第七章向量代数与空间解析几何

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魁针韦
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1 前面各章我们介绍的是一元函数的微积分涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方法也可用于讨论多元函数多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代数与空间解析几何其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念运算及相应的几何意义进而讨论空间直角坐标系下的平面直线的方程以及它们的位置关系另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系在空间上选定一点作为原点过点作三条两两垂直的数轴分别标为 x 轴 y 轴 z 轴通常把 x 轴和 y 轴置于水平面上而让 z 轴取铅直向上方向这样就构成了空间直角坐标系 ( 见图 7-1). x 轴 y 轴 z 轴分别称为横轴纵轴竖轴统称为坐标轴. 我们规定坐标轴的正向依 x y z 的次序符合右手法则所谓右手法则指的是 : 伸平右 π 手使拇指与其他四指垂直当四指从 x 轴的正向转到指向 y 轴正向 ( 转动角度为 ) 时拇指的指向是 z 轴的正向如图 7- 所示. 在图 7-1 中坐标轴的标号和指向可以改变例如将 x yz 依次改为 z xy 只要依 x y z 的次序符合右手法则即可. z z y y x x 图 7-1 图 7- 由任意两条坐标轴所确定平面称为坐标平面. 三个坐标轴确定了三个坐标面包含 x 轴及 y 轴的坐标面称为 xy 坐标面另外两个是 yz 坐标面及 zx 坐标面在上面建立的坐标系中坐标轴坐标面都是两两垂直的所以我们称它为三维空间直角坐标系. 三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做一个卦限. xy 坐标面上方和下方各有四个卦限我们把 xy 面上的第 134 象限上方的四个卦限依次称为第 134 卦限而下方的四个卦限依次称为第 5678 卦限. 设 M 为空间一已知点. 过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴 z y 轴 z 轴它们与 x 轴 y 轴 z 轴的交点依次为 P Q R( 图 7-3) 这三个点在 x 轴 y 轴 z 轴的坐标依次为 x y z. 于是空 R 间一点 M 就唯一地确定了一个有序数组 (x y z); 反过来给定一个有序数组 (x y z) 我们可以在 x 轴上取坐标为 x 的点 P 在 y 轴 M 上取坐标为 y 的点 Q 在 z 轴上取坐标为 z 的点 R 然后通过 P Q Q y 与 R 分别作垂直于 x 轴 y 轴和 z 轴的平面这三个平面的交点 P M 便是由有序数组 (x y z) 所确定的唯一点. 这样就建立了空间的点 M 和有序数组 (x y z) 之间的一一对应关系即为 x 点 M (x y z). 图 7-3 这组数 x y z 就叫做点 M 的坐标并依次称 x y 和 z 为点 M 的横坐标纵坐标和竖坐标. 坐标为 x y z 的点 M 通常记为 M(x y z). 对于空间中两点 M 1 (x 1 y 1 z 1 ) M (x y z ) 我们定义它们的距离为 7-1

2 M 1 M = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) 不难看出这个定义与我们通常理解的距离是完全一致的. 这样建立了空间直角坐标系的空间就成为具有度量 ( 距离 ) 的 3 维几何空间记为 R 3. 例 7.1 求点 M(1 3) 关于点 P( 1 4 1) 的对称点 N. 解设点 N 的坐标为 (x y z) 根据点与坐标的关系可知 M P N 的横坐标是过它们而垂直于 x 轴的平面与 x 轴的交点 M x Px N x 的坐标由 P 是线段 MN 则的中点可知 P x 是线段 M xn x 的中点同理 M P N 的纵坐标和竖坐标也有这样的结论于是 x+ 1 y z+ 3 = 1 = 4 = 1 解得 : x= 3 y = 10 z = 1 从而得到点 N 为 : N( ). 7.. 向量及其线性运算 7..1 向量的概念在中学物理学中我们就知道有些物理量仅由数值大小来度量例如时间距离质量和温度等称之为数量或标量 ; 而另一些物理量不仅有大小而且有方向例如力速度和加速度等称之为向量或矢量. 为区别于数量通常用粗体字母或带箭头的字母表示向量例如 i F 或 i F 等. 由于向量有大小和方向两个要素而具备这两个要素的最简单的几何图形是有向线段因此我们用有向线段来表示向量. 如果向量 v 用有向线 v B 段 AB 表示其长度表示向量 v 的大小称为向量 v 的模记为 v A 到 A B 的指向表示向量 v 的方向那么我们称 AB 为 v 的一个几何表示 ( 如图 7-4). 图 7-4 我们规定长度是零的向量为零向量记为 0 或 0. 零向量的方向规定为任意的即可根据情况任意指定. 显然两个有向线段只要它们长度相等指向相同即使处在不同位置它们仍然表示相同的向量. 也就是说虽然向量的几何表示不唯一但起点不同而大小指向均相同的有向线段都表示同一个向量. 因此我们讨论的向量被称为自由向量它具有平移不变性. 从而我们规定 : 如果两个向量大小相等方向相同则称这两个向量相等. 也基于此为方便起见我们有时不把有向线段和它表示的向量做严格区分而常把有向线段 AB 也称为向量 AB A 叫做向量的起点 B 叫做向量的终点. 我们考察建立了空间直角坐标系的三维空间中的向量 v 它可 z v B 以表示为有向线段 AB 或者与其大小指向均相同的其它有向线 A v 段它们均表示向量 v 但其中仅有一个有向线段 P 起点在原点 ( 如图 7-5). 这样向量 v 就唯一地对应了一个起点在原点的有向 v P 线段 P 而 P 又可以唯一对应于其终点 P. 由于点 P 与其坐标 y 的一一对应这意味着向量 v 可以与三维有序数组建立起一一对应 : 向量 v P P 点 P 点坐标 x 由此我们给出下面的向量定义. 图 7-5 定义 7.1 一个三元有序实数组 (c) 称为一个三维向量 ; 全体三维向量的集合记作 V 3. 而一个二元有序实数组 () 称为一个二维向量 ; 全体二维向量的集合记作 V 其中实数 c 称为向量的分量也称为向量的坐标. 7-

3 由定义 7.1 的引进可知向量 v 通过表示它的起点在原点的有向线段 P 的终点坐标 (c) 唯一确定 ; 故可记为 v=(c). 反过来点 P 也可以通过向量 v 的坐标来唯一确定故向量 v=(c) 称为点 P(c) 的定位向量. 给定向量 v=(c) 因为它是点 P(c) 的定位向量所以向量 v 的模为 : v = P = + + c. 二维向量的情形是类似的. 注意向量的坐标与点的坐标表示形式均为三元数组在叙述时有时需作必要的说明以避免混淆. 三维向量 ( 1 3 ) 和二维向量 ( 1 ) 的这种表示形式称为行向量形式也可以将它们表示为列向量形式 : 本教材中主要以行向量表示形式为主. 7.. 向量的线性运算定义 7. 设 =( 1 3 ) = ( 1 3 ). 向量 ( ) 称为向量与的和记作 + 即 + = ( 1 3 )+ ( 1 3 )= ( ). 向量的上述运算称为加法运算. 对于二维向量则有 ( 1 )+ ( 1 )= ( ). z B A 3 1 x y C + A B 图 7-6 图 7-7 图 7-6 给出了三维向量加法运算的几何解释 : 从图中可以看出若向量 A = =( 1 3 ) 与向量 AB = = ( 1 3 ) 首尾相接则向量 B = ( ) 正是它们的和向量 + 所以我们得到 : 向量加法运算满足图 7-6 所示的三角形法则. 若在依三角形法则进行加法运算 + = A + AB = B 的图 7-7 中过点作向量 C = AB 那么从图 7-7 看出以 = A = C 为邻边的平行四边形 ABC 的对角线 B 为和向量 + 所以我们也有 : 向量加法运算满足图 7-7 所示的平行四边形法则. 7-3

4 用三角形法则或平行四边形法则求得两向量的和向量的结果是一致的. 但当两个向量具有相同方向或相反方向时它们无法构成一个平行四边形故平行四边形法则失效而三角形法则依然有效. 若向量 =( 1 3 ) 则称向量 ( ) 为的负向量记为 -. 有了负向量我们可以定义向量的减法 : def - = +(-). 从而若向量 =( 1 3 ) = ( 1 3 ) 那么 -=( ) 若 A(x 1 y 1 z 1 ) B(x y z ) 为空间两点则借助于图 7-6 不难看出向量 AB = B A = ( x y z ) ( x y z ) = ( x x y y z z ) 这说明三维向量 v=(x x 1 y y 1 z z 1 ) 是起点为 A 终点为 B 的向量. 对于二维向量上述运算法则和类似结论显然也同样成立. 例 7. 已知 A(1 1) B(14) 是空间两点求向量 AB 和它的模解 AB =( )=(1) AB = = 3. 向量的加法运算满足如下的运算律 : (1) += + () +(+c)=(+)+c (3) +0= (4) +(-)= 0 这些运算律容易利用加法的定义予以证明我们留给读者作为练习. 定义 7.3 设向量 =( 1 3 ) λ 为实数向量 (λ 1 λ λ 3 ) 称为数量 λ 与向量的乘积或数乘向量记作 λ 即 λ=λ( 1 3 )= (λ 1 λ λ 3 ) 数量 λ 与向量之间的上述运算称为数乘运算. 对于二维向量则有 : λ( 1 )= (λ 1 λ ). 由定义可知数乘向量 λ 的模为 : 1 3 λ = ( λ ) + ( λ ) + ( λ ) = λ 图 7-8 和图 7-9 给出了数乘向量 λ 的几何解释. 当 λ>0 时 λ 与同方向当 λ<0 时 λ 与方向相反 ; 而 λ 的大小 ( 模 ) 则总是大小 ( 模 ) 的 λ 倍. z 3 1 λ λ 3 y λ 1 λ 1 λ 3 λ λ z 3 1 y x λ (λ>0) x (λ<0) 图 7-8 图 7-9 若向量和的方向相同或相反则称它们相互平行记为 //. 若和平行将的起 7-4

5 点移至同一点时它们的终点与起点在同一直线故平行向量也称为共线向量. 由于零向量 0 可以任取方向故它与任何向量都平行. 由数乘的上述性质可得如下结论 : 命题 7.1 // λ R 使得 = λ ( 或 = λ). 证必要性 : 设 // 若 0 则取 λ = 而当与同向时 λ 取正值当与反向时 λ 取负值则 λ 与同向且 λ = λ = = 故有 = λ. 若 =0 则取 λ = 0 从而有 = λ. 充分性 : 若 = λ λ R 则由数乘的性质知 : 若 λ = 0 则 =0 从而 //; 若 λ 0 则与同方向或反方向从而 //. 设向量 =( 1 3 ) = ( 1 3 ) 则根据命题 7.1 可以得到向量与平行的充分必要条件 : // = = 或 = =. 1 当 λ = 1时 λ 与大小相同方向相反正是我们介绍过的负向量因此 (-1)=-= ( ). 向量的数乘运算满足如下的运算律 : (1) λ(+)= λ+λ () (λ+µ)= λ+µ (3) (λµ)= λ(µ) (4) 1 =. 这些性质也容易依据向量的数乘运算的定义直接加以证明. 对于二维向量的数乘运算法则和类似结论也同样成立. 向量的加法和数乘称为向量的线性运算. 向量集合 V 3 ( 或 V ) 在赋予线性运算后称为三维 ( 或二维 ) 向量空间或线性空间. 1 若向量的模为 1 则称其为单位向量. 如果向量 0 则显然方向上的单位向量为记 0 为若 =( 1 3 ) 就有 0 1 = ( 1 3) 这样得到方向上的单位向量的做法称为的单位化. 在 V 3 中有三个重要的单位向量 : i=(100) j=(010) k=(001) 它们的方向分别与 x 轴 y 轴 z 轴的正向相同. = ( ) 则立即有设 1 3 = i+ j+ k. 1 3 这说明任意一个三维向量都可由 i j k 线性表示. 我们把 i j k 称为 V 3 中的一组基. 又因 i j k 均为单位向量故称之为标准基. 在二维的情形 i=(10) j=(01) 是 V 的一组标准基. 例 7.3 设 =(1-1-) =(10-4) 求 (1) c=3-; () 用标准基 i j k 表示向量 c;

6 (3) 求与 c 同方向的单位向量. 解 (1) c=3(1-1-)-(10-4)= (1-3); () c=(1-3)= i-3j+k; (3) c = c = (1 3 ) = ( ). c 例 7.4 设 M 1 (x 1 y 1 z 1 ) M (x y z ) 为空间两点点 M 位于 M 1 M 的连线上使得 M M = λ MM ( λ > 0 ) 求点 M 的坐标 (x y z). MM=( x x y y z z) 从而解 MM =( x x y y z z) 故有 ( x x y y z z)= λ( x xy yz z) x x = λ x ) y y = λ y ) z z = λ z ) 1 ( x 1 ( y 1 ( z 解得点 M 的坐标为 : x1 + λx y1 + λ y z1 + λz x = y = z =. 1+ λ 1+ λ 1+ λ 上述 M 的坐标公式称为定比分点公式. 例 7.5 设四边形 ABCD 的对角线相互平分证明四边形 ABCD 为平行四边形 ( 见图 7-10). 解设对角线 ACBD 的交点为由于 ABCD 的对角线相互平分故有 D C A = C B = D 于是 AB = A + B = C + D = D + C = DC 即 A B AB // DC AB = DC 图 7-10 所以四边形 ABCD 为平行四边形. 若将向量 1 n 的起点移至同一点时这些向量的起点和终点均在同一平面上则称向量 1 n 是共面的. 由此即得 : 任意二个向量是共面的. 命题 7. 若向量 c 共面而不共线试证存在实数 λ 与 µ 使得 c = λ + µ. 证由不共线可知均非零向量取一定点作 A = B = C = c 则 ABC 共面过 C 点作 A 的平行线交 B 所在的直线于 F 作 B 的平行线交 A 所在的直线于 E ( 图 7-11) 则依向量加法有 C = E + F C 又因 E A 由命题 7.1 知存在实数 λ 使得 F E = λ A = λ c 同理存在实数 µ 使得 B F = µ B = µ E 从而 C = λ + µ 即 A c = λ + µ. 图 7-11 进而我们有以下结论. 命题 7.3 若 c 是不共面的三个向量那么对任一向量 d 存在实数 λ µ ν 使得 7-6

7 d = λ + µ + νc. 证明留给读者其方法类似证命题 7. 的方法. 我们称 λ + µ + νc 为 c 的线性组合. 命题 7.3 意味着 V 3 中任一向量均可表示为三个不共面向量的线性组合所以三个不共面向量也构成 V 3 的一组基. 7.3 向量的数量积和向量积向量的数量积定义 7.4 设向量 = ( 1 3 ) = ( 1 3 ) 称和的对应分量乘积之和为向量和的数量积记为即 = ( 1 3)( 1 3) = 对于二维向量 = ( 1 ) = ( 1 ) 和的数量积定义为 : = ( 1 ) ( 1 ) = 向量的数量积也称为内积或点积. 在数量积中的符号类似于数的乘法运算符号的简写形式在以字母表示的数的乘法中这个符号可以省略但在数量积运算中这个符号不能省略. 由定义容易证明向量的内积满足以下性质 : (1) = ; () ( + c ) = + c ; (3) ( λλλ ) = ( )= ( ) ; 另外显然有 = 也就是说用内积可以表示向量的模下面引进两向量夹角的概念. 给定两个非零向量作 A = B = 我们把 AB ( 0 AB π ) 称为向量之间的夹角记为 ( ) 如图 7-1 其中 θ = ( ). B 下面的定理给出了向量数量积的另一种表示方法. θ 定理 7.1 = cos( ). A 证设 A = =( 1 3) B = =( 1 3) ( 如图 7- 图 7-1 1) 由余弦定理知 : AB = A + B A B co AB s 也就是 = + co ( s ) 利用向量数量积的性质得到 = ( ) ( )= + 比较上面两个等式就有 = cos( ). 事实上上式也可以说是向量数量积的另一种定义. 例 7.6 已知向量 =(1-1)=(11-1) 求向量的夹角. 解 = ( 1) = 6 = ( 1) = 3 7-7

8 所以 cos( ) = = = ( ) = rccos. 3 π 如果 ( ) = 那么我们称向量相互垂直或正交记为. 如果 ( ) = 0或 π 则向量同方向或反方向此时向量相互平行 ; 由于零向量 0 的方向任意故它平行于任何向量也垂直于任何向量由定理 7.1 立即可以得到如下结论 ( 证明请读者自己给出 ): =0. 容易验证 V 3 的标准基 i j k 两两相互垂直 ( 正交 ) 因此 i j k 又被称为为 V 3 的一组标准正交基. 同样 i=(10) j=(01) 是 V 的一组标准正交基. 例 7.7 证明 : 菱形的对角线相互垂直. 解如图 7-13 设 ABCD 是菱形故有 AB = DC AB = BC D C 又因 AC = AB + BC BD = BC + CD = BC DC = BC AB 故有 A B AC BD = ( AB + BC) ( BC AB) = BC AB = 0 图 7-13 所以 AC BD 即菱形 ABCD 的对角线相互垂直. 若物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1 移动到点 M 以 s 表示位移向量 MM 1. 以 θ 表示 F 与 s 的夹角如图 7-14 则力 F 在 F s 方向分力的大小为 F cosθ 故物体从点 M 1 移动到点 M 的过程中常力 F 所作的功为 : θ s W= F cosθ s = F s. 上述力 F 作用于物体位移 s 时所作的功给出了内积的一个物理应用. M 1 F cosθ 图 7-14 M 例 7.8 一质点在常力 F=i-j+3k( 单位 :N) 的作用下沿直线从点 A(-1-1) 移动到点 B(3 1)( 单位 :m) 求力 F 所作的功. 解质点的位移向量是 :s= AB =( )=(40) 故力 F 所作的功为 : W=F s=(1-3) (40) = 10(J). 若非零向量为则其与三个坐标轴正向的夹角 αβγ (0 αβγ π) 称为向量的方向角三个方向角的余弦值 cos αcos βcosγ 称为向量的方向余弦. 并且设 = ( 1 3 ) 由于 i j k 的方向就是三个坐标轴的正向故有 α = ( i ) β = ( j) γ = ( k ) 同样可得 i 1 1 cosα = cos( i ) = = = i

9 于是有和 cos β = = 3 3 cosγ = = cos α + cos β + cos γ = = = (cos α cos βcos γ). 从而我们得到 : 向量的方向余弦组成的向量 (cos α cos βcos γ ) 就是方向上的单位向量因此只要将向量单位化就可得到的方向余弦. 例 7.9 设向量 =( 1) 求向量的方向角和方向余弦. 解 = = ( 1) = ( ) 所以下面我们给出向量投影的概念. 1 cos α = cos β = cosγ = α = rccos β = rccos( ) γ = rccos( ). 3 3 设为非零向量 l 为与同方向的有向直线向量 = MM 1 过 1. M M 分别作 l 的垂线垂足点分别为 Q 如图 7-15 所示. 以点为起点作 A = B = 设 θ = ( ) 为它们的夹角. 由于 l M1 M1 BM 故 l BM 又因 l QM 从而 BQ l 即 BQ. 我们称向量 Q 为向量在向量 ( 或有向直线 l ) 上的投影向量记为 proj. 数值 cosθ 称为向量在 ( 或有向直线 l ) 方向上的投影即向量在上的数值分量记为 ( ). π 显然当 0 θ < 时 proj 与同向而 π ( ) = proj > 0 ; 当 < θ π 时 proj 与反向而 π ( ) = proj < 0 ; 当 θ= 时即时 proj =0 ( ) =0 由于 = cosθ = ( ) 所以向量和的数量积可以解释为在的投影与的乘积. 另外容易得到投影和投影向量的计算公式 : 0 0 ( ) = = proj = ( ) =. 设 = ( 1 3 ) 因为 i = 1 j = k =3 所以的三个分量正是在三个坐标轴上的投影. 由内积的性质即可得投影向量的如下线性性质 : M 1 θ 图 7-15 B Q M A l 7-9

10 (1) proj ( + c) = proj + proj c ; () proj ( λ) = λproj. 例 7.10 已知向量 =(1-1)=(11-1) 求在上的投影和投影向量. 解由 = ( 1) = 6 故 4 ( ) = = proj = ( ) = (1 1) = ( ) 向量的向量积定义 7.5 设向量 = ( 1 3 ) = ( 1 3 ) 则定义和的向量积为 : = ( ) 向量积也称为外积或叉积上述向量积中的符号虽然与数的乘法符号相同但它并不是通常意义的乘法它不能省略. 向量积的上述表示形式似乎较复杂为便于记忆我们用行列式的形式来表示向量积. 由于 = 可用标准正交基表示为 : = i j+ k 利用行列式的性质就得到向量积的如下形式表示 : i j k = 下面的定理同时给出了向量积的几何解释 : 定理 7. (1) = sin( ) ; () 向量积同时垂直于和它的方向依次序满足右手法则. ( 如图 7-16.) 证 (1) 从定义出发进行计算 : = ( 3 3 ) + ( ) + ( 1 1) = = ( + + ) ( + + ) ( + + ) 图 = ( ) = sin (. ) = (1 cos ( )) 由于 0 ( ) π 故 sin( ) 0 所以有 = sin( ). 7-10

11 () 由于 ( ) 故得同理可得 = ( ) + ( ) + ( ) = 0 若 ( ) = 0 π 由 (1) 得 : =0 故 = 0 其方向任意 ; 若 ( ) 0 π 此时不共线 ( 即不平行 ). 由于我们现在只要确定的方向故不妨设在 xy 平面上起点都在原点并设的方向为 x 轴的正向这样就有 : 于是 = ( 1 00)( 1 > 0 ) = ( 1 0) i j k = = 1 k 0 1 若 > 0 则 = 1 k 与 k 同方向即指向 z 轴的正向. 由于 > 0 时的终点在 xy 平面的第 1 象限所以四指指向方向逆时针转动角度 ( ) 到指向方向拇指的指向为 z 轴的正向即依次序满足右手法则如图 7-16 所示. 类似地若 < 0 也可推得依次序满足右手法则. 由定理中向量积模的公式我们得到 : 命题 7.4 // = 0. 证 = 0 sin( ) = 0 = 0 或 = 0 或 ( ) = 0 π // sinθ θ 以为邻边作平行四边形 ( 见图 7-17) 记 θ = ( ) 则此平行四边形的面积为 : A = ( sin θ ) = 图 7-17 这就是向量积的模的几何意义. R 上的二维向量没有向量积的概念我们来考察以 = ( 1 ) ( 1 ) 为邻边的平行四边形的面积将所在的平面直角坐标系添加竖轴成为空间直角坐标系那么在空间坐标系中 ( 1 0) 1 0) 于是 = = 从而以为邻边的平行四边形的面积为 1 A = 1. 例 7.11 求同时垂直于 =(1-1)=(10-1) 的单位向量. 解令 i j k c = = 1 1 = ( 11 1)

12 则 ± c =± ( ) 就是所求的两个单位向量例 7.1 求以点 A(1-1)B(10-1)C(13) 为顶点的三角形面积. 解 AB =(-1-10) AC =(-114) i j k AB AC = = ( 4 4 ) 所以 ABC 的面积为 : 1 1 A ABC = AB AC = ( 4) ( ) = 3. 利用向量积的定义我们容易得到标准正交基 i j k 之间的向量积 : i i=0 j j=0 k k=0 i j=k j k=i k i=j j i =-k k j=-i i k=-j 这里我们注意到 i j j i 即向量积运算不满足交换律. 另外我们还有 i (i j)= i k=-j 而 (i i ) j= 0 j= 0 这说明向量积运算也不满足结合律. 向量积运算满足以下性质 : (1) = -( ); () (k) = k( ) = (k); (3) (+c) = + c; (4) (+) c = c+ c. 上述性质可以用向量积的定义直接予以证明. 有了向量的内积和外积我们可以引进 3 个向量的乘积运算. 定义 7.6 对向量 c 称 ( ) c 为 c 的混合积记为 [ c ]. 注意混合积不是一种新的运算方式它是由向量积和数量积混合而得到的. 设 = ( 1 3 ) = ( 1 3 ) c = ( c 1 c c 3 ) 则混合积 ( ) c = ( ) c + ( ) c + ( ) c 上式右端正是一个行列式的展开式于是立即可得 ( ) c = c c c 1 3 通过直接计算或者利用行列式的性质容易导出 : ( ) c = ( c) = ( c ). 依向量积的性质还可得到 : ( ) c = ( ) c 综合之混合积具有性质 : [ c ]=[ c ]=[ c ]=-[ c ]=-[ c ]=-[ c ]. 7-1

13 下面我们来考察混合积的几何意义 : 设 = A = B c = C θ = ( c ) 以 A B C 为三条棱构成一个平行六面体 ADB CEFH 那么由向量积的几何意义知为底面平行四边形 ADB 的面积而平行六面体的高 h 就是 c 在上的投影即 h = c cosθ ( 如图 7-18) 所以混合积 ( ) c = c cosθ 就是此平行六面体的体积. π 如果 θ = ( c )> 则 ( 图 7-18 中 ) c = C 指向 h θ H C c B A 图 7-18 E D F 所在平面的下方故平行六面体的高 h 为 c cosθ 于是此平行六面体的体积为 V = - ( ) c π 如果 c 共面则 θ = ( c )= 即 cosθ = 0 故 ( ) c =0 此时构不成平行六面体或称平行六面体的高为零从而体积为零. 总之我们有结论 : [ c ] 等于以 c 为三条棱的平行六面体的体积. 性组合. 由上述讨论还可得到如下结论 : 命题 7.5 若 = ( 1 3 ) = ( 1 3 ) c = ( c 1 c c 3 ) 则 c 共面 [ c ]= c c c 1 3 = 0. 由此命题即可推得 : 空间四点 Mi( xi yi z i) ( i = 134) 共面的充要条件为 : x x1 y y1 z z1 [ MM MM MM ] = x x y y z z = x x y y z z 例 7.13 验证向量 = ( 13 ) = ( 3 4) c = ( 316 解由混合积 [ c ]= = 知 c 共面. 又设 c = λ + µ 即有 ( 316 ) = ( λ + µ 3λ 3 µ λ 4µ ) ) 是共面的且将 c 表示成的线故得 λ + µ = 3 3λ 3µ = 1 λ 4µ = 6 这一代数方程有唯一解 λ= 5 µ= 1 从而 c = 5+. 例 7.14 若 c 是不共面的三个向量试将任一向量 d 表示成 c 的线性组合. 解由命题 7.3 知存在实数 λ µ ν 使得 d = λ + µ + νc. 7-13

14 故由于 c 不共面故 ( ) c 0 所以同样可得由于 ( ) c =( c) =( c ) 所以 ( d ) c = ( λ + µ + νc ) c = ( λ + νc ) c = λ( ) c ( d ) c λ= ( ) c ( d c) µ = ( c) ( d ν ) = ( c ) d 1 = {[( ) ] + [( ) ] + [( ) ] } ( ) c d c d c d c. 7-14

线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论例如 : 自然数有理数无理数实数复

线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论例如 : 自然数有理数无理数实数复第一章向量与复数管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号什么是代数学? Ẹ Artin:

第七章 向量代数与空间解析几何

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