证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一地变换成 xx 平面上的闭域 D. 又设 ( =,) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 并且 (, ) J( x, x j j

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麟萧
5 years ago
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1 * 9 重积分变量变换公式的证明本节将给出在 x = x( u, v), y = y( u, v) 具有一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量变换公式 ( 定理.3) 的一般证明. 返回

2 证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一地变换成 xx 平面上的闭域 D. 又设 ( =,) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 并且 (, ) J( x, x j j ) = ¹ 0, ( x, x ) Î D. ( x, x ) j ( x, x ) 又设若 D 为 D 内边长为 h 的任一正方形, D = T( D ),

3 那么成立关系式 m D = J x x m D + O h w h ( ) (, ) ( ) ( ( )) ( ( ( )) ( ) ), () O h w h C h w h 其中 ( x, x ) 为 D 的某一顶点,C 为与 h 及 D 在 D 中的位置无关的常数, m( D ) 与 m( D ) 分别表示区域 D 与 D 的面积, w ( h) j 是 w( h) = sup w ( h),, j=, ( x, x ) x j 在 D 上的连续模, 即 j j

4 ì ü ï ï wj( h) = sup í j ( x, x ) - j ( x, x ) ý, ï x j x î j ïþ 这里上确界是对所有 ( x, x ),( x, x ) Î D 满足条件 ( x - x ) + ( x - x ) < h 顶点 : P ( x, x ), 而取的. 证不妨设正方形 D = [ x, x + h] [ x, x + h], 四个 C ( x + h, x + h) A ( x + h, x ), 与 A ( x, x + h) ( 图 -44). 于是内的曲边四边形 PACA D = T( D ) 是 D ( 图 -45), 且是一个闭域,

5 其中 ( P, A, C, A ) = T( P, A, C, A ), D 的边界其中 G 则映为 D 的边界 G. 设点 P 的坐标为 ( x, x). x O 图 A P D C A - 44 x x O A P 图 A D A - 45 C D A C x 对内任一点 Q( x, x ), 记 Q( x, x ) = T( Q ). 由于 D j ( x, x ) ( =,) 在 D 上连续可微, 故由多元函数

6 微分中值定理, 存在点 ( x, x ) Î D, 使得 x = x + (, )( x x ) x j x x - + (, )( x x) (,), () x j x x - = 其中 x 位于 x j 与 x ( =, ; j =, ) 之间. j j 下面考虑从 x x 平面到 x x 平面的线性映照 T * : 若 * Q ( x Î, x ) D, 则 T ( Q ) = Q ( x, x ), 其中

7 x = + - x ( x, x)( x x) + x j (, )( ) (,). (3) x j x x x - x = * 由解析几何知道, 在映照 T 下, 正方形 D 被映照成平行四边形 PA C A 其中 A, C, A 分别为 A, C, A 由 (3) 式知, D 的两条边 PA ( =,) 的长分别为 PA = ha, * 在映照 T 下的象 ( 图 -45). 记这平行四边形为 D, 它的边界为 G.

8 其中 éæ ö æ ö ù a = êç j( x, x ) + ç j( x, x ) ú ( =,). ê x x ëè ø è ø ûú 下面来估计点离. 由 () 及 (3) 式有 Q = T( Q ) 与点 Q = T * ( Q ) 之间的距 é ù x - x = ê j( x, x ) - j( x, x ) ( x - x ) + x x ú ë û é ù ê j( x, x ) - j( x, x ) ( x - x ) ( =,). x x ú ë û

9 从而由 w( h) 的定义可得 x - x w( h) h + w( h) h 4 w( h) h. 因此 Q 与 Q 之间的距离 r( Q, Q ) = ( x - x ) + ( x - x ) 6 w( h) h. (4) 记 l = 6 w( h) h, 则由 (4) 式可见点 Q 属于点 Q 的闭邻域 U( Q, l). 令 W = U( Q, l), Q ÎG

10 则 W 的面积 m( W ) 不会大于四个圆心在 G 的顶点, 半径为 l 的圆的面积和四个以 D 的 P A Y Y D \W G C 各边为底边, 高为 l 的 A 矩形面积之和 ( 图 -46), 图 - 46 即 = m( W ) 4 pl + å la h kh w( h), (5)

11 其中 k 是与 h 及 D 在 D 中的位置无关的常数 ( 这是因为 j ( x, x)( =,) 在有界闭域 D 上具有一阶连续偏导数, 于是它们与它们的一阶偏导数在 D 上有界, 因此 a ( =,) 和 w( h) 在 D 上也有界 ). 现在来证明引理的结论, 即 () 式成立. 为此先证明下面的包含关系 : D Ì D W. (6) 事实上, 设 Z 为 D 中的任意一点. 我们从平行四边形

12 D 的中心 Y 出发, 作一射线经过 Z 且延伸到无穷. 由于函数 j ( x, x ) 与 j ( x, x ) 在 D 上有界, 所以 D 是一有界区域, 并且它的边界 G 是按段光滑的封闭曲线. 因此所作的射线必与 (4) 式知道 G Ì W, 从而 Z ÎW Ì D W G 相交于某一点 Z0. 又由 0. 因此 D W 包含整个线段 Y Z, 0 所以 Z Î D W. 这就证明了包含关系 (6) 成立. 设 H 表示平行四边形 D 中垂直于边 PA 的高. 下

13 面分两种情形证明 () 式成立. () 若 H > 4 l( =,), 则 D \W 非空 ( 图 -46). 可以证明此时成立包含关系 : D \ W Ì D. (7) 事实上, 因为 H > 4 l ( =, ), 所以 D 的中心 Y 的 l 闭邻域 U( Y, l) Ì D \ W. 由于正方形 D 的中心 Y 在映射所以由 (4) 式有 * T 下的象即为, Y

14 * r( T( Y ), Y ) = r( T( Y ), T ( Y )) l. 从而 Y 在映射 T 下的象 Y = T( Y ) ÎU( Y, l) Ì D \ W. 又因 G Ì W, 所以 G 与 D \W 不相交. 若存在点 Z Î D \ W, 但 Z Î D, 那么连结 Y 和 Z 的线段 YZ 必与相交于某一点 Z G 0 因此 Z ÎYZ Ì D W, 这与 G 和 D \W 不相交矛盾, 0 \ 故 Z Î D. 这就证明了 (7) 式. 由 (6) 式与 (7) 式得到. 由于 Y 和 Z 都属于 D \ W,

15 m( D ) - m( W ) m( D) m( D ) + m( W ). 所以存在 q Î[ -,], m( D) = m( D ) + qm( W ). 因为平行四边形 D 的面积 m( D ) PA = PA = J( x, x ) h, (8) m 使得因此由 (5) 式及正方形 D 的面积 ( D) = J( x, x ) h + O( h w( h)) = m D + w J( x, x ) ( ) O( h ( h)), ( ( )) ( ), O h w h Ch w h m( D ) = h, 得到

16 其中常数 C 不依赖于点 ( x, x ) 与 h 的选取, 即与 h 及正方形 D 在 D 的位置无关. 这就证明了 () 式成立. () 若 H 4l 或 H 4l, 不妨设 H 4 l, 则因平行四边形的面积等于 PA D H 乘以 (5), (6) 及 (8) 式推得的长 m D - J x x h = m D - m D ah ( ) (, ) ( ) ( ) m( D) + m( D ) m( ) + m( D ) + m( D ) ( W ) = m( D ) + m( W ) = a hh + m( W ), 因此由

17 8 a h l + m( W ) = 48 a h w( h) + m( W ) = O( h w( h)) + O( h w( h)) = O( h w( h)), 其中 48 ah w( h) = O( h w ( h)) 是由于 a 在 D 上有界. 因此 m m w ( D) = J( x, x ) ( D ) + O( h ( h)), 即 () 式也成立. 这样, 对于 H 的各种可能情形都证得了 () 式成立. 推论在引理的条件下, 成立

18 证因为 x j j ( x, x ) (, j =,) 在有界闭区域上连续, 所以在 D 上一致连续, 于是从而 h 0 lm w ( h) = 0 (, j =,), h 0 m( D) lm = J( x, x ). (9) h 0 m( D ) lm w ( h) = 0. 所以当 h 0 时, 有 ( ( )) ( ) ( ). O h w h Ch w h = o h 由于上式两边与点 ( x, x ) Î D 无关, 因此上式对于 D

19 所有的 ( x, x ) Î D 一致地成立. 另一方面, 由于 m( D ) = h, 因此由引理 : 从而得到 ( D) = J( x, x ) h + o( h ), m m( D) m( D) lm = lm = J( x, x ). h 0 m( D ) h 0 h 注在上述推论中, 由于点 ( x, x ) 可为 D 中的任意一当 h 0 点, 因此 (9) 式可改写成 m( D) lm = J( x, x ),( x, x ) Î D. (0) h 0 m( D ) 时

20 由 (0) 式看到, 与一元函数的导数相仿, 函数行列式 J( x, x ) 表示在变换 T 之下, 面积微元在点 ( x, x ) 的局部伸缩率. 下面给出在 x = j ( x, x )( =,) 具有一阶连续偏导数的一般条件下, 二重积分变量变换公式的证明. 证由于 T 是一对一变换, 因而在所设条件下 D 的按段光滑的边界曲线变换到 D 时, 其边界曲线也是按段光滑的. 在 x x 平面上作平行于坐标轴的方格网, 它是的一个分割. 由变换 T, 相应地得到 x x D 平

21 面上 D 的一个分割. 考虑所有包含在 D 内的方格 D, 当它们对应 D 内无公共内点的闭域 D, "e > 0, h 充分小时, 由 (0) 式, 存在点 ( x, x ) Î D, 使得因此 m( D )- J( x, x ) m( D ) < em( D ). f ( x, x ) m( D ) - f ( j ( x, x ), j ( x, x )) 这里 x j ( x, x ), J( x, x ) m( D ) < e M m( D ), j f ( x, x ) = x = ( x, x ), M 为

22 在 D 上的一个上界. 将它们按下标逐项相加, 得到 å å f ( x, x ) m( D ) - f ( j ( x, x ), j ( x, x )) J( x, x ) m( D ) < e M m( D ) e M m( D ). 由于 f ( x, x ) 和 f ( j( x, x ), j( x, x )) J( x, x ) 分别在 D 和 D 上可积, 故当 h 0 时, 有 lm f ( x, x ) m( D ) = f ( x, x )dx d x, h 0 å òò D

23 lm f ( j ( x, x ), j ( x, x )) J( x, x ) m( D ) h 0 å = òò D f ( j ( x, x ), j ( x, x ) J( x, x ) dx d x. 由 () 式中 e 的任意性, 上面两式右边部分相等, 即得如下变换式成立 : òò D f ( x, x )dx dx = òò D f ( j ( x, x ), j ( x, x ) J( x, x ) dx d x. 注值得注意的是, 本节中所有的证明在 n 维空间中

24 只要用 n 维立方体平行多面体来代替这里的正方形平行四边形, 并把 (4) 式右边改为 3 n n + w h h ( ) ( ), n (5) 式右边改为 kh w ( h), 这时变换公式对 n( n ³ 3) 重积分也同样适用.

ttian

ttian á è è é à ú á óè á ú ù ù úú á é é á à ì è í ò á ù à è è ó ù ò é é ó íú ì à ù ù ì ì ò á ó á é ú ú è à à à ù é ú é ì ì à í ú ú ú à à á í é é í è é é ú éè ù á á ù á ó ú à ì ú á à ó è á úú á á ú à á è

证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一 地变换成 xx 平面上的闭域 D. 又设 ( =,) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 并且 (, ) J( x, x j j

证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理设变换 T : x = j ( x, x ) ( =,) 将 x x 平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一地变换成 xx 平面上的闭域 D. 又设 ( =,) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 并且 (, ) J( x, x j j