第章向量代数与何空间的结构 2015 年向量及其线性运算 1.1 向量的概念定义 1. 既有小又有向的量成为向量 ( 或量 ). 向量般粗体写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表数量. 在何上, 个向量 a

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崇宪苍
5 years ago
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1 1 解析几何选讲解析何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔费马等数学家创并发展. 它是代数法研究何对象之间的关系和性质的门何学分. 摘百度百科 (1) 与其说是何学的门分, 不如说是何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建点与实数对之间的对应关系 ; 得到曲线或曲与程之间的对应关系 ; 代数法研究何问题, 或何法研究代数问题. (2) 核思想 : 数形结合 (3) 分类 : 平解析何空间解析几何 (4) 参考教材 : 解析何, 尤承业著, 北京学出版社 ; 解析何, 丘维声著, 北京学出版社. (5) 预计课时 : 12 学时向量代数与何空间的结构空间中的平直线与常见曲坐标变换与次曲的分类正交变换与仿射变换射影何学初步例 1 ( 帕斯卡 (Pascal) 定理 ). 圆锥曲线的任内接六边形 ( 其顶点是两两不同的 ) 的三对对边的交点共线.

2 第章向量代数与何空间的结构 2015 年向量及其线性运算 1.1 向量的概念定义 1. 既有小又有向的量成为向量 ( 或量 ). 向量般粗体写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表数量. 在何上, 个向量 a 可以条有向线段来表, 其中这条线段的长度 AB 表 a 的. 起点 A 到终点 B 的指向表 a 的向. 规定长度相等并且向相同的有向线段表同个向量. 例 2. 平四边形 ABCD 中, AB = DC, AD = BC 个概念 : (1) 向量的也称为向量的长度, 向量 a 的长度记作 a ; (2) 长度为零的向量称为零向量, 记作 0, 零向量是唯向不确定的向量 ; (3) 与 a 长度相等并且向相反的向量称为 a 的反向量, 记作 a; (4) 如果向量 a 与 b 的向相同或者相反, 就说它们平, 记作 a b; 我们约定零向量与任何向量都平. (5) 如果向量 a 与 b 的向互相垂直, 就说它们垂直或正交, 记作 a b; 我们约定零向量与任何向量都垂直. 例 3. 对任向量 a 和任取点 A, 存在唯的点 B, 使得 AB = a. 并且 AB = 0 A = B; BA = AB. 1.2 向量的加法定义 2. 对于向量 a, b, 作有向线段 b 的和, 记作 c = a + b. 也就是 AB 表示 a, 有向线段 BC 表示 b, 把 AC 表示的向量 c 称为 a 和 AB + BC = AC. 2

3 1 向量及其线性运算 3 (1) 由这个公式定义的向量加法规则通常称为三形法则 ; (2) 向量的加法与起点的选择关 ; (3) 也可以从同起点 O 作则容易看出 OA 和 OB 分别表 a 和 b, 再以 OA 和 OB 为边作平四边形 OACB, OC 也表向量 a 与 b 的和 c. 这称为向量加法的平四边形法则. 命题 1 ( 向量加法运算所满的规律 ). 对任意向量 a, b 和 c, 有 (1) 交换律 : a + b = b + a; (2) 结合律 : (a + b) + c = a + (b + c); (3) a + 0 = a; (4) a + ( a) = 0. 定义 3. 向量的减法 : a b := a + ( b). 1.3 向量的数量乘法定义 4. 实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是个向量, 它的成都为 λa := λ a, 它的向当 λ > 0 时与 a 相同, 当 λ < 0 时与 a 相反. 对于任意向量 a, 由于 0a = 0 a = 0, 所以 0a = 0. 同理, 对切实数 λ, 都有 λ0 = 0. 命题 2 ( 向量数乘所满的规律 ). 对任意向量 a, b, 任意实数 λ, µ, 有 (1) λa = 0 λ = 0 或者 a = 0; (2) 1a = a, ( 1)a = a; (3) 结合律 : λ(µa) = (λµ)a; (4) 分配律 I: (λ + µ)a = λa + µa; (5) 分配律 II: λ(a + b) = λa + λb. 例 4. 由定义, λa a. 反过来, 如果 a 0, 并且向量 b a, 则 b 定是 a 的倍数. 只要令 λ = ϵ b, 这 a 里 { 1, 当 b 与 a 同向时 ; ϵ = 1, 当 b 与 a 反向时. 就有 b = λa. 为便起见我们把这个数 λ 记作 b/a. 需要注意的是, 这个记号只有当 a b 并且 a 0 时才有意义. 长度为 1 的向量称为单位向量. 如果 a 0, 则 a/ a 是与 a 同向的单位向量, 称为 a 的单位化.

4 2 何空间的线性结构共线 ( 共面 ) 的向量组向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算. 在何问题中应向量的线性运算时, 常常涉及到向量分解的概念. 设 a 1, a 2,..., a n 是组向量, λ 1, λ 2,..., λ n 是组实数, 称 λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n 为向量 a 1, a 2,..., a n 的个线性组合, λ 1, λ 2,..., λ n 是这个组合的系数, 它也是个向量. 如果向量 b 等于 a 1, a 2,..., a n 的个线性组合, 即存在组实数 λ 1, λ 2,..., λ n, 使得就说 b 可对 a 1, a 2,..., a n 分解. b = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n, 定义 5. 如果组向量平于同直线, 就称它们共线 ; 如果组向量平于同平面, 就称它们共面. 向量组 a 1, a 2,..., a n 共线 ( ) 也就是 : 当同起点 O 作有向线段 OA i = a i (i = 1, 2,..., n), O, A 1,..., A n 共线 ( ). 个性质 : (1) 两个向量共线就是它们平 ; (2) 向量组共线也就是其中任何两个向量都平, 向量组共也就是其中任何三个向量都共 ; (3) 如果三个向量中有个是零向量, 或者其中有两个共线, 则它们共 ; (4) 如果 c 可以对 a, b 分解, 则 a, b, c 共. 定理 1 ( 向量共线定理 ). 若向量 a 与 b 共线, 并且 a 0, 则存在唯的实数 λ, 使得 b = λa. 推论 1. 向量 a 与 b 共线的充分必要条件是, 存在不全为零的实数 λ, µ, 使得 λa + µb = 0. 定理 2 ( 向量分解定理 ). 且其分解式唯. (1) 如果三个向量 a, b, c 共面, 并且 a, b 不共线, 则 c 可以对 a, b 分解, 并 (2) 如果 a, b, c 不共面, 则任何向量 d 都可以对 a, b, c 分解, 并且分解式唯. 推论 2. 向量 a, b, c 共面的充分必要条件是, 存在不全为 0 的实数 λ, µ, ν, 使得 λa + µb + νc = 0. 2 几何空间的线性结构假设 V 是何空间中所有点组成的集合. 如果取定空间中的个点 O, 以 O 为起点的向量称为定位向量. 于是定位向量组成的集合与 V 有个对应关系 : OM 对应于终点 M. 于是 V 也可以看成由所有定位向量所组成的集合. 由于向量的平移不变性, V 亦可看作所由向量所组成的集合.

5 2 何空间的线性结构向量和点的仿射坐标直角坐标由定理 2(2) 给出了何空间 V 的线性结构 : 即只要给出了 V 中的三个不共的向量, 那么 V 中的所有向量就了如指掌了. 定义 6. 何空间 V 中任意三个有次序的不共面向量 d 1, d 2, d 3 称为 V 的组基. 对于何空间中任向量 α, 若 α = xd 1 + yd 2 + zd 3, 则把三元有序实数组 (x, y, z) 称为 α 在基 d 1, d 2, d 3 下的坐标, 记作 x y z, 或 (x, y, z). 向量有了坐标后, 我们再对空间中的点也引进坐标. 定义 7. 何空间中的个点 O 和组基 d 1, d 2, d 3 合在起称为何空间的个仿射标架或仿射坐标系, 记作 [O; d 1, d 2, d 3 ], 其中 O 称为原点. 对于何空间中的任意点 M, 把它的定位向量 OM 在基 d 1, d 2, d 3 下的坐标称为点 M 在仿射标架 [O; d 1, d 2, d 3 ] 中的坐标. 命题 3. 点 M 在 [O; d 1, d 2, d 3 ] 中坐标为 (x, y, z) 的充分必要条件是 OM = xd 1 + yd 2 + zd 3. 取定个仿射标架后, 由定理 2(2) 知, 何空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建了对应 ; 通过定位向量, 何空间中全体点的集合与全体有序三元实数组之间也建了对应. 取定仿射标架 [O; d 1, d 2, d 3 ], (1) 过原点 O 且分别以 d 1, d 2, d 3 为向的有向直线分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 统称为坐标轴 ; (2) 由每两根坐标轴决定的平称为坐标平, 它们分别为 Oxy 平, Oyz 平, Ozx 平 ; (3) 坐标平将空间分为个部分, 称为个卦限 ( 维空间中, 为象限 ); (4) 右四指 ( 拇指除外 ) 从 x 轴向弯向 y 轴向 ( 转于 π), 如果拇指所指的向与 z 轴向在 Oxy 平的同侧, 则称此坐标系为右坐标系, 简称右系. 反之称为左坐标系, 简称左系. 定义 8. 如果 e 1, e 2, e 3 两两垂直, 并且它们都是单位向量, 则 [O; e 1, e 2, e 3 ] 称为个直角标架或直角坐标系. 注意到若单位向量 e 1, e 2, e 3 两两垂直, 则它们定不共, 因此直标架是特殊的仿射标架. 点 ( 或向量 ) 在直坐标系中的坐标称为它的直坐标, 在仿射坐标系中的坐标称为它的仿射坐标.

6 2 何空间的线性结构用坐标做向量的线性运算取定仿射标架 [O; d 1, d 2, d 3 ], 设 a 的坐标为 (a 1, a 2, a 3 ), b 的坐标为 (b 1, b 2, b 3 ), 则 (1) a + b 的坐标是 (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) ; (2) λa 的坐标是 (λa 1, λa 2, λa 3 ). 命题 4. 向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标. 2.3 三点共线的条件定理 3 ( 三点共线的条件 ). 设向量 a 与 b 在空间仿射标架 [O; d 1, d 2, d 3 ] 中的坐标分别是 (a 1, a 2, a 3 ) 和 (b 1, b 2, b 3 ), 则 a 与 b 共线的充分必要条件是 a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 b 1 a 3 b 3 = a 2 b 2 a 3 b 3 = 0. 推论 3. 假设 A, B, C 三点的坐标分别为 (x 1, y 1, 1), (x 2, y 2, 1), (x 3, y 3, 1), 则 A, B, C 三点共线的充分必要条件为 2.4 线段的定比分点 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = 定义 9. 对于线段 AB (A B), 如果点 C 满 AC = λ CB, 则称点 C 分线段 AB 成定比 λ. 根据定义, 我们知道 (1) 当 λ > 1 时, AC 与 CB 同向, 点 C 在线段 AB 的内部, 称 C 为内分点 ; (2) 当 λ < 1 且 λ 1 时, AC 与 CB 反向, 点 C 在线段 AB 的外部, 称 C 为外分点 ; (3) 当 λ = 0 时, 点 C 与点 A 重合 ; (4) 假如 λ = 1, 则得 AC = CB, 即 AB = 0, 盾, 所以 λ 1. 命题 5. 如果点 C 分线段 AB 成定比 λ, 并表示成 (A, B, C), 则有 (1) (A, B, C)(B, A, C) = 1; (2) (A, B, C) + (A, C, B) = 1. 命题 6. 设 A, B 的坐标分别是 (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), 则分线段 AB 成定比 λ (λ 1) 的分点 C 的坐标是 x = x 1 + λx λ, y = y 1 + λy λ, z = z 1 + λz λ. 例 5. 请用坐标法证明 : 四面体对棱中点的连线交于点.

7 2 何空间的线性结构 7 例 6 (Menelaus 定理 ). 设点 P, R 分别内分 ABC 的边 AB, CA 成定比 λ, ν; 点 Q 外分边 BC 成定比 µ, 证明 : 三点 P, Q, R 共线 λµν = 1. 例 7 (Ceva 定理 ). 设点 P, Q, R 分别内分 ABC 的边 AB, BC, CA 成定比 λ, µ, ν, 证明 : 三线 AQ, BR, CP 共点 λµν = 1. 以上是解析几何第一次课讲义作业 1. 设 A, B, C 是不在直线上的三点, 证明 : 点 M 在 A, B, C 决定的平上的充分必要条件是, 存在实数 λ, µ, ν, 使得其中 O 是任意取定的点. OM = λ OA + µ OB + νoc, 且 λ + µ + ν = 1, 2. 证明 : 点 M 在 ABC 内 ( 包括三条边 ) 的充分必要条件是, 存在负的实数 λ, µ, ν, 使得其中 O 是任意取定的点. OM = λ OA + µ OB + νoc, 且 λ + µ + ν = 1, 3. 在个空间仿射坐标系中, 向量 a, b, c 的坐标依次为 (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ), 证明 : a, b, c 共的充分必要条件为 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = 0. z 1 z 2 z 3 4. 在个空间仿射坐标系中, 点 A, B, C 的坐标依次为 (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ), (x 3, y 3, z 3 ), 证明 : 若 A, B, C 共线, 则并请举例说明反之不定成. x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = 0; z 1 z 2 z 3

线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论例如 : 自然数有理数无理数实数复

线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论例如 : 自然数有理数无理数实数复第一章向量与复数管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin:

第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a

第章向量代数与何空间的结构 2015 年向量及其线性运算 1.1 向量的概念定义 1. 既有小又有向的量成为向量 ( 或量 ). 向量般粗体写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表数量. 在何上, 个向量 a