第一节 向量及其线性运算
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1 第八章 向量代数与空间解析几何 教师 : 薛留堂 邮箱 : uelt@nu.edu.cn 办公室 : 后主楼 3
2 第一节 第八章 向量及其其线性运算 一 向量的概概念二 向量的线线性运算三 空间直角角坐标系四 利用坐标标作向量的线性运算五 向量的模模 方向角 投影
3 一 向量的概念 向量 : 既有大小, 又有方向向的量称为向量 ( 又称矢量 ). 表示法 : 有向线段 M M M, 或, 或. M 自由向量 : 与起点无关的向向量. M 若向量 与 大小相等, 方方向相同, 则称 与 相等, 记作 = ; 向量的模 : 向量的大小, 单位向量 : 模为 的向量, 记作 e 或 e. 零向量 : 模为 的向量, 它的方向可看做任任意的 3.
4 设有两非零向量任取空空间一点 O, 称 = AOB ( ) 为向量, 的夹角. 若向量 与 方向相同或相相反, 则称 与 平行, 记作 ; 规定 : 零向量与任何向向量平行 ; 与 的模相同, 但方向相反反的向量称为 的负向量, 记作 - ; 因平行向量可平移到同一直线上上, 故两向量平行又称两向量共线. 若 k ( 3) 个向量经平移可移到同同一平面上, 则称此 k 个向量共面. 4
5 二 向量的线性运算. 向量的加法 平行四边形法则 : 三角形法则 : 运算规律 : 交换律结合律 ( ) ( c ) c ( ) c ( c) 三角形法则可推广到多个向向量相加. c c c c 5
6 s s 3 6
7 . 向量的减法 显然, 任给向量 三角不等式 7
8 3. 向量与数的乘法 是一个数, 与 的乘积积是一个新向量, 记作. 规定 : 总之 : 运算律 : 结合律 分配律 ( ) ( ) 则有单位向量 e ( ). 因此 可见 ; e 8
9 定理. 设 为非零向量, 则 证 :. 设, 取 =± ( 为唯一实数 ),, 同向时取正号 反向时取负号, 则 与 同同向, 且 故. 再证数 的唯一性. 故, 设又有有 =, 则 ( ) 即. 9
10 已知 =, 则 =, 同同向, 反反向 例. 设 M 为 ABCD 对角角线的交点, 试用 与 表示 MA, MB, MC, MD. 解 : MA MC AC BD ( ) ( ) MB MD MA MB ( ( ) ) A D M B C
11 例 试用向量方法证明 : 对角线互相平分的四边形必是平行四边形. D 证 AM MC BM MD A M B C AD AM MD MC BM BM MC BC AD 与 BC 平行且且相等, 结论得证.
12 三 空间直角坐标系. 空间直角坐标系的基本本概念 过空间一定点 O, 由三条互互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 坐标面 卦限 ( 八个 ) Ⅳ Ⅶ Ⅲ 轴 ( 横轴轴 ) 称称为 O 坐标系. Ⅷ O 轴 ( 竖轴 ) O 面 O面 Ⅴ Ⅱ 轴 ( 纵轴 ) Ⅵ Ⅰ
13 . 向量的坐标表示在空间直角坐标系下, 任意意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i, j, k 分别表示,, 轴上的单位向量, 设点 M 的坐标为 M (,, ), 则 C OM ON NM OA OB OC M k j r O B i 记 A r i j k (,, ) N 此式称为向量 r 的坐标分解式式, 沿三个坐标轴方向的分向量量, 3
14 在直角坐标系下 点 M 有序数组 (,, ) 向径 r ( 称为点 M 的坐坐标, 也称为向径 r 的坐标 ) 特殊点的坐标 : 原点 O(,,) ; 坐标轴轴上的点 P, Q, R ; 坐标面上的点 A, B, C C(,, ) R(,, ) B(,, ) O P(,,) r M A(,,) Q(,,) 4
15 坐标轴 : O 坐标面 : 5
16 四 利用坐标作向量的的线性运算 设,, ), ( 平行向量对应坐标成比例例 : 当 时, ( (, (,, ),, 为实数, 则, ), ) 6
17 例 3. 求解以向量为未知元元的线性方程组 其中 (,,), (, ). 解 : -3, 得 3 ( 7,,) 代入 得 (3 ) (,,6) 7
18 例 4. 已知两点 在 AB 所在直线上求一点 M, 使 即 解 : 设 M 的坐标为 得 AM MB AM MB 如图所示 OM OA OB OM OM O A (OB OM ) OM ( OA OB (,, ) 及实数, o A A M B B M 8
19 说明 : 由 ( 得定比分点公式 : 当 时, 中点公式 :, 点 M 为 AB 的的中点, 于是得,,, ),, o A A M B B M 9
20 五 向量的模 方向角角 投影. 向量的模与两点间的距离离公式设 r (,, ), 作 OM r, 则有 r OM ON OP OQ NM OR 由勾股定理得 r OM 对两点与 因 O P R M Q N 得两点间的距离公式 : ( ) ( ) ( )
21 例 5. 求证以 为顶点 的三角形是等腰三角形. 证 : M M ( 7 4) ( 3) ( ) 4 M M 3 ( 5 7) ( ) ( 3 ) 6 M M 3 M M3 MM3 即 MM M3 ( 5 4) ( 3) 为等腰三角形. ( 3 ) 6 M M M 3
22 例 6. 在 轴上求与两点 及 等距 离的点. 解 : 设该点为 M (,, ), 因为 M A M B, (4) ( 7 ) 3 5 ( ) 解得 故所求点为 M 4 (,, 9 ). 思考 : () 如何求在 O 面上与 A, B 等距离之点的轨迹方程? () 如何求在空间与 A, B 等距离之点的轨迹方程?
23 例 7. 已知两点 解 : AB e ( 3,, ) AB 4 3,, 求 AB 的单位向量 e. 3
24 . 方向角与方向余弦 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余余弦. cos r cos cos r r 与三坐标轴的夹角,, O O r r 4
25 方向余弦的性质 : 5
26 例 8. 已知两点 和 计算向量 的模 方向余弦和方方向角. 解 : M M (, 3, ) (,, ) ( ) ( ) π 3, cos π 3,, cos 3π 4 6
27 例 9. 设点 A 位于第一卦限限, 向径 OA 与 轴 轴的夹角依次为 π, π 4, 且 O A 6, 求求点 A 的坐标. 3 π π 解 : 已知,, 则 3 4 cos cos cos 4 因点 A 在第一卦限, 故 cos, 于是 OA O A 6 cos, cos, cos 6, eoa 故点 A 的坐标为 (3,3, 3)., (3,3,3) 7 第二节
28 3. 向量在轴上的投影 M 设 与 u 轴正向的夹角为为, 则 在轴 u 上的投影为 cos O M u 记作 Prj 或 ( ) u u, 即 M ( ) u cos M O u 例如,,, ) 在坐标轴轴上的投影分别为,, ( 8 第二节
29 投影的性质 ) ) ( 为实数 ) Prj Prj c c Prj c ( ) 例. 设立方体的一条对角线线为 OM, 一条棱为 OA, 且 OA, 求 OA 在 OM 方向上的投影. 解 : 如图所示, 记 MOA =, cos Prj OM OA OA OM 3 OA cos 9 3 ( ) O M A c
30 备用题. 设 m i j, n j k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度. 解 : 对角线的长为 m n m n (,,) m n (,3, ) m n m n 3 n m 该平行四边形的对角线的长长度各为 3,. 3
31 第二节 第八章 数量积向量积 * 混合积 一 两向量的的数量积二 两向量的的向量积 * 三 向量的混混合积 3
32 一 两向量的数量积 引例. 设一物体在常力 F 作作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为 s, 则力力 F 所做的功为 W F s cos. 定义设向量, 的夹角为, 称 M 记作 为 与 的数量积 ( 点积 ). W F s s M 3
33 当 时, 在 上的投影影为 记作 Prj 故 同理, 当 时, Prj, 则. 性质 () (),为两个非零向量, 则则有 33
34 3. 运算律 () 交换律 () 结合律 ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 分配律 事实上, 当 c ( ) 时, 显显然成立 ; c c Prj c c c Prj c c Prj c Prj c 当 c Prj ( ) 时 Pr c j c c Prj c ( c Prj c ) c 34
35 例. 证明三角形余弦定理 c 证 : 如图. 则 c, B C, A C c ( ) (, 设理 cos cos c B A A B C c ) cos c c, 35
36 4. 数量积的坐标表示设 当为非零向量时, cos 由于 k j i ( j i 两向量的夹角公式则 于 cos,, k j i ) k ) ( k j i j i k j i k, 得 36
37 AMB. 解 : MA (,, 则 故 例. 已知三点 M (,,), A(,,), B(,,), cos AMB AMB ), MB ( MA MB MA MB,, ) M A 求 B 37
38 例 3. 设均匀流速为的流流体流过一个面积为 A 的平面域, 且与该平面域的单位位垂直向量的夹角为求单位时间内流过该平面域域的流体的质量 P ( 流体密度为 ). 解 : P v 为单位向量 A v n A 单位时间内流过的体积 : v 38
39 二 两向量的向量积 引例. 设 O 为杠杆 L 的支点点, 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P 点上上, 则力 F 作用在杠杆上的力 矩是一个向量 M : M OP OQ F OP F F M OP M F M 符合右手规规则 o 39 sin F M P O OQ Q P OP F sin L
40 . 定义设, 的夹角为, 定义 方向 : 向量 c 模 : 称 c 为向量 与 c, c 且符合右手规则 c sin 的向量量积, 记作 c ( 叉积积 ) 引例中的力矩 c 思考 : 右图三角形面积 S= 4
41 . 性质 ( ) ( ), 为非零向量, 则 证明 : 当, 时, sin sin, 即 或 π 3. 运算律 () () 分配律 (3) 结合律 ( ) c c c ( ) ( ) ( ) sin ( 证明略 ) 4
42 ) ( k j i 4. 向量积的坐标表示式设, k j i ) ( i i i ) ( ( k ) ( ) ) ( k j i 式则,, k j i j ) ) ( j j ) ( k k i j k 4
43 向量积的行列式计算法 k j i i ) ( ) ( ( 行列式计算见上册附, j ) ( k k j i k j i 附录 I: P355~P358 ) 43
44 例 4. 已知三点 A(,,3), B( 3,4,5), C(,4,7), 角形 ABC 的面积. 解 : 如图所示, SABC AB AC AB AC i j 4 sin k 4 ( 6) 4 44 A B ( 4, 6, ) 求三 C
45 例 5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上一点 M 的线速度的表示式式. 解 : 在轴 l 上引进一个角速速度向量, 使 方向与旋转方向符合右手法法则, 在 l 上任取一点 O, 作 向径它与 点 M 离开转轴的距离 且 v r 的夹角角为, r 则 sin M 符合右右手法则, l O 其 45
46 * 三 向量的混合积. 定义已知三向量 记作 ( ) c 为,, c 的混合积. 几何意义 以,, c 底面积 为棱作平行六面体体, 故平行六面体体积为 V A A h c,,, c, 高 h 46 c 称数量 则其 c ( c ) c
47 k j i. 混合积的坐标表示设 c ) ( ),,, ( c ( c c c c c c ),,, ),, ( c c c c,, 47
48 3. 性质 () 三个非零向量,, c c 共面的充要条件是 () 轮换对称性 : [ c ] [ c ] [ c ] ( 可用三阶行列式推推出 ) c 48
49 例 6. 已知一四面体的顶点点 4 ), 求该四面体体积. 解 : 已知四面体的体积等等于以向量为棱的平行六面体体积的故 [ A A A A3 A A4 ] A,, A A A 3 A A 4 A 4 A A A 49
50 例 7. 已知 A (,,) B (,3,) C (4,,) M (,, ) 四点共面, 求点 M 的坐标 所满足的方程. 解 : A B C M 四点共共面 B AM AB AC 三向量共面 C [ AM AB AC ] M A 即 3 展开行列式即得点 M 的坐标标所满足的方程 3 4 5
51 内容小结设. 向量运算加减 : 数乘 : 点积 : (, ( (, ),, ( 叉积 : j i ),, ),, ),, ( ),,, c c c c k 5
52 混合积 :. 向量关系 : ) ( c c 共面,, c ( c c c c ) c c ) c 5
53 思考与练习,. 设 i j k, i j, 计算 及, 并求 夹角 的正弦与余弦. 答案 :, cos, 3 (,, sin 3). 用向量方法证明正弦定定理 : sin A sin B c sin C A c B C 53
54 证 : 由三角形面积公式 S ABC AC AB BA BC CB CA 因 所以 AC AB CB CA sin A c sin A c sin B sin B sin C c sin C A c B C 54
55 备用题 3π. 已知向量, 的夹角, 且, 3, 4 解 : ( ) ( ) cos 3π ( ) 3cos
56 . 三角形中, 在顶点为 A(,,), 求 AC 边上的高 解 : AC (,4, 3) AB (,, 三角形 ABC 的面积为 而 故有 ) B (,, ) BD. 和 C(,3, ) A B D 的 S AC AB ( ) AC 4 ( 3) 5, S AC BD 5 BD BD 5 56 C
57 定义 称列 ) 的数表 表达式 由四个数排成二行行二列 ( 横排称行 竖排 行列式, 并记作 即 附录 : 二阶与与三阶行列式 D 称为数数表 () 所确定的二阶 (). () 57
58 二阶行列式的计算 对角线法则 主对角线. 副对角线 58
59 三阶行列式定义定义 设有个数排成记 (6) 式称为数表 (5) 所 (5) 3 3 行列的数表 3, ) (6 所确定的三阶行列式三阶行列式. 59
60 三阶行列式的计算 对角线法则 D 列标 行标 注意红线上三元素的的乘积冠以正号, 蓝线上三元素的乘积冠以负号. 说明对角线法则只适适用于二阶与三阶行列式. 6
61 例如 余子式与代数余子 3, 子式 6
62 在 n 阶行列式中, 把元素 ij 所在的第行和第列划去后, 留下来的 n 阶行列式叫做元素 的余子式, 记作. 记 M ij i j, A ij M 叫做做元素 的代数余子式. ij i j ij ij 例如 D M A 3 M M 3. 6
63 行列式按行 ( 列 ) 展开法则 定理行列式等于它的任任一行 ( 列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘乘积之和, 即 D i A i i A i in A in i,,,n 例如 D
64 行列式的性质 记 D n n T D n n n n nn n n nn 行列式 T D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质 行列式与它的转转置行列式相等. 64
65 说明行列式中行与列具有有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的对对列也同样成立. 性质 互换行列式的两行行 ( 列 ), 行列式变号. 推论如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同, 则此行列式为零. 证明互换相同的两行, 有 D D, D. 65
66 性质 3 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式. k i n k i n n k nn in k i n i n n in nn 推论行列式的某一行 ( 列 ) 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的的外面. 性质 4 行列式中如果有有两行 ( 列 ) 元素成比例, 则此行列式为零. 66
67 性质 6 把行列式的某一同一数然后加到另一列 ( 行列式不变. ni n i i ni n i i j i k k k kr r ( ( ( k 例如一列 ( 行 ) 的各元素乘以行 ) 对应的元素上去, 行 nj nj j j n j nj nj nj j j j n j j ) ) ) 67
68 第三节 第八章 平面及其其方程 一 曲面方程与与空间曲线方程的概念二 平面的点法法式方程三 平面的一般般方程四 两平面的夹夹角 68
69 一 曲面方程与空间曲曲线方程的概念 引例 : 轨迹方程. 化简得 求到两定点 A(,,3) 和 B(,-,4) 等距离的点的 解 : 设轨迹上的动点为 M (,, ), 则 AM BM, ( ) ( ) ( 3) 6 7 说明 : 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不不满足此方程. 69 ( ) ( ) ( 即 4)
70 如果曲面 S 与方程 F(,, ) = 有下述关系 : () 曲面 S 上的任意点点的坐标都满足此方程 () 不在曲面 S 上的点点的坐标不满足此方程 则 F(,, ) = 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F(,, ) = 的图形. F(,, ) S 空间曲线可视为两曲面的交交线, 其对应方程为方程组 S G(,, ) O S C F(,, ) 则方程组 () 叫做空间曲线 C 的方程, 7 曲线 C 叫做方程组 () 的图图形.
71 两个基本问题 : () 已知一曲面 ( 曲线 ) 作作为点的几何轨迹时, 求曲面 ( 曲线 ) 方程. () 已知方程时, 研究它它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 首先我们在空间直角坐标标系中讨论最简单的曲面与曲线 ---- 平面与直直线. 7
72 二 平面的点法式方程 量 n ( A, B, C), 故 设一平面通过已知点 M (,, 任取点 M (,, ), M M M 求该平面 的方程. n M n 则有 ) 且垂直于非零向 M n M O A( ) B( ) C ( ) 称 式为平面 的点法式方方程, 称 n 为平面 的法向量. 7
73 例. 求过三点 的平面 的方程. 解 : 取该平面 的法向量为为 又 M, n MM MM 3 i j k ( 4, 9, ) M 利用点法式得平平面 的方程 n M 3 M 即 73
74 说明 : 此平面的三点式方方程也可写成 一般情况 : 过三点 M k ( 的平面方程为 6 k,, ) ( k,,3) k k 74
75 特别, 当平面与三坐标轴的的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程程. 分析 : 利用三点式 c (, c 按第一行展开得 ( ) c () c 即 c c, c ) 75 c
76 三 平面的一般方程 设有三元一次方程 A B C D ( A B C ) 任取一组满足上述方程的的数,, A B C D, 则 以上两式相减, 得平面的点点法式方程 显然方程 与此点法式方程程等价, 因此方程 的图形是法向量为 n ( A, B, C) 的平面, 此方程称为平面的一般方程. 76
77 A B C D ( A B C ) 特殊情形 当 D = 时, A + B + C = 表示通过原点的平面 ; 当 A = 时, B + C + D = 的法向量 n (, B, C) i, 平面平行于 轴 ; A +C +D = 表示平行行于 轴的平面 ; A +B +D = 表示平行于于 轴的平面 ; C + D = 表示平行于 O 面的平面 ; A + D = 表示平行于 O 面的平面 ; B + D = 表示平行于 O 面的平面. 77
78 例. 求通过 轴和点 ( 4, 3, ) 的平面方程. 解 : 因平面通过 轴, 故 A D 设所求平面方程为 B C 代入已知点 ( 4, 3, ) 得化简, 得所求平面方程 例 3. 用平面的一般式方程程导出平面的截距式方程. (P7 例 4) 78
79 四 两平面的夹角 两平面法向量的夹角 ( 常指锐角角或直角 ) 称为两平面的夹角. 设平面 的法向量为 平面 的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 cos cos A A n n n n A BB B C n n ( A, B, C) ( A, B, C) C C A B C n n 79
80 : : n n ( A ( A,, B B,, C C ) ) cos n n n n 特别有下列结论 : n ( ) n n A A B B C C n ( ) // A A n // B B n C C n n 8
81 例 4. 一平面通过两点 M (,,) 和 M (,, ), 且垂直于平面 : + + =, 求其方程. 解 : 设所求平面的法向量为则所求平面 方程为 A( ) B( ) C( ) n M M A B C, n 的法向量 A B C, 即 故 因此有 C( ) C( ) C( ) ( C 约去 C, 得 ( ) ( ) ( ) 即 8 )
82 例 5. 设 外一点, 求 P 是平面面到平面的距离离 d. 解 : 设平面法向量为 n (AA, B, C), 在平面上取一点 P (,, ), 则 P 到平面的的距离为 P P n n d Prj n P P n A( ) B( ) C( ) d A B C P P d A A B B C C 8 D ( 点到平面的距离公式 )
83 例 6. 求过点 (,,) 且垂直于二二平面 的平面面方程. 和 解 : 已知二平面的法向量量为 n (,, ), n (3,, ) 取所求平面的法向量 n n n (, 5, 5 ) 则所求平面方程为 ( ) 5( ) 5( ) 化简得
84 内容小结. 平面基本方程 : 一般式点法式截距式 C B A c 三点式 3 3 D ) ( C B A 3 ( ) c 84
85 . 平面与平面之间的关系 平面 平面 : A B C : A B C D, n A, B, ) ( C D, n ( A, B, C ) 垂直 : A A BB CC 平行 : n n A A B B C C 夹角公式 : cos n n n n 85
86 备用题 : 求内切于平面 + + = 与三个坐标面所构成四面体的球面方程. 解 : 设球心为 M (,, ),, 3 则它位于第一卦限, 且 3 R( 半径 ) 故 因此所求球面方程为 O M 86
87 第四节 第八章 空间直线及及其方程 一 空间直线线方程二 线面间的的位置关系 87
88 一 空间直线方程. 一般式方程直线可视为两平面交线线, 因此其一般式方程 A B C D ( 不唯一 ) L O 88
89 . 对称式方程 如果一个非零向量平行于一条已已知直线, 则这个向量叫做这条直线的方向向量 已知直线上一点 M (,, ) 和它的方向向量设直线上的动动点为 M (,, ) 则故有 m n 此式称为直线的对称式方程 ( 也称为点向式方程 ) 说明 : 某些分母为零时, 其分分子也理解为零. 例如, 当 m n, p 时,,. 89 p 直线方程为 s O M L M (,, ) (,, )
90 3. 参数式方程 设 m n p t 得参数式方程 : mt nt pt 9
91 例. 用对称式及参数式表表示直线 解 : 先在直线上找一点. 令 =, 解方程组 3 6, 得, 是直线上一点. 再求直线的方向向量 s. 已知直线的两平面的法向向量为 s n, s n s n n 9
92 i j k s n n 3 故所给直线的对称式方程程为 ( 4,, 3) 4 t 参数式方程为 解题思路 : 先找直线上一点点 ; 再找直线的方向向向量. 是直线上一点 9
93 二 线面间的位置关系. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间间的夹角 ( 通常取锐角或直角 ) 设直线 L, L 的方向向量分分别为 L 则两直线夹角 满足 cos s s m s s m m n n p 93 n p p m s n p s L
94 特别有 : ( ) L L s s m m nn p p L s s L ( ) L // L s // s m n m n p p s s L L 94
95 例. 求以下两直线的夹角角 解 : 直线 L 的方向向量为 直线 L 的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 cos 从而 ( 4) ( ) ( ) s ( 4) π 4 i 95 j L k : (,, ) ( ) ( )
96 . 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面面间的夹角 ; 当直线与平面垂直时, 规定定其夹角为 n 设直线 L 的方向向量为 s 平面 的法向量为 n 则直线与平面夹角 满足 sin cos( s, n) s n s n m Am Bn C p n 96 ( m, n, p) ( A, B, C p A L s ) B C
97 特别有 : () ( ) L L // s // n s n A m Am B n B n C p C p 例 3. 求过点 (,-, 4) 且与与平面 直的直线方程. 解 : 取已知平面的法向量量 为所求直线的方向向量. 则直线的对称式方程为 3 97 n (, 4 3,) n 垂
98 三 杂例 例 4. 求与两平面 4=33 和 5= 的交线平行, 且过点 ( 3,, 5) 的直线方程. 解 : 所求直线的方向向量量可取为 s n n ( 4, 3, ) 利用点向式可得方程
99 例 5. 求直线 与平面 的交点. t 解 : 化直线方程为参数方方程 代入平面方程得 t 从而确定交点为 (,,). 99
100 例 6. 求过点 (,, 3 ) 且与与直线垂直相交的直线方程. 提示 : 先求二直线交点 P. 过过已知点且垂直于已知直线的平面的法向量为故其方程为 化已知直线方程为参数方程程, 代入 式, 可得交点 最后利用两点式得所求直线线方程 3 4 P (,, 3) s ( 3,, ) (,, )
101 过直线的平面束方程过直线 : C B A C B A L 的平面束 ( D C B A ( B A 方程, 不全为 D D ) ) D C B
102 例 7. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 即 解 : 过已知直线的平面束束方程 ( 从中选择 使其与已知平面面垂直, 故应有 : ) 得, 从而得投影直线方方程 这是投影平面 这是给定的平面
103 例 8. 一直线过点 又和直线 且垂垂直于直线 L : 3 相交交, 求此直线方程., 解 : 方法 利用叉积. 设直线 L i 的方向向量为 s i ( i,), 过 A 点及 L 的平面的法向量为 n, 则所求直线线的方向向量 s s n, n 因原点 O 在 L 上, 所以 A i j k L n s OA 3 i 3 j 3k O s 3
104 待求直线的方向向量 故所求直线方程为 3 5 方法 利用所求直线与 L 的交点. 设所求直线与 L 的交点为为 B,, 则有 即 s s n i, j k 3 3(3 i j 5 k) ( ), A(,,) L B(,, ) 4
105 而 AB,, ( ) L L : 3 3( ) ( ) ( ) 将, 代入入上式, 得 AB (,, ) 由点向式得所求直线方程程 3 7 (3,, 5) A(,,) 3 5 L B(,, ) 5
106 . 空间直线方程一般式对称式参数式 C B A C B A pt nt mt ( p n m 内容小结 D C D C ) 6
107 n m L : 直线 n m L :. 线与线的关系直线夹角公式 : s s L L // L L s s cos s s s s, p, p p p n n m m 7
108 3. 面与线间的关系 平面 : 直线 L : L L // 夹角公式 : A B C D, n ( A, B, C ), s ( m, n, p) m n p m n p s n A B C s n sin s s n n m A n B pc L 8
109 第五节 第八章 曲面及其其方程 一 曲面研究究的基本问题 二 旋转曲面面三 柱面四 二次曲面 9
110 一 曲面研究的基本问问题 定义. 如果曲面 S 与方程 F(,, ) = 有下述关系 : () 曲面 S 上的任意点的的坐标都满足此方程 () 不在曲面 S 上的点的的坐标不满足此方程 则 F(,, ) = 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F(,, ) = 的图形. 两个基本问题 : () 已知一曲面作为点的几何何轨迹时, O 建立曲面方程. () 已知坐标,, 间的方程时, 研究它所表示的几何形状 ( 有时需作图 ). F(,, ) S
111 例. 求动点到定点 方程. 即 解 : 设轨迹上动点为 故所求方程为 ( ) ( ) ( ) R 特别, 当 M 在原点时, 球面面方程为 R 依题意 ( ) ( ) ( ) 表示示上 ( 下 ) 球面. 距离为 R 的轨迹 R O M M
112 例. 研究方程 的曲面. 解 : 配方得可见此方程表示一个个球面 球心为 M (,, ), 半径为 说明 : 如下形式的三元二二次方程 ( A ) 5 表示怎样 都可通过配方研究它的图形形. 其图形可能是一个球面, 或点.
113 二 旋转曲面定义. 一条平面曲线绕绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转转曲面. 旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和和旋转轴. 例如 : 3
114 建立 O 面上曲线 C 绕 轴轴旋转所成曲面的方程 : 给定 O 面上曲线 C: 若点 M (,, ) f (, ) C 当绕 轴旋转时, M (,, ), 则有, 故旋转曲面方程为, 则有 该点转到 f (, ) M (,, ) O C M (,, ) f (, ) 4
115 思考 : 当曲线 C 绕 轴旋旋转时, 方程如何? C : f (, ) O f (, ) 5
116 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面 两直线交点叫做圆锥面的顶点, 两直直线夹角 例 3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解 : 在 O 面上直线 L 的方方程为 L 叫做圆锥面的半顶角 绕 轴旋转时, 圆锥面的方方程为 O M (,, ) 两边平方 ( ) 6
117 例 4. 求坐标面 O 上的双双曲线轴和 轴旋转一周所生成的的旋转曲面方程. 解 : 绕 轴旋转所成曲面面叫做旋转双叶双曲面, 其方程为 分别绕 O c O 绕 轴旋转所成曲面叫做 旋转单叶双曲面, 其方程为为 O c 7
118 三 柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面. 解 : 在 O 面上, 在圆 C 上任取一点 M (, 平行 轴的直线 l, 的坐标也满足方程 R 沿圆周 C 平行于 轴的一一切直线所形成的曲面称为圆 柱面. 其上所有点的坐标都都满足此方程, 故在空间 R 对任意,),, 表示圆 C, 过此点作 点 M (,, ) 表示圆柱面 C O M M l 8
119 定义 3. 平行于定直线并沿定定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. 定曲线 C 叫做柱面的准线, 动直线 l 叫做它的母线. 表示抛物柱面, 母线平行于 轴 ; O 准线为 O 面上的抛物物线. 表示母线平行行于 轴的椭圆柱柱面. 表示母线平行于 轴的平面. ( 且 轴在平面上上 ) 9 l C O O
120 一般地, 在三维空间 方程 F(, ) 表示柱面, 母线平行于 轴 ; 准线 O 面上的曲线 l. O l l 方程 G(, ) 表示柱面, 母线平行于 轴 ; 准线 O 面上的曲线 l l. O 方程 H (, ) 表示柱面, 母线平行于 轴 ; 准线 O 面上的曲线 l l 3. l 3 O
121 四 二次曲面 三元二次方程 F(,, ) A B C D E F G H I ( 二次项系数不不全为 ) 的图形统称为二次曲面. 其其基本类型有 : 椭球面 抛物面 双双曲面 锥面适当选取直角坐标系可得得它们的标准方程, 下面仅就几种常见标准型的特点进进行介绍. 研究二次曲面特性的基本本方法 : 截痕法 J
122 . 椭球面 ( c () 范围 :,, () 与坐标面的交线 : 椭圆, O ),, 为正数 c c 圆, c c
123 c (,,c为正数 ) (3) 截痕 : c 与 ( c) 同样 ) 及 也为椭圆. ( c ) c ( ( c ) 的交线为椭圆 : ) 的截痕 (4) 当 = 时为旋转椭球球面 ; 当 ==c 时为球面. 3
124 . 抛物面 () 椭圆抛物面 p q ( p, q 特别, 当 p = q 时为绕 轴的旋旋转抛物面. 用截痕法讨论 : 设 p, 用坐标面 o( ) 与曲曲面相截, 截得坐标原点 O 它是椭圆抛物面的顶点点. 与平面 ( ) 的的交线为椭圆. p q 同号 ) q O 与平平面 ( ) 不相交. 4
125 用坐标面 o ( ) 与曲面面相截 椭圆抛物面 截得抛物线 与平面 p 的交线为抛抛物线. 它它的轴平行于 轴 p q 顶顶点,, q 用坐标面 o ( ), 与曲面相截 o 同理当 均可得抛物线. p, q 时可类类似讨论 5.
126 () 双曲抛物面 ( 马鞍面 ) 用截痕法讨论 : 用坐标面 o p q ( p, q 同 设 p, q ( ) 同号 ) 与曲面相截, 截得一对相交直线 与平面 p q ( ) 的交交线为双曲线. 6 o
127 用坐标面 o ( ) 与曲曲面相截 截得抛物线 p 与平面 的交线为开开口向下的抛物线. p q 顶顶点 以此截痕 l 为母线, 顶点的轨迹 L 为为准线, 母线 l 的顶点在准线上滑动, 且母线作平行移动, 由此就得到到了双曲抛物面. 用坐标面 o (,),, q 7 与曲面相截, 类似
128 3. 双曲面 () 单叶双曲面 平面 平面 ) 上的截痕为 椭椭圆. 时, 截痕为双曲曲线 : c c 上的截痕情况况 : (,, c 为正数 ) ( 实轴平行于 轴 ; 虚轴平行于 轴 ) O 8
129 ) 时, 截痕为相交交直线 : c ( 或 ) 3 ) 时, 截痕为双曲线线 : c ( 实轴平行于 轴 ; 虚轴平行于 轴 ) O O 9
130 () 双叶双曲面 c (,, c 为正数 ) 平面 上的截痕为双曲线 O 平面 上的截痕为 双曲线 平面 ) 上的的截痕为椭圆 ( c 注意单叶双曲面与双叶双双曲面的区别 : c 单叶双曲面 双叶双曲面 图形 3 P8
131 4. 椭圆锥面 在平面 ( t) (, 为正数 ) t 上的截痕为椭椭圆, t ( t ) 在平面 = 或 = 上的截截痕为过原点的两直线. ( 椭圆锥面也可由圆锥面面经 或 方向的伸缩变换得到, 见 P4 ) O 3
132 内容小结. 空间曲面三元方方程 F(,, ) 球面 ( ) ) ( R 旋转曲面 柱面 如, 曲线 ( f f (, ) ( ) 绕 轴的旋转曲面 : 如, 曲面 F(, ) 表示母线平行 轴的柱面. ) 又如, 椭圆柱面, 双曲曲柱面, 抛物柱面等., 3
133 . 二次曲面三元二二次方程 椭球面 抛物面 : ( p, q同号 ) 椭圆抛抛物面 p q 双曲面 : 单叶双曲面 椭圆锥面 : 33 双曲抛物面双叶双曲面
134 思考与练习. 指出下列方程的图形 : 方程 平面解析几何何中 空间解析几何中 5 平行于 轴的的直线平行于 O 面的平面 9 圆心在 (,) 半径为 3 的圆 以 轴为中心轴的圆柱面 斜率为 的直直线 平行于 轴的平面 34
135 . P44 题 3, 题 答案 : 在 O 面上 35
136 第六节 第八章 空间曲线及及其方程 一 空间曲线的的一般方程二 空间曲线的的参数方程三 空间曲线在在坐标面上的投影 36
137 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的的交线, 其一般方程为方程组 S G(,, ) S L F(,, ) 例如, 方程组 C 表示圆柱面与平面的交线 C. O 37
138 又如, 方程组 表示上半球面与圆柱面的交交线 C. C 38
139 二 空间曲线的参数方程 将空间曲线 C 上的动点坐标,, 表示成参数 t 的函数 : () 当给定 时, 就得到 C 上上的一个点 随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全全部点 称方程组 () 为空间曲线的 C 参数方程. 39
140 例 如果空间一点 M 在圆圆柱面 上以角速度 绕 轴旋转, 同时时又以线速度 v 沿平行于 轴的正方向上升 ( 其中 v 都是常数 ), 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. 解 t A o M M 取时间 t 为参数, 动点从 A 点出发, 经经过 t 时间, 运动到 M 点 M 在 o 面的投影 M (,,) cost sint vt 螺旋旋线的参数方程 4
141 螺旋线的参数方程还可以以写为 cos sin ( t, 螺旋线的重要性质 : v ) 上升的高度与转过的角角度成正比. 即 :, :,, 上升的高度度 h 螺距 4
142 例. 将下列曲线化为参数方方程表示 : 解 : () 根据第一方程引入入参数, 得所求为 () 将第二方程变形为 故所求为 4
143 三 空间曲线在坐标面上上的投影 F(,, ) 设空间曲线的一般方程 : G(,, ) 消去变量 后得 : H(, ) 曲线线关于 o 的投影柱面投影柱面的特征 : 以此空间曲线为准线,(( 母线 ) 垂直于所投影的坐标面. 43
144 类似地 : 可定义空间曲线 ), ( R o 面上的投影曲线, ), ( H 空间曲线在面上的投 o 线在其他坐标面上的投影 ), ( T o 面上的投影曲线, 投影曲线 44
145 如图 : 投影曲线的研究过过程. 空间曲线 投影影柱面 投影曲线 45
146 例 3 求曲线 解 () 消去变量 后得, 4 3 在面上的投影为 o, 4 3 在坐标面上的投影. 得 46
147 () 因为曲线在平面 所以在 o 面上的投影影为线段. 3, ; (3) 同理在 o 面上的的投影也为线段., 3. 上, 47
148 例如, C : ( ) ( ) 在 O 面上的投影曲线方程程为 O C 48
149 又如, 上半球面和锥面所围的立体在 O 面上的投投影区域为 : O 面上的投影曲线所围之之域. 二者交线 二者交线在 在 O 面上的投影曲线 所围圆域 :,. C O 49
150 例 4 求曲线绕 轴旋转的曲面与平面 的交线在 O 平面的投影曲线方程. 解 : 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向 O 面的投影柱柱面方程为, 它与所给平面的 此曲线在 O 面上的投影影曲线方程为 5
151 P5 题 7 O O (, ) 5
152 内容小结 空间曲线 求投影曲线 三元方方程组或参数数方程 ( 如, 圆柱螺线 ) 思考与练习 P36 题,,7( 展示示空间图形 ) 5
153 答案 : P5 题 () () 4 O O 53
154 (3) O 54
155 P5 题 () O 55
156 P5 题 () 思考 : 对平面 O 3 交线情情况如何? 交线情情况如何? 56
157 习题课 第八章 向量代数数与空间解析析几何 一 内容小小结二 实例分分析 57
158 一 内容小结 向量代数 向量的概念 定义 : 既有大小又有方方向的量称为向量. 自由向量 向量相等等 向量的模 单位向量量 零向量 向量的夹角 负向量量 平行向量 向径. 58
159 向量的线性运算 () 加法 : c () 减法 : d (3) 向量与数的乘法 : 设 是一个数, 向量 ( ), 与 与 的乘积 同向 ( ),, ( 3), 与 反向 规定为 向, d c 59
160 3 向量的表示法 向量的分解式 : 在三个坐标轴上的分向量 : 向量的坐标表示式 : (,, ) 向量的坐标 : 其中,, i,, 分别为向量在 j i, k j, k,, 轴上的投影. 6
161 向量的加减法 向量与数的的乘积等的坐标表达式 (,, ) (,, ) (,, ) ( ) i ( ) j ( (,, ) ( ) i ( ) j ( (,, ) ( ) i ( ) j ( ) k ) k ) k 6
162 向量模长的坐标表示式 cos cos cos 向量方向余弦的坐标表示 M M 它们距离为设 ),, ( M, ( M 示式 ) cos cos cos (, ) 为空间两点 6
163 4 数量积 ( 点积 内内积 ) cos 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表表示式 cos 其中 为 与 的夹角 63
164 5 向量积 ( 叉积 外积) c sin 其中 为 与 的夹角 c 的方向既垂直于, 又垂直于, 指向符合右手系. 向量积的坐标表达式 ( ) i ( i j k ( ) k 64 // ) j
165 6 混合积 [ c] ( ) c c c c 65
166 利用向量运算解决下下列问题 () 判定两个向量平行 () 判定两个向量垂直 (3) 判定 A,B,C 三点共线 (4) 判定四点共面或三个向量共面 (5) 平行四边形面积三角形面积平行六面体的体积四面体的体积 AB BC ( AB AC) AD S S / V ( ) c V ( ) c / 6 66
167 例 设, c, 为任意三个向量, 则下列等式正确的为 A. B. ( ) c ( c ); C. D. ; ( ) c c ( );. C 67
168 例 设向量 m, n, p两两 m 4, n, p 两垂直, 符合右手规则, 且 3, 计算 ( m n) p. 解 m n m n sin( m, n ) 4 8, m n 与 p 同向, ( m n, p) ( m n) p m n p cos 依题意知 68
169 例 3. 已知 c. 证明 c c 例 4. 证明三角形三条高高线交于一点. 69
170 空间平面一般式点法式截距式 c 三点式 3 3. 空间直线与平面的方程空间解析几何 3 程 ),, ( : 点 ),, ( : C B A n 法向量 7
171 为空间直线一般式对称式参数式 C B A C B A pt nt mt ),, ( ),, ( p n m s 为直为直线的方向向量. D D 直线上一点 ; 7
172 . 线面之间的相互关系 面与面的关系 平面平面 垂直 : 平行 : : A B C n n 夹角公式 : cos n n n n D C A A A A B B CC, n ( A, B, ) B B C C 7
173 n m L : 直线 n m L : 线与线的关系直线垂直 : 平行 : 夹角公式 : s s cos s s, p p p n n m m, p p p n n m m ),, ( p n m s ),, ( p n m s s s 73
174 面与线间的关系 平面 : 直线 : A 垂直 : s n 平行 : m B C n s n D, n ( A, B, C) p, s ( m, n, p) m A n B p C 夹角公式 : sin s s n n 74
175 3. 相关的几个问题 () 过直线 : C B A C B A L 的平面束 ( D C B A ( B A 方程, 不全为 D D ) ) D C B 75
176 () 点 M 的距离为 (,, ) 到平面 :A +B +C +D = M d n M 76
177 i 到直的距离为 (3) 点 p n m m s s M M d k j 直线 p n m d ),, ( p n m s ),, ( M ),, ( M 77
178 4. 曲面 [] 旋转曲面 定义 : 以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴轴. 方程特点 : 设有平面曲线 () 曲线 L 绕 L : f (, ) 轴旋旋转所成的旋转曲面方程为 f (, ) () 曲线 L 绕 轴旋旋转所成的旋转曲面方程为 f (, ) 78
179 () 球面 () 圆锥锥面 (3) 旋转双曲面 c 79
![[] 柱面 平行于定直线并沿定曲线线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称之为柱面面. 这条定曲线叫柱面的准线, 动直线叫柱面的母线.](/docs-images/91/107466759/images/180-0.jpg "柱面的特征 : 只含, 而缺 的方程 F (, ) 空间直角坐标系中表示母母线平行于 轴的柱 面, 其准线为 o 面上曲线 C.")
180 [] 柱面 平行于定直线并沿定曲线线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称之为柱面面. 这条定曲线叫柱面的准线, 动直线叫柱面的母线. 柱面的特征 : 只含, 而缺 的方程 F (, ) 空间直角坐标系中表示母母线平行于 轴的柱 面, 其准线为 o 面上曲线 C. 程, 在 8
181 () 平面 () 圆柱面 R (3) 抛物柱柱面 p ( p 8 ) (4) 椭圆柱面
182 [3] 二次曲面 定义 : 三元二次方程所表示示的曲面称为二次曲面. () 椭球面 c () 椭圆圆抛物面 p q ( p 与 q 同号 ) (3) 马鞍面 p q ( p 与 q 同号 ) 8
183 (4) 单叶双曲面 c O (5) 双 (6) 圆锥面 O 双叶双曲面 c 83
184 5 空间曲线 ),, ( ),, ( G F [] 空间曲线的一般方程 ) ( ) ( ) ( t t t [] 空间曲线的参数方程程程 84
185 ) ( ) ( sin sin cos t t t 如图空间曲线一般方程为参数方程为 85
186 [3] 空间曲线在坐标面上消去变量 后得 :, ( H 设空间曲线的一般方程 : 曲线在面上的投影曲 o ), ( R o 面上的投影曲线上的投影 ),, ( ),, ( G F ) : ), ( H 曲线为 ), ( T o 面上的投影曲线 86
187 如图 : 投影曲线的研究过过程. 空间曲线 投影影柱面 投影曲线 87
![[4]](/docs-images/91/107466759/images/188-0.jpg)
188 [4] 空间立体或曲面在坐坐标面上的投影 空间立体 曲面 88
189 二 实例分析例 求点 M(-,,) 在平面面 +-+= 上的投影. 解 : 平面的法向量 n {,, } 过 M 且与平面垂直的直直线方程 L : 下面只需求直线 L 与平平面的交点 N 即可. 利用直直线的参数方程 89
190 则直线 L 的参数方程 : 代入平面方程得 t t t t (t ) ( t ) 解得 t 3 5 从而所求投影为 N (,, )
191 例. 设一平面平行于已知知直线 5 且垂直于已知平面 7 4 3, 求该平面法线的 的方向余弦. 提示 : 已知平面的法向量量 求出已知直线的方向向量量 取所求平面的法向量 所求为 n cos s n 3 5, i 7 cos 9 n (7,, j k 4) (3, 5, 4) 4 5 4, cos 5 5
192 5 例 3. 求过直线 L : 4 夹成角的平面方方程. 提示 : 过直线 L 的平面束方方程 且与平面 n 4 8 π 4 n 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 cos π 4 n n n 从而得所求平面方程 n (, 5, ). n n (, 4, 8)
193 例 4. 求过点 且与与两直线 提示 : 都相交的直线 L. 思路 : 先求交点 M M 再写直线方程程., ; 的方程化为参数数方程 L M M L L M 设 L 与它们的交点分别为 M( t,t, t ), M ( t,3t 4,t ). 93
194 M M,, M 三点共线 M M // M M t, t M (,, ), L : M (,,3) L M M L L M M( t,t, t ), M ( t,3t 4,t ) 94
195 例 5. 直线绕 轴旋转一周, 求此旋转曲面的方程. 提示 : 在 L 上任取一点 得旋转曲面方程 旋转转轨迹上任一点, 则有 L r r M O 95 M
196 思考与练习 P5 题 画出下列各曲曲面所围图形 : () 抛物柱面, 平面 及 ; 4 () 抛物柱面, 平面, 及 ; (4) 旋转抛物面, 柱面, 平面 及. 96
197 解答 : P53 题 () 4 ( 8,,) 4 (,,) O O 97
198 P53 () O O 面 O 面 O 98
199 P53 (4) (, ) O (, ) 99
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3. 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 曲面的实例 : 水桶的表面 台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 : 如果曲面 S 与三元方程 (,, ) F 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 ; () 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 ; 那么, 方程 (,, ) 而曲面 S 就叫做方程的图形. F 就叫做曲面 S 的方程, 一 曲面方程的概念
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
高等数学7
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
第7章
第七章空间解析几何与向量代数 教学目的 : 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及其表示 掌握向量的运算 ( 线性运算 数量积 向量积 混合积 ) 掌握两个向量垂直和平行的条件 3 理解单位向量 方向数与方向余弦 向量的坐标表达式 熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 4 掌握平面方程和直线方程及其求法 5 会求平面与平面 平面与直线 直线与直线之间的夹角 并会利用平面 直线的相互关系 ( 平行 垂直
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程
高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
(4 ) 垂直 故可取 即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程 所求平面方程为 确定平面的另一类条件是 不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面 设 平面 所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此 和 与平面的法向量 垂直 即可以取法向量
教案 平面和直线 教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象 是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型 由于曲线在局部可以用它的切线来近似 曲面在局部可以用它的切平面来近似 所以平面和直线也是几何和分析中 以直代曲 的最基本元素 因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要 而且是必须要掌握的数学工具 在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 平面和直线的代数表示 即它们的方程的形式如何?
高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - 第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
T 分 6 分 分 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分 分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为 名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分 故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为
6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误,
线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
作者 : 闫浩 ( 年 月 段弧 标 (B f ( d d ( N ( M 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 f ( d d ( N ( M : 其中 ( M ( N 分别表示 M N 的 坐 标 其中 (C f ( ds ds 弧长 ( f ( d f ( d = d d d e c
作者 : 闫浩 ( 年 月 微积分 B( 第五次习题课答案 ( 第十二周 一 第二型曲线 曲面积分 三大公式. 计算下列曲线积分 ( 设有向折线 为 ( A cos d si d 解 ( 方法 cos d si d AB cos ( 方法 用 Gree 定理方法 : cos d si d cos ABCA B ( C ( 的两段线段构成 计算 d si si d BC cos d si d cos
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
第一章 基 本 知 识
第 节向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 第 节点的坐标与向量的坐标 6 空间直角坐标系 6 向量的坐标表示 8 3 向量的模 方向角 4 向量的投影 第 3 节向量的乘法运算 4 3 两向量的数量积 4 3 两向量的向量积 8 33 向量的混合积 第 4 节平面 4 4 平面的方程 5 4 点到平面的距离 8 43 两平面的位置关系 9 第 5 节空间直线 3 5 空间直线的方程 3 5
标题
微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 ) 李红英 主编 图书在版编目 (CIP) 数据微积分同步辅导与习题全解 ( 高教社 同济大学 第三版 下册 )/ 李红英主编. 上海 : 华东理工大学出版社,2014.2 ISBN978 7 5628 3454 0 Ⅰ.1 微 Ⅱ.1 李 Ⅲ.1 微积分 高等学校 教学参考资料 Ⅳ.10172 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2014)
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2018/5/25 预览页 2016 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择 1. 设集合 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 8}, 则 A B = ( ). A. {4, 8} B. {0, 2, 6} C. {0, 2, 6, 10} D. {0, 2, 4
06 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择. 设集合 A = {0,,, 6, 8, 0}, B = {, 8}, 则 A B = ( ). A. {, 8} B. {0,, 6} C. {0,, 6, 0} D. {0,,, 6, 8, 0} z. 若 z = + i, 则 = ( ). z A. B. C. + i D. i. 已知向量 BA = (, ), BC = (, ), 则 ABC
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
. 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
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科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 应用微积分 ( 下册 ) 刘春凤主编 米翠兰彭亚绵副主编 刘琳琳袁书娟参编 北京 内容简介枟应用微积分枠面向接受高等教育的成人和大中专学生 内容主要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 选编了向量代数 空间解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书结构严谨 逻辑清晰 ; 约简理论推导 强调方法阐述
高一数学练习2004
北京市西城区 06 07 学年度第一学期期末试卷 高二数学 ( 文科 ) 07. 试卷满分 :50 分 考试时间 :0 分钟 题号一二 分数 三 5 6 7 8 9 0 本卷总分 一 选择题 : 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合要求的. x. 双曲线 y 的一个焦点坐标为 ( ) () ( 0) () (0 ) () ( 0) () (0
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
参考文献：
9 年 ( 第十一届 ) 全国大学生数学竞赛 ( 非数学类 ) 预赛模拟试题 一 填空题 ( 每小题 6 分, 共 3 分 ) 考生注意 : 考试时间 5 分钟试卷总分 分. 已知 f ( ) 在 8的邻域内有连续导数, 且 lim f ( ), lim f '( ) 673, 8 8 则极限 lim 8 8 8 t f ( u)du dt t 3 (8 ) 9 f. 设函数 f (, y ) 可微,
数量积的应用举例 0804 向量的向量积 (40 分钟 ) 向量积的概念 向量积的运算规律 向量积的坐标表示 两向量平行的充要条件 向量积的应用举例 *0805 向量的混合积 (20 分钟 ) 混合积的
注 :(1) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过国家一等奖 ; (2) 知识点前标 表示该知识点作品在前两届微课竞赛中获过两次以上国家一等奖, 不在本次竞赛知识点选择范围之内 高等数学 ( 下册 ) 知识点的细分目录 第八章向量代数与空间解析几何 (08) 0801 向量及其线性运算 (35 分钟 ) 080101 向量的概念 080102 向量的加减法 080103 向量与数的乘法
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CB
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ;
2009年课标甲乙
绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 :. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半
<4D F736F F D20B3F5B6FEC7EFBCBEB5DACBC4BDB2BFCEBAF3D7F7D2B5B4F0B0B8A3A8BCE2B6CBB0E0A3A92E646F63>
初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
Microsoft Word - 高二上期考.doc
0-0 高二上期考 命题上 若 >-, 则 >-6 以及它的逆命题 否命题 逆否命题中, 真命题有 个 个 个 D 4 个 已知 b 是实数, 则 >0 且 b>0 是 +b>0 且 b>0 的 ( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 D 不充分不必要条件 已知 = i j+ λk, b= i+ 4j 5k( i, j, k是两两垂直的单位向量 ), b - D -4 4 由程序框图运行后输出的
第一章
第一章向量代数. 已知平行四边形 ABCD 的对角线为 AC = α, BD = β, 求 AB, BC,CD, DA. 设 AD,BE,CF 是 Δ ABC 的三条中线, 已知向量 AB = α,ac = β, 求 AD, BE,CF 3. 向量 α, β 必须满足什么几何性质, 以下各式才成立 : + = ; α + β = λ( α β) α β α β 3 α + β = α β ; 4 α
资料分享 QQ 群 65 联系电话 : ( 朝阳一模理 9)( 本小题满分 分 ) 已知中心在原点 焦点在 轴上的椭圆 C 过点 离心率为 点为其右顶点 过点 A B 作直线 l 与椭圆 C 相交于 E F 两点 直线 AE AF 与直线 分别交于点 M N ⑴ 求椭圆 C 的方程 ;
资料分享 QQ 群 65 联系电话 :868899 解析几何题型汇编 一 方法建议 学而思高考研究中心 武洪姣 曲丹老师 圆锥曲线对于一些必备的核心条件进行了解以后 充分的练习题目 以及掌握在解决题目的必要技巧 方法 主要选择好的方法 二 题型分类 (I) 向量表达相关的问题 向量的数量积与角度问题 直接考查向量的数量积计算 分别是证明是定值 求范围 和证明存在定点 ( 海淀二模文 9)( 本小题满分
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
一 根据所给图表，回答下列问题。
09 年内蒙古临河教师招聘模拟卷 数学专业知识 一 选择题 ( 本大题共 题 每题 分 共 8 分 ) 所以. 答案 B. 解析 : 因为 0 所以 Q 0 所以 P Q 故 故选 B.. 答案 B. 解析 : 令 z a bi a b R a bi 则由 R z a bi a b P 由 可得 0 得 b 0 所以 z R p 正确 ; 当 z i 时 因为 z i R 而 z i R 知 故 p
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅱ ~ Ⅲ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
学年北京市第七中学九年级上学期期中数学试题（含答案）
( 重题 :9) 北京市第七中学 015~016 学年度第 学期期中检测试卷 九年级数学 015 年 11 试卷满分 :10 分考试时间 :10 分钟 选择题 ( 本题共 30 分 每 题 3 分 ) 下 各题均有四个选项 其中只有 个是符合题意的 1 抛物线 = ( x 1) + 的顶点坐标是 ( ) A (1 ) B (1 ) C ( 1 ) D ( 1 ) 解答 解: = ( x 1) + 的顶点坐标为
北京第二中学分校初三上期中（20个新题）
如图 在 BC 中 DE BC E : EC : 3 DE 4 则 BC 等于 ( ) D E B C 0 B 8 C 9 D 6 答案 解析 E : EC : 3 E C 5 DE BC DE BC DE E BC C 5 4 即 BC 5 解得 BC 0 已知图中各有两个三 形 其边长和 的度数已在图上标注 ff808084a9e7804a380bdf3a3063 3 如图 在平 四边形 BCD
§7.3 微积分基本定理的推广
7. 微积分基本定理的推广 格林 (Green) 公式高斯 (Gauss) 公式与散度斯托克斯 (stokes) 公式与旋度小结 一 格林 (Green) 公式. 平面单连通区域设 为平面区域, 如果 内任一闭曲线所围成的部分都属于, 则称 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 区域边界曲线的正向 : 设 是区域 的边界曲线, 沿边界行走, 区域 总在左侧. 由 与 连成
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南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 008-009 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建 www.fneprnt.n 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 :
一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh e e 双曲余弦 : h sh e 双曲正切 : h h e sh l h l h l e e si lim lim e 三角函数公式 : 三角函数 : 正弦函数 si ; 余弦函数 ; si 正切函数 ;
高等数学公式导数公式 : 基本积分表 : 三角函数的有理式积分 : si g g g g g l log l s s se se s se si g g sh h h sh g g g g l l s s se se s si se g g g g g si l l l s s l se se l si l I I si l l si 一些初等函数 : 两个重要极限 : e e 双曲正弦 : sh
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
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6.6 积分在物理上的应用 一 质心二 转动惯量三 引力 一 质心 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在 上连续, 平面薄片的质心 当薄片是均匀的,
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2016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分, 每题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中, 是轴对称图形的是 ( ). A. B.
016 广东广州广东实验中学初二上中段质量检测 第一部分选择题 ( 共 30 分 ) 一 选择题 ( 本大题有 10 小题 每小题 3 分 满分 30 分 每题给出的四个选项中 只有一个是正确的.) 1. 在以下绿色食品 回收 节能 节水四个标志中 是轴对称图形的是 ( )... C. D. 答案 解析 在平面内 如果把一个图形烟一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形称为 轴对称图形.
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第 第三轮复 复习之 一 一模精品 品集萃 模 模块一 数与式 式 一模精华 再求值 ( + 例 天河一模 先化简 再 + ) 的正 其中 是小于 是 正整数 4 式 = 解析 + 当 = 时 原式 术表演风靡全 全国 小明也 也学起了刘谦 谦发明了一个 个魔术盒 当 当任意实数 例 广外一模 刘谦的魔术 对 ( b) 进入 入其中时 会 会得到一个新 新的实数 + b 例如把 ( ) 放入其中 就会得到
2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
ⅠⅡ 1 2Ⅲ Ⅳ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
第四章 １０２ 图 ４唱１６ 基于图像渲染的理论基础 三张拍摄图像以及它们投影到球面上生成的球面图像 拼图的圆心是相同的 而拼图是由球面图像上的弧线图像组成的 因此我 们称之为同心球拼图 如图 ４唱１８ 所示 这些拼图中半径最大的是圆 Ｃｋ 最小的是圆 Ｃ０ 设圆 Ｃｋ 的半径为 ｒ 虚拟相机水平视域为 θ 有 ｒ Ｒ ｓｉｎ θ ２ ４畅１１ 由此可见 构造同心球拼图的过程实际上就是对投影图像中的弧线图像
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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2016 160 8 14 8:00 14:00 1 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 190 180 2 2 6 6 8 15 2016 2016 8 13 3 2016 2016 2016 0382 2 06 1 3300 14 1 3300 0451 5 01 2 7500 02 2 7500 05 ( ) 1 7500 1156 4 15 2 15000
2017 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解 ( 一 ) 填空题 ( 本大题共 10 个小题, 每小题 8 分, 共 80 分 ) (1) 已知复数 z1, z 2满足 z z 20, z z 16, 则 z 年 9 月 2 日 z 的最小值是
07 年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解 ( 一 ) 填空题 ( 本大题共 0 个小题 每小题 8 分 共 80 分 ) () 已知复数 z z 满足 z z 0 z z 6 则 z 07 年 9 月 日 z 的最小值是 解析 : 由已知得 : z z z z z z zz 0 z z z z 0 z z z z 0 z z z z 50 当且仅当 z z 0 z z 6 即 z 0 i 时等号成立
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
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5.3 定积分应用. 定积分的微元分析法 () 能用定积分表示的量所必须具备的特征用定积分表示的量 U 必须具备三个特征 : U 是与一个变量 的变化区间 [,] 有关的量 ; U 对于区间 [,] 具有可加性. 即如果把区间 [,] 分成许多部分区间, 则 U 相应地分成许多部分量 ; 3 部分量 U i的近似值可表示为 f ( ) i i () 微元分析法 用定积分表示量 U 的基本步骤 : 根据问题的具体情况,
杨浦区 2017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 25 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效. 2. 除第一 二大题外,
杨浦区 017 学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 018.1 ( 测试时间 :100 分钟, 满分 :150 分 ) 考生注意 : 1. 本试卷含三个大题, 共 5 题. 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸 本试卷上答题一律无效.. 除第一 二大题外, 其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一 选择题 :( 本大题共 6 题,
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
北京中考微信公众号（BJ_zkao）
015 北京三帆中学初一 ( 下 ) 期中 数 学 班级 姓名 学号 分层班级 成绩 一 选择题 ( 每题 分, 共 0 分 ) 注意 : 时间 100 分钟, 满分 10 分 ; 1. 的相反数是 ( ). 1 B. C. 1. +1. 下列图形中, 不能.. 通过其中一个四边形平移得到的是 ( ) () (B) (C). B. C. ().. 若 a
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
.8 椭圆上的四点共圆 ( 考试要求 :, 考查频率 :0.00, 难度 :3.00) 知识讲解 h ( ). 理解并掌握椭圆上的四点共圆的性质及其推导 ;. 能够利 椭圆上的四点共圆的性质简化问题. h ( ). 理解并掌握椭圆的蒙 圆的性质及其推导 ;. 能够利
课程目标 h ( 0.03.00). 理解并掌握截距坐标公式 ;. 能够利 截距坐标公式简化运算. h ( 0.03.0). 理解并掌握 积坐标公式 ;. 能够利 积坐标公式简化运算. h I( C0.003.00). 理解并掌握椭圆的焦半径公式 I 及其推导 ;. 能够在合适的情形下选择椭圆的焦半径公式 I 简化运算. h II( C0.03.0). 理解并掌握椭圆的焦半径公式 II 及其推导 ;.
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
y B C O F. 设 f 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 的 函 数, 在 区 间, 上 f 5 9 其 中 ar, 若 f f, 则 5 y 4 0,. 已 知 实 数 y, 满 足 y 0, 3 y 3 0, f a 的 值 是. 则 y 的 取 值 范 围 是. a, 0,, 0,
参 考 公 式 : 样 本 数 据,,, n 棱 柱 的 体 积 V 爱 智 康 高 考 研 究 中 心 高 中 数 学 张 勇 凯 桑 和 瑞 何 军 凤 闫 泓 水 06 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 苏 卷 ) n i n i 的 方 差 s 数 学 Ⅰ n i n i, 其 中. Sh, 其 中 S 是 棱 柱 的 底 面 积, h 是 高. 棱 锥 的
E. (A) (B) (C) (D). () () () (A) (B) (C) (D) (E). () () () (A) (B) (C) (D) (E). (A)(B)(C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B)(C) (D) (E). (A) (B) (C)
. (A) (B) (C) (D) (A) (B) (C)(D)(E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A)
内 容 简 介 高等数学 上 下册 是为普通高等学校理工科专业学生编写的基础课教材 以微积分学的基本理论和方法为核心内容 本书为下册 主要内容包括空间解析几何 多元函数微分学 无穷级数 微 差 分方程等 本书叙述直观 概念清晰 通俗易懂 便于学生理解和掌握 本书可作为理工科大学 高等师范院校理 工
高等教育 十二五 规划教材 高等数学 下册 刘仁云 赵 虹 主编 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo 北 京 内 容 简 介 高等数学 上 下册 是为普通高等学校理工科专业学生编写的基础课教材 以微积分学的基本理论和方法为核心内容 本书为下册 主要内容包括空间解析几何 多元函数微分学 无穷级数 微 差 分方程等 本书叙述直观 概念清晰 通俗易懂 便于学生理解和掌握 本书可作为理工科大学 高等师范院校理
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
湖北文都考研官网 : 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k 1. 当 x 0 时, x tan x与 x 同阶
湖北文都考研官网 :www.hbwendu.com 9 考研数学二考试真题 ( 完整版 ) 来源 : 文都教育 一 选择题 ~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的. k. 当 时, tan 与 同阶, 求 k( ) A. B. C. D.4. y sin cos (, ) 的拐点坐标 A., B., C., D. (, ). 下列反常积分发散的是
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标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.
CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn
CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458
民國八十九年台灣地區在校學生性知識、態度與行為研究調查
84 年 台 灣 地 區 在 校 學 生 性 知 識 態 度 與 行 為 研 究 調 查 過 錄 編 碼 簿 題 號 變 項 名 稱 變 項 說 明 選 項 數 值 說 明 備 註 i_no 學 生 編 號 問 卷 流 水 號 location 學 校 所 在 縣 市 編 號 1 台 北 市 2 基 隆 市 3 台 中 市 4 台 南 市 5 高 雄 市 6 新 竹 市 7 嘉 義 市 21 宜 蘭
未完成的追踪（提纲）
87 51 1993 11.19 CHICCO 1989 1993 11 19 400 87 51 200 CHICOO 1 1993 95 1998 1999 6 97 20 5 6 14 6 8 11 18 / 45 27 5 2 2000 5 / 12 / 30 5 8 7 8 22 / 27 10 6 40 27 ( ) 1999 7 ( ) 4 X 92 95 -- 64.7% 3 25
线性代数
线性代数 同济五版 高景利 南阳师范学院数学与统计学院 目 录 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性相似矩阵及二次型 目录 第一章行列式 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 二阶与三阶行列式全排列及其逆序数 阶行列式的定义行列式的性质行列式按行 ( 列 ) 展开克拉默法则 学习基本要求 第一章行列式. 了解排列 逆序的概念,
CIP /. - 1999.1 ISBN 7-81059-300-! ". #. - - - - $. D909.5-44 CIP 1999 00865 100038 850 1168 1/32 8 200 1999 1 1 2003 3 1 2003 3 1 0001-5000 180.00 15.00 !! 2003 2 1998!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
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2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \s
2017~2018 学年广东广州白云区白云广雅实验学 校初二下学期期中数学试卷 一 单项选择题 ( 每小题 2 分, 共 20 分 ) 1 下列根式中, 是最简二次根式的是 ( ). A. \sqrt{0.2b} B. \sqrt{12a-12b} C. \sqrt{{{x}^{2}}- D. \sqrt{5a{{b}^{2}}} {{y}^{2}}} 2 如图, 在平行四边形 ABCD 中,CE
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
版权所有抄袭必究 l AC : ( ) ( )( x ) l AC : x 答案 C 解析 两点的直线方程为 x +, 利用均值不等式矩形面积的最大值可以求出 x + x x 值, x,, 上课说过多次, 两坨东西相加为定值, 这两坨东西相等有最 6 解析 根据题意设抛
版权所有抄袭必究 www.huajie.com 第十二章解析几何 注 以下解题过程仅参考 解析 条件() 把点带入曲线方程得到 a + b, 所以 ( a + b )( a b ) 充分, 条件 () 把点带入曲线方程得到 a b 7, 不充分 x 解析 条件 () 将点 (, ) 带入直线 + 得 a b a, 即 a 带入 x x, x a a 充分. 条件 () 将 x 带入方程 a 得 a,
2008年全国初中数学联合竞赛
州奥林教育 05 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数 一 选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7 分 ) 第一试 () b
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! # ! # 第 吕玉 琦 等 人 体 心 脏 的 三 维 超 声 成 像 期 左 心 室边界 轮廓 的 校 正 由于 采 集 幅 图 象时 探 头 位 置 及 角度 稍 有变 化 就 会 导 致 幅 图象 的 心 尖 位置 及 左 心 室 长 轴 位置 在 图象 中 不 重合 因 此 必 须 进 行轮 廓 校 正 校 正 以 第 幅 二 维超 声 心 动 图 为 标 准 对 后 续的 幅 图 象
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A B C D A B C D A B C D a a b c x x x x x x x x x x x x x x x x x a b c x a x x x x x x x x x x a b a b a b x x x x x x x x x x x x A B C A B C A B A B A x B C x D A B C a b c a b x x x x x x x A B A
00.S72
普通高等教育 十一五 国家级规划教材 空间解析几何 ( 新版 ) 李养成编著 北京 内容简介本书内容包括向量代数 空间的平面与直线 常见的曲面 二次曲面的一般理论 正交变换和仿射变换. 本书结构紧凑, 突出了解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 注意展现数学知识的发生过程和数学问题解决的思维过程, 注重思维训练和空间想象能力的培养. 本书表达清晰, 论述深入浅出, 力求使读者便于学习领悟. 书末附有习题答案与提示,