Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145

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1 第 4 章向量代数与空间解析几何

2 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145

3 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面

4 空间直角坐标系 取定一个定点 O ( 称为原点 ), 过该点作三条互相垂直的数轴 Ox, Oy, Oz, 并在三个轴上取相同的度量单位, 三条数轴依次称为 x 轴, y 轴, z 轴, 且三坐标轴的正向组成右手系 ( 即从 x 轴正向沿右手握拳方向旋转 90 到 y 轴正向时, 大拇指的指向为 z 轴正向 ), 这就是空间直角坐标系. 绘制空间直角坐标系时通常是把 x 轴, y 轴画在水平面上, z 轴正向竖直向上. z O y x 2 / 145

5 在建立了空间直角坐标系后, 对空间中的任一点 M, 过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴, y 轴和 z 轴, 它们与坐标轴的交点依次为 A, B, C. 设点 A 在 x 轴上的坐标为 x, 点 B 在 y 轴的坐标为 y, 点 C 在 z 轴上的坐标为 z, 则给定一个点就可以确定一个有序三元组 (x, y, z). 反过来, 任给一个有序三元组 (x, y, z), 用同样的方法也可以在空间中确定一个点 M. 这样空间中的点与有序三元组 (x, y, z) 就建立了 1 1 对应, 我们称 (x, y, z) 为点 M 的坐标. Z C M x A O P B y 3 / 145

6 三个坐标轴两两可以确定一个平面, x 轴和 y 轴确定的平面称为 xoy 平面, y 轴和 z 轴确定的平面称为 yoz 平面, z 轴和 x 轴确定的平面称为 zox 平面, 它们统称为坐标面. 三个坐标面把整个空间分成 8 个区域, 每个区域称为一个卦限, 其编号按平面上四个象限的次序, 在 z > 0 的部分依次为一 二 三 四卦限, 在 z < 0 的部分依次为五 六 七 八卦限. 卦限 x 坐标的符号 y 坐标的符号 z 坐标的符号 在 xoy 平面上的点, 其 z 的坐标为 0, 所以 xoy 平面上点的坐标是 (x, y, 0), 同样, yoz 平面上点的坐标是 (0, y, z), zox 平面上点的坐标是 (x, 0, z). x 轴上的点, 其 y 坐标和 z 坐标都是 0, 所以 x 轴上点的坐标是 (x, 0, 0), 同样, y 轴上点的坐标是 (0, y, 0), z 轴上点的坐标是 (0, 0, z). 4 / 145

7 向量的概念 在研究物理学的问题时, 经常会遇到一些既有大小又有方向的量, 例如力 位移 速度 加速度等等, 我们称这种量为向量 ( 也称为矢量 ). 向量通常用一有向线段表示, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 以 A 为起点, B 为终点的向量记为 AB. 我们用单个黑体小写字母来表示向量, 例如 a, b 等, 或用表示起点以及终点的大写字母上面带箭头的形式来表示向量, 例 如 AB, MP 等. 向量的大小称为向量的模, 记为 a 或 AB 等. 5 / 145

8 在实际问题中遇到的向量, 有时与起点有关, 有时与起点无关, 在数学上我们仅讨论与起点无关的向量 ( 称为自由向量 ), 即只考虑向量的大小和方向, 不考虑它的起点在何处, 因此可以对向量任意地作平行移动. 平移后能完全重合且方向相同的向量我们都认为它们是相同的, 所以很自然地定义两个向量 a 和 b 相等为 : 它们的模相等, 方向相同, 记作 a = b. 模为 0 的向量称为零向量, 记作 0 ( 有时就写成 0 ), 零向量的方向可看作是任意的. 模为 1 的向量称为单位向量. 与非零向量 a 同方向的单位向量记作 a. 给定一个向量 a, 与 a 的模相同而方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 a. 6 / 145

9 向量的加减法 在物理学中, 求两个力的合力用平行四边形法则, 我们将用这个方法来定义向量的加法运算. 向量 a = AB, b = AD, 所以 a + b = AB + AD = AC, 称向量 AC 是向量 a, b 的和, 这种法则称为向量加法的平行四边形法则. 又因为向 量 BC = AD, 因此 AC = AB + BC, 这种法则称为向量加法的三角形法则. D C F2 b a+b F 1 A a B 7 / 145

10 Theorem 向量加法的性质 : (1) 交换律 a + b = b + a; (2) 结合律 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c; (3) 存在零元 a + 0 = 0 + a = a; (4) 存在负元 a + ( a) = ( a) + a = 0. 8 / 145

11 Remark 以上加法可推广到求有限个向量的和. 给定 n 个向量 a 1, a 2,, a n, 从 A 0 出发作折线 A 0 A 1 A 2 A n 1 A n, 使得 A 0 A 1 = a 1, A 1 A 2 = a 2,, A n 1 A n = a n, 则向量 A 0 A n = a 1 + a a n. A n A 2 A 0 A 3 A 4 A 1 An 1 据向量加法的三角形法则可得向量模的三角不等式 : a + b a + b, 且等号只有当 a, b 中一个为零向量或者两者同向时成立. 这个不等式可推广到有限个向量, 有 a 1 + a a n a 1 + a a n. 9 / 145

12 向量的数乘 设 a 是一个向量, λ 是一个实数, 我们定义 a 与 λ 的乘积 λ a 为一个向量, 称为向量的数乘, 记为 : λ a. 其大小为 λ a, 其方向为 : 当 λ > 0 时与 a 同向, 当 λ < 0 时与 a 反向. 特别, 1 a = a, ( 1) a = a. 而当 λ = 0 或 a = 0 时, λa 为零向量. 向量的数乘有下列性质 : Theorem 向量数乘的性质 (1) 结合律 λ ( µ a ) = ( λ µ ) a = µ ( λ a ) (2) 分配律 ( λ + µ ) a = λ a + µ a, λ ( a + b ) = λ a + λ b. 10 / 145

13 由向量数乘的定义可推出以下结论 : (1) 两个非零向量 a, b 平行 ( 记作 a//b ) 则 b = λ a ( λ 为非零实数 ). 事实上, 如果 a//b, 取 λ, 使得 λ = ± b a, λ 的正负号依 b 与 a 同向或反向而定, 因此有 b = λ a; 反之, 如果 b = λ a, 因为 a//λ a, 所以 a//b. (2) 对非零向量 a, 有 a = a a 或 a = a a. 我们规定 a 与 b 的差 a b 为 : a b = a + ( b). 11 / 145

14 Example 已知两个不平行的非零向量 OA, OB, OA = a, OB = b. 求证 : 向 量 OC = b OA + a OB 平分这两个向量的夹角 AOB. 12 / 145

15 Example 已知两个不平行的非零向量 OA, OB, OA = a, OB = b. 求证 : 向 量 OC = b OA + a OB 平分这两个向量的夹角 AOB. Proof. 作 OD = b OA, OE = a OB, 则 OD = b OA = b a, OE = a OB = a b, 所以 OD = OE. 又 OC = b OA + a OB = OD + OE, 所以 OC 是平行四边形 ODCE 的对角线, 而 OD = OE, 因此, 四边形 ODCE 是菱形, 因为菱形的对 角线平分顶角, 所以 OC 平分 DOE, 即 OC 平分 AOB. E C B O A D 12 / 145

16 两个向量的夹角 给定空间中两个向量 a, b, 我们按如下方法定义向量 a 与 b 的夹角 θ : 把两个向量平移到同一个起点 O, 使 OA = a, OB = b, 则 θ = AOB, 0 θ π. 通常把 a, b 的夹角记作 a, b 或 b, a. 若 θ = π 2, 则我们说向量 a 与 b 垂直, 记为 a b. B B b O a A O b a A 13 / 145

17 我们可以定义空间向量 a 与三个坐标轴 x 轴, y 轴, z 轴的正向的夹角, 分别记为 α, β, γ, 称为向量 a 的方向角, 方向角的余弦称为向量的方向余弦, 记为 cos α, cos β, cos γ. z c a M O b y x a 14 / 145

18 向量 AB 在数轴 u 上的投影 过 A, B 各作数轴 u 的垂线 AA 1, BB 1, 垂足分别为 A 1, B 1, 向量 A 1 B 1 的数值 A 1 B 1 称为向量 AB 在数轴 u 上的投影, 记作 Prj uab. 其值为 ± A 1 B 1, 其符号当 A 1 B 1 与数轴 u 的正向同向时取正, 反向时取负. 由图, A 1 B 1 = Prj uab = AB cos θ, θ 表示向量 AB 与数轴 u 的夹角. 对任意两个向量 a 与 b 也有类似的结果 Prj a b = b cos a, b, Prj b a = a cos b, a. B A A1 B1 u 15 / 145

19 Theorem 投影的性质 (1) Prj u (λ a) = λprj u a (2) Prj u (a + b) = Prj u a + Prj u b. 16 / 145

20 向量的坐标 在空间中建立了直角坐标系后, 沿三条坐标轴的正向各取一个单位向量, 分别记为 : i, j, k, 称为空间直角坐标系的基向量. 对空间中的任一点 M(x, y, z), 向量 OM 称为向径 ( 或矢径 ), 它在 x 轴上的投影为 OA, 在 y 轴上的投影为 OB, 在 z 轴上的投影为 OC, 且 OA = x i, OB = y j, Z OC = z k, C M x A O P B y 17 / 145

21 而 OM = OA + AP + P M, AP = OB, P M = OC, 又 所以 OM = OA + OB + OC = x i + y j + z k. OA, OB, OC 称为向量 OM 在 x, y, z 轴上的分向量, 上式称为向量的坐标分解式. 因此, OM 与一个有序三元组 (x, y, z) 是一一对应的. 故我们把 x, y, z 称为向量 OM 关于基向量 i, j, k 的坐标. 记作 OM = (x, y, z), 称为向量的坐标表示式. 向量的三个坐标即是向量在三个坐标轴上的投影. 特别地有 : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). 18 / 145

22 当向量有了坐标表示后, 其加 减 数乘运算均可化为坐标的运算. 如设 a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), 则有 向量加法的坐标运算 : a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). 向量减法的坐标运算 : a b = (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ). 向量数乘的坐标运算 : λ a = (λ a 1, λ a 2, λ a 3 ). 两个向量 a 与 b 相等就是其对应的分量相等, 即 而两个非零向量 a 与 b 平行的条件 : a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b 3. a//b a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3. 即两个非零向量平行的充分必要条件是对应的分量成比例. 应该指出的是, 当 b 的某个分量为零时, 譬如说 b 2 = 0, 则向量 a 的对应分量 a 2 也必须为 / 145

23 任意向量 a = (a 1, a 2, a 3 ), 其模及其方向余弦都可用坐标表示, 其模为 : 而向量 a 的方向余弦为 : 且 a = a 12 + a 22 + a 32. cos α = a 1 a, cos β = a 2 a, cos γ = a 3 a. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. 从而知道不是任给三个角度都可作为某一向量的方向角的, 但若所给三个角度满足此关系式, 则一定可找到一个向量以此三个角度为方向角. 此外, 对一个非零的向量 a 还可得到 a = a ( a = a1 a, a 2 a, a ) 3 = (cos α, cos β, cos γ). a 即 a 的单位向量 a 是以 a 的方向余弦为坐标的向量. 20 / 145

24 由上面的知识可知, 空间中任意两点 P (x 1, y 1, z 1 ), Q(x 2, y 2, z 2 ) 确定 的向量 P Q 的坐标表示为 : P Q = OQ OP = (x2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). 则空间中任意两点 P, Q 之间的距离公式为 : P Q = P Q = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. 特别地, 点 M(x, y, z) 与原点 O(0, 0, 0) 的距离为 : r = OM = x 2 + y 2 + z / 145

25 Example 已知 A(3, 3, 5), B( 5, 1, 7), 在 y 轴上求一点 M 使得 MA = MB. 22 / 145

26 Example 已知 A(3, 3, 5), B( 5, 1, 7), 在 y 轴上求一点 M 使得 MA = MB. Proof. 因点 M 在 y 轴上, 可设其坐标为 M(0, y, 0), 则由距离公式有 9 + (y + 3) = 25 + (y 1) , 可解得 y = 4, 故所求的点为 M(0, 4, 0). 22 / 145

27 定比分点的坐标 Example 给定空间两点 P (x 1, y 1, z 1 ), Q(x 2, y 2, z 2 ), 在线段 P Q 上求一点 M, 使得 P M = λ MQ. P M Z Q y x O 23 / 145

28 定比分点的坐标 Example 给定空间两点 P (x 1, y 1, z 1 ), Q(x 2, y 2, z 2 ), 在线段 P Q 上求一点 M, 使得 P M = λ MQ. P M Z Q y x O Proof. 据题意有 P M = λ MQ, 设 M 的坐标为 (x, y, z), 则 P M = (x x 1, y y 1, z z 1 ), MQ = (x 2 x, y 2 y, z 2 z), 23 / 145

29 故有 x x 1 = λ(x 2 x), y y 1 = λ(y 2 y), z z 1 = λ(z 2 z), ( x1 + λx 2 由此解得点 M 的坐标为 : 1 + λ, y 1 + λy λ, z ) 1 + λz λ 特别地, 取 λ = 1, 即点 M 是线段 P Q 的中点, 其坐标为 ( x1 + x 2, y 1 + y 2, z ) 1 + z Remark λ = 0 时 M 即点 P, 点 Q 对应于 λ =, 所以当 0 < λ < 时, 点 M 在 P 与 Q 之间, 当 1 < λ < 0 时, 点 M 在 QP 的延长线上, 当 λ < 1 时, 点 M 在 P Q 的延长线上. 24 / 145

30 Example 已知 AB = ( 3, 0, 4), AC = (5, 2, 14), 求等分 BAC 的单位向量. 25 / 145

31 Example 已知 AB = ( 3, 0, 4), AC = (5, 2, 14), 求等分 BAC 的单位向量. Proof. AB = 5, AC = 15, 等分 BAC 的向量 c 为 c = AC AB + AB AC = 15 ( 3, 0, 4) + 5 (5, 2, 14) = ( 20, 10, 10). 故所求向量为 : c = ( 2 6, 1 6, 1 6 ). Remark c 也可以等于 AB 的单位向量加 AC 的单位向量, 即 c = 1 1 ( 3, 0, 4) 故所求向量为 : c = (5, 2, 14) = ( 4 15, 2 15, 2 15 ). ( 2 6, 1 6, 1 6 ). 25 / 145

32 数量积 ( 内积 点积 ) Definition ( 向量的数量积 ) 两个向量 a 与 b 的数量积 a b 是一个实数, 它等于 a 与 b 的模及它们夹角 a, b 的余弦的乘积, 即 a b = a b cos a, b. 一个物体在常力 F 作用下沿直线从点 A 移动到点 B, 以 s 表示位移 AB, 则力所作的功 W 等于力 F 在 s 方向的分力 F cos θ 与 s 的乘积, 即 W = F s cos θ, 其中 θ 为 F 与 s 的夹角. 因为 Prj a b = b cos a, b, Prj b a = a cos b, a, 所以有 a b = a Prj a b = b Prj b a. 即两个向量的数量积等于一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积. 26 / 145

33 Theorem 向量数量积的性质 (1) 0 a = a 0 = 0 (2) 两个向量 a 与 b 垂直的充分必要条件是 a b = 0 (3) 对任意向量 a, a 2 = a a = a 2 0. 值得注意的是, 由 a b = 0 不一定能推出 : a = 0 或 b = 0. 而对基向量有 : i j = j k = k i = 0, i i = j j = k k = / 145

34 Theorem 向量数量积的运算法则 : (1) 交换律 a b = b a; (2) 结合律 (λ a) b = λ (a b) = a (λ b), λ 为实数 ; (3) 分配律 (a + b) c = a c + b c. 28 / 145

35 Theorem 向量数量积的运算法则 : (1) 交换律 a b = b a; (2) 结合律 (λ a) b = λ (a b) = a (λ b), λ 为实数 ; (3) 分配律 (a + b) c = a c + b c. Proof. (3). 如果向量中有一个为零向量, 结论显然成立. 所以我们假设这三个向量均为非零向量, 则有 (a + b) c = c Prj c (a + b) = c (Prj c a + Prj c b) = c Prj c a + c Prj c b = a c + b c. 由以上运算法则我们知道数量积运算可按普通乘法法则进行, 例如 (a + b) (c + s) = a c + a s + b c + b s, (a + b) 2 = a 2 + 2a b + b 2, (a b) 2 = a 2 2a b + b / 145

36 Theorem 设 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, 则两个向量 a 与 b 的数量积的坐标表示式为 : a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b / 145

37 Theorem 设 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, 则两个向量 a 与 b 的数量积的坐标表示式为 : a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Proof. a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j + a 2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j + a 3 b 3 k k = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b / 145

38 由此可得两个向量垂直的充分必要条件是 : a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. 两个向量 a 与 b 的夹角 a, b 可由下式得到 cos a, b = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a a2 3 b b2 2 + b2 3 由于 cos a, b 1, 所以 a b a b, 等号只有在两向量平行时成立. 此即著名的柯西 - 施瓦茨不等式式, 即 : ( 3 ) 2 ( 3 a i b i i=1 i=1 a 2 i ) ( 3 i=1 b 2 i ).. 30 / 145

39 Example 在三角形 ABC 中, 证明余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. C b a A c B 31 / 145

40 Example 在三角形 ABC 中, 证明余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. C b a A c B Proof. 设 AB = c, BC = a, AC = b, BC = AC AB, BC 2 = ( AC AB) 2 = AC 2 2 AC AB + AB 2 故有 a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. = AC 2 + AB 2 2 AC AB cos A, 31 / 145

41 Example 求证三角形的三条高相交于一点. 32 / 145

42 Example 求证三角形的三条高相交于一点. Proof. 作 AD BC, BE AC, BE 与 AD 交与 O 点, 现证明 CO AB. AO = AC + CO, 因 AO BC, BO AC, 所以有 BO = BC + CO, AO BC = AC BC + CO BC = 0, BO AC = BC AC + CO AC = 0, 两式相减, 得 CO ( AC BC) = 0. 即 CO AB = 0. AB = AC BC, C E D O A F B 32 / 145

43 行列式 二阶行列式 : a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 三阶行列式 : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 ) a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a / 145

44 (1) 行列式可以按照任何一行 ( 列 ) 展开. (2) 行列式与其转置行列式的值相等. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T a 11 a 21 a 31 = a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 (3) 交换两行 ( 列 ) 的位置, 行列式的值变号. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a / 145

45 (4) 行列式的任一行 ( 列 ) 元素的公因子可以提到行列式的外面. a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 a 31 a 32 a 33 = k a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (5) 若行列式的某行 ( 列 ) 的每个元素都可以表示为两数之和, 则该行列式可以表示为两个行列式之和. a 11 a 12 a 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + a 11 a 12 a 13 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a / 145

46 向量积 ( 外积 叉积 ) Definition ( 向量的向量积 ) 两个向量 a 与 b 的向量积 a b 是一个向量, 其长度是 a b = a b sin a, b, 它垂直于 a 和 b, 且 a, b, a b 构成右手系. 36 / 145

47 F O A P 设一个物体的支点为 O, 力 F 作用在物体上的 A 点, 过 O 作力 F 的作用线 AP 的垂线 OP, 交 AP 于 P 点, OP 是力臂, 角 OA, F = θ, 则力 F 对支点 O 的力矩 L 的大小为 : L = OP F = F OA sin θ, L 垂直于 OA 与 F. 且 OA, F, L 构成右手系. 所以力矩可记为 L = OA F. a b 的几何意义是 : 表示以 a, b 为邻边的平行四边形的面积. 37 / 145

48 Theorem 向量的向量积的性质 (1) 0 a = a 0 = 0; (2) 两个非零向量 a 与 b 平行的充分必要条件是 : a b = / 145

49 Theorem 向量的向量积的性质 (1) 0 a = a 0 = 0; (2) 两个非零向量 a 与 b 平行的充分必要条件是 : a b = 0. Proof. (2) a 0, b 0, a b = 0 sin a, b = 0 a, b = 0 或 π a//b. 特别地, 由定义可得 a a = 0. 对基向量 i, j, k 有 : i j = k, j k = i, k i = j, i i = j j = k k = / 145

50 Theorem 向量的向量积的运算法则 (1) 反交换律 a b = b a; (2) 结合律 (λ a) b = λ (a b) = a (λ b), λ 为实数 ; (3) 分配律 (a + b) c = a c + b c. Proof. (1), (2) 可由定义得证. (3) 的证明较为繁琐, 读者可以参阅有关参考书. 39 / 145

51 Theorem 设 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, 则向量 a 与 b 的向量积的坐标表达式为 a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k = a 2 a 3 b 2 b 3 i + a 3 a 1 b 3 b 1 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. Proof. a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = a 1 b 1 i i + a 1 b 2 i j + a 1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a 2 b 2 j j + a 2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a 3 b 2 k j + a 3 b 3 k k = a 1 b 2 k a 1 b 3 j a 2 b 1 k + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j a 3 b 2 i = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k = a 2 a 3 b 2 b 3 i + a 3 a 1 b 3 b 1 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. 40 / 145

52 a b = a 2 a 3 b 2 b 3 i + a 3 a 1 b 3 b 1 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. 这就是向量的向量积的坐标表达式. 为便于记忆, 我们常把它写成三阶行列式的形式如下 : i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. 由此可得两个非零向量平行的充分必要条件是 : a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) = 0 a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b / 145

53 Example 证明三角形面积的海伦 ( Heron ) 公式 S = p(p a)(p b)(p c), 其中 p = (a + b + c)/2, a, b, c 是三角形的三边长. b a c 42 / 145

54 Example 证明三角形面积的海伦 ( Heron ) 公式 S = p(p a)(p b)(p c), 其中 p = (a + b + c)/2, a, b, c 是三角形的三边长. b a c Proof. 设三角形三条边的向量分别为 a, b, c, 且规定 a = a, b = b, c = c. 由图可得, a + b + c = 0 或 a + b = c, 对等式两边作数量积, 得 (a + b) 2 = c 2, 即 a b = 1 2 (c2 a 2 b 2 ). 42 / 145

55 (a + b) 2 = c 2, 即 a b = 1 2 (c2 a 2 b 2 ). 再注意到 a b 2 = a 2 b 2 (a b) 2 以及 S = 1 2 a b, 我们有 4S 2 = a 2 b (c2 a 2 b 2 ) 2 = 1 4 [2ab (c2 a 2 b 2 )] [2ab + (c 2 a 2 b 2 )] = 1 (a + b + c) (a + b c) (c + a b) (b + c a) 4 = 1 2p (2p 2c) (2p 2b) (2p 2a). 4 化简得 S 2 = p (p a) (p b) (p c). 两边开方得证. 43 / 145

56 混合积 Definition ( 向量的混合积 ) 三个向量 a, b, c 的混合积 a b c 是一个数, 记为 (a, b, c), 即 (a, b, c) = a b c = a b c cos θ, 其中 θ 是向量 a b 与 c 的夹角. a b c 的几何意义是 : 表示以 a, b, c 为邻边的平行六面体的体积. 这是因为 a b 表示以 a, b 为邻边的平行四边形的面积, 以此平行四边形为底, 平行六面体的高为 h = c cos θ. a b h c b a 44 / 145

57 Theorem 设 a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ), 则三个向量 a, b, c 的混合积的坐标表示式为 : a b c = a 2 a 3 b 2 b 3 c 1 + a 3 a 1 b 3 b 1 c 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. c 3 Remark 此定理可由向量的向量积和向量的数量积的坐标表示式立得, 读者可以自行论证之. 第二个等号成立是由三阶行列式的定义所得. 45 / 145

58 Theorem 向量混合积的性质 (1) (2) 对任意实数 λ, µ, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = (b, a, c) = (c, b, a) = (a, c, b) (a, b, λ c 1 + µ c 2 ) = λ (a, b, c 1 ) + µ (a, b, c 2 ) (3) 混合积等于零的充分必要条件是有一个向量等于零或者所有三个向量都平行于同一个平面 ( 称为共面 ). 46 / 145

59 Example 设四面体的四个顶点为 A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ), C(x 3, y 3, z 3 ), D(x 4, y 4, z 4 ), 求四面体 ABCD 的体积. 47 / 145

60 Example 设四面体的四个顶点为 A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ), C(x 3, y 3, z 3 ), D(x 4, y 4, z 4 ), 求四面体 ABCD 的体积. Proof. 由立体几何的有关知识可知, 四面体 ABCD 的体积 V 等于 以 AB, AC, 1 AD 为棱的平行六面体体积的 6, 即 V = 1 6 ( AB, AC, AD). 47 / 145

61 而 记 则 AB = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), AC = (x 3 x 1, y 3 y 1, z 3 z 1 ), AD = (x 4 x 1, y 4 y 1, z 4 z 1 ). = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 x 4 x 1 y 4 y 1, z 4 z 1 V = 1 6., 48 / 145

62 Example 证明公式 : (a b) c = (a c) b (b c) a. 49 / 145

63 Proof. 设 a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ), (a b) c = (x 1, x 2, x 3 ). ( ) a a b = 2 a 3 b 2 b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a 2 b 1 b 2. x 1 = a 3 a 1 b 3 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 c 2 c 3 = c 3 (a 3 b 1 a 1 b 3 ) c 2 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) = (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 )b 1 (b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 )a 1 = (a c) b 1 (b c) a 1 ; 同理可得 x 2 = (a c) b 2 (b c) a 2 ; x 3 = (a c) b 3 (b c) a / 145

64 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面

65 平面与直线 本节将利用前一节介绍的向量代数的知识来讨论空间中的平面 直线以及它们之间的关系等问题. 我们先来建立空间平面 Π 的方程. 与一已知平面垂直的任一非零向量称为该平面的法向量, 记为 n. 平面 Π 上的任何向量都垂直于它的法向量. 而垂直于平面 Π 的直线称为其法线. 一平面可由其上任一点和它的法向量唯一确定. 51 / 145

66 平面的方程 Theorem 若已知平面 Π 过点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 法向量为 n = (A, B, C), 则平面 Π 的方程为 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = / 145

67 平面的方程 Theorem 若已知平面 Π 过点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 法向量为 n = (A, B, C), 则平面 Π 的方程为 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Proof. 设空间中任意一点为 M(x, y, z), 则 M 在所求平面上的充分必要条件是向量 M 0 M n, 也即有 M 0 M n = 0, 所以就有平面 Π 的方程为 此式称为平面的点法式方程. A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = / 145

68 在 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. 中, 令 D = Ax 0 By 0 Cz 0, 整理得 此式称为平面的一般式方程. Ax + By + Cz + D = 0. 在空间直角坐标系中任意一个平面的方程都是三元一次方程, 反之, 任何三元一次方程的图像都是平面. 53 / 145

69 Example 求过点 A = (1, 2, 4) 且与平面 Π : x 2y + 3z = 5 平行的平面方程. 54 / 145

70 Example 求过点 A = (1, 2, 4) 且与平面 Π : x 2y + 3z = 5 平行的平面方程. Proof. 所求平面的法向量 n = (1, 2, 3), 由平面的点法式方程并整理, 得所求平面方程为 x 2y + 3z = / 145

71 空间中不共线的三点为 M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ), 则过这三点可以确定一个平面, 任意选取平面 Π 上的一点 M(x, y, z), 则 M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 这三个向量共面, 也即此三向量的混合积为 0. 由混合积的坐标表示式, 得 x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. 此式称为平面的三点式方程. 55 / 145

72 Example 已知不共线的三点 M 1 (2, 1, 3), M 2 ( 1, 3, 2), M 3 (0, 3, 1), 求过这三点的平面方程. 56 / 145

73 Example 已知不共线的三点 M 1 (2, 1, 3), M 2 ( 1, 3, 2), M 3 (0, 3, 1), 求过这三点的平面方程. Proof. x 2 y + 1 z 整理得所求平面方程为 : x + y z 4 = 0. = / 145

74 平面的截距式方程 容易求得通过三点 M 1 (a, 0, 0), M 2 (0, b, 0), M 3 (0, 0, c) 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. x a + y b + z c = 1. 式中 a, b, c 全不为 0, 称为平面在三个坐标轴上的截距. 57 / 145

75 特殊的平面方程在空间解析几何中对一些特殊形式平面的了解是非常有用的. 因此我们在这里对一些特殊形式的平面作一个简单的介绍. 过原点的平面 : 由于原点在平面内, 所以 D = 0, 故其平面方程为 : Ax + By + Cz = 0. 平行于坐标轴的平面 : 设平面平行于 x 轴, 则平面的法向量与 x 轴上的基向量 i 垂直, 因而 A = 0, 故平行于 x 轴的平面方程为 : 同理平行于 y 轴的平面方程为 : 平行于 z 轴的平面方程为 : By + Cz + D = 0 ; Ax + Cz + D = 0 ; Ax + By + D = / 145

76 过坐标轴的平面 : 如果平面通过 x 轴, 当然它也过原点, 由上面的讨论, 则其平面方程为 : By + Cz = 0 ; 同理平面通过 y 轴, 则其平面方程为 : 平面通过 z 轴, 则其平面方程为 : Ax + Cz = 0 ; Ax + By = 0. 平行于坐标平面的平面 : 设平面平行于 xoy 平面, 则其法向量平行于 z 轴上的基向量 k, 故此平面方程为 : Cz + D = 0 ( C 0 ), 特别地, xoy 平面的方程为 : z = 0 ; 同理可知平行于 yoz 平面的方程为 : Ax + D = 0 ( A 0 ), 特别地, yoz 平面的方程为 : x = 0 ; 平行于 zox 平面的方程为 : By + D = 0 ( B 0 ), 特别地, zox 平面的方程为 : y = / 145

77 Example 求经过点 M(2, 3, 5) 和 z 轴的平面方程. 60 / 145

78 Example 求经过点 M(2, 3, 5) 和 z 轴的平面方程. Proof. 由题意知所求平面方程为 : Ax + By = 0, 将 M 点代人方程, 得 A = 3 2 B, 所以所求平面方程为 3x + 2y = / 145

79 平面外一点到平面的距离 Theorem 已知平面外一点 M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 与一平面 Π : Ax + By + Cz + D = 0, 则 M 1 到平面 Π 的距离为 : d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A2 + B 2 + C / 145

80 平面外一点到平面的距离 Theorem 已知平面外一点 M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 与一平面 Π : Ax + By + Cz + D = 0, 则 M 1 到平面 Π 的距离为 : d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A2 + B 2 + C 2. Proof. 设 n = (A, B, C), 点 M 1 在平面 Π 上的投影为 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 则 M 0 M 1 为点 M 1 到平面 Π 的距离, 记为 d, 此时 M 0 M 1 //n, 我们有 M 0 M 1 n = M 0 M 1 n = d A 2 + B 2 + C 2. 注意到 M 0 M 1 n = A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) + C(z 1 z 0 ) = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D, 所以我们有 d = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D. A2 + B 2 + C 2 61 / 145

81 Example 求点 M(1, 2, 3) 到平面 2x 3y + 4z = 8 的距离. 62 / 145

82 Example 求点 M(1, 2, 3) 到平面 2x 3y + 4z = 8 的距离. Proof. d = ( 2) ( 3) = / 145

83 两个平面的关系 给定两个平面 Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ; Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 其法向量分别为 n 1 = (A 1, B 1, C 1 ), n 2 = (A 2, B 2, C 2 ), 且均为非零向量, 令 θ = n 1, n 2, 我们定义平面 Π 1 与 Π 2 的夹角 θ, 0 θ π ϕ = 2, π π π θ, 2 < θ π (0 ϕ 2 ). 63 / 145

84 两个平面的相对位置有相交 平行两种情况. 显见, 当 Π 1 //Π 2 时, 有 当 Π 1 Π 2 时, 有 Π 1 //Π 2 n 1 //n 2 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 D 1 D 2. Π 1 Π 2 n 1 n 2 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. 两个平面的夹角可由下式求出 : cos ϕ = cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2 = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B1 2 + C2 1 A B C / 145

85 Example 求与两点 P (1, 2, 1), Q(2, 1, 0) 等距离的点的轨迹. 65 / 145

86 Example 求与两点 P (1, 2, 1), Q(2, 1, 0) 等距离的点的轨迹. Proof. 在轨迹上任取一点 M(x, y, z), 则有 P M = QM, 即有 (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z + 1) 2 = (x 2) 2 + (y + 1) 2 + z 2, 整理得, 2x 6y + 2z + 1 = 0. 此为平面方程. 65 / 145

87 Example 设平面与原点的距离为 6, 且在坐标轴上的截距之比为 a : b : c = 1 : 3 : 2. 求此平面方程. 66 / 145

88 Example 设平面与原点的距离为 6, 且在坐标轴上的截距之比为 a : b : c = 1 : 3 : 2. 求此平面方程. Proof. 由 a : b : c = 1 : 3 : 2 得 b = 3a, c = 2a, 由平面的截距式方程得所求平面方程为 : 6x + 2y + 3z = 6a. 由平面与原点的距离为 6, 得 6a = 6, 即 a = ±7, 所以所求平面方程为 : 6x + 2y + 3z ± 42 = / 145

89 直线的方程 要确定空间中的一条直线, 只要给出以下三个条件之一 : 经过空间中的一点 M 0, 并且平行于某个已知的非零向量 s; 经过已知空间中的两点 M 1, M 2 ; 作为两个平面 Π 1 与 Π 2 的交线. 与一已知直线平行的任一非零向量我们称为该直线的方向向量, 记为 s. 若 s = (l, m, n) 是某直线的方向向量, 则称 l, m, n 为该直线的一组方向数. 67 / 145

90 直线的方程 Theorem 若直线通过点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 且直线的方向向量为 s = (l, m, n), 则此直线的方程为 : x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n. 68 / 145

91 直线的方程 Theorem 若直线通过点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 且直线的方向向量为 s = (l, m, n), 则此直线的方程为 : x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n. Proof. 设空间中的任一点为 M(x, y, z), 则它在直线上的充分必要条件是 : 向量 M 0 M 在这条直线上, 因此 M 0 M//s, 由向量代数的知识就得直线方程为 x x 0 = y y 0 l m = z z 0 n. 此式称为直线的点向式方程 ( 又称为标准式方程 对称式方程 ). 68 / 145

92 令 x x 0 l = y y 0 m = z z 0 = t, n 则通过点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 方向向量为 s = (l, m, n) 的直线方程还可写为 x = x 0 + lt, y = y 0 + mt, ( < t < + ) z = z 0 + nt. 这里 t 是参数. 此式称为直线的参数式方程. 69 / 145

93 特别是直线通过空间中的两点 M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), 此时直线的方向向量 s = M 1 M 2, 即 s = M 1 M 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), 所以通过两点 M 1, M 2 的直线方程为 此式称为直线的两点式方程. x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z / 145

94 一条空间直线, 还可看成两个平面 Π 1 与 Π 2 的交线, 因此直线的方程可写为 { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 这里向量 n 1 = (A 1, B 1, C 1 ), n 2 = (A 2, B 2, C 2 ) 不共线. 此式称为直线的一般式方程. 71 / 145

95 直线的点向式方程与一般式方程可以互相转换. 因为直线的点向式方程中包含了两个独立的等式, 因此可以把它转化为一般式方程. 反之, 由一般式方程, 我们可以取直线的方向向量 s = n 1 n 2, 再解出一组解作为 M 0, 就可以得到直线的点向式方程. 72 / 145

96 Example 将直线的一般式方程 { x y + z + 5 = 0, 5x 8y + 4z + 36 = 0. 化为点向式方程. 73 / 145

97 Example 将直线的一般式方程 { x y + z + 5 = 0, 5x 8y + 4z + 36 = 0. 化为点向式方程. Proof. n 1 n 2 = (1, 1, 1) (5, 8, 4) = (4, 1, 3). 因此取直线的方向向量 s = (4, 1, 3), 在两平面方程中令 x = 0, 解得 y = 4, z = 1, 取 M 0 = (0, 4, 1), 所以所求直线的点向式方程为 : x 4 = y 4 = z / 145

98 直线外一点到直线 L 的距离 Theorem 设 s = (l, m, n) 为直线 L 的方向向量. M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 为直线 L 上的一 x x 0 点, 点 M 1 (x 1, y 1, z 1 ) 不在直线 L: = y y 0 l m = z z 0 上, n 则 M 1 到直线 L 的距离为 : d = M 0 M 1 s. s 74 / 145

99 M 1 d M 0 s L Proof. M 0 M 1 s 等于以 M 0 M 1 和 s 为邻边的平行四边形面积, 而该面积又等于 d 与 s 的乘积于是有 M 0 M 1 s = d s. 所以就得到直线外一点 M 1 到直线 L 的距离公式为 : d = M 0 M 1 s. s 75 / 145

100 Example 求点 M 1 (1, 2, 3) 到直线 { x y + z + 5 = 0, L : 5x 8y + 4z + 36 = 0. 的距离. 76 / 145

101 Example 求点 M 1 (1, 2, 3) 到直线 { x y + z + 5 = 0, L : 5x 8y + 4z + 36 = 0. 的距离. Proof. 直线 L 的方向向量 s = (4, 1, 3), 直线上有点 M 0 (0, 4, 1), 所以由公式得 d = (1, 2, 4) (4, 1, 3) (4, 1, 3) = (2, 19, 9) 223 (4, 1, 3) = / 145

102 两条直线的关系 给定两条空间直线, 它们的方程分别为 : L 1 : x x 1 l 1 = y y 1 m 1 = z z 1 n 1, L 2 : x x 2 l 2 = y y 2 m 2 = z z 2 n 2. 其方向向量分别为 s 1 = (l 1, m 1, n 1 ), s 2 = (l 2, m 2, n 2 ), 直线 L 1 上有点 M 1 (x 1, y 1, z 1 ), 直线 L 2 上有点 M 2 (x 2, y 2, z 2 ), 令 θ = s 1, s 2, 我们定义直线 L 1, L 2 的夹角 θ, 0 θ π ϕ = 2, π θ, π 2 < θ π, (0 ϕ π 2 ). 77 / 145

103 两条空间直线的相对位置, 有相交 平行和不在同一平面内三种情况. 两直线相交或平行时, 称两直线共面. 若直线 L 1 与 L 2 共面, 当 s 1 = λs 2 时, L 1 与 L 2 平行或重合 ; 当 s 1 λs 2 时, L 1 与 L 2 相交. 两条直线 L 1 与 L 2 共面时, s 1, s 2, M 1 M 2 这三个向量也共面, 反之, 若 s 1, s 2, M 1 M 2 共面, 则 L 1 与 L 2 共面. 由向量代数的相关知识得两条直线 L 1 与 L 2 共面的充分必要条件是 : x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = / 145

104 显见, 当 L 1 //L 2 时, 有 当 L 1 L 2 时, 有 L 1 //L 2 s 1 //s 2 l 1 l 2 = m 1 m 2 = n 1 n 2. L 1 L 2 s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 两条直线的夹角可由下式求出 : cos ϕ = cos θ = s 1 s 2 s 1 s 2 = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 l m n2 1 l m n / 145

105 两条空间直线不在同一平面内称两直线为异面直线. 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为两异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段长度, 称为两条异面直线的距离. 公垂线的方向向量 s = s 1 s 2, 而两条异面直线的距离 d 就是向量 M 1 M 2 在 s 上的投影的绝对值, 即 d = Prj s M 1 M 2 = M 1 M 2 s = M 1 M 2 s 1 s 2. s s 1 s 2 80 / 145

106 Example 求异面直线 L 1 : x 1 2 的距离, 并求公垂线的方程. = y 1 = z 1, L 2 : x 2 = y = z / 145

107 Example 求异面直线 L 1 : x 1 2 的距离, 并求公垂线的方程. = y 1 = z 1, L 2 : x 2 = y Proof. 两条直线的方向向量分别为 s 1 = (2, 1, 1), s 2 = (1, 2, 1), 两条直线上的已知点分别为 M 1 (1, 1, 1), M 2 (2, 1, 1). s 1 s 2 = (2, 1, 1) (1, 2, 1) = 3(1, 1, 1), 所以取公垂线的方向向量为 s = (1, 1, 1). 又向量 M 1 M 2 = (1, 2, 0), 故两条异面直线的距离为 d = (1, 2, 0) (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 3. = z / 145

108 求公垂线的方程 ( 方法 1) 三个向量共面的充分必要条件为这三个向量的混合积为零. 由公垂线 L 与已知直线 L 1 确定的平面为 Π 1, 在 L 上任取一点 M(x, y, z), 则 s, s 1, M 1 M 共面, = M 1 M s s 1 = 0, = x 1 y 1 z = Π 1 : y z = 0. = 0, 82 / 145

109 由公垂线 L 与已知直线 L 2 确定的平面为 Π 2, 在 L 上任取一点 M(x, y, z), 则 s, s 2, M 2 M 共面, = M 2 M s s 2 = 0, = x 2 y + 1 z = Π 2 : x + z 3 = 0. = 0, 而公垂线 L 是 Π 1 与 Π 2 的交线, 其方程为 { y z = 0, x + z 3 = / 145

110 求公垂线的方程 ( 方法 2) 我们已求得公垂线的方向向量为 s = (1, 1, 1), 因而能在公垂线上再求得一点的坐标就可由直线的点向式得到公垂线的方程. 在方法 1 中我们已经求得公垂线 L 与已知直线 L 1 确定的平面为 Π 1, 而 Π 1 与 L 2 的交点 M 3 就是所要找的点. 将 L 2 的参数方程 x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 1 t, 代人 Π 1 的方程得 t = 2 ( 8 3, 所以所求交点 M 3 = 3, 1 3, 1 ), 3 从而所求公垂线的方程为 x = y = z 1 3 1, 或 3x 8 1 = 3y 1 1 = 3z / 145

111 求公垂线的方程 ( 方法 3) 公垂线 L 与已知直线 L 1, L 2 的交点 M 4, M 5 也可以这样求, 用直线 L 1, L 2 的参数方程 : L 1 : x = 1 + 2t, y = 1 + t, z = 1 + t; L 2 : x = 2 + u, y = 1 + 2u, z = 1 u. 则交点 M 4 = (1 + 2t, 1 + t, 1 + t), M 5 = (2 + u, 1 + 2u, 1 u), 因 M 4 M 5 //s, 故有 1 + u 2t 1 得到关于 t, u 的方程组 = 2 + 2u t 1 { 3u 3t = 1, 3u 2 = 0. 解得 u = 2 3, t = 1 3, 因此交点为 M 4 = = u t 1. ( 5 3, 4 3, 4 ) ( 8, M 5 = 3 3, 1 3, 1 ) / 145

112 直线与平面的关系 给定一条直线 与一个平面 L : x x 0 l = y y 0 m = z z 0, n Π : Ax + By + Cz + D = 0. 直线 L 的方向向量为 s = (l, m, n), M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 在直线 L 上, 平面 Π 的法向量为 n = (A, B, C). 一条直线与一个平面之间的位置关系有且只有以下三种 : (1) 直线与平面平行 它们没有公共点, 记作 L//Π, (2) 直线与平面相交 它们仅有一个公共点 A, 记作 L Π = A, (3) 直线在平面内 它们有无数个公共点, 记作 L Π. 86 / 145

113 令 θ = s, n, 我们定义直线 L 与平面 Π 的夹角 π ϕ = 2 θ, 0 θ π 2, θ π 2, π 2 < θ π, (0 ϕ L//Π s n la + mb + nc = 0. 特别地是, 当直线 L 与平面 Π 重合时, π 2 ). L Π la + mb + nc = 0, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. L Π s//n l A = m B = n C. 直线 L 与平面 Π 的夹角 ϕ 可由下式求出 : sin ϕ = cos θ = s n s n = la + mb + nc A2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n / 145

114 1 L L 1 当直线 L 与平面 Π 的夹角 ϕ = 0 时, 直线 L 与平面 Π 平行或直线 L 在平面 Π 内 ; 当 ϕ = π 2 时, 直线 L 与平面 Π 垂直. 当 ϕ 0, π 2 时, 直线 L 与平面 Π 斜交, 这时直线 L 称为平面 Π 的斜线. 当直线 L 与平面 Π 不垂直时, 过直线 L 有且只有一平面 Π 1 与平面 Π 垂直, 设平面 Π 1 与 Π 的交线为 L 1, 称直线 L 1 为直线 L 在平面 Π 上的投影, 称平面 Π 1 为投影平面. 斜线 L 与其在平面 Π 上的投影的夹角就是斜线 L 与平面 Π 的夹角. 88 / 145

115 Example x + 1 设直线 L 的方程为 : = y = z 1 5, 平面 Π 的方程为 : 3x + y + 2z + 20 = 0, 求直线 L 与平面 Π 的夹角和交点 M, 直线 L 在平面 Π 上的投影以及投影平面的方程. 89 / 145

116 Example x + 1 设直线 L 的方程为 : = y = z 1 5, 平面 Π 的方程为 : 3x + y + 2z + 20 = 0, 求直线 L 与平面 Π 的夹角和交点 M, 直线 L 在平面 Π 上的投影以及投影平面的方程. Proof. 直线 L 的方向向量 s = (4, 1, 5), 平面 Π 的法向量为 n = (3, 1, 2), 则 sin ϕ = ( 1) ( 1) = 2 2, = ϕ = π 3. 将直线 L 的方程改写为参数式 x = 1 + 4t, y = 2 t, z = 1 + 5t 代人平面 Π 的方程, 得 3 ( 1 + 4t) + (2 t) + 2 (1 + 5t) + 20 = 0, 解得 t = 1, 故交点 M 的坐标为 ( 5, 3, 4). 89 / 145

117 因为直线 L 在平面 Π 上的投影平面的法向量 n 1 与直线 L 的方向向量 s 及平面 Π 的法向量 n 均垂直, 而 s n = (4, 1, 5) (3, 1, 2) = 7(1, 1, 1), 故投影平面 Π 1 的法向量 n 1 = (1, 1, 1), 所以由平面的点法式可得所求投影平面 Π 1 的方程为 : x + 5 (y 3) (z + 4) = 0, 即 x y z + 4 = 0. 而直线 L 在平面 Π 上的投影为 : { 3x + y + 2z + 20 = 0, x y z + 4 = / 145

118 平面束 通过一条定直线 L 的所有平面的集合称为平面束. 设直线 L 的方程为 : { Π1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 则通过直线 L 的平面束方程为 : Π λ : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ(a 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0. 其中 λ R. 实际上, Π λ 是关于 x, y, z 的一次方程, 它表示一个平面. 当 λ = 0 时, 它表示平面 Π 1, 当 λ 趋向于 时, 我们规定 Π 的方程为 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 即 Π 就是 Π / 145

119 Example x + 1 设直线 L 的方程为 : = y = z 1 5, 平面 Π 的方程为 : 3x + y + 2z + 20 = 0, 求直线 L 在平面 Π 上的投影以及投影平面的方程. 92 / 145

120 Example x + 1 设直线 L 的方程为 : = y = z 1 5, 平面 Π 的方程为 : 3x + y + 2z + 20 = 0, 求直线 L 在平面 Π 上的投影以及投影平面的方程. Proof. { x + 4y 7 = 0, 将直线 L 的方程改写为一般式方程 : 5y + z 11 = 0. 设投影平面的方程为 即 Π λ : x + 4y 7 + λ (5y + z 11) = 0. x + (4 + 5 λ)y + λz (7 + 11λ) = 0, 其法向量为 n λ = (1, λ, λ), 它与已知平面 Π 的法向量 n 垂直. 所以有 n λ n = (4 + 5 λ) 1 + λ 2 = 0, 解得 λ = 1, 故投影平面的方程为 x y z + 4 = / 145

121 More Examples Example 求过点 M( 1, 0, 4) 且平行于平面 π : 3x 4y + z 10 = 0 又与直线 L : x = y 3 1 = z 2 相交的直线方程. 93 / 145

122 More Examples Example 求过点 M( 1, 0, 4) 且平行于平面 π : 3x 4y + z 10 = 0 又与直线 L : x = y 3 1 = z 2 相交的直线方程. Example 设直线 L 与平面 π : 2x + y + z = 1 垂直, 并且与已知直线 L 1 : x 1 = y + 2 = z 3, L 2 : x 3 = y 2 2 都相交, 求 L 的方程. = z 93 / 145

123 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面

124 空间曲面与空间曲线 在上一节中我们研究了平面与直线的方程, 从平面的一般式方程我们知道三元一次方程所表示的就是一个空间中的平面. 本节我们将研究空间中的一般曲面, 主要是研究二次曲面. 同时还要研究空间中的曲线. 94 / 145

125 空间曲面 在空间直角坐标系下, 如果曲面 S 与三元方程 F (x, y, z) = 0 有下述关系 : (1) 曲面 S 上的任一点的坐标都满足 F (x, y, z) = 0; (2) 不在 S 上的点的坐标都不满足 F (x, y, z) = 0 ( 或满足 F (x, y, z) = 0 的点 (x, y, z) 都在 S 上 ). 则称 F (x, y, z) = 0 是曲面 S 的方程, 而称曲面 S 是方程 F (x, y, z) = 0 的图像. 95 / 145

126 Example 求以 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 为球心, R 为半径的球面方程. 96 / 145

127 Example 求以 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 为球心, R 为半径的球面方程. Proof. 设 M(x, y, z) 是所求球面上的任意一点, 则 M 0 M = R. 即 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. 特别地, 如果球心就是原点, 则球面方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R / 145

128 Example 求以 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 为球心, R 为半径的球面方程. Proof. 设 M(x, y, z) 是所求球面上的任意一点, 则 M 0 M = R. 即 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. 特别地, 如果球心就是原点, 则球面方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Remark 球面方程的一般形式为 : x 2 + y 2 + z 2 + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 其中 b 1, b 2, b 3, c R. 对其配方就可把它化为标准形式 : (x + b 1 ) 2 + (y + b 2 ) 2 + (z + b 3 ) 2 = b b b 2 3 c. 96 / 145

129 Example 求以 y 轴为对称轴, 半径为 r 的圆柱面方程. 97 / 145

130 Example 求以 y 轴为对称轴, 半径为 r 的圆柱面方程. Proof. 设 M(x, y, z) 是所求圆柱面上的任意一点, 则它到 y 轴的距离是 r, 即有 x2 + z 2 = r, 或者 x 2 + z 2 = r 2. 反之, 满足 x 2 + z 2 = r 2 的点必在该圆柱面上, 所以这就是所求的圆柱面方程. 97 / 145

131 空间曲线 前面我们把直线看作是两个平面的交线. 一般地, 空间曲线 C 也可以看作是两个空间曲面的交线. 从而空间曲线 C 的方程我们可以用两个空间曲面的方程联立起来表示, 即 { F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. 称为空间曲线 C 的一般式方程. 98 / 145

132 方程组 { x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z = a ( a < R ), 表示球心在原点, 半径为 R 的球面与平面 z = a ( a < R ) 的交线, 它是一个在 z = a 平面上的圆. 圆上的任一点的坐标满足 z = a 和 x 2 + y 2 = R 2 a 2, 故也可看作是圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 a 2 与平面 z = a 的交线, 即可写为 { x 2 + y 2 = R 2 a 2, z = a ( a < R ). 特别地, 曲面 F (x, y, z) = 0 与三个坐标平面 ( xoy 平面, yoz 平面, zox 平面 ) 的交线 ( 如果有的话 ) 方程分别为 : { F (x, y, z) = 0, z = 0. { F (x, y, z) = 0, x = 0. { F (x, y, z) = 0, y = / 145

133 柱面 一条动直线 L 保持与一条定直线 l 平行, 沿给定的一条空间曲线 C 平行移动所得的曲面称为柱面, 曲线 C 称为柱面的准线, 直线 L 称为柱面的母线. { f(x, y) = 0, 如果取准线 C 在 xoy 平面上, 方程为 z = 0, 母线为平行于 z 轴的直线, 则该柱面的方程就是 f(x, y) = 0. Z L O y x C 100 / 145

134 Z L O y x C 事实上, 对柱面上的任意一点 M(x, y, z), 过 M 点作直线平行于 z 轴, 这条直线就是过点 M 的母线. 母线上的任何点的 x, y 坐标均相同, 只有 z 坐标不同, 它与 xoy 平面的交点 Q(x, y, 0) 必在曲线 C 上. 因为 Q 点的坐标满足 f(x, y) = 0, 也即 M 点的坐标满足 f(x, y) = 0. 反之, 满足 f(x, y) = 0 的点 M(x, y, z) 一定在过 Q(x, y, 0) 的母线上, 也即在该柱面上. 101 / 145

135 与 若平面方程中不出现某变量, 则该平面就平行于某轴 的结论一样, 若三元方程中不出现某个变量, 它就表示母线平行于某轴的柱面. g(y, z) = 0 是母线平行于 x 轴的柱面. h(z, x) = 0 是母线平行于 y 轴的柱面. x2 a 2 + z2 b 2 = 1 表示母线平行于 y 轴的椭圆柱面, y 2 = 4z 是母线平行于 x 轴的抛物柱面. 平面 2x + 4z = 7 也可以看作母线平行于 y 轴的柱面. 102 / 145

136 如果我们从空间曲线的方程 { F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. 中消去 z 后得到的方程为 h(x, y) = 0. 那么它代表的是什么曲面呢? 首先在 h(x, y) = 0 中不出现 z, 它表示的是母线平行于 z 轴的柱面, 其次 h(x, y) = 0 是由曲线方程消去变量 z 得到的, 因此, 当 (x, y, z) 满足曲线方程时, (x, y) 必满足 h(x, y) = 0, 这说明曲线 C 上的点都在由 h(x, y) = 0 表示的柱面上. 所以, 柱面 h(x, y) = 0 可看成是以 C 为准线 母线平行于 z 轴 ( 即垂直于 xoy 平面 ) 的柱面, 这个柱面称为曲线 C 到 xoy 平面的投影柱面, { h(x, y) = 0, 而投影柱面与 xoy 平面的交线 z = 0, 就是空间曲线 C 在 xoy 平面上的投影曲线 ( 或称投影 ). 103 / 145

137 同理, 由 { F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. 消去变量 x 或 y 后, 可得到曲线 C 在 yoz 平面或 zox 平面上的投影为 { h1 (y, z) = 0, x = 0, 或 { h2 (z, x) = 0, y = / 145

138 Example{ x 求曲线 C: 2 + y 2 + z 2 = 1, (x 1) 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1. 在 xoz 平面上的投影柱面及 xoy 平面上的投影. 105 / 145

139 Example{ x 求曲线 C: 2 + y 2 + z 2 = 1, (x 1) 2 + y 2 + (z 1) 2 = 1. 在 xoz 平面上的投影柱面及 xoy 平面上的投影. Proof. 曲线 C 是一个圆. 由 C 的两个球面方程消去 y, 可得曲线 C 对 xoz 平面的投影柱面为 : x + z = 1, 它是一个平面. 这说明曲线 C 在平面 x + z = 1 上. 故曲线 C 的方程也可写为 { x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + z = 1. 在这个方程组中再消去 z, 得曲线 C 在 xoy 平面上的投影方程为椭圆 : { 4(x 1 2 )2 + 2y 2 = 1, z = / 145

140 Theorem 以曲线 C : { F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. 为准线, 母线的方向向量为 s = (l, m, n) 的柱面方程为 : { F (x lt, y mt, z nt) = 0, G(x lt, y mt, z nt) = 0. 其中 t 为参数. 此式是柱面方程的参数形式, 消去 t 可得柱面方程的直角坐标形式. 106 / 145

141 Proof. 在所求柱面上任取一点 M(x, y, z), 过该点以 s 为方向向量作直线 L, 它交准线 C 于 M 0 (x 0, y 0, z 0 ), 则有 { F (x0, y 0, z 0 ) = 0, 又直线 L 的参数方程为 : 将其代人得证. G(x 0, y 0, z 0 ) = 0. x x 0 = lt, y y 0 = mt, z z 0 = nt. 即 x 0 = x lt, y 0 = y mt, z 0 = z nt. { f(x, y) = 0, 特别地是, 以 xoy 平面上的曲线为准线, z = 0, 母线的方向向量为 s = (l, m, n), n 0 的柱面方程为 f(x l n z, y m z) = 0. n 107 / 145

142 Example { (x 2) 设空间曲面 Γ 是以曲线 C : 2 + 2y 2 = 1 z = 2 母线平行于向量 s = (1, 0, 1) 的柱面, 求出空间曲面 Γ 的方程 ( 用直角坐标表示 ). 为准线, 108 / 145

143 旋转曲面 某个平面上的一条连续曲线 C 绕该平面上的一条定直线 L 旋转一周生成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线 L 称为旋转轴, 曲线 C 称为旋转曲面的生成曲线. Theorem { f(x, y) = 0, xoy 平面上的曲线 C : z = 0, 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 : f(x, ± y 2 + z 2 ) = 0. y f(x, y) =0 C Q O M P x x z 109 / 145

144 y f(x, y) =0 C Q O M P x x z Proof. 在旋转曲面上任取一点 M(x, y, z), 过 M 点作一个平面垂直于 x 轴, 它与 x 轴交于点 P (x, 0, 0), 与曲线 C 交于点 Q(x, y 0, 0), 显然应有 P M = P Q, 即有 y 0 = y 2 + z 2, 所以 y 0 = ± y 2 + z 2, 将 Q 点的坐标代人 f(x, y) = 0 中就得所求的旋转曲面的方程为 : f(x, ± y 2 + z 2 ) = / 145

145 同理可得该曲线 C 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 : f(± x 2 + z 2, y) = 0. { y 例如, 将 xoy 平面上的抛物线 : 2 = 2x, z = 0. 绕 x 轴旋转一周得旋转抛物面, 其方程为 x 2 将椭圆 : a 2 + y2 b 2 = 1, z = 0. y 2 + z 2 = 2x. 绕 y 轴旋转一周得旋转椭球面 : x 2 + z 2 a 2 + y2 b 2 = / 145

146 同理, 将 yoz 平面上的双曲线 : y 2 b 2 z2 c 2 = 1, x = 0. 分别绕 z 轴和 y 轴旋转一周所得的旋转曲面分别为旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面. x 2 + y 2 b 2 z2 c 2 = 1, 和 y 2 b 2 x2 + z 2 c 2 = / 145

147 Example 求直线 L : x 1 = y 1 1 = z 1 在平面 π : x y + 2z 1 = 0 上的投影 1 直线 L 0 的方程, 并求 L 0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 113 / 145

148 锥面 已知一定点 M 0 (x 0, y 0, z 0 ) 和一条与其不共线的空间曲线 C, 由点 M 0 与曲线 C 上所有点的连线 L 所生成的曲面称为锥面. 点 M 0 称为锥面的顶点, 曲线 C 称为锥面的准线, 锥面上过顶点的任一条直线 L 称为锥面的母线 C Q L M M / 145

149 Theorem 以 M 0 为顶点, 曲线 C { F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, 为准线的锥面方程为 : { F (x0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = 0, G(x 0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = 0, 其中 t 为参数, 此式称为锥面的参数式方程. 从中消去参数 t 就得锥面的直角坐标式方程. 115 / 145

150 C Q L M M 0 Proof. 锥面上任一点 M(x, y, z), 直线 M 0 M 与 C 必交于一点 Q(x 1, y 1, z 1 ), 则 M 0 Q// M 0 M, 因此有 x 1 x 0 x x 0 = y 1 y 0 y y 0 = z 1 z 0 z z 0 = t, 其中 t 为参数 即 x 1 = x 0 + t(x x 0 ), y 1 = y 0 + t(y y 0 ), z 1 = z 0 + t(z z 0 ). 将 Q 点的坐标 (x 1, y 1, z 1 ) 代人曲线 C 的方程, 得锥面的参数式方程为 { F (x0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = 0, G(x 0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = / 145

151 { F (x0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = 0, G(x 0 + t(x x 0 ), y 0 + t(y y 0 ), z 0 + t(z z 0 ) = 0. 特别地, 当顶点 M 0 为坐标原点时, 锥面的直角坐标式方程将从 { F (tx, ty, tz) = 0, G(tx, ty, tz) = 0, 中消去 t 得到. 而直线 { y = z, x = 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 ± x 2 + y 2 = z 即 x 2 + y 2 = z 2. 这是以 z 轴为对称轴, 顶点在原点, 半顶角为 π 的圆锥面方程 / 145

152 Example x 试求直线 α = y β = z 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程, 0 1 并按 α, β 取值的情况确定该方程表示什么曲面. 118 / 145

153 Example x 试求直线 α = y β = z 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程, 0 1 并按 α, β 取值的情况确定该方程表示什么曲面. { x = αz, 解 : 所给直线 L 的方程可表为, 在所求曲面上任取 y = β 点 M(x, y, z), 若点 M 是由直线 L 上的点 M 0 (x 0, y 0, z) 旋转得到的, 则 M, M 0 到 z 轴的距离相等, 所以 x 2 + y 2 = x y 0 2. 由于 x 0 = αz, y 0 = β, 于是所求旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 α 2 z 2 = β 2. 1) 当 α = 0, β 0 时, 此方程表示圆柱面 ; 2) 当 α 0, β = 0 时, 此方程表示圆锥面 ; 3) 当 αβ 0 时, 此方程表示旋转单叶双曲面. 118 / 145

154 Example 求顶点在原点, 准线 C 是平面 x + y + z = 3 与旋转抛物面 x 2 + y 2 = 3z 的交线的锥面方程. 解 : 把准线 C 中的 (x, y, z) 换为 (tx, ty, tz) 得 { (tx) 2 + (ty) 2 = 3tz, tx + ty + tz = 3. 即 { t(x 2 + y 2 ) = 3z, t(x + y + z) = 3. 消去 t 即得所求锥面方程为 x 2 + y 2 z 2 xz yz = / 145

155 空间曲线的参数方程 类似于直线的参数式方程式, 以及平面曲线的参数方程 : x = ϕ(t), y = ψ(t) 表示一样, 一条空间曲线也可用参数式方程 x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ω(t), (a t b), 表示, 这里 t 是参数. 当 ϕ(t), ψ(t), ω(t) 在 [ a, b ] 上皆连续时, 称此曲线为连续曲线. 120 / 145

156 Example 参数方程 : 表示一条空间曲线. x = a cos t, y = b sin t, z = ct, 其中 a, b, c > 0 t = 0 对应于点 P 0 (a, 0, 0), x 当 t 从 0 增大时, 对应的点沿着椭圆柱面 2 a 2 升. 此曲线称为螺旋线. 螺距为 2πc. + y2 b 2 = 1 绕 z 轴右旋式上 121 / 145

157 空间曲面的参数方程 如果曲面 S 上点的坐标表示为两个参数 (u, v) 的函数, x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) D uv. z = z(u, v), 其中 D uv 表示 uv 平面上的区域. 则方程组称为曲面 S 的参数方程. 若消去参数 u, v, 就可得曲面 S 的隐式方程 F (x, y, z) = 0. 例如, 参数方程 x = a sin ϕ sin θ, y = b sin ϕ cos θ, z = c cos ϕ, 0 ϕ π, 0 θ 2π 表示的是椭球面 x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = / 145

158 二次曲面 我们把三元二次方程 a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 23 yz + 2a 31 zx + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 表示的曲面称为二次曲面. 其中 a 11, a 22, a 33, a 12, a 23, a 31, b 1, b 2, b 3, c R. 我们可以利用空间直角坐标系的变换把一般的二次曲面的方程化为标准形式. 通过平移变换消去一次项, 通过旋转变换消去混合项. 123 / 145

159 平移变换 将空间直角坐标系 O xyz 的坐标原点 O 移至点 O 处, 坐标轴的方向和单位长度保持不变, 从而得到一个新的直角坐标系 O x y z. 这就是坐标系的平移. M z ' z O'( abc,, ) y ' x O y x ' 124 / 145

160 设点 O 在坐标系 O xyz 中的坐标为 (a, b, c ). 对于空间中的任一点 M, 设点 M 在坐标系 O xyz 中的坐标为 (x, y, z), 在坐标系 O x y z 中的坐标为 (x, y, z ). 则有 OO = (a, b, c), OM = (x, y, z), O M = (x, y, z ). 因为, OM = OO + O M, 所以有 由此即得平移变换公式为 (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z ), x = x + a, y = y + b, z = z + c. 125 / 145

161 旋转变换坐标原点 O 保持不动, 将空间直角坐标系 O xyz 转动到新的空间直角坐标系 O x y z. 对空间中的任一点 M, 设点 M 在坐标系 O xyz 中的坐标为 (x, y, z), 在坐标系 O x y z 中的坐标为 (x, y, z ). 又已知新旧坐标轴的夹角为 Ox Oy Oz Ox α 1 β 1 γ 1 Oy α 2 β 2 γ 2 Oz α 3 β 3 γ 3 z ' z y ' 1 O 1 1 y x x ' 126 / 145

162 设坐标系 O xyz 的基向量为 i, j, k, 坐标系 O x y z 的基向量为 i, j, k, 则有 i = cos α 1 i + cos β 1 j + cos γ 1 k, j = cos α 2 i + cos β 2 j + cos γ 2 k, k = cos α 3 i + cos β 3 j + cos γ 3 k, 向量 OM 在坐标系 O xyz 中的坐标分解式为 OM = xi + yj + zk, 在坐标系 O x y z 中的坐标分解式为 OM = x i + y j + z k, 所以 xi + yj + zk = OM = x i + y j + z k, 将 i, j, k 的坐标表示式代入并整理得 x cos α 1 cos α 2 cos α 3 y = cos β 1 cos β 2 cos β 3 z cos γ 1 cos γ 2 cos γ 3 x y z. 127 / 145

163 或写为 x y z x y z = = 此两式便是坐标旋转变换公式. cos α 1 cos α 2 cos α 3 cos β 1 cos β 2 cos β 3 cos γ 1 cos γ 2 cos γ 3 cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x y z x y z / 145

164 最简单的旋转变换是绕某坐标轴 ( 譬如 z 轴 ) 旋转, 则坐标旋转变换公式变化为 ( 旋转角为 θ ) x cos θ sin θ 0 x y = sin θ cos θ 0 y z z 它的作用将消去方程中含 xy 的项. 例如, 对方程 z = 2xy 可作绕 z 轴旋转 π 的变换 4 x = 1 2 (x y ), y = 1 2 (x + y ), z = z. 将它变为没有含 x y 的项, 得方程 z = x 2 y / 145

165 对二次曲面方程, 当三个混合项 xy, yz, zx 只出现一项时, 用上述方法就可以使其消失 ; 当混合项出现两项或三项时, 作旋转变换可以使混合项消失, 但情况比较复杂, 我们将在后续课程 线性代数 里加以讨论. 130 / 145

166 实二次曲面的方程 假设我们选择了合适的旋转变换, 把二次曲面的方程变化为 a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 其中 a 11, a 22, a 33, b 1, b 2, b 3, c R. 若 a 11, a 22, a 33 都不等于零, 则经过平移变换 ( 即配方法 ) 消去一次项得 Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D. 其中 A, B, C, D R. 131 / 145

167 二次锥面 当 D = 0, 且 A, B, C 不同号, Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D. 是二次齐次方程, 其曲面为二次锥面. 标准方程为 : x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0. 其中 a, b, c R. z P O y x 132 / 145

168 椭球面 当 D 0, 且 A, B, C 与 D 同号, 其曲面为椭球面. 标准方程为 : x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. 其中 a, b, c R. 当 a = b = c 时, 该曲面为半径为 a 的球面. 133 / 145

169 单叶双曲面 当 D 0, 且 A, B, C 的符号一个与 D 不同, 两个与 D 相同, 其曲面为单叶双曲面. 标准方程为 : 其中 a, b, c R. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. z y O x 134 / 145

170 双叶双曲面 当 D 0, 且 A, B, C 的符号两个与 D 不同, 一个与 D 相同, 其曲面为双叶双曲面. 标准方程为 : 其中 a, b, c R. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1. z O y x 135 / 145

171 若 a 11, a 22, a 33 中两个不等于零, 一个等于零, 不妨设 a 33 = 0, 则经平移变换 a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 变为 其中 A, B, p, q R. Ax 2 + By 2 = 2pz + q. 136 / 145

172 当 p = 0 时, 式中不出现 z, Ax 2 + By 2 = 2pz + q. 若 q 0, 则曲面是母线平行于 z 轴的柱面. 若 A, B 与 q 同号则曲面是椭圆柱面 ; 若 A 与 B 异号, 曲面是双曲柱面, 方程分别为 : x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, 和 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 ( 或 y 2 b 2 x2 a 2 = 1 ). 其中 a, b R. 若 q = 0 且 A 与 B 异号时, 曲面退化成两张平面 x 2 a 2 y2 b 2 = 0, 即 ( x a y b )(x a + y b ) = 0. 若 q = 0 且 A, B 同号时, 退化为一条直线 ( 即 z 轴 ). 137 / 145

173 椭圆抛物面当 p 0 时, 曲面 称为抛物面. Ax 2 + By 2 = 2p(z + q 2p ) 若 A 与 B 同号, 则称为椭圆抛物面, 标准方程为 其中 a, b R. x 2 a 2 + y2 b 2 = 2z. 138 / 145

174 双曲抛物面 若 A 与 B 异号, 则称为双曲抛物面, 又称为马鞍面, 标准方程为 其中 a, b R. y 2 b 2 x2 a 2 = 2z. z y O x 139 / 145

175 若 a 11, a 22, a 33 中两个等于零, 不妨设 a 11 = a 22 = 0, 则 a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 变为 其中 c, p, q, r R. cz 2 = px + qy + r. 曲面是母线平行于 xoy 平面的抛物柱面或平行于 z 轴的平面. 140 / 145

176 二次曲面的方程 a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 23 yz + 2a 31 zx + 2b 1 x + 2b 2 y + 2b 3 z + c = 0. 经过平移和旋转变换后仍是二次曲面. 而曲面与 xoy 平面 ( z = 0 ) 的交线是二次曲线 { a11 x 2 + a 22 y 2 + 2a 12 xy + 2b 1 x + 2b 2 y + c = 0, z = 0. 其中, a 11, a 22, a 12, b 1, b 2, c R. 因此, 任何平面与二次曲面的交线都是该平面上的一条二次曲线. 141 / 145

177 任何平面与二次曲面的交线都是该平面上的一条二次曲线. Remark 因为任何平面都可经过坐标变换变为平面 z = 0. 而平面上的直线与二次曲线至多交于两点, 因此, 任何直线如果不全部落在二次曲面上, 它与二次曲面的交点至多只有两个. 特别地, 二次曲面 x 2 + y 2 = λ z 2 是以 z 轴为旋转轴的圆锥面, 它与任何平面的交线均是二次曲线. 如果截平面不过顶点, 交线是椭圆 双曲线或抛物线 ; 如果截平面过顶点, 交线是两条直线. 故常称二次曲线为圆锥曲线. 142 / 145

178 平面截痕法 二次曲面的图形, 我们可用坐标平面以及与坐标平面平行的平面去截曲面, 根据截口的形状及其变化可大致描绘出曲面的形状. 这种方法称为 平面截痕法. 143 / 145

179 我们以双曲抛物面 为例应用平面截痕法来描绘草图. y 2 b 2 x2 a 2 = 2z. 显然, 它有两个对称平面 x = 0 和 y = 0, z 轴是它的对称轴, 曲面无界. z y O x 144 / 145

180 令 x = c 代人方程, 这相当于用平面 x = c 去截该曲面, 截痕是平面 x = c 上开口向上的抛物线 2z = y2 b 2 c2 a 2, x = c. 令 y = c 代人方程, 这相当于用平面 y = c 去截该曲面, 截痕是平面 y = c 上开口向下的抛物线 2z = c2 b 2 x2 a 2, y = c. 令 z = c, c 0 代人方程, 这相当于用平面 z = c 去截该曲面, 截痕是平面 z = c 上的双曲线 2c = y2 b 2 x2 a 2, z = c. 当 c > 0 时, y 轴是实轴 ; c < 0 时, x 轴是实轴. 当 c = 0 时, 截痕是两条相交于原点的直线. 145 / 145