1.1－复数打印版

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妤胡
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1 第一章复数与复变函数本章首先引入复数的概念及其运算, 讨论几何三角函数等其他表示方式然后介绍平面点集的概念, 以此为基础讨论复变函数的连续性

2 第一节复数域及各种表示一复数的定义二复数的代数结构三共轭复数四复数的有序实数对表示五复数的几何表示六复数的三角表示七复球面及无穷大

3 一复数的定义. 虚数单位实例 : 方程 x = 在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数称为虚数单位., 3 4 = ; = ; = = ; = = ; = = ; = = ; = = ; = = ; 一般地, 如果 n是正整数, 则 4n 4 =, n + =, 4n+ 4 =, n + 3 =.

4 . 复数的定义或对于任意两实数 = x + y 为复数. xy,, 称 = x+ y 其中 xy, 分别称为的实部和虚部, 记作 x= Re, y= Im. 当 x= 0, y 0 时, = y 称为纯虚数 ; 当 y = 0 时, = x+ 0, 把它看作实数 x. 注意 : 全体复数的集合记为 C.

5 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 即 = Re = Re 且 Im = Im. 复数等于 0 当且仅当它的实部和虚部同时等于 0. 即 = 0 Re = Im = 0. 注意复数不能比较大小.

6 二复数的代数结构设 a, a, b, b R, 则复数的加法减法乘法和除法定义如下 : ( a+ b) ± ( a+ b) = ( a± a) + ( b± b), ( a + b) ( a + b ) = aa + bb + ( ab + ab) = aa bb + ( ab + ab), a a + b + b = ( a+ b)( a b) ( a + b )( a b ) aa + bb ab ab = + ( a + b 0). a b a b + +

7 例解. + + 计算 + + = + + ) )( ( ) )( ( + + = + = 3 ) )( ( ) )( 3 ( + = ) ( =. + =

8 复数运算性质任取 a+ b, c+ d, u+ v C, 则它们满足 ) 交换律 ( a+ b) + ( c+ d) = ( c+ d) + ( a+ b), ( a+ b)( c+ d) = ( c+ d) ( a+ b). ) 结合律 [( a+ b + c+ d + u+ v ] = ( a+ b + [ c+ d + u+ v ] ) ( ) ( ) ) ( ) ( ), [( a+ b c+ d u+ v ] = ( a+ b [ c+ d u+ v ] )( )( ) ) ( )( ). 3) 乘法对加法的分配律 [ ] ( u + v) ( a + b) + ( c + d) = ( u + v) ( a + b) + ( u + v)( c + d).

9 注意 :() 由复数的乘法对加法的分配律可知, 复数的乘法可象多项式一样相乘 ; () 复数域 C中有零元 0+ 0; (3) 复数域 C中有单位元 + 0; (4) 每个复数 a+ b有相反的数 ( a) + ( b); (5) a b 每个非零复数 a + b有倒数 +. a + b a + b (6) 减法是加法的逆运算, 除法是乘法的逆运算 (7) 实数是复数域的子集, 复数域是实数域的扩充

10 乘方运算设整数 n>, 复数 a+ b的 n次方是指 n个 a+ b相乘. 例如, 当 n = 3 时, 3 ( a+ b) = ( a b ) + ( ab) ( a+ b) = ( a 3 ab ) (3 a b b ).

11 开方运算设整数 n >, 复数 a + b开 n次方, 是要求复数 x + y, 使得 ( x + y) n = a + b. 例如, 当 n = 时, ( x+ y) = ( x y ) + ( xy) = a+ b. 注意 xy, 必为实数, 解得 a + b + a a + b a = = x, y b ; b a + b + a a + b a = = x, y b. b

12 例化简 5+. 解令 5 + = x + y, 5 + = ( x y ) + xy, x y = xy = 5, x = ± 3, y = ±, 5 + = ± (3 + ).

13 三共轭复数定义实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 与共轭的复数记为, 若 = a + b, 则 = a b. 例 3 计算共轭复数 x + y 与 x y 的积. 解 ( x y)( x + y) = x ( y) = x + y. 结论 : 两个共轭复数, 的积是一个实数.

14 性质设 = a + b, w = u + v, 则两个共轭复数的和差积商等于它们和差积商的共轭复数, 即 + w = a b + u v = ( a + u) ( b + v) = + w; w = a b u + v = ( a u) ( b v) = w; w = ( a b)( u v) = ( au bv) ( bv + au) = w; ab ( a b)( u+ v) = = w uv ( u v)( u+ v) au bv bu av = + = u + v u + v w

15 例 4 解, 4 3, = = 设. 与求 = ) 4 3 )( 4 3 ( ) 4 3 )( 5 (5 + = 5 0) (5 0) 5 ( + = = =

16 例 5 设两复数 = x + y, = x + y, 证明 + = Re. 证或 + = ( x + y)( x y) + ( x y )( x + y = ( xx + y y) + ( x y x y) + x x + y y ) + ( x y + ( x y = ( x x + y y) = Re. + = + = ) ) Re( ).

17 四复数的有序实数对表示一个复数是一对有序实数, 记为 ( ab, ). 称 a R为这个复数的实部, 称 b R为这个复数的虚部. 若对任意两个复数 (,),(, ab cd) C, 满足 ( A) 复数相等 : ( a, b) = ( c, d) a= c, b= d, 即实部与实部相等, 虚部与虚部相等 ; ( B) 复数相加 : ( a, b) + ( c, d) = ( a+ c, b+ d), 即实部与实部相加, 虚部与虚部相加 ; ( C) 复数相乘 : ( a, b)( c, d) = ( ac bd, ad+ bc),

18 五复数的几何表示. 复平面的定义对应. 用来表示复数, 面. 复数因此, 叫虚轴或复数 = x + = x + y 与有序实数对 ( x, 一个建立了直角坐标系的平面可以通常把横轴叫实轴或 y) 成一一 x轴, 纵轴 y轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 y 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示. y o y = x + x y ( x, y) x

19 . 复数的模 ( 或绝对值 ) 复数 = x + y 可以用复平面上的向量向量的长度称为的模或绝对值, 记为 = r = x + 显然下列各式成立 x, y, x + y, = =. y. y o y r x OP 定义两点 = a+ b, w= u+ v的距离为表示, P = x + y x - w = a - u + b - v ( ) ( ).

20 3. 利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. y + y o x o x

21 4. 复数和差的模的性质因为表示点和之间的距离, 故 ( ) + + ; y + ( ). o y x o x

22 5. 一对共轭复数在复平面上的位置关系一对共轭复数和在复平面内的位置是关于实轴对称的. o y = x + = x x y y

23 复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形.

24 例 6 求下列方程所表示的曲线 :

27 六复数的三角表示. 复数的辐角在 0的情况下, 以正实轴为始边, 终边的角的弧度数 θ 称为的辐角, 记作说明任何一个复数 0 有无穷多个辐角, 如果 θ 是其中一个辐角, Arg= θ + kπ ( k为任意整数 ). 以表示的向量为 Arg 特殊地, 当 = 0时, = = θ. 0, 那么的全部辐角为辐角不确定.

28 辐角主值的定义 : 在 = x + y( 称为 Arg 的主值, 记作 θ 0) 的辐角中, 把满足 0 = arg. π < θ 0 π的 θ 0 则 Arg = arg + kπ, k = 0, ±, ±, L. arg = y arctan, 在第一四象限 x y π + arctan, 在第二象限 x y -π + arctan, 在第三象限 x

29 . 复数表示复数的直角坐标表示利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成 = r(cosθ + snθ ) x y = = 复数的三角表示式 θ 再利用欧拉公式 e = cosθ + snθ, 复数可以表示成 θ = re = x+ y. 复数的指数表示式 r cosθ, r snθ, r =, θ = Arg

30 例 7 将下列复数化为三角表示式与指数表示式 : () = ; 解所以 θ = ( ) r = = + 4 = 4, arctan 故三角表示式为 π = 因为在第三象限, 3 5 arctan π = π, = 4 cos π+kπ + sn π + kπ,( k = 0, ±, ±, ). 6 6 L 指数表示式为 5 π+ kπ 6 = 4 e,( k = 0, ±, ±, L ).

31 例 8 三角表示式与指数表示式, 并求解把复数 = cosα + snα, 0 α π = cosα + snα α = sn α α α = sn sn + cos 的辐角的主值. + 化为 α α sn cos ( 三角式 ) α π π sn cos α α kπ sn = kπ ( k 0,,, ) = ± ±, L arg = πα +kπ α = sn e ( k = 0, ±, ±, L ). π α. ( 指数式 )

32 利用复数的指数表示或三角表示, 做乘法除法, 有结论一 : 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 ; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 r (cosθ + snθ), = r (cosθ + sn θ). = 根据乘法定义和运算法则及两角和公式, = r (cosθ + snθ) r (cosθ + snθ) = r r[(cosθ cosθ snθ sn θ ) + (snθ cosθ + cosθ sn θ )], = r r[cos( θ + θ ) + sn( θ + θ )].

33 设复数和的指数形式分别为 = r e θ, = r e θ, 则 = r r e ( θ + θ ). 注意 : 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况 : 设 k! Arg( ) = Arg + Arg = r k (cosθ n = = k r r + snθ ) = r r!! r n k r n e r k [cos( θ + 中的加法是集合的加法运算即将两个集合中所有的元素相加构成的集合 ( ) = { θ + θ θ θ } Arg Arg, Arg. e θ k sn( θ, ( θ + θ +! θ n + θ ( k ). =,,!, n) +! + θ ) + θ n +! + θ )] n

34 o 两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为 y r θ θ r θ r 所得的向量就表示乘积. x = r (cosθ + snθ), = r (cosθ + sn θ). 先将按逆时针方向旋转角度 θ, 再将模变到原来的 r 倍, 于是

35 结论二 : 两个复数的商的模等于它们的模的商 ; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证按照商的定义, 当 0时, =, =, Arg = Arg + Arg, = 于是, Arg = Arg Arg. 设复数和的指数形式分别为 θ θ r ( θ ) = re,, 则 = e θ = re. [ 证毕 ] r

36 例 9 解已知求因为 = 和 (. 3 ), π π = sn cos, 3 3 π π = cos + kπ + sn + kπ,( k = 0, ±, ±, L ). 3 3 所以 π π = cos + kπ + sn + kπ,( k = 0, ±, ±, L ). 6 6 cos π π k k sn π π = + π + π + + kπ + kπ cos π π sn π π = =,

37 π π π π = cos + + kπ + kπ + sn + + kπ + kπ = 3.

38 棣莫佛公式 ( 复数的乘方 ) 当的模 r =, 即 = cosθ + snθ, 乘方为 n = n e narg

39 复数的开方 n 对任意正整数 n, 0, 定义是满足 w = 的复数 w, 称为复数的 n次方根. / n = ( Arg e ) / 可验证 n n n w = n = cos Arg + sn Arg ( ) / 的个不同根为 n cos Arg sn Arg = + n n arg arg n + tπ + tπ = cos + sn n n ( t = 0,,, L, n). n

40 例 0 计算 4 + 的值. π π 解 + = cos +kπ + sn + kπ ( k = 0, ±, ±, ) 4 4 L π π + kπ + π + = + sn 4 k 4 8 cos π π 即 w0 = cos + sn, π 9π w = cos + sn, 6 6 ( k = 0,,,3).

41 8 7π 7π w = cos + sn, π 5π w3 = cos + sn. 6 6 y 这四个根是内接于中 w 心在原点半径为的圆的正方形的四个顶点. 8 w o w 0 x w 3

42 例试用复数表示圆的方程 : ( ) a x + y + bx + cy + d = 0, 其中 a b c d a b c ad,,, 是实数, 满足 0, + > 4. 解令 = x+ y, 则 = xy, + x + y = ; x = ; y = ; 代入原方程得到复数表示的圆方程 a + β + β + d = 0; b + c b + c 其中 β= 满足 β = 4 > ad.

43 七复球面及无穷大复数可以用平面上的点表示, 这是复数的几何表示法的一种, 另外还可以用球面上的点表示复数. 设 Σ 是与复平面 C 切于原点 O 的球面. 过原点 O 做垂直于平面 C 的直线, 与 Σ 的另一交点为 N. 原 N 点 O 称为 Σ 的南极 (S 极 ), 点 N 称为 Σ 的北极 ( 如图 ). x S O y

44 N P P x S O y ( x, y) ( x, y) 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极 N 不能对应复平面上的定点, 当球面上的点离北极 N 越近, 它所表示的复数的模越大.

45 我们规定 : 复数中有一个唯一的无穷大与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 称 C U { } 为扩充复平面, 记作 C. 关于的四则运算规定如下 : ( ) 加法 : α + = + α =, ( α ) ( ) 减法 : α = α =, ( α ) ( 3) 乘法 : α = α =, ( α 0) α α ( 4) 除法 : = 0, =, ( α ), =,( α α 0 0)

46 作业第 4 页, 第一章习题 ( 一 ):,4, 6()(4)(6)(8), 7,0()(4) 习题 ( 二 ):,3

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于