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槐衣郁
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1 第章向量与空间解析几何第节空间直角坐标系第节第 3 节第 4 节向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线第 5 节曲面与空间曲线

2 第节空间直角坐标系

3 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x 轴和 y 轴放置在水平面上, 那么 z 轴就垂直于水平面 ; 它们的方向通常符合右手螺旋法则, 即伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 x 轴, 然后让四指沿握拳方向旋转 90 指向 y 轴, 此时大拇指的方向即为 z 轴方向. 这样就构成了空间直角坐标系,O 称为坐标原点.

4 z yoz 平面 zox 平面 x O xoy 平面坐标面 : 在空间直角坐标系中, 每两轴所确定的平面称为坐标平面, 简称坐标面. 即 xoy 坐标面 yoz 坐标面和 zox 坐标面. y

5 卦限 : 在空间直角坐标系中, 坐标面把空间分为八个部分, 每一个部分称为一个卦限. 在 xoy 坐标面上方有四个卦限, 下方有四个卦限. 含 x 轴,y y 轴和 z 轴正向的卦限称为第 Ⅰ 卦限, 然后逆着轴 z 正向看时, 按逆时针顺序依次为 Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 卦限, 对于分别位于 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 卦限下面的四个卦限, 依次为第 Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ 卦限. Ⅳ Ⅲ z Ⅰ Ⅱ Ⅶ O Ⅵ y x Ⅷ Ⅴ

6 点的坐标 : 设 P 为空间的任意一点, 过点 P 作垂直于坐标面 xoy 的直线得垂足 P, 过 P 分别与 x 轴,y 轴垂直且相交的直线, 过 P 作与 z 轴垂直且相交的直线, 依次得 xyz,, 轴上的三个垂足 M, N, R. 设 xyz,, 分别是 M, N, R点在数轴上的坐标. 这样空间内任一点 P 就确定了惟一的一组有序的数组 x, y, z, 用 ( x, y, z ) 表示. 反之, 任给出一组有序 z R 数组 x, y 和 z, 也能确定了 P ( x, y, z ) 空间内惟一的一个点 P z, 而 x, y 和 z 恰恰是点 P 的坐 O y N x y 标. M P' x

7 根据上面的法则, 建立了空间一点与一组有序数 (x, y,z ) 之间的一一对应关系. 有序数组 ( xyz,, ) 称为点 P 的坐标,x,y,z 分别称为 x 坐标, y 坐标和 z 坐标.

8 第节向量的线性运算及坐标一. 向量的基本概念向量 : 既有大小又有方向的量称为向量 ( 或矢量 ). 向量一般用黑体小写字母表示, 如 a,b,c 等. 有时也用 abc,, 等表示向量. 几何上, 也常用有向线段来表示向量, 起点为 M, 终点为 N 的向量记为 MN. N M

9 向量的模 : 向量的大小称为向量的模. 用 a, b, c, 或 AB 表示向量的模. 单位向量 : 模为的向量称为单位向量. 零向量 : 模为 0 的向量称为零向量, 记为 0. 规定零向量的方向为任意方向. 定义如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同, 则称向量 a 与 b 相等, 记为 a b. 二. 向量的加减法. 加法 ( 平行四边形法则 ) 将向量 a 与 b 的起点放在一起, 并以 a 和 b 为邻边作平行四边形, 则从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向量, 记为 a +b.

10 b a + b a + b b a 向量加法的三角形法则 : 把 b 的起点放到向量 a 的终点上, 把自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为 a b. 向量加法运算规律 : 交换律 : a b b a ;. 向量与数的乘法结合律 :( a b) c a ( b c). 定义设为一实数, 向量 a 与数的乘积是一个向量, 记为 a, 并且规定 :() a a ;() 当 0 时, a 与 a 同向 ; 当 0 时, a 与 a 反向 ;(3) 当 =0 时, a 0( 零向量 ).

11 向量与数的乘法运算规律 : 结合律 : ( a) ( ) a ( a) ; 分配律 :( ) a a a ( a b) a b 交换律 : a a., ; 同向的单位向量 : 设 a 是一个非零向量, 则向量 a a 为与向量 a 同向的单位向量. a 定义 3 =- 时, 记 ( ) a a, 则 a 与 a 的方向相反, 模相等, 称 a 为 a 的负向量 ( 也称其为 a 的逆向量 ). 3. 向量的减法 : 向量 a 的 b 的差规定为 a b a ( b ).

12 向量减法的三角形法则 : 把 a 与 b 的起点放在一起, 即 a b 是以 b 的终点为起点, 以 a 的终点为终点的方向向量. 三向量的坐标表示. 向径及其坐标表示向径 : 起点在坐标原点 O, 终点为 M 的向量 OM 称为点 M 的向径, 记 b 为 r (M ) 或 OM. a-b a a+(-b) -b

13 基本单位向量 : 在坐标轴上分别取与 x 轴, y 轴和 z 轴方向相同的单位向量称为基本单位向量, 分别用 i, j,k, 表示. 向径的坐标 : 若点 M 的坐标为 ( xyz,, ) y j, OC z, 则向量 OA x i, OB z k 由向量的加法法则得 OM =OM +MM =(OA +OB )+OC = xi yj zk, 称其为点 M ( xyz,, ) 的向径 OM 的坐标表达式, 简记为 OM =x, y, z.

14 向量 M M 设的坐标表达式 M ( x, y, z ), M ( x, y, z ) 为坐标系中两点, 向径 OM, OM 的坐标表达式为 OM x i y j z k, OM xi yjzk, 则以 M 为起点, 以 M 为终点的向量 MM =OM OM MM 即以 ( xi yjzk ) ( xi yjzk ) ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k, M ( x, y, z ) 为起点, 以 M( x, y, z ) 为终点的向量 MM 的坐标表达式为 MM ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k

15 向量 a a j a 3 a i j k 的模任给一向量 a aiaja3k, 都可将其视为以点 M ( a, a, a 3 ) 为终点的向径 OM, OM = OA + OB + OC, 即 a = a a a 3, 所以向量 a aia ja k 的模为 a = 3 x A z C O i k j M M ' B y a x a a3. z M O M y

16 . 空间两点间的距离公式 : 设点 M ( x, y, z ) 与点 M ( x, y, z ), 且两点间的距离记作 d ( M M ), 则 d ( M M ) = MM ( x x) ( y y) ( z z) 例 () 写出点 A (,, ) 的向径 ;. () 写出起点为 A (,, ), 终点为 B (3,3,03 ) 的向量的坐标表达式 ; (3) 计算 A, B 两点间的距离. 解 () OA i jk; () AB (3) i(3) j(0 ) k i jk;

17 (3) d( AB) AB ( ) 6. 坐标表示下的向量运算设 a a a3 a i j k, b bibjb3k, 则有 a b ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k; () 3 3 a aia ja k; () 3 ab( a b ) i( a b ) j( a b ) k; (3) 3 3 (4) a b a b, a b, a3 b3 ; (5) a// b a a a3. b b b b3

18 思考题. 点 M ( x, y, z ) 与 x 轴,xOy, y 平面及原点的对称点坐标为何?. 下列向量哪个是单位向量? () r i j k ; () a,0, ; (3) b,,

19 第 3 节两向量的数量积与向量积一两向量的数量积二两向量的向量积

20 一向量的数量积 ( 点积 ). 引例已知力 F 与 x 轴正向夹角为其大小为 F, 在力 F 的作用下, 一质点 M 沿轴 x 由 x a 移动到 x b处, 求力 F 所做的功? 解力 F 在水平方向的分力大小为 Fx Fcos 所以, 力 F 使质点 F M 沿 x 轴方向 ( 从 A 到 B ) 所做的功 A B W Fcos b a = F AB cos, a 即力 F 使质点 M 沿 x 轴由点 A 移动到 B 点所做的功等于力 F 的模与位移矢量的模及其夹角余弦的积. O b x

21 . 数量积的定义定义设向量 a 与 b 之间夹角为 ( π), 则称数量 a b cos 为 a 与 b 的数量积 ( 或点积 ), 并用 a b表示, 即 a b= a b cos. 例已知基本单位向量 i, j, k 是三个相互垂直的单位向量, 求证 : i i j j k k ; i j j k k i 0. 证因为 i j k, 所以 i i i i cos ( 0). 同理可知 : j j k k ; 又因为 i j, k, 之间的夹角皆为, 故有 i j i j cos 0 0, 同理可知 j k k i 0.

22 点积的运算规律 : 交换律 : a b b a ; 分配律 : a ( b c ) a b a c ; 结合律 : a b ( a b) a ( b). 3. 点积的坐标表示设 a aiaja3k, bbibjb3k, 则 ab( aia ja k) ( bib jb k ). 3 3 a b + a b + a 3 b 3, 故向量 a a, a a 与 b b, b b, 应坐标积的和. 3, 3 的点积等于其相

23 两向量的夹角 : 设 a = a i+ a j + a 3 k,b= b i + b j + b 3 k, 则由向量点积知向量 a 与 b 夹角余弦公式为 a b cos ab ab a3b3 3 a b a a a b b b 3 3 (0 π). 向量垂直的条件 : 向量 a 与 b 正交的充分必要条件是 a b=0 或 ab ab a3b3=0. 例试证向量 a,,3 与 b 3,3, 3 3 是正交的. 证因为 a b 3 3 3( 3) 0, 所以 a 与 b 正交.

24 例 3 设向量 a a i a j a3 k 与 x 轴,y 轴,z 轴正向的夹角分别为,, 称其为向量 a 的三个方向角, 并称 cos, cos, cos 为向量 a 的方向余弦, a cos, a a a a cos, a a a cos a, a a a 并且 cos cos cos.

25 证向量 i, j,k k 的坐标表达式分别为于是有,0,0, j 0,,0, k 0,0, i, a i cos = a i cos cos a j a j a a a a 3, a a a3 a k k, a a a. 3 a a a a3 且 a a3 a a3 ) a cos cos cos ( a.

26 二向量的叉积. 引例设 O 点为一杠杆的支点, 力 F 作用于杠杆上点 P 处, 求力 F 对支点 O 的力矩. 解根据物理学知识, 力 F 对点 O 的力矩是向量 M 其大小为 M F d F OP sin F d F OP sin. 其中 d 为支点 O 到力 F 的作用线距离, 为矢量 F 与 OP 的夹角. 力矩 M 的方向规定为 :OP,F,M 依次符合右手螺旋法则. O d P F

27 因此, 力矩 M 是一个与向量 OP 和向量 F 有关的向量, 其大小为 OP F sin, 其方向满足 :() 同时垂直于向量 OP 和 F ;() 向量 OP, F, M 依次符合右手螺旋法则.. 向量积的定义定义两个向量 a 和 b 的叉积 ( 也称为向量积 ) 是一个向量, 记作 a b, 并由下述规则确定 : () a b a b sin( a, b ) ()a b 的方向规定为 : 注 :a: b 既垂直于 a 又垂直于 b, 并且按顺序 aba,, b 符合右手螺旋法则. a c=a b b

28 若把 a,b b 的起点放在一起, 并以 a,b 为邻边作平行四边形, 则向量 a 与 b 叉积的模 a b = a b sin 即为该平行四边形的面积. 叉积的运算规律 : b _ a b a _ () a b b a ( 反交换律 ); () a ( b c ) b a c a ( 左分配律 ); (3)( b c)a ba c a( 右分配律 ); (4)( a) b ( a b) a b

29 例 5 试证 : i i j j k k a a 0. 证只证 a a 0, 因为 a 与 a 平行 ( 即共线 ), 所以其夹角 0或 π, 从而 sin 0, 因此 a a a a sin 0, 而模为 0 的向量为零向量, 所以 a a 0. 定理两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零向量. 3. 向量积的坐标表示设 a a i a j a3 k, b b i b j b3 k 注意到 i i j j k k a a 0, 及 i j k, j k i, k i j 应用叉积的运算规律可得 a b ( ab ab ) i ( ab ab ) j ( ab ab ) k

30 为了便于记忆, 可将 a b 表示成一个三阶行列式, 计算时, 只需将其按第一行展开即可, i j k 即例 6 设 a i j k 解 ab 0 3 i ( ) a b a a a 3 b b b b3 i j k, b j 3k, 求 a b.. j( ) k( ) 3 8 i 3 j k. 0

31 位向量. 例 7 求同时垂直于向量 a 3i6j8k 及 x 轴的单解因为 a 3i 6 j 8k, i i 0 j 0k, 所以, 同时垂直于 a 和 x 轴的单位向量 a i (3 i 6 j 8k ) i c a i a i (8 j 6k) 0 即为所求的两个单位向量. 4 3 j k 5 5

32 例 8 已知力 F i j 3 k 作用于点 A (3 3,, ) 处, 求此力关于杠杆上另一点 B (,,3) 的力矩. 解因为 F i j 3k 从支点 B 到作用点 A 的向量 BA (3 ) i ( ( )) j ( 3) k i 3 j 4 k 所以, 力 F 关于点 B 的力矩 i j k M BA F = ( 9 4) i (6 8) j ( 6) k = 5i 4 j 8k.

33 思考题. 若 a 与 b 为单位向量, 则 a b是单位向量吗?. 验证 : () a ( bc) ( a b) c ; () a ( bc) ( a c) b ( a b) c; (3) a ( a c ) a c.

34 第 4 节平面与空间直线一平面的方程二直线的方程三两平面间两直线间的位置关系四直线与平面的位置关系

35 第 4 节平面与空间直线一平面的方程. 平面的点法式方程平面的法向量 : 设非零的向量 n 垂直于平面 π, 则称 n 为平面 π 的法向量. 问题 : 设平面 π 过点 M 0 ( 0, y 0, z 0 ) x 0 y, n = A B, C, 为其一法向量, 求平面 π 的方程. 设点 M ( x, y, z ) 是平面 π 上任意一点, 则 MM 0 在平面 π 上, 由于 n π, 所以 n MM 0 0, 而 n ABC,,, MM xx, y y, zz 故 A x x ) B( y y ) C( z z ) 0 () ( 0 0 0

36 由于平面 π 上任意一点 M 的坐标都满足方程 (), 而不在平面 π 上的点 M 的坐标都不满足方程 (). 因此, 方程 () 即是所求的平面 π 的方程. 此方程称为平面的点法式方程. z M 0 M n z C x O y O B y x A

37 程. 例求由点 A (,0,0), B(0,,0), C(0,0,) 所确定的平面方 i j k 解向量 n AB AC 0 i j k 与平面垂直, 是它的一个法向量. 0 过点 A (,0,0 0 ), 且以 n i j k 为法向量的平面方程为 ( x ) ( y 0) ( z 0) 0, 整理得 x y z.

38 . 平面的一般式方程过点 M x, y, ), 且以 n {A,B,C} 为法向量的点法式平面方程 A 0( 0 0 z0 ( x 0 x0) B( y y ) C( z z ) 整理得 Ax By Cz D 0 () 即平面 π 的方程 () 可以写出形如式 () 的三元一次方程. 反过来, 设给定三元一次方程 Ax By Cz D 0, 点 ( x 0, y0, z0 ) 的坐标为方程 () 的一组解, 代表一平面方程. 称方程 () 为平面的一般式方程. 0

39 例求过点 O 0,0,0), B (0,0,), B (0,, ) 的平面方程. ( 解点 O 0,0,0), B (0,0,), B (0,, ) 不在一直线上, 所以, ( 这三点惟一确定一平面, 令所求平面方程为 Ax By Cz D 0 将三点坐标分别代入上式得 A 0 B0 C0 D 0 (), A 0 B 0 C D 0 (), A0 B C D 0 (3), 由方程 () 得 D 0, 再由 () 的 C 0再将 C 0, D 0 代入方程 ( 3 ) 知 B 0, 于是得 Ax 0 ( A 0 ) 即 x 0 为所求平面方程, 且 yoz 面的方程即为 x 0.

40 例 3 试写出与 yoz 面平行, 且过 x 轴上的点 (,0,0 0 ) 的平面方程. 解因为 x 轴垂直于 yoz 面, 所以, x 轴上的单位向量 i 可作为与 yoz 面平行的平面的法向量 n, 即 n i {,0,0} 0}, 所以, 过点 (,0,0 0 ), 且以 (,0,0 0 ) 为法向量的平面方程为 ( x ) 0( x 0) 0( y 0) 0, 整理得 x, 即 x 表示过点 (,0,0 0 ) 且与 yoz 面平行的平面方程.

41 例 4 描绘出下列平面方程所代表的平面 : () x ; () z ; x y z (3) x y ; (4) ( a, b, c 均不为 0) a b c z z x z O y x O z C c y x O y A x a O B b y

42 二直线的方程. 直线的点向式方程直线的方向向量 : 设非零向量 s 平行于直线 L, 则称 s 为直线 L 的方向向量. 问题 : 设直线 L 过点 M ( x, y, z ), 并且 s { mn m,n, p } 0( 0 0 z0 为其一方向向量, 求直线 L 的方程. 设点 M ( x, y, z) 为直线 L 上任一点, 由于 MM 0 线 L 上, 所以 M0 M // s, 即 MMts ( t 为实数 ), 而 MM{ xx, y y, zz}. 在直

43 因此, 有 xx0 tm, x x0 mt, y y0 tn, 即 y y0 nt, (3) z z0 tp, z z0 pt, 因为直线 L 上任一点的坐标都满足式 (3), 而不在直线 L 上的点的坐标都不满足式 (3), 所以式 (3) 是直线 L 的方程, 并称式 (3) 为直线的参数方程, 其中 t 为参数. 在式 (3) 中, 消去参数 t, 即有 x x0 y y0 z z0, (4) m n p 式 (4) 中 ( x, y, z ) 是直线 L 上已知点, { m, n, p } 是 L ( 0 0 z0 的方向向量, 因此, 式 (4) 称为直线 L 的点向式方程.

44 说明 : 因为 s 0, 所以 m, n, p 不全为零, 但当有一个为零, 例如 m 0时, 式 (4) 应理解为 x x0 0, y y0 z z0, n p 当有两个为零时, 例如 m n 0, 式 (4) 应理解为 x x0 0, y y0 0. 例 5 求过两点 M,,), (3,,3) 的直线 L 的方程. ( M 解直线 L 的方向向量 s MM {3,,3 } {,, },

45 因此, 过点 M (,, ), 且以 s {,, } 为方向向量的直线 L 的方程为 x y z.. 直线的一般式方程空间直线也可看作两平面的交线, 所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程, 即 Ax By Cz D 0, (5) A xb y Cz D 0, 由于两平面相交, 故式 (5) 中的 A, B, C与 A, B, C 不成比例 ( 即法向量 n { A, B, C} 与行 ), 称式 (5) 是直线 L 的一般式方程. n A,B,C { } 不平

46 xy3z30, 例 6 写出直线 L: 的点向式方程. 3x y z 5 0 x y 3z 30, 解先在直线 L : 上选取一点, 为 3x y z 5 0 此, 令 z 0 x y 3,, 得解之得 x, y, 即点 3x y 5, M 0(,,0) 为直线 L 上的一个点. 直线 L 的方向向量 i j k s {,,3} {3,, } = 3 则直线 L 的点向式方程为 3 = i j 7k, x y z 0. 7

47 例 7 设平面 π 的方程为 x y z 0, 平面 π 的方程为 x y 5 0, 求 π 与 π 的夹角. 解两平面的夹角即为其法向量的夹角, 设 π 的法向量为 n, π 的法向量为 n, 则 n {,,}, n {,,0 }, n cos n n ( ) ( ) 0 n ( ) ( ) 0 3, 3 π 即 arccos 为两平面 π, π 的夹角. 4

48 三两平面间两直线间的位置关系两平面间的位置完全由其法向量决定, 因此两平面平行 ( 垂直 ) 的充要条件是法向量互相平行 ( 垂直 ); 同样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定, 因此, 两直线平行 ( 垂直 ) 的充要条件是其方向向量互相平行 ( 垂直 ). x y z 3 例 9 试证直线 L : 与直线 3 x y 3 z 3 L : 垂直. 4 5 证因为 L 的方向向量为 s {,,3 }, L 的方向向量为 s { 4,5, }, 而 s s ( 4) 5 3( ) 406 0, 所以 s s, L L, 证毕.

49 例 0 试证平面 π : x 5 y 4z 6 0 与 π :x4y4z 0 垂直 ; 而 π 与平面 π 3 : xyz 0平行. 证因为 π 的法向量 n {,5,4}, π 的法向量 n {, 4,4 }, π 的法向量 n {,,}, 3 3 由于 n n 5 ( 4) 4 4 0, 所以 n n, 即 π π. 又由于 n n3 所以 n // n, 3 即 3 π // π.

50 四直线与平面的位置关系直线与它在平面上的投影线间的夹角 π (0 ), 称为直线与平面的夹角 ( 如右下图 ). 设直线 L 的方向向量为 s, 平面 π 的法向量为 n, 向量 π s 与 n 间的夹角为, 则 z n s L π ( 或 ), 所以 s n O y sin cos. s n x

51 例讨论直线 L : x y 5 5 z 6 3 和平面 π: 5x 9y 5z 的位置关系. 解由于直线 L 的方向向量 s {,5,3}, 平面 π 的法向量 n { 5, 9,5 }, 所以, 直线 L 与平面 π 的夹角的正弦 s n 55 ( 9) 35 sin = 0, s n 所以, 0, 即直线 L 与平面 π 平行或直线 L 在平面 π 内. 容易验证直线 L 上 (0,,6) 在平面 π 上. 所以直线 L 在平面 π 上.

52 思考题. 写出下列平面方程 : ()xoy 平面 ;() 过轴 z 的平面 ; (3) 平行与 zox 的平面 ;(4) 与 x, y, z 轴正向截距相等的平面. Ax ByCzD 0,. 用一般式表示空间直线的 Ax By Cz D 0 x y 0, x y 0, 表达式是否惟一, 直线与有何关 x y 3 x 3y 0 系?

53 第 5 节曲面与空间曲线一曲面方程的概念二母线平行于坐标轴的柱面三旋转曲面四二次曲面五空间曲线及其在坐标面上的投影

54 第四节曲面与空间曲线一曲面方程的概念定义如果曲面 Σ 上每一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z) 0; 而不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足这个方程, 则称方程 F ( x, y, z ) 0 为曲面 Σ 的方程, 而称曲面 Σ 为此方程的图形. 例求与两定点 M (,,0), M (,,) 等距离的点的轨迹方程. 解设 M ( x, y, z ) 为轨迹上的点, 按题意有 : MM MM 写成坐标形式, 即 ( x) ( y) ( z0) ( x) ( y) ( z) 化简, 得 xyz 7

55 例求球心在 x, y, ), 半径为 R 的球面方程. ( 0 0 z0 解设定点 M 0 的坐标为 ( x 0, y0, z0), 则点 M ( x, y, z ) 在以 M 0为球心, 以 R 为球半径的球面上的充要条件为 M 0 M R, 即 ( x x0 ) ( y y0) ( z z0) R, 两边平方, 得 ( x x0 ) ( y y0) ( z z0) R 经验证, 上式就是以 M (,, ) 0 x0 y0 z0 为球心, 以 R 为球半径的球面方程. 当 x 0 y0 z0 0 时, 则得球心在坐标原点的球面方程为 x y z R.

56 二母线平行于坐标轴的柱面柱面 : 直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱面. 定曲线 C 称为柱面的准线, 动直线 L 称为柱面的母线. L L C

57 . 圆柱面方程设一个圆柱面的母线平行于 z 轴, 准 C 线是 xoy 平面上以原点为圆心, R 为半径的圆. 在平面直角坐标系中准线 C 的方程为 x y R, 求该圆柱面的方程. 在圆柱面上任取一点 M ( x, y, z ), 过点 M 的母线与 xoy 平面的交点 z M x,,0) 一定在准线 C 0( y 上, 必定满 M 足方程 x y R ; 反之, 不在圆柱面上的点, 它的坐标不满足这个方程, 于是所求圆柱面方程为 O y x y R. M 0 x

58 . 准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程一般来说, 如果柱面的准线是 xoy 面上的曲线 C, 它在平面直角坐标系中的方程为 f ( x, y) 0, 那么, 以 C 为准线, 母线平行于 z 轴的柱面方程就是 f ( x, y) 0. 类似地, 方程 g ( y, z ) 0 表示母线平行于 x 轴的柱面方程 h ( x, z) 0表示母线平行于 y 轴的柱面. 在空间直角坐标系 Oxyz 下, 含两个变量的方程为柱面方程, 并且方程中缺哪个变量, 该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.

59 x y x y 例 3 方程,,, x py 0 分别表 b a a b 示母线平行于 z 轴的椭圆柱面双曲柱面和抛物柱面. 如下图所示, 由于这些方程都是二次的, 因此称为二次柱面. x z z z O O x y y y x O

60 三旋转曲面旋转曲面 : 一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面. 曲线 C 称为旋转曲面的母线, 直线 L 称为旋转曲面的轴. 坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程设在 yoz 平面上有一条已知曲线 C, 它在平面直角坐标系中的方程是 f ( y, z) 0, 求此曲线 C 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程. 在旋转曲面上任取一点 M ( x, y, z), 设这点是由母线上点 M ( 0, y, z) 绕 z 轴旋转一定角度而得到. 于是 f ( x y, z ) 0 反之, 不在曲面上的点不满足上面方程, 此方程为旋转曲面方程. x O O z M M ( 0, y, z y )

61 同理, 曲线 C 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为 f ( y, x z ) 0.. 例 4 求由 yoz 平面上的直线 z ky( k 0) 绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程. 解在方程中, 把 y 换成 z 即 z k ( x y ). 此曲面为顶点在原点, 对称轴为 z 轴的圆锥面 ( 如右图 ). x y k k x y, 得所求方程为 z O y x

62 四二次曲面二次曲面 : 在空间直角坐标系中, 若 F ( x, y, z) 0是二次方程, 则它的图形称为二次曲面. 截痕法 : 用一系列平行于坐标面的平面去截曲面, 求得一系列的交线, 对这些交线进行分析, 从而把握曲面的轮廓特征, 这种方法称为截痕法.. 椭球面 x y z 方程 ( a 0, b 0, c 0), a b c 所表示的曲面称为椭球面, z a, b, c称为椭球面的半轴. O y x

63 x y z 当 a b 时原方程化为, 它是一个椭圆 a c 绕 z 轴旋转而成的旋转椭球面. 当 a b c时, 原方程化为 x y z a, 它是一个球心在坐标原点, 球半径为 a 的球面.. 椭圆抛物面 x y 方程 z ( p 0, q 0) 所表示的曲面称为椭 p q z 圆抛物面. x y 由方程 z知,z 0, p q 故曲面在 xoy 平面的下方无图形. O y x

64 3. 双曲面 x y z 方程 ( a 0, b 0, c 0) 所表示的曲面 a b c x y z 称为单叶双曲面. 方程 ( a 0, b 0, c 0) 所 a b c 表示的曲面称为双叶双曲面. z z x O y O y x

65 五空间曲线及其在坐标面上的投影. 空间曲线方程设曲面的方程是 F ( x, y, z ) 0, 曲面的方程是 F ( x, y, z) 0, 则交线 C 上的点必定同时满足, 的方程. 不在 C 上的点一定不能同时满足这两个方程. 因此联立方程组 F x z 0, (, y, ) F ( x, y, z) 0, 即为空间曲线 C 的方程, 它称为空间曲线的一般式方程. x x(), t 空间曲线的参数方程 y y (), t ( t ) z z(), t 或其向量形式 r (t) xt () i yt () j zt () k 来表示.

66 . 空间曲线及其在坐标面上的投影设空间曲线 C 的方程为 F ( x, y, z) 0, F ( x, y, z) 0, 过曲线 C 上的每一点作 xoy 坐标面的垂线, 形成了一个母线平行于 z 轴且过 C 的柱面, 称为曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面这个柱面与 xoy 面的交线称为曲线 C 在 xoy 面上的投影曲线, 简称投影. 3. 坐标面上的投影曲线的确定 F ( x, y, z) 0, 在方程组中消去变量 z 得方程 F ( x, y, z ) 0 F ( x, y) 0, 上述方程缺变量 z, 所以它是一个母线平行于 z 轴的柱面.

67 又因为 C 上的点的坐标满足方程组 F (,, ) 0, x y z F ( x, y, z ) 0, 当然也满足方程 F ( x, y) 0, 所以 C 上的点都在此柱面上. 方程 F ( x, y ) 0 就是曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面方程. 它与 xoy 面的交线 F ( x, y ) 0, z 0, 就是 C 在 xoy 面上的投影方程. 同理, 曲线 C 在 yoz 面与 zox 面的投影方程分别为 G ( y, z ) 0, H ( x, z ) 0, 与 x 0 y 0.

68 z x 例 5 求曲线 y, C : 在 xoy 面的投影方 x y z 程, 问它在 xoy 面上是怎样一条曲线? 解消去变量 z 得 x y, 这是曲线 C 关于 xoy 坐标面的投影柱面方程, 所以曲线 C 在 xoy 坐标面上的投影方程为 x y, z 0, 它是 xoy 坐标面上的一个圆. z x y

69 思考题. 方程 z x y 代表何曲面, 分别与平面 x 0, y 和 z 的交线为何? z 5x. 曲线 y 0 称为何? 绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程及名

没有幻灯片标题

没有幻灯片标题 3. 曲面及其方程一曲面方程的概念曲面的实例 : 水桶的表面台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一曲面方程的概念