首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,2009) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 120 分钟满分 : 100 分. 题号一二三四五六七总分专业 : 线满分得分注意 :1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效.

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零讨苟
4 years ago
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1 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 ( 数学类,9) 考试形式 : 闭卷考试时间 : 分钟满分 : 分. 题号一二三四五六七总分专业 : 线满分注意 : 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边, 写在其它纸上一律无效. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 一 (5 分 ) 求经过三平行直线 L : x= y = z, 年级 : 封 L : x = y = z+, L : x= y+ = z 3 的圆柱面的方程. 解 : 先求圆柱面的轴 L 的方程. 由已知条件易知, 圆柱面母线的方向是 = (,,), 且圆柱面经过点 O (,,), 过点 O (,,) 且垂直于 = (,,) 的平所在院校 : 密面的方程为 : x+ y+ z =. (3 分 ) 与三已知直线的交点分别为 O(,,), P(,, ), Q(,,) (5 分 ) 身份证号 : 即圆柱面的轴 L 是到这三点等距离的点的轨迹, 即 x + y + z = ( x ) + y + ( z+ ) x + y + z = x + ( y+ ) + ( z ) x z =, (9 分 ) y z =, 将 L 的方程改为标准方程姓名 : x = y+ = z. 圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z和 x = y+ = z之间的距离. P (,, ) 第页 ( 共 6 页 )

2 为 L 上的点.. ( 分 ) PS PO 对圆柱面上任意一点 Sxyz, (,, ) 有 =, 即 ( y z ) ( x z ) ( x y ) 6 所以, 所求圆柱面的方程为 : =, x y z xy xz yz x y =.. (5 分 ) 二 ( 分 ) 设 C 是复矩阵全体在通常的运算下所构成 a a 的复数域 C 上的线性空间, F = a a a a a a a a () 假设 A =, 若 AF = FA, 证明 : a a a () 求 A= a F + a F + + a F + a E; C 的子空间 ( ) { CF X C FX XF} = = 的维数.. () 的证明 : 记 A = ( α, α,, α ), M = a F + a F + + af + ae. 要证明 M = A, 只需证明 A 与 M 的各个列向量对应相等即可. 若以 e 记第个基本单位列向量. 于是, 只需证明 : 对每个, Me = Ae ( = α ). ( 分 ) β = ( a, a,, a ) T, 则 F = ( e, e3,, e, β ). 注意到, 若记 Fe = e, F e = Fe = e,, F e = F( F e ) = Fe = e (*).. (6 分 ) 3 由 Me = ( a F + a F + + a F + a E) e = a F e + a F e + + a Fe + a Ee = a e + a e + + a e + a e = α = Ae...( 分 ) 知 Me = MFe = FMe = FAe = AFe = Ae 第页 ( 共 6 页 )

3 所在院校 : 密年级 : 封专业 : 线所以, M Me = MF e = F Me = F Ae = AF e = Ae 3 3 Me = MF e = F Me = F Ae = AF e = Ae = A... (4 分 ) () 解 : 由 (), C( F) = spa{ E, F, F,, F }, (6 分 ) 设 xe+ xf + xf + + x F = O, 等式两边同右乘 e, 利用 (*) 得因 3 θ = Oe = ( x E + x F + x F + + x F ) e = xee+ xfe+ xfe+ + x F e = xe + xe + xe 3+ + x e...(8分 ) e, e, e,, e 线性无关, 故, x = x = x = = x = (9 分 ) 所以, EFF,,,, F 线性无关. 因此, EFF,,,, F 是 CF ( ) 的基, 特别地, d CF ( ) =. ( 分 ) 三 (5 分 ) 假设 V 是复数域 C 上维线性空间 ( > ), f, g 是 V 上的线性变换. 如果 fg gf = f, 证明 : f 的特征值都是, 且 f, g 有公共特征向量. 证明 : 假设 λ { η ( η) λη} 是 f 的特征值,W 是相应的特征子空间, 即 W = V f =. 于是,W 在 f 下是不变的. ( 分 ) 身份证号 : 下面先证明, λ =. 任取非零 η W, 记为使得 η, g( η), g ( η),, g ( η) 线性相关的最小的非负整数, 于是, 当时, η, g( η), g ( η),, g ( η) 线性无关..( 分 ) 时令 W = spa{ η, g( η), g ( η),, g ( η)}, 其中, W = {} θ. 因此,dW ( ), 并且, W = W+ = W+ =. 显然, gw ( ) W +, 特别地, W 在 g 下是不变的. (4 分 ) 下面证明, W 在 f 下也是不变的. 事实上, 由 f ( η) = λη, 知姓名 : = fg( η) = gf ( η) + f ( η) = λ g( η) + λη (5 分 ) 第 3 页 ( 共 6 页 )

4 根据 fg gfg fg ( η) = ( η) + ( η) = g( λ g( η) + λη) + ( λ g( η) + λη) = λ g ( η) + λ g( η) + λη 分 )...(6 k k k ( η) = ( η) + ( η) fg gfg fg = g fg η + η k k ( )( ) fg ( ) k k 用归纳法不难证明, fg ( η ) 一定可以表示成 η, g( η), g ( η),, g ( η) 的线性组合, 且 k 表示式中 g ( η ) 前的系数为 λ..(8 分 ) 因此, W 在 f 下也是不变的, f 在 W 上的限制在基 η, g( η), g ( η),, g ( η) 下的矩阵是上三角矩阵, 且对角线元素都是 λ, 因而, 这一限制的迹为 λ...( 分 ) 由于 fg gf = f 在 W 上仍然成立, 而 fg gf 的迹一定为零, 故 λ =, 即 λ =... ( 分 ) 任取 η W, 由于 f ( η) = θ, fg( η) = gf ( η) + f ( η) = g( θ) + f ( η) = θ, 所以, g( η) W. 因此,W 在 g 下是不变的. 从而, 在 W 中存在 g 的特征向量, 这也是 f, g 的公共特征向量.. (5 分 ) 在 [, ] 么? 四 ( 分 ) 设 { f ( ) x } 是定义在 [, ] 列且逐点收敛, 并在 [, ] ab 上一致收敛 ;() 设 f ( x) = l f ( x), 问 ( ) 证明 :() ε >, 将区间 [, ] ab 上满足 f '( x) M ab 上的无穷次可微的函数序 f x 是否一定在 [, ].() 证明 { f x } ( ) ab 上处处可导, 为什 jb ( a) ab K 等分, 分点为 x j = a+, j=,,,, K, 使 K b a 得 < ε. 由于 { f } K ( x ) 在有限个点 { x j}, j=,,,, K 上收敛, 因此 N, > > N, 使得 f ( x ) f ( x ) < ε 对每个 j =,,,, K 成立... (3 分 ) j j 于是 x [ ab, ], 设 x [ xj, x j + ], 则 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x ) + f ( x ) f ( x ) + f ( x ) f ( x), j j j j 第 4 页 ( 共 6 页 )

5 = f '( ξ)( x x ) + f ( x ) f ( x ) + f '( η)( x x ) < ( M + ) ε. (5 分 ) j j j j () 不一定. (6 分 ) 令 = 在 [, ] f ( x ) = x +, 则 f ( x) l f( x) ab 上不能保证处处可导.( 分 ) 专业 : 线 s t 五 ( 分 ) 设 a = t dt, 证明 st 散. 3 = a 发解 : s t s t s t t dt = t dt t dt I I s t + s t = +. (3 分 ) s t 3 s t 3 I t dt tdt = < = st, (5 分 ) 年级 : 封 t s 8 s I = t dt< t dt = d t t t..(7 分 ) 3 = <...(8 分 ) 8 8 因此 a >, 由此得到发散. ( 分 ) a = 身份证号 : 所在院校 : 密积分六 (5 分 ) (, ) f xy 是 {( xy, ) x y } f 连续可微函数, 满足 x x f y f I = + x + y x x + y y + 上二次 f + = x y y dxdy. x + y, 计算解 : 采用极坐标 x= rcos θ, y= rsθ, 则姓名 : f f I = dr + rd x y cosθ sθ θ x + y = r f f = + x y f f = dr dy dx x y dr dxdy x + y r ( ) x + y r..(6 分 ) = dr x y dxdy.( 分 ) 第 5 页 ( 共 6 页 )

6 = = 68 r 5 dr d cos s d ρ ρ θ θ θ..(5 分 ) 七 (5 分 )) 假设函数 f ( x ) 在 [, ] 上连续, 在 (, ) 内二阶可导, 过点 A(, f ()), 与点 B(, f ()) 的直线与曲线 y = f( x) 相交于点 Cc (, f()) c, 其中 < c <. 证明 : 在 (, ) 内至少存在一点 ξ, 使 f ( ξ ) =. 证明 : 因为 f ( x ) 在 [, c ] 上满足 Lagrage 中值定理的条件, 故存在 ξ (, c), f () c f() 使 f ( ξ) =.. (4 分 ) c 由于 C 在弦 AB 上, 故有 f ( c) f() f() f() = = f () f ()..... (7 分 ) c 从而 f ( ξ) = f() f() (8 分 ) 同理可证, 存在 ξ (,) c, 使 f ( ξ) = f() f()....( 分 ) 由 f ξ f ξ ( ) = ( ), 知在 [ ξ, ξ ] 上 f ( x) 满足 Rolle 定理的条件, 所以存在 ξ ( ξ, ξ ) (, ), 使 f ( ξ ) =....(5 分 ) 第 6 页 ( 共 6 页 )

试卷

竞赛试卷 ( 数学专业参考答案一 (5 分在仿射坐标系中求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分即 X + Y Z...3 分又因为 l 与平行所以有联立上述两个方程解得 :

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