的平面和直线 常见的曲面与曲线 空间区域及作图 一般二次曲线方程的化简与作图 几何学发展及前沿概况等. 本书适合于师范类高校作为必修课的教材或参考书, 也可供高等院校理工类学生 大学自考生 中等学校数学教师 工程技术人员学习使用. 图书在版编目 (CIP)
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
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杨浦区 2017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效. 2. 除第一 二大题外,
杨浦区 017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 018.1 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 5 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效.. 除第一 二大题外, 其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一 选择题 :( 本大题共 6 题,
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
危险化学品废物的处理
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一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
B3C1
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一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
2008年全国初中数学联合竞赛
017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
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CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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ⅠⅡ 1 2Ⅲ Ⅳ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Microsoft Word - 高二上期考.doc
0-0 高二上期考 命题上 若 >-, 则 >-6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中, 真命题有 个 个 个 D 4 个 已知 b 是实数, 则 >0 且 b>0 是 +b>0 且 b>0 的 ( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 D 不充分不必要条件 已知 = i j+ λk, b= i+ 4j 5k( i, j, k是两两垂直的单位向量 ), b - D -4 4 由程序框图运行后输出的
序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改 革 的 不 断 进 行, 课 堂 学 时 越 来 越 少
工 程 力 学 (I) 试 用 讲 义 中 国 石 油 大 学 ( 北 京 ) 机 械 与 储 运 工 程 学 院 安 全 工 程 系 011 年 8 月 1 序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改
第一章
第一章向量代数. 已知平行四边形 ABCD 的对角线为 AC = α, BD = β, 求 AB, BC,CD, DA. 设 AD,BE,CF 是 Δ ABC 的三条中线, 已知向量 AB = α,ac = β, 求 AD, BE,CF 3. 向量 α, β 必须满足什么几何性质, 以下各式才成立 : + = ; α + β = λ( α β) α β α β 3 α + β = α β ; 4 α
2016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分, 每题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). A. B.
016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题 每小题 3 分 满分 30 分 每题给出的四个选项中 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中 是轴对称图形的是 ( )... C. D. 答案 解析 在平面内 如果把一个图形烟一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形称为 轴对称图形.
2008年全国初中数学联合竞赛
州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
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多元连续函数 多元函数 定义 11..1 设 D 是 R 上的点集 D 到 R 的映射 f : D R z 称为 元函数 记为 z = f 这时D 称为 f 的定义域 f D = 1 { z R z = f D} 称为 f 的值域 Γ={ z R + z = f D} 称为 f 的图象 例 11..1 1 b a z = 是二元函数 其定义域为 D= + 1 b a R 函数的图象是一个上半椭球面
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数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念 向量积的运算规律 向量积的坐标表示 两向量平行的充要条件 向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录 第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法
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资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编 一 方法建议 学而思高考研究中心 武洪姣 曲丹老师 圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后 充分的练习题目 以及掌握在解决题目的必要技巧 方法 主要选择好的方法 二 题型分类 (I) 向量表达相关的问题 向量的数量积与角度问题 直接考查向量的数量积计算 分别是证明是定值 求范围 和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
§7.3 微积分基本定理的推广
7. 微积分基本定理的推广 格林 (Green) 公式高斯 (Gauss) 公式与散度斯托克斯 (stokes) 公式与旋度小结 一 格林 (Green) 公式. 平面单连通区域设 为平面区域, 如果 内任一闭曲线所围成的部分都属于, 则称 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 区域边界曲线的正向 : 设 是区域 的边界曲线, 沿边界行走, 区域 总在左侧. 由 与 连成
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解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CB
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ;
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第 第三轮复 复习之 一 一模精品 品集萃 模 模块一 数与式 式 一模精华 再求值 ( + 例 天河一模 先化简 再 + ) 的正 其中 是小于 是 正整数 4 式 = 解析 + 当 = 时 原式 术表演风靡全 全国 小明也 也学起了刘谦 谦发明了一个 个魔术盒 当 当任意实数 例 广外一模 刘谦的魔术 对 ( b) 进入 入其中时 会 会得到一个新 新的实数 + b 例如把 ( ) 放入其中 就会得到
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
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38 5 216 1 1),2) 163318) 163318). API. TE256 A doi 1.652/1-879-15-298 MODE OF CASING EXTERNA EXTRUSION BASED ON THE PRINCIPE OF VIRTUA WORK 1) ZHAO Wanchun,2) ZENG Jia WANG Tingting FENG Xiaohan School
学年北京市第一六一中学九年级上学期期中数学试题（重题22）
北京 六 中学 06 届第 学期期中考试九年年级数学试题 班级 姓名 学号 考 须知 本试卷共 4 页 满分 0 分 考试时间 0 分钟 试卷答案 律填涂或书写在答题纸上 在试卷上作答 效 在答题纸上 选择题 作图题 铅笔作答 其他试题 字迹签字笔作答 4 考试结束后 将答题纸和草稿纸 并交回 一 选择题 ( 本题共 0 分 每 小题 分 ) 下 面各题均有四个选项 其中只有 一个是符合题意的 =
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
四川省教育厅
四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 川 教 函 2015 727 号 四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 关 于 举 办 2016 年 四 川 省 中 学 生 篮 球 比 赛 和 排 球 乒 乓 球 羽 毛 球 田 径 锦 标 赛 的 通 知 各 市 ( 州 ) 教 育 局 体 育 局 有 关 学 校 : 为 推 动 我 省 篮 球 排 球 乒 乓 球 运 动 的 发 展,
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平安大路 D 4. 易 已知直角三角形 中, 90,, 3, 若点 在坐标原点, 点 在 轴上. ⑴ 在平面直角坐标系中画出三角形 ; ⑵ 求点, 的坐标. 坐标系中的点的特征 5. 易 ( 中关村中学第二学期初一年级其中测试 ) 在平面直角坐标系中, 点 P ( ). 第一象限. 第二象限. 第三
各章节核心题系列 平面直角坐标系 35 题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (8)) 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 7 大题型 ) 平面直角坐标系的概念 一 坐标平面内点的位置的确定二 坐标系中点的特征三 坐标平面内的距离和面积 平面直角坐标系的变换 四 平移五 对称六 旋转七 综合 第二部分 : 经典例题 (35 道核心题 ) 坐标平面内点的位置确定. 易 小明家的坐标为,, 小丽家的坐标为,,
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
2008年全国初中数学联合竞赛
06 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在 评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () 用 [ x ]
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.