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2 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 应用微积分 ( 下册 ) 刘春凤主编 米翠兰彭亚绵副主编 刘琳琳袁书娟参编 北京

3 内容简介枟应用微积分枠面向接受高等教育的成人和大中专学生 内容主要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 选编了向量代数 空间解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书结构严谨 逻辑清晰 ; 约简理论推导 强调方法阐述 注重几何直观 ; 力求通俗易懂 宜于自学 ; 其中适度嵌入了与微积分相关的数学实验, 意在提高读者应用微积分解决实际问题的能力 本书可作为高等工科院校继续教育或大专教育的教材, 也可作为工程技术人员的参考书 图书在版编目 (CIP) 数据应用微积分 ( 下册 ) / 刘春凤主编 北京 : 科学出版社, 2010 畅 2 ( 高等教育 十一五 规划教材 高职高专公共课教材系列 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 唱 0 Ⅰ 畅 1 应 Ⅱ 畅 1 刘 Ⅲ 畅 1 微积分高等学校 : 技术学校教材 Ⅳ 畅 1 O172 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2010) 第 号责任编辑 : 沈力匀张斌 / 责任校对 : 柏连海责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 出版 北京东黄城根北街 16 号邮政编码 : ht tp :// w w w scencep co m 科学出版社发行各地新华书店经销 印刷 倡 2010 年 2 月第 一 版 开本 : / 年 2 月第一次印刷印数 : 印张 : 8 3/4 字数 : 定价 : 16 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙枛 ) 销售部电话 010 唱 编辑部电话 010 唱 ( V P04) 版权所有, 侵权必究 举报电话 : 010 唱 ; 010 唱 ; 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo

4 编委会 主任刘保相副主任金殿川编委刘春凤万星火肖继先张春英徐秀娟魏明军阎红灿李丽红

5 前 言 17 世纪牛顿 莱布尼茨创立了以变量为研究对象的微积分学, 经过几个世纪, 现 在的微积分内容丰富 体系完整 应用广泛, 它作为现代数学知识的最大的公因子而当 之无愧地成为高等院校一门重要的公共基础课 目前微积分学涉及几乎所有的科技领 域, 已成为科技工作者强有力的工具, 正像德国哲学家 J F Herbrt (1776 ~ 1841) 所 说 : 谁要是不用数学来为自己服务, 那有朝一日他就会发现, 别人正在用数学来同自 己对抗 自 1969 年起建立的诺贝尔经济学奖的得主有半数以上得益于有效的应用现代 数学知识 可以说, 一个人如果能掌握微积分思想和方法, 无论在哪个领域工作, 这一 宝藏都能使他受益终身 枟应用微积分枠是专门为成人接受高等教育和大中专学生而编写的教科书, 内容主 要为一元函数微积分, 考虑到不同读者应用微积分的需要, 我们选编了向量代数 空间 解析几何 无穷级数和常微分方程的初步知识 本书尽量努力吸收当前枟高等数学 ( 微积分 ) 枠教学改革成果, 遵循教育部微积分 课程教学基本要求, 力求适合素质教育, 培养学生的创新精神 应用意识 通过本书的 学习, 使学生系统地获得高等数学的主要基本知识, 掌握必要的基础理论和常用的计算 方法, 培养学生的抽象概括问题的能力 自学能力 较熟练的运算能力以及综合运用所 学知识分析问题和解决问题的能力, 为学生学习后续课程和进一步获得专业知识奠定必要的数学基础 此外, 本书适应分层次教学需求, 突出重点 详略得当 通俗易懂, 例题具有典型性, 既便于教师讲授, 更利于学生自学 本书的教学参考时数为 128 学时, 数学实验的内容可选讲, 也可让学生课后自学 枟应用微积分枠 ( 上 下 ) 的完成, 归功于多年从事基础数学教学的马醒花副教授 米翠兰副教授的丰富教学经验, 得益于年富力强的杨爱民和彭亚绵两位老师的辛勤工作, 得力于徐志元 梁彦冰 刘琳琳 袁书娟几位老师的全力协助 编者时间仓促, 水平有限, 纰误之处, 恳请读者指正 科学出版社 职教技术出版中心 wwwboo

6 目 录 ( 下册 ) 前言 第 7 章空间解析几何与向量代数 1 7 畅 1 空间直角坐标系 1 7 畅 1 畅 1 空间点的直角坐标 1 7 畅 1 畅 2 两点间的距离公式 3 7 畅 2 向量及其加减法数与向量的乘积 4 7 畅 2 畅 1 向量的概念 4 7 畅 2 畅 2 向量及其加减法 5 7 畅 2 畅 3 数与向量的乘积 6 7 畅 3 向量的坐标 7 7 畅 3 畅 1 向量的坐标 7 7 畅 3 畅 2 向量的坐标运算 8 7 畅 4 数量积与向量积 11 7 畅 4 畅 1 数量积 11 7 畅 4 畅 2 数量积的坐标表示 12 7 畅 4 畅 3 向量积 13 7 畅 4 畅 4 向量积的坐标表示 14 7 畅 5 平面及其方程 16 7 畅 5 畅 1 平面方程的几种类型 17 7 畅 5 畅 2 两平面的位置关系 20 倡 7 畅 5 畅 3 点到平面的距离 21 7 畅 6 空间直线及其方程 23 7 畅 6 畅 1 直线方程的几种类型 23 7 畅 6 畅 2 两直线的夹角 25 7 畅 6 畅 3 直线与平面的位置关系 26 7 畅 6 畅 4 点到直线的距离 27 倡 7 畅 6 畅 5 杂例 28 7 畅 7 曲面及其方程 30 7 畅 7 畅 1 一般曲面 30 7 畅 7 畅 2 旋转曲面 31 7 畅 7 畅 3 柱面 32 7 畅 7 畅 4 二次曲面 34 数学实验五 41

7 v 应用微积分 ( 下册 ) 第 8 章无穷级数 45 8 畅 1 常数项级数的概念和性质 46 8 畅 1 畅 1 常数项级数的概念 46 8 畅 1 畅 2 级数收敛的必要条件 48 8 畅 1 畅 3 收敛级数的基本性质 49 8 畅 2 常数项级数的审敛法 50 8 畅 2 畅 1 正项级数及其审敛法 51 8 畅 2 畅 2 任意项级数及其审敛法 54 8 畅 3 幂级数 58 8 畅 3 畅 1 函数项级数 58 8 畅 3 畅 2 幂级数及其收敛性 59 8 畅 3 畅 3 幂级数的运算性质 63 数学实验六 66 第 9 章常微分方程 71 9 畅 1 微分方程的基本概念 71 9 畅 2 一阶微分方程 74 9 畅 2 畅 1 可分离变量的微分方程 75 9 畅 2 畅 2 齐次微分方程 76 9 畅 2 畅 3 一阶线性微分方程 78 9 畅 2 畅 4 伯努利方程 80 9 畅 3 可降阶的高阶微分方程 83 9 畅 3 畅 1 y (n) f( x) 型微分方程 83 9 畅 3 畅 2 y f( x, y ) 型微分方程 83 9 畅 3 畅 3 y f( y, y ) 型微分方程 84 9 畅 4 二阶线性微分方程解的结构 86 9 畅 4 畅 1 二阶齐次线性微分方程解的结构 87 倡 9 畅 4 畅 2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 88 9 畅 5 二阶常系数线性微分方程 90 9 畅 5 畅 1 二阶常系数齐次线性微分方程 90 倡 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 9 畅 5 畅 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 93 数学实验七 98 习题参考答案 ( 下册 ) 103 附录 109 附录 1 常用的初等数学公式 109 附录 2 积分表 112 附录 3 Mthemtc 简介 120 主要参考文献 132

8 第 7 章空间解析几何与向量代数 笛卡儿的解析几何与牛顿 莱布尼茨的微积分已被扩张到罗巴切夫斯基 黎曼 高斯和塞尔维斯托的奇异的数学方法中 ( 这种扩张比哲学史上所记载的任何一门学科的扩张更大胆 ) 事实上, 数学不仅是各门学科所必不可少的工具, 而且它从不顾及直观感觉的约束而自由地飞翔着 尼古拉斯 默里 巴特勒 17 世纪前半叶产生了一门全新的几何学 解析几何 法国数学家笛卡儿 (Descrtes Rene,1596 ~ 1650) 是解析几何的主要创立者 解析几何把 数 和 形 统一起来, 从而实现了既可以用代数的方法解决几何问题, 也可以用几何的方法解决代数问题 因此, 解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义 空间解析几何的任务是用代数的方法研究空间图形的性质 本章将引进向量概念和向量的代数运算, 以向量为工具研究平面和空间直线, 然后介绍常用的空间曲面 7 畅 1 空间直角坐标系 感觉到数学的美, 感觉到数与形的协调, 感觉到几何的优雅, 这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉 庞加莱学习欧几里得几何是我一生中的大事 它使我像初恋一样入迷 我没有想到世界上竟有如此有趣的东西 罗素 平面解析几何是通过坐标使平面上的点与一对有序数组一一对应, 它使平面上的曲 线与含有两个未知数的代数方程之间建立了联系, 借助于代数方法确定平面上点的位置 研究几何图形 解决几何问题 类似地, 我们把平面解析几何的思想推广, 通过建立三维 空间的直角坐标系, 沟通空间图形和数之间的联系, 这就是我们将要研究的空间解析 几何 7 畅 1 畅 1 空间点的直角坐标 定义 7 畅 1 在空间选某定点 O, 以 O 为原点作三条相互垂直且具有相同长度单位的 数轴, 分别称为 x 轴 y 轴和 z 轴 ( 亦称为横轴 纵轴和竖轴 ), 它们的相互位置遵循右手 法则 ( 即用右手握住 z 轴, 当右手的四个手指从 x 轴的正方向以逆时针方向转 π 时, 正 2

9 2 应用微积分 ( 下册 ) 好是 y 轴的正方向, 那么大拇指就指向 z 轴的正方向, 见图 7 畅 1), 这样确定的坐标系称 为空间直角坐标系, 记作 Ox y z, 点 O 称为坐标原点, 一般将 x 轴 y 轴放置在水平面 上, z 轴垂直于水平面, 如图 7 畅 2 所示 图 7 畅 3 图 7 畅 1 图 7 畅 2 三条坐标轴中每两轴所确定的平面称为坐标平 面, 简称坐标面 具体讲, x 轴与 y 轴所确定的坐标 面称为 xoy 面, 类似地, 有 yo z 面 zox 面 这些坐 标面把空间分成八个部分, 每一部分称为一个卦限, 从而把空间分成 8 个卦限, 由 x 轴 y 轴和 z 轴的正 方向所确定的卦限叫第一卦限, 其他在 xoy 面上方, 按逆时针顺序依次为第二 三 四卦限, 记为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 卦限, 分别在它们下面的卦限记为 Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 卦限, 如图 7 畅 3 所示 设 M 为空间的任意一点, 过点 M 分别作垂直于 三条坐标轴的平面, 与三条坐标轴分别交于 P Q R 三点, 如图 7 畅 4 所示 设 x y z 分 别是它们在 x 轴 y 轴和 z 轴上的坐标 这样, 空间内任一点 M 就确定了唯一的一组有 序数组 ( x, y, z), 称为点 M 的坐标, 记为 M( x, y, z), 数 x, y, z 分别称为横坐标 纵 坐标和竖坐标 反之, 任给出一组有序数组 ( x, y, z), 它们分别在 x 轴 y 轴和 z 轴上对应的点为 P Q R, 过这三点分别 作垂直 x 轴 y 轴和 z 轴的平面, 这三个平面交于 M 点, 这样一组有序数组就确定了空间内唯一的一个点 M, 而点 M 的坐标为 ( x, y, z) 因此, 我们就建立了空间一点与一 组有序数 ( x, y, z) 之间的一一对应关系 空间一些特殊点 的坐标及 8 个卦限内点的坐标符号见表 7 畅 1 和表 7 畅 2 表 7 畅 1 图 7 畅 4 坐标面的点坐标轴上的点原点 位置 x O y 面上 yo z 面上 z O x 面上 x 轴上 y 轴上 z 轴上 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 坐标 A( x, y, 0) B(0, y, z) C( x, 0, z) P( x, 0, 0) Q(0, y, 0) R(0, 0, z) O(0, 0, 0) 特征竖标为 0 横标为 0 纵标为 0 仅横标非 0 仅纵标非 0 仅竖标非 0 坐标均为 0

10 第 7 章空间解析几何与向量代数 3 表 7 畅 2 卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 坐标符号 ( +,+,+ ) ( -,+,+ ) ( -,-,+ ) ( +,-,+ ) ( +,+,- ) ( -,+,- ) ( -,-,- ) ( +,-,- ) 共性竖标为正竖标为负 7 畅 1 畅 2 两点间的距离公式 设点 P1 ( x1, y1, z1 ) 和 P2 ( x2, y2, z2 ) 为空间中任意两点, 求它们之间的距离 d 过 P1 和 P2 分别作三个垂直于坐标轴的平面, 这六个平面围成一个以 P1 P2 为对角线的长 方体, 如图 7 畅 5 所示 易知 d P1 P2 P1 N 2 + P2 N 2 ( P1 NP2 为直角三角形 ) P1 M 2 + MN 2 + P2 N 2 ( P1 MN 为直角三角形 ) ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 + ( z2 - z1 ) 2 (7 畅 1) 这就是空间两点间的距离公式, 如图 7 畅 5 所示 特别地 : 点 M( x, y, z) 到原点 O(0,0,0) 间的距离为 d0 O M x 2 + y 2 + z 2 例 7 畅 1 求点 P1 (1, - 2, 0) 与点 P2 (4, 2, 1) 之间的 距离 解 P1 P2 (4-1) 2 + [2 - ( - 2)] 2 + (1-0) 2 图 7 畅 例 7 畅 2 设点 P 在 x 轴上, 它到点 P1 (0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0, 1, - 1) 的 距离的 2 倍, 求点 P 的坐标 解 因为 P 在 x 轴上, 设 P 点坐标为 ( x,0,0), PP1 x 2 + ( 2 ) x ; PP2 x 2 + ( - 1) x 因为 PP1 2 PP2, 所以 x x 2 + 2, 解方程得 x ± 1, 所求点 P 的坐标为 (1,0,0) 或 ( - 1,0,0)

11 4 应用微积分 ( 下册 ) 习题 7 畅 1 1 畅指出下列各点在坐标系中有何特点? A(3,0,0) ; B(0,4,0) ; C(0, - 7,3) ; D(3,0,2) 2 畅自点 P(, b, c) 分别作各坐标面的垂线, 写出坐标面上各垂足的坐标 3 畅设点 P 在第一卦限, OP与三个坐标轴的正方向成等角 α, 且 OP的模为 m, 试写 出 P 点的坐标 4 畅求点 P(4, - 3,2) 到坐标原点和到各坐标轴的距离 5 畅求下列各对点之间的距离 (1)(2,3,1),(5,3,5) ; (2)(4,3,1),(7,1,2) 6 畅指出下列各点在哪一卦限? A(2, - 1,1) ; B( - 1,2,5) ; C(3,1, - 4) 7 畅 2 向量及其加减法数与向量的乘积 数学的优美感, 不过是问题的解答适合于我们心灵需要而产生的一种满足 庞加莱 7 畅 2 畅 1 向量的概念 定义 7 畅 2 既有大小又有方向的量叫做向量 ( 或矢量 ) 例如位移 速度 力等 图 7 畅 6 我们常用有向线段来表示向量, 以 A 为起点, B 为终点的有向线段 所表示的向量记为 A B 个箭头来表示向量, 如,b,c 或, 也可以用一个黑体字母或用一个字母上面加一 向量的大小称为向量的长度或模, 用 定义 7 畅 3( 几个特殊向量 ), b, c 等 如图 7 畅 6 所示 A B 或 表示 零向量长度为零的向量称为零向量, 用 0 或 0 表示, 零向量的始 点与终点重合, 因此, 零向量的方向为任意 自由向量我们只研究与起点无关的向量, 即向量仅与模 方向有关, 而与起点的 位置无关, 称这种向量为自由向量 就是说, 起点不同而大小 指向均相同的有向线段都 表示同一个向量, 所以, 向量具有平移不变性 0 记作 单位向量长度是 1 的向量称为单位向量 与非零向量同方向的单位向量与 同方向的单位向量 基本单位向量以原点为起点, 分别与 x 轴 y 轴 z 轴 正向一致的单位向量称为基本单位向量, 记作 图 7 畅 7 所示, 如 向径在直角坐标系中, 以原点 O 为起点, 点 M 为终点 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 图 7 畅 7

12 第 7 章空间解析几何与向量代数 5 的向量称为点 M 的向径 ( 或矢径 ), 记作 r 或 OM, 显然, 空间的点与它的矢径一一对应 作 b 定义 7 畅 4( 两个向量的关系 ) 相等方向相同, 模相等的两个向量 和 b 称为相等, 记作 相反方向相反, 模相等的两个向量 和 b称为互为相反的向量 ( 或互为负向量 ), 记 - 平行两个非零向量 和 b 作 b b, 如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行, 记 注 :(1) 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线 上, 因此, 两向量平行又称两向量共线 (2) 规定零向量与任何向量都平行 两个向量的夹角设有两个非零向量 和 b, 任取空间一点 O, 作 O A, OB b, 规定 A OB φ(0 φ π), 称 φ 为向量 与 b的夹角, 如图 7 畅 8 所示, 记为 (, b) 或 ( b, ) 如果向量 和 b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在 0 与 π 之间任意取值 垂直若非零向量 和 b 向量与任何向量都垂直 7 畅 2 畅 2 向量及其加减法 到 b 1 畅向量的加法 定义 7 畅 5 设有两向量 和 b 的终点的向量叫做 和 b 也可以用另一法则来定义, 将 b 的夹角 (, 将 b, b 边形, 则由始点到对顶点的向量称为 图 7 畅 10 所示 ) π 2, 则称向量 与 b 图 7 畅 8 垂直, 记作 b, 规定零 平行移动使其起点与 的终点重合, 则由 的起点 之和, 记为 + b, 这种方法称为三角形法则, 如图 7 畅 9 所示 平行移动使它们的起点重合, 作以 b为邻边的平行四 与 b之和, 这种方法称为平行四边形法则, 如 注 :(1) 向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是相同的 (2) 三角形法则可以推广到 n 个向量 1, 2,, n 求和, 法则是 : 使前一向量的 终点作为次一向量的起点, 相继做向量 1, 2,, n, 再以第一向量的起点为 起点, 最后一向量的终点为终点做一向量, 这个向量即为所求的和 如图 7 畅 11 所示 向量的加法满足下列运算规律 : (1) 交换律 + b b (2) 结合律 ( + b) + c + + ( b c) n 交换律可从平行四边形法则得到, 结合律可从三角形法则得到, 如图 7 畅 12 所示

13 6 应用微积分 ( 下册 ) 图 7 畅 9 图 7 畅 10 图 7 畅 11 2 畅向量的减法 图 7 畅 12 定义 7 畅 6 设有向量 - b 如图 7 畅 13 所示 λ 图 7 畅 13 λ 时, 则有 λ 0 上去 b和 c, 若有 b + c 利用向量加法的三角形法则, 特别地, 有 畅 2 畅 3 数与向量的乘积 和, 则定义 c - b + ( - ) 0 - b 就是把 b 为 与 b 之差, 记作 的负向量加到向量 定义 7 畅 7 向量 与实数 λ 的乘积仍是一个向量, 记作 λ, 且有, 它的方向当 λ > 0 时与 数与向量乘积满足下列运算规律 : (1) 结合律 λ( μ (2) 分配律 (λ + μ) λ( 其中 λ, μ 均为实数 ) μ(λ ) (λμ) ; λ + μ ; + b) λ + λ b 两个向量平行的充要条件是存在一个实数 λ 使得 积的定义中得到证明 相同, 当 λ < 0 时与 相反, 当 λ 0 或 0 例 7 畅 3 A BC 中 ( 图 7 畅 14), 点 D E 分别为边 BC A C 的三等分点, 设 A B 向量 A D 所以 BE, BC b, C A c 解 由向量三角形法则, 知 同理, AD AD AB + BD AB, 试用向量 b, BC λ b, 这个结论易从数与向量乘 b 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 和 c ; 表示 图 7 畅 14

14 第 7 章空间解析几何与向量代数 7 BE BC + CE BC CA b c 例 7 畅 4 指出下式的几何意义是什么? + b + c 0 解 + b + c 0 表示把, b 个向量的终点重合, 于是, 或者, b, c, c 三个向量首尾相连时, 第一个向量的起点与第三 共线, 或者 习题 7 畅 2, b, c为边构成一个三角形 1 畅设 M N P 分别是 ABC 的三个边 AB BC CA 的中点, 已知 A B C A c, 求 A N B P CM 2 畅在平行四边形 A BCD 中, 设 A B M D 3 畅设 m, A D b, 这里 M 是平行四边形对角线的交点 + b + 3 c, n - 2 b + 3 c, 试用 b, 试用 c 表示 3 m, BC b表示向量 M A, M B - 2 n b,, MC, 4 畅用向量方法证明 : 三角形的中位线平行于底边, 且它的长度等于底边长度的一半 5 畅在 A BC 中,D 是 BC 边上一点, 若 A D 1 2 ( A B + A C), 证明 D 是 BC 的中点 7 畅 3 向量的坐标 难道不可以把音乐描绘成感觉的数学, 而把数学描绘成理性的音乐吗? 这样, 音乐家感觉到数学, 数学家想到音乐 音乐是梦想, 数学是工作的一生 每一方都经由对方达到尽善尽美的境地, 那时, 人类的智慧达到完美的典型, 将在某个未来的莫扎特 狄利克雷或贝多芬 高斯的歌颂下而光彩夺目 这种联合已经在一个赫姆霍尔兹的天才和工作中清楚地预示出来了 希尔弗斯特 7 畅 3 畅 1 向量的坐标 我们知道, 空间的向径和空间的点一一对应, 也就 是说, 任取空间一个向径 OM, 存在唯一的数组 M( x, y, z) 与向径 OM 的终点相对应 ; 反之, 任取点 M( x, y, z), 必有唯一的向径 OM 我们称 { x, y, z} 为向量 z}, 如图 7 畅 15 所示 的坐标, 记作 与之对应, 记 OM OM, { x, y, 过 M 点作三个平面分别与 Ox 轴 Oy 轴 O z 轴垂 直, 设垂足 ( 与坐标轴的交点 ) 分别为 P Q R, 则 P 在 Ox 轴上的坐标为 x, Q 在 Oy 轴上的坐标为 y, R 在 Oz 图 7 畅 15

15 8 应用微积分 ( 下册 ) 轴上的坐标为 z 于是由图 7 畅 15 可见 利用向量加法法则, OP 我们称 x + y OP + PM + z x + M M ; OQ OP y + OQ ; OR + OR z x + y + z 为向量 的坐标表示式 ( 亦称基本分解式 ), 并简记为 (7 畅 2) { x, y, z} (7 畅 3) 注 :(1) ( x, y, z) 表示点,{ x, y, z} 表示向量, 请注意区别 (2) x + y 向量 + z 中, x, y, z 分别称为向量 在 x 轴 y 轴和 z 轴的分 (3) 如果向量的起点不在坐标原点 O, 设向量 M1 M2 的起点 M1 ( x1, y1, z1 ), 终 点 M2 ( x2, y2, z2 ), 向径 OM1 么由向量的减法 M1 M2 OM2 - OM1 x1 ( x2 + y1 - x1 ) + z1 + ( y2, OM2 x2 - y1 ) + ( z2 + y2 + z2 - z1 ), 那 { x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 } (7 畅 4) 即向量 M1 M2 的坐标等于终点 M2 的坐标与起点 M1 的坐标之差 7 畅 3 畅 2 向量的坐标运算 的运算 则 有了向量的坐标表示式, 向量的加法 减法和数与向量的乘法运算等都可以化为数 设 向呢? λ ± b x ( x ( x + y + y ± bx ) + z + z + ( y, b bx ) ± (bx ± by ) + by + by + ( z + bz + bz ± bz ) { x ± bx, y ± by, z ± bz } (7 畅 5) λ x + λ y + λ z {λ x, λ y, λ z } (7 畅 6) 由此可见, 对向量进行线性运算, 只需对向量的坐标分别进行相应的运算即可 例 7 畅 5 已知向量 {2,1,4}, b { - 1,3,4}, 求 2 解 2 + b 2{2,1,4} + { - 1,3,4} {3,5,12} 3 - b 3{2,1,4} - { - 1,3,4} {7,0,8} + b ) 和 3 向量由模和方向确定, 若已知向量的坐标表示式, 如何用坐标表示它的模和方 作 OM, 如图 7 畅 15 所示, 点 M 的坐标为 ( x,y,z), 则有 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo - b

16 第 7 章空间解析几何与向量代数 9 于是向量 的模坐标表示式为 O M x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 (7 畅 7) 定义 7 8 非零向量 与三个坐标轴正方向之间的夹角 α,β, γ, 称为向量 的方向角,cosα,cosβ,cos γ 称为向量的方向余弦 显然, 非零向量 的方向可由该向量的方向角或方向余弦来 表示, 如何求其方向余弦呢? 由图 7 畅 16 可得 ( OM P 为直角三角 形 ) 同理可得 显然 cosα x OM cosβ cos γ x x 2 + y 2 + z 2 x ; y x 2 + y 2 + z 2 z x 2 + y 2 + z 2 即任一非零向量的三个方向余弦的平方和等于 1 由方向余弦的表达式, 我们还可以得出 0 这就是说 中 0 y, z 图 7 畅 16 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1 (7 畅 8) 1 { x, y, z} {cosα,cosβ,cos γ} (7 畅 9) {cosα,cosβ,cosγ} 恰表示 的方向 于是我们常把 分解为 0 表示 的大小, {cosα,cosβ,cosγ} 表示 的方向 例 7 畅 6 设已知两点 A(2,2, 2 ) 和 B(1,3,0), 计算向量 A B的模 方向余弦及 与 A B方向一致的单位向量 解 A B {1-2,3-2,0-2 } { - 1,1, - 2 }, 模 方向余弦 AB ( - 1) ( - 2 ) 2 2 ; 0 其 cosα - 1 2, cosβ 1 2, cosγ ; 与 A B方向一致的单位向量 AB AB - 1 2, 1 2, - 2 2

17 10 应用微积分 ( 下册 ) 例 7 畅 7 设向量的方向余弦 cosβ 1 2,cosγ 1 2, 且 3, 求向量 的坐标 解 因方向余弦有如下关系 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1, 所以 cosα ± 1 - cos 2 β - cos 2 γ ± ± 1 2 x cosα ± 3 2 ; y cosβ 3 2 ; z cosγ 3 2 ; 即 3 2, 3 2, 3 2 或 - 3 2, 3 2, 3 2 例 7 畅 8 设向量 的三个方向角都相等, 求其方向余弦 解 设向量 的方向角为 α β γ, 则有 由 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 3cos 2 α 1, 从而 因此向量 的方向余弦为 cosα cosβ cosγ 3 3 α β γ, cosα ± 3 3, 或 cosα cosβ cosγ 习题 7 畅 3 1 畅设 A(1, - 1,2), B(1,1,0), C( - 1,4,2), 求 A B 2 畅已知向量 畅设 , b + 轴上的分向量 4 畅设 , 求 + 3 BC - 4 C A, 始点为 ( - 1, - 2,3), 求向量 的终点坐标 - 3, c - - 及 的方向余弦 + 2, 求 b 5 畅已知点 A(3,3,2) 和 B(4,5,0), 求与 A B方向一致的单位向量 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo - c 在 x y z 6 畅设向量 的方向余弦 cosβ 2 3,cos γ 2 3, 3, 求向量 的坐标

18 第 7 章空间解析几何与向量代数 11 7 畅 4 数量积与向量积 我们能够期待, 随着教育与娱乐的发展, 将有更多的人欣赏音乐与绘画 但是, 能够真 正欣赏数学的人数是很少的 贝尔斯 前面我们讨论了向量的加法运算和数乘运算, 那么两个向量可以相乘吗? 回答是肯 定的, 但有两种形式, 即数量积和向量积, 它们来源于两个不同的物理问题, 是向量代 数中最基本且应用广泛的两种运算 7 畅 4 畅 1 数量积 在力学中我们有这样一个问题, 就是当物体在常力 F的作用下产生位移 s时, 求这个 力所做的功 如果物体移动的方向和力的方向一致, 那么这力所做的功就等于力的大小 与物体移动的距离的乘积 ; 如果移动的方向和力的方向不一致, 那么力所做的功为 其中 θ 为 F 与 s 定义 7 畅 9 向量 弦的乘积, 称为 与 b b W 的夹角, 如图 7 畅 17 所示 与 b F s cosθ, 的模与它们之间夹角 θ 的余 的内积 记作 b b 注 :(1) 向量的数量积也称为点积, 即 cosθ (7 畅 10) (2) 向量的数量积的结果是一个常数 (3) 零向量与任何向量的数量积均为零 根据定义 7 畅 9, 上述问题中力 F 数量积具有下述性质 : (1) (2) b 2 骋 b 0 数量积具有下列运算规律 : (1) 交换律 b (2) 分配律 ( b b + c (3) 结合律 (λ ) b (λ 其中 λ, μ 均为实数 所以 ) ( μ b 例 7 畅 9 证明向量 c 证 因为 [( ( c) b c ) b ) λ( b 所做的功是力 F W F + c s b) (λ b) ) λμ( 与向量 ( - ( b c c - ( b c ) ] c c ) b) ) b c - ( b ( c c 与位移 s ) 垂直 )[( b c 图 7 畅 17 的数量积, 即 ) - ( b c)] 0,

19 12 应用微积分 ( 下册 ) [( 例 7 畅 10 2 b + 3 c, b 解 2 (2 b + 3 c ) (2 b c) b 2, + ( b c c + 3 c) 4 b cos π , ) ] c π 1, b与 c的夹角为 3, 求 的模 b c c 所以 37 7 畅 4 畅 2 数量积的坐标表示 设 x 由数量积的运算规律得 b ( x 又 因而 由于 + y x b x + bx y + z bx 互相垂直, 因此 的模都等于 1, 可得 + y b + z + z + x by, b bx ) (bx + y by + z by + x bz + by + by + y bz + z b z 1 ; + bz + bz ; ) 0 ; x b x + y b y + z b z (7 畅 11) 此式表明 : 两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和 易得如下结论 : (1) 两个非零向量 (2) 两个非零向量 例 7 畅 11 设 { 1, 2, 3 }, b {b1, b2, b3 } 相互垂直的充要条件是 1 b1 + 2 b2 + 3 b3 0 ; (7 畅 12) { 1, 2, 3 } 与 b cosθ {b1, b2, b3 } 夹角的余弦 1 b1 + 2 b2 + 3 b , b 2 + 余弦 解 b ( - 2) 1 + ( - 1) 1-1, cos A cosθ b b (7 畅 13) +, 求 b, 与 b 之间的夹角的 例 7 畅 12 A BC 的三个顶点为 A(1, 1, - 1), B(2, 1, 0), C(0, 0, 2), 试求 解 各边对应的向量为 AB {1,0,1} ; AC 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo { - 1, - 1,3}

20 第 7 章空间解析几何与向量代数 13 cos A AB AB AC AC 1 ( - 1) + 0 ( - 1) ( - 1) 2 + ( - 1) 畅 4 畅 3 向量积 设 O 为一根杠杆 L 的支点, 有一个力 F 为 θ, 如图 7 畅 18 所示 由力学知道, 力 F 而 M 的角转向 F 的方向垂直于 OP 指向就是 M 与 F M 作用于这杠杆上 P 点处, F 对支点 O 的力矩是一向量 m OP 所决定的平面, M F snθ, 与 OP, 它的模为 的指向是按右手规则从 OP 来确定的, 即当右手的四个手指从 OP 以不超过 π 的角转向 F 的方向 如图 7 畅 19 所示 的夹角 以不超过 π 时, 大拇指的 图 7 畅 18 图 7 畅 19 由此, 可以抽象出两个向量的向量积概念 定义 7 畅 10 给定向量, b (1) c (2) c (3) c 则称向量 c, c b b 的正向由, 若向量 c snθ, 其中 θ ( ( 垂直于 b 为向量 与 b c, b 满足 :, b) 所决定的平面 ) 按右手规则确定, 如图 7 畅 20 所示 的向量积, 记作 b b 说明 (1) 向量的向量积也称叉积或外积 (2) 向量的向量积是一个向量 (3) b 的几何意义是 : 以 和 b (4) 由向量积的定义, 力矩 M 向量积具有如下性质 : 1 0 ; 2 对于两个非零向量 和 b 向量积满足下列运算规律 : S 磰, 即 图 7 畅 20 为邻边的平行四边形的面积, 即 b snθ (7 畅 14) 等于 OP 与 F 的向量积, 即 M OP F, 有 b 骋 b 0

21 14 应用微积分 ( 下册 ) 1 b 2 ( b - b 3 (λ ) b 其中 λ 为实数 + c) b + c ;( b λ( b) (λ b) + c) b + c 7 畅 4 畅 4 向量积的坐标表示 设 由向量积的运算规律得 由于 因此, b b x 利用行列式上式改写为 或 ( x x b x, ( y b z b + y + bx y + z bx + y + z - z b y ) 由此坐标表达式, 可得到如下结论 若 { 1, 2, 3 }, b b 骋 b y by b z b z + z + x by, b bx ) (bx + y by + z by, + ( z b x - + by + x b z - - x b z ) x y z bx b y b z x bx z b z + by + y bz + z bz 0 + ; + bz, + ( x b y x bx + bz y b y ; ; ) - - y b x ) {b1, b2, b3 } 为两个非零向量, 则有 b1 b2 b3 利用上述结论判别两向量是否平行非常方便 并确定 例 7 畅 13 设 解 b 与 c {2,1,- 1}, b 的位置关系 b {0,0,0} 骋 {1,- 1,2},c b1 1 b2 2 b3 3, {2,- 10,- 6}, 计算 - (7 畅 15) 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo b,

22 第 7 章空间解析几何与向量代数 显然 b 1 2 c, 即 b// c 位向量 因为 所以 例 7 畅 14 设 解 设 c 则 γ 即为所求 {3, - 2, 4}, b b γ 例 7 畅 15 已知 AB, 则 c c 与 c 0 ± c {1, 1, - 2}, 试求与 和 b 都垂直 , ± c ± c {2,1,1}, AC 解 根据向量积的模的几何意义可得 S A B C 1 2 AB 和 b 都垂直的单 { - 1,2,1}, 求 ABC 的面积 AC, 而 AB AC , 因此 S A B C 1 2 ( - 1) 2 + ( - 3) 例 7 畅 16 若, b, c 均为非零向量, 并且 明, b, c 是相互垂直的单位向量 c 证 由 是相互垂直 从而 b c 说明 b, c 又由于, b, c 两两垂直, 所以有 b c b c ; b b b ; 同理, 由 b c c 1 c, b c ; c 为便于读者查阅, 把向量代数的基础知识要点列于表 7 畅 3 中 c, c 说明 b c b b, 即, 证, b,

23 16 应用微积分 ( 下册 ) 表 7 畅 3 概念表示运算 1 畅 { 1, 2, 3 } ; 2 畅 ; 既有方向又有大小的量 3 畅, { cos α, cos β,cos γ },cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1 加减 ± b { 1 ± b 1, 2 ±, 3 ± b 3} 数乘 λ { λ 1, λ 2, λ 3 } 内积 外积 b b b cosθ 1 b b b 1 b 3 b 是一个实数, b 是一个向量, 0 b 的模 S ( 平行四边形的面积 ) b 的方向服从右手法则 平行条件 1 畅 b 骋 b 0 2 畅 b 骋 ; 1 b b 3 垂直条件 1 畅 b 骋 夹角 b 枙, b枛 rccos 0 ; 2 畅 b 骋 1 b b 3 0 b 特殊向量向径 : OM { x, y, z} / b 习题 7 畅 4 1 畅已知向量 (2 2 畅设 - 3 b 余弦 3 已知 4 两向量 5 若 6 畅已知 7 畅证明 :( {4, - 2, - 4}, b + 2 b) ) ( , b {1,2,3}, b {1,2,5}, b 2, b 2, + b) ( 3 5, 且 b - 4 {6, - 3, 2}, 求 + {4,5,0}, 求, 试计算 b b {3,0, m} 相互垂直, 求 m b 3, + b) + ( b, 求 ( - b) ( 8 畅在 xoy 面上求一单位向量, 使它与向量 9 畅平行四边形的两邻边为 , 求 b,b b, 及 + b) ( - b), - b) 2( 2 + b 2 ) - 4,3,7 垂直, b, 与 b 之间的夹角的 , 求该平行四边形的面积 10 畅已知三角形 A BC 的顶点分别是 A (1, 2, 3) B(2, 0, 4) C(2, - 1, 3), 求 A BC 的面积 7 畅 5 平面及其方程 当代数与几何分道扬钅麃时, 它们的进展很缓慢, 应用也有限 但是, 这两门学科一旦 联袂而行, 它们就相互从对方吸收新鲜的活力, 从而大踏步地走向各自的完美 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 拉格朗日 平面和直线是最常见的空间图形, 在本节和下一节我们将以向量代数为工具, 研究空

24 第 7 章空间解析几何与向量代数 17 间平面和直线的方程, 研究面与面 线与线 线与面的位置关系以及点面距离和点线距离 7 畅 5 畅 1 平面方程的几种类型若有包含三个变量的方程 f( x, y, z) 0, 使得平面 π 上的任意一点的坐标 ( x, y, z) 满足该方程 ; 反之, 满足该方程的点 ( x, y, z) 也都在这个平面上, 则称 f( x, y, z) 0 为该平面的方程 定义 7 畅 11 若一非零向量 n 平面 π 的法向量, 如图 7 畅 21 所示 注 :(1) n垂直于平面 π 内的任一向量 与平面 π 垂直, 则称向量 n 为 (2) 法向量不唯一, 与平面垂直的任何向量均可作为法 向量 (3) 三个坐标面的法向量通常取 : xoy 面 : {0,0,1} ; xo z 面 : {0,1,0} ; yo z 面 : {1,0,0} 图 7 畅 21 1 畅平面的点法式方程 由立体几何知道, 过空间一点且垂直于一条定直线可以唯一确定一个平面 其实, 并不一定要求知道已知直线的位置, 只要知道平面的一个法向量即可 设平面 π 通过一定点 M0 ( x0, y0, z0 ), 其法向量为 n 为零 ) 设点 M( x, y, z) 为平面 π 上任意一点, 则有 M0 M M0 M n 因为向量 M0 M { x - x0, y - y0, z - z0 } 及 n 方程 (7 畅 16) 称为平面的点法式方程 化简得 方程 例 7 畅 17 求过点 (1,2,1) 且以 n 0 { A, B, C} ( A, B, C 不全 n, 即 { A, B, C}, 所以有 A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) 0, (7 畅 16) {1,2,3} 为法向量的平面方程 解 根据平面的点法式方程 (7 16), 得所求平面方程为 ( x - 1) + 2( y - 2) + 3( z - 1) 0, x + 2 y + 3 z 例 7 畅 18 一平面过点 A(1, - 5, 1) 和 B(3, 2, - 2) 且平行 y 轴, 求此平面的 解 设所求平面的法向量为 n 因为 AB 量 n 与向量 AB 和 都垂直, 因此, 可取 {2,7, - 3}, {0,1,0}, 由于法向 n AB ; 0 1 0

25 18 应用微积分 ( 下册 ) 根据平面的点法式方程, 得所求平面方程为 即 2 畅平面的一般式方程 3( x - 1) + 2( z - 1) 0, 3 x + 2 z 将平面的点法式方程 A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) 0 变形为 令 D - ( Ax 0 + By0 + Cz 0 ), 则有 这就是平面的一般式方程, 其法向量 n Ax + By + Cz - ( Ax 0 + By0 + Cz 0 ) 0 Ax + By + Cz + D 0 (7 畅 17) { A, B, C} 由方程 (7 畅 17) 可见平面的方程是一 个三元一次方程 反之, 若已知一个三元一次方程, 取此方程的一个任意解 x0, y0, z0, 即 A x0 + By0 + Cz0 + D 0, 解出 D - ( Ax0 + By0 + Cz 0 ), 代入 Ax + By + Cz + D 0 即得 A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 ) 0 这说明, 任何一个三元一次方程都表示一个平面 平面的一般式方程中 A,B,C,D 与平面在坐标系中的位置有什么关系呢? 进一步讨 论如下 ( 图 7 畅 22) : 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 图 7 畅 22

26 第 7 章空间解析几何与向量代数 19 (1) D 0, 平面 π 过坐标原点, 方程为 Ax + By + Cz 0 (2) A D 0, 平面 π 过 x 轴, 方程为 By + Cz 0 A 0,D 0, 平面 π x 轴, 方程为 By + Cz + D 0 ; 法向量 n (3) B D 0, 平面 π 过 y 轴, 方程为 Ax + Cz 0 B 0,D 0, 平面 π y 轴, 方程为 Ax + Cz + D 0 ; 法向量 n (4) C D 0, 平面 π 过 z 轴, 方程为 Ax + By 0 C 0,D 0, 平面 π z 轴, 方程为 Ax + By + D 0 ; 法向量 n (5) A B 0, 平面 π xoy 坐标面, 方程为 Cz + D 0 (6) A C 0, 平面 π xo z 坐标面, 方程为 By + D 0 (7) B C 0, 平面 π y Oz 坐标面, 方程为 Ax + D 0 (8) A B D 0, 平面 π 与 xoy 坐标面重合, 方程为 z 0 (9) A C D 0, 平面 π 与 xoz 坐标面重合, 方程为 y 0 (10) B C D 0, 平面 π 与 yo z 坐标面重合, 方程为 x 0 例 7 畅 19 求通过 y 轴和点 (1, - 2, - 1) 的平面 π 方程 x 轴 y 轴 z 轴 解 所求平面为 π :Ax + By + Cz + D 0, 由于平面通过 y 轴, 故 B D 0, 从而方程为 Ax + Cz 0 又平面过点 P(1, - 2, - 1), 故 A - C 0, 所求方程为 x + z 0 例 7 畅 20 设平面过原点及点 P(6, - 3,2), 且与向量 平面方程 解 设所求平面 π 的法向量为 n,π 的方程为 Ax + By + Cz + D 0 由于平面通过原点, 故 D 0, 又过点 P(6, - 3,2), 所以 又因向量 OP 建立方程组 可解得 A,B,C 的关系为 6 A - 3 B + 2 C 0 {6, - 3,2} 在 π 上, 必有 OP 4 A - B + 2 C 0 6 A - 3 B + 2 C 0 4 A - B + 2 C 0, 从而有 A B C 或 3 A 3 B - 2 C, {4,- 1,2} 垂直, 求此 所求平面的方程为 Cx Cy + Cz 0 即 2 x + 2 y - 3 z 0 3 畅平面的截距式方程 在方程 Ax + By + Cz + D 0 中, 若 A B C D 均不为零, 则有 A - D x + B - D y + C - D z 1,

27 20 应用微积分 ( 下册 ) 令 得 A - D 1 ; B - D 1 b ; C - D 1 c x + y b + z c 1 (7 畅 18) 此式称为平面的截距式方程, b, c 分别称为平面在 x, y, z 轴上的截距 例 7 畅 21 求平行于平面 6 x + y + 6 z 而与三个坐标面所围成的四面体体积 为一个单位的平面方程 所以 图 7 畅 23 所求平面方程为 7 畅 5 畅 2 两平面的位置关系 解 如图 7 畅 23 所示, 设所求平面 π 的方程为 化成截距式为 截距分别为 因体积 V 1, 即 x + y + 6 z D ( D 0) ; x D/6 + y D + z D/6 1 ; D 6, b D, c D 6 D 6 D D 6 D ± 6, 1, 6 x + y + 6 z 与 6 x + y + 6 z 定义 7 畅 12 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 ( 通常取锐角 ) 1 畅两平面斜交 设两平面 π1 :A1 x + B1 y + C1 z + D1 0,π2 :A2 x + B2 y + C2 z + D2 n 0, 它们的法向量分别为 n1 { A1, B1, C1 }, 2 { A2, B2, C2 }, 它们的夹角为 θ, 如图 7 畅 24 所示 按照两向量夹角余弦公式, 夹角 θ 的余弦 2 畅两平面垂直 cosθ 从两向量垂直的条件可推出 n 1 n n1 n 2 2 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 A B C 2 1 A B C 2 2 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 图 7 畅 24 (7 畅 19)

28 第 7 章空间解析几何与向量代数 21 π1 π2 骋 n1 n2 骋 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 0 3 畅两平面平行 平面 π1 π2 骋 n1 n 2 骋 A1 A2 B1 B2 C1 C2 可得 特别地, 当两平面的法向量坐标满足 例 7 畅 22 求下列两平面的夹角 A1 A2 B1 (1) π1 :x - 2 y + 2 z + 1 0,π2 :x - y ; B2 C1 C2 D1 (2) π1 :2 x - y + z - 1 0, π2 : - 4 x + 2 y - 2 z D2 时, 它们就重合了 解 (1) 已知 π1,π2 的法向量为 n1 {1, - 2,2} 和 n2 {1, - 1,0}, 由夹角公式 cosθ n 1 n n1 n 所以两平面夹角 θ π 4 由于 ( - 2) ( - 1) ( - 2) ( - 1) , (2) 已知 π1,π2 的法向量为 n1 {2, - 1,1} 和 n2 {- 4,2, - 2} 所以两平面平行, π1,π2 夹角为零 倡 7 畅 5 畅 3 点到平面的距离 , 空间中点与平面的位置关系只有两种, 点在平面上或点不在平面上, 若点在平面上 则它与平面的距离显然为零, 若点不在平面上, 如何求点到平面的距离? 下面我们给出 一个结论 距离为 设平面 π 的方程为 A x + By + Cz + D 0, 平面外一点 P( x0, y0, z0 ) 到平面 π 的 d Ax0 + By0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 (7 畅 20) 特别地, 设点 M0 ( x0, y0, z0 ) 到 xoy 坐标面的距离为 d xy, 到 yo z 坐标面的距离为 dy z, 到 zox 坐标面的距离为 d zx, 过 M0 ( x0, y0, z0 ) 向三个坐标面引垂线, 垂足分别为 ( x0, y0,0),( x0,0, z0 ),(0, y0, z0 ), 由两点间的距离公式可得 dx y z0, dy z x0, dzx y0 例 7 畅 23 求平面 π1 :x - y + 2 z 与平面 π2 :2 x + y + z 的夹角 θ, 并判别坐标原点到哪个平面距离最近 解 设 π1 和 π2 的法向量分别为 n1 和 n2,n 1 {1, - 1,2}, n2 {2,1,1}, 则有 cosθ n 1 n n1 n ( - 1) ( - 1) ,

29 22 应用微积分 ( 下册 ) 故 θ π 3 设原点到两平面的距离分别为 d1 d2, 则 d ( - 1) , d d1 > d2, 所以平面 2 x + y + z 与原点的距离更近 空间平面的基本知识点如表 7 畅 4 所示 表 7 畅 4 方程方程类 平面上任意一点的坐标所满足的方程 点法式 A( x - ) + B( y - b) + C( z - c) 0 关键 : 一点 : M(, b, c) ; 法向量 : n 截距式 x y + b + z c 1 { A, B, C} 关键 : 一点 : M 1 (,0,0) 或 M 1 (0,b,0) 或 M 1 (0,0,c) 法向量 n A x + By + Cz + D 0 1, 1 b, 1 c 或 n 系数特征平面特征系数特征平面特征 { bc, c, b} A 0 平面 π O x 轴 A B 0 平面 π x O y 平面 型 一般式 B 0 平面 π O y 轴 A C 0 平面 π x O z 平面 C 0 平面 π O z 轴 B C 0 平面 π yo z 平面 D 0 平面 π 过原点 A D 0 平面 π 过 x 轴 平行 条件 B D 0 平面 π 过 y 轴 C D 0 平面 π 过 z 轴 面面平行 π 1 // π 2 骋 n1// n2 骋 A 1 B1 C1 ; A1 B1 C1 D1 时, π 1 π 2 ( 重合 ) A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 D 2 垂直条件面面垂直 π 1 π 2 骋 n1 n2 骋 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 0 夹角 ( 锐角 ) 面面夹角 枙 π 1, π 2 枛骋枙 n1, n 习题 7 畅 5 2 枛 rccos n1 n2 n 1 n2 1 畅一平面通过点 P(2,1,3) 且平行于平面 x + y - 2 z + 8 0, 求此平面的方程 2 畅一平面通过点 P(2, - 5,3) 且平行于 xo z 平面, 求此平面的方程 3 畅求过三点 A(1,1, - 1), B( - 2, - 2,2), C(1, - 1,2) 的平面的方程 4 畅一平面过点 A(1,1,1), B(1,0,2) 且垂直于平面 x + 2y - z 0, 求此平面的方程 5 畅指出下列各平面的特殊位置 : (1) 2 x - 3 y ; (2) y + 2 z 1 ; (3) 3 x + 2 y + z 0 6 畅一平面过点 (1,2,1) 且同时垂直于平面 π1 :x - y + z 8, π2 :3 x + 2 y - 6 z + 6 0, 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo

30 第 7 章空间解析几何与向量代数 23 求此平面的方程 7 畅求 P(1,2,1) 到平面 x + 2 y + 2 z 的距离 8 畅求一平面的方程, 它与平面 6 x + 3 y + 2 z 平行且原点到该平面的距离为 1 9 畅求两平面 2 x - y + z 和 x + y + 2 z 之间的夹角 7 畅 6 空间直线及其方程 数学是我们这个时代 (18 世纪 ) 压倒一切的科学, 它不声不响地扩大着自己的领域 谁要是不用数学来为自己服务, 那有朝一日他就会发现, 别人正在用数学来同自己对抗 7 畅 6 畅 1 直线方程的几种类型 1 畅空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个相交平面的交线 如果两个平面的方程为 π1 :A1 x + B1 y + C1 z + D1 0 ; π2 :A2 x + B2 y + C2 z + D2 0 其中 A1 B1 C1 与 A2 B2 C2 不成比例, 即 A1 A2 B1 B2 C1 不成立 记它们的交线为 L, 那么 L 上任一点的坐标同时满足方程组 C2 A1 x + B1 y + C1 z + D1 0 赫尔巴特 A2 x + B2 y + C2 z + D2 0 (7 畅 21) 如果一个点不在 L 上, 它就不可能满足上面的方程组, 因此 方程组称为直线 L 的一般式 ( 亦称交面式 ) 方程, 如图 7 畅 25 所示 注 :(1) 过直线 L 的平面有无穷多, 任选其中两个平面的 方程联立起来, 都可作为 L 的方程 (2) 特别地, 三个坐标轴的一般式方程分别为 x 轴 : z 0 y 0 ; y 轴 : x 0 z 0 ; z 轴 : x 0 y 0 2 畅空间直线的对称式方程 定义 7 畅 13 如果一个非零向量 v 称为直线 L 的方向向量, 显然, 直线的方向向量有无穷多个 图 7 畅 25 { m, n, p} 平行于一条已知直线 L, 那么向量 v 由立体几何知道, 过空间一点且平行于一条定直线可以唯一确定一个直线, 定义了 方向向量, 就可以说, 过空间一点且方向向量平行于一个定向量可以唯一确定一条直 线 下面我们建立直线的对称式方程 已知直线 L 上一点 M0 ( x0, y0, z0 ) 和直线的方向向量 v {m,n, p}, 求直线 L 的方程

31 24 应用微积分 ( 下册 ) 从而 在直线上任取一点 M( x, y, z), 则向量 M0 M M0 M v, { x - x0,y - y0,z - z0 }, 且有 x - x0 m y - y0 n z - z0 p 我们称式 (7 22) 为直线的对称式方程 ( 亦称标准式方程 ) 3 畅空间直线的参数式方程 (7 畅 22) 在直线方程 x - x0 m y - y0 n 此式称为直线的参数式方程,t 为参数 方程 例 7 畅 24 把直线 L 的一般式方程 z - z0 p x x0 y y0 z z0 中, 如果记其比值为 t, 则有 + mt + nt + pt, (7 畅 23) 3 x + 2 y - 4 z x + y - z 解 先求出直线上的一点, 把 x 0 代入方程, 得 2 y - 4 z y - z 解得 y - 5, z - 4, 所以直线上一点是 M0 (0, - 5, - 4) 再求直线的方向向量 v n2 {2,1, - 1}, 所以 v 所以直线的对称式方程为 参数式方程为 v, 化为对称式和参数式, 已知两方程所表示平面的法向量分别是 n1 {3,2, - 4} n1,v x 2 t n2, 可取直线的方向向量 v x 2 y z ; -, y t ( - < t < + ) z t 例 7 畅 25 求过点 M0 (1,0,5) 与向量 v 解 由题设直线 L 的参数式方程为 x t y - 3 t ( - < t < + ), z 5 + t n1 n2, 所以 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo (2, - 3,1) 平行的直线 L 的方程

32 第 7 章空间解析几何与向量代数 25 而对称式方程为 x y - 3 z 例 7 畅 26 求过两点 A(3, - 5,1) 和 B( - 1,0,2) 的直线 L 的方程 解 设直线的方向向量为 v x - 3-4, 则 v y AB { - 4,5,1}, 直线的对称式方程为 z 例 7 畅 27 直线 L 通过一点 P(0, - 1,3) 且与平面 π1 :3 x - y + 5 z 和平面 π2 :x + 2 y - 3 z 都平行, 求该直线 L 的方程 解 由已知直线 L 与两平面都平行, 直线 L 必垂直于它们的法向量 两平面的法 向量分别为 n1 {3, - 1,5} n2 {1,2, - 3}, 可取直线 L 的方向向量 v 则 所以直线的方程为 化简得 7 畅 6 畅 2 两直线的夹角 v x - 7 y x - 1 y { - 7,14,7}, z z - 3 1, n1 n 两直线的方向向量的夹角 θ( 通常指锐角 ) 称为两直线的夹角 若直线 L1 L2 的方向 向量分别为 v 1 { m1, n1, p1 } 和 v 2 { m2, n2, p2 }, 由两向量的夹角余弦公式得 cosθ v 1 v 2 v 1 v 特别地, 两直线 L1 和 L2 互相垂直的充要条件是 2 两直线 L1 和 L2 互相平行的充要条件是 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 m n p 2 1 m n p 2 2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 0 ; 2, (7 畅 24) 例 7 畅 28 求直线 L1 : x m1 m2 n1 n2 y 1 z 解 直线 L1 和 L2 的方向向量分别为 p1 p2 v1 { - 4,1,1} ; 和 L2 : x + y x - 2 z 0 的夹角 v { - 2,2, - 1}

33 26 应用微积分 ( 下册 ) 所以 设直线 L1 和 L2 的夹角为 θ, 由式 (7 24) 有 cosθ ( - 4) ( - 2) ( - 1) ( - 4) ( - 2) ( - 1) 2 1 2, θ π 4 7 畅 6 畅 3 直线与平面的位置关系 直线和它在平面上的投影直线的夹角 θ 称为直线与平面的夹角 规定 :0 θ π 2, 如图 7 畅 26 所示 图 7 畅 26 为 为 n 特别地, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角 π 2 ; 当直线与平面平行时, 直线与平面的夹角为 0 设直线 L 的方向向量为 v { A, B, C}, v { m, n, p}, 平面的法向量 与 n 的夹角为 φ, 可得 cos φ v v n n, 又 φ π 2 - θ 或 φ π 2 + θ, 则有 所以 snθ 为直线与平面的夹角公式 易得如下结论 : 直线 L 与平面 π 垂直的充要条件是 直线 L 与平面 π 平行的充要条件是 例 7 畅 29 求直线 x 解 平面的法向量为 n 式 (7 25) 得 snθ v 所以 θ rcsn 5 6 v n n snθ cos φ v n, v n Am + Bn + Cp A 2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 (7 畅 25) A m B n C p ; Am + Bn + Cp 0 y z 2 与平面 x - 2 y + z 3 的夹角 θ {1, - 2,1}, 直线的方向向量为 v ( - 1) ( - 2) ( - 1) ( - 2) , 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo {1, - 1,2}, 由

34 第 7 章空间解析几何与向量代数 27 方程 例 7 畅 30 求通过点 P(1, - 1,2) 且垂直于平面 π :x + y - z 的直线 L 的 解 设直线 L 的方向向量为 v 那么所求直线 L 的方程为 7 畅 6 畅 4 点到直线的距离 v n x - 1 1, 平面 π 的法向量为 n {1,1, - 1}, y z - 2-1, 因为 L π, 故 v n, 可取 空间的点与直线有两种位置关系, 即点在直线上或点不在直线上, 若点在直线上则 它与直线的距离显然为零, 若点不在直线上, 如何求点到直线的距离? 下面我们通过例 题来讨论 例 7 畅 31 求点 P0 (3, - 1,2) 到直线 L : x + y - z 的距离 2 x - y + z 解 设直线的方向向量为 v v n1 n , 取 {0, - 3, - 3}, 所以过点 P0 (3, - 1, 2) 且与已知直线 L 垂直的平面方程为 y + z 设直线与平面的交点为 P( x, y, z), 则 即为所求, 如图 7 畅 27 所示 联立方程组 解得交点为 距离 y + z x + y - z x - y + z - 4 0, x 1 ; y ; z 3 2 d P0 P P0 P 图 7 畅 27 特别地, 设点 P0 ( x0, y0, z0 ) 到三个坐标轴的距离分别为 dx dy dz, 过 P0 ( x0, y0, z0 ) 向三个坐标轴引垂线, 垂足分别为 ( x0,0,0),(0, y0,0),(0,0, z0 ), 由两点间的 距离公式可得 dx y z 2 0 ; dy x z 2 0 ; dz x y 2 0 直线的基本知识点如表 7 畅 5 所示

35 28 应用微积分 ( 下册 ) 表 7 畅 5 方程方程类型平行条件 对称式 参数式 两点式 x - m 直线上任意一点的坐标所满足的方程 y - b n z - c p 关键 : 一点 : M 0(, b, c) 方向向量 : v { m, n, p} 系数特征平面特征系数特征平面特征 m 0 p 0 x - x 1 x 2 - x 1 x y z y - b n x z - c p 直线平行于 yo z 平面 x - m z c y - b 直线平行于 x O y 平面 + mt b + nt c + pt y - y 1 y 2 - y 1 z - z 1 z 2 - z 1 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 0 交面式 L : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 0 线线平行 L 1 L 2 骋 v 1 v 2 骋 n n 0 m n 0 关键 : 一点 : M 0(, b, c) 方向向量 : v { m, n, p} 关键 : 一点 : M 0( x 1, y 1, z 1) x - m y b z - c p 直线平行于 x O z 平面 x y b, 直线垂直于 x O y 平面 方向向量 : v { x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1 } 方向向量 : v { A 1,B 1,C 1 } { A 2,B 2,C 2 } 0 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 线面平行 L π 骋 v n 骋 ma + nb + pc 0 倡 垂直 条件 夹角 ( 锐角 ) 7 畅 6 畅 5 杂例 线线垂直 L 1 L 2 骋 v 1 v 2 骋 m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 0 线面垂直 L π 骋 v n 骋 线线夹角 线面夹角 枙 L 1, L 2 枛 枙 v 1, v 枙 L,π 枛 2 枛 rccos π 2 - 枙 v, n枛 rcsn m A n B p C m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 m n p 1 2 m n p 2 2 ma + nb + pc m 2 + n 2 + p 2 A 2 + B 2 + C 2 平面和直线的方程有多种不同形式, 其中重点是平面的点法式和直线的对称式 在 求平面和直线的方程时, 点 和 向量 是确定平面和直线的方程的关键 对具有明显的 几何特征的平面和直线问题, 要从点着手, 借助向量运算工具求出方向向量或法向量并 确定所需的一个点 下面是关于平面和直线的几个杂例 例 7 畅 32 通过点 P(4, - 2,3) 作平面 π : x + 2 y - 3 z 的垂线, 求在平面 π 上的垂足 解 先求垂线的方程 平面 π 的法向量 n 方向向量 v n, 则垂线的参数式方程为 x 4 + t y t z 3-3 t 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo {1,2, - 3},n与垂线平行, 取垂线的 因垂线与平面的交点即是垂足, 把垂线方程中的 x, y, z 代入平面 π 的方程中得

36 第 7 章空间解析几何与向量代数 29 解得 t 1, 则垂足为 (5,0,0) 方程 (4 + t) + 2( t) - 3(3-3 t) - 5 0, 例 7 畅 33 求过点 M( - 1,1, - 2) 且与直线 解 过点 M 且与已知直线垂直的平面方程为 设已知直线与该平面的交点为 N, 令 则 x y ( x + 1) + ( y - 1) + 2( z + 2) 0 x y x t y t z 2 t z 2 t, 代入平面方程, 求得 t 1 3, 从而交点为 N - 7 3, - 5 3, 2 3 是所求直线的方向向量, 因此所求直线的方程 x y z + 2-2, 向量 MN z 2 垂直相交的直线 - 4 3, - 8 3, 8 3 例 7 畅 34 求过点 P(1, - 2,3) 且与两平面 x + y + z 和 2 x - y + 3 z 的交线平行的直线 L 方程 n 解 设所求直线的方向向量为 v 1 {1,1,1}, n 因此所求直线的方程, 根据题意知 v 2 {2, - 1,3} 垂直, 所以可取 v n1 n 2 x y z 例 7 畅 35 求过点 P(1, - 2,3) 且垂直于两直线 的直线的方程 解 由题设直线 L1 L1 : x 1 y - 1 z + 5 ; L2 : x y 一定同时与两平面的法向量 - 3 z - 4 1, L2 的方向向量分别为 {1, - 1,2} 与 {3, - 2,1}, 设所求直 线的方向向量为 { m,n,p}, 由于所求直线与两已知直线分别垂直, 从而有 m - n + 2 p 0 3 m - 2 n + p 0, 解得 m 3 p, n 5 p, p 1, 因此所求直线的方程为 x y z - 3 1

37 30 应用微积分 ( 下册 ) 习题 7 畅 6 1 畅求直线 x - 2 y + z 的对称式方程和参数方程 2 x + y - 2 z 畅一直线通过 A(2,2,- 1) 且与直线 3 畅若直线 4 畅求直线 5 畅求直线 x 3 + t y t z 1-2 t 3 x - y + 2 z 与 z 轴相交, 试求常数 D x + 4 y - z + D 0 x x 畅求通过直线 y - 4 z + 3 和直线 1 7 畅求点 A( - 1,2,- 3) 在直线 x 2 y 平行, 求此直线的方程 z 的夹角 - 1 y - 1 z - 5 和平面 x + y 的夹角 2 2 x - z 0 且垂直于平面 7 x - y + 4 z 的平面 x + y - z x 2 y z + 6 上的垂足 畅一直线通过原点且垂直于平面 x + y - z + 5 0, 求此直线的方程 9 畅求过点 A( - 3,2,5) 且与两平面 x - 4 z 3 和 2 x - y - 5 z 1 的交线平行的直线 方程 10 畅求直线 x y z - 5 与平面 2 x + y + z 的交点 1 7 畅 7 曲面及其方程 几何 理论算术和代数, 在定义 公理和演绎的过程中, 综合了简单性 复合性 严密性 和一般性, 这些特性是其他学科不具备的 7 畅 7 畅 1 一般曲面 休厄尔 类似于平面解析几何中把平面曲线视为动点的轨迹一样, 在空间直角坐标系中, 任何 曲面都可以看作是点的几何轨迹 定义 7 畅 14 若曲面 S 与三元方程 F( x, y, z) 0 有下述关系 : (1) 曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程 F( x, y, z) 0 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F( x, y, z) 0 则曲面 S 就称为方程 F(x, y, z) 0 的图形, 而 F( x, y, z) 0 称为曲面 S 的方程 本节要解决两个基本问题 : 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo (1) 已知曲面 S 上的点所满足的几何条件, 建立曲面的方程, 通过方程的解析性质

38 第 7 章空间解析几何与向量代数 31 来研究曲面的几何性质 ; (2) 已知曲面的方程, 研究曲面的几何形状, 通过图形直观来理解方程 7 畅 7 畅 2 旋转曲面 定义 7 畅 15 平面上以一条曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面, 这条定直线称为旋转轴, 这条平面曲线称为母线, 如图 7 畅 28 所示 旋转曲面的图形非常优美, 日常生活随处可见, 请欣赏如图 7 畅 29 所示的曲面 图 7 畅 28 图 7 畅 29 设在 yoz 坐标面上有一条已知曲线 C, 它的方程为 f( y, z) 0 把这曲线绕 z 轴旋转一周, 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面, 如图 7 畅 30 所示 下面求它的方程 设 M( x, y, z) 为曲面上任一点, 它是曲线 C 上点 M1 (0, y1, z1 ) 绕 z 轴旋转而得到的, 因此有 f( y1, z1 ) 0, 并且 z z1, y1 x 2 + y 2, 图 7 畅 30 从而得 f( ± x 2 + y 2, z) 0 这就是所求旋转曲面的方程 同理, 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f( y, ± x 2 + z 2 ) 0 注 : 对于其他平面上的曲线绕坐标轴旋转, 可做类似的讨论 例 7 畅 36 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面称为圆锥面, 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角 α(0 < α < π 2 ) 称为圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐标原点 O, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 α 的圆锥面, 如图 7 畅 31 所示 解 在 yo z 坐标面内, 直线 L 的方程为 z ycotα,

39 32 应用微积分 ( 下册 ) 图 7 畅 31 只要将方程 z ycot α 中 y 改成 ± x 2 + y 2, 就得到所要求 的圆锥面的方程 或 其中 cot α + y 2 z ± x 2 + y 2 cotα z 2 2 ( x 2 + y 2 ), 特别当 α π 4, 即 1 时, 就得到标准圆锥面 z 2 x 2 例 7 畅 37 将 yo z 坐标面上的抛物线 z y 2 绕 z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲 面的方程 解 根据 f( y,z) 0 绕 z 轴旋转而成的曲面为 f( ± x 2 + y 2,z) 0 这一规律可知, z y 2 绕 z 轴旋转而成的曲面方程就是将曲线方 程中 y 换成 ± x 2 + y 2 ( z 保持不变 ), 得 如图 7 畅 32 所示 z ( x 2 + y 2 ), 注 : yoz 坐标面上的抛物线 z y 2 ( 或 zox 坐标面上的抛物线 z x 2 图 7 畅 32 一周所生成的曲面称为旋转抛物面, 关于一般抛物面的进一步研究将在后面展开 x 2 例 7 畅 38 将 xoz 坐标面上的椭圆 2 成的旋转曲面方程 即 即 解 椭圆 x y2 c 2 + z2 c 2 1 绕 x 轴所生成的旋转曲面方程为 ) 绕 z 轴旋转 1 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周, 求所生 x ( ± y2 + z 2 ) 2 c 2 1 ( x 保持不变,z 换成 ± y 2 + z 2 ), 绕 z 轴所生成的旋转曲面方程为 ( ± x 2 + y 2 ) z2 这两种曲面都被称为旋转椭球面 7 畅 7 畅 3 柱面 x 2 + y2 + z c 2 c 2 1 ( z 保持不变,x 换成 ± x 2 + y 2 ), x 2 + y z2 c 2 1 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线 C 叫做柱

40 第 7 章空间解析几何与向量代数 33 面的准线, 动直线 L 叫做柱面的母线 设有一个不含 z 的方程, 例如 y x 2, 在 xoy 平面上, 它表示顶点在原点, 开口方向为正 y 轴的抛物线, 在空间中, 它表示一个怎样的曲面呢? 注意方程中不含 z, 这样无论空间的点的竖坐标 z 取何值, 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满足方程 y x 2, 这些点就一定落在曲面上 也就是说, 凡是过 xoy 平面上一点 M( x, y,0) 且平行于 z 轴的直线 l 都在这个曲面上, 当 M( x, y,0) 点沿着曲线移动时, 直线 l 就扫出一个母线平行于 z 轴的曲面, 而不在该曲面上的任意一点 P( x, y, z), 它在 xoy 面上的投影 Q 必不在抛物线上, 从而 P( x, y, z) 的坐标就不满足方程 y x 2, 所以方程 y x 2 表示的是母线平行于 z 轴的柱面方程, 如图 7 畅 33 这个曲面称为抛物柱面 类似地, 方程 x 2 + y 2 R 2 表示的是母线平行于 z 轴的圆柱面方程, 如图 7 畅 34 所示 图 7 畅 33 图 7 畅 34 一般地, 在空间解析几何中, 只含 x y 而缺 z 的方程 F( x, y) 0 表示母线平行于 z 轴的柱面, 其准线是 xoy 面上的曲线 C :F( x, y) 0 而方程 G( y, z) 0, H( x, z) 0 分别表示母线平行于 x 轴和 y 轴的柱面 特别地, 方程为二次的柱面统称为二次柱面 常见的二次柱面多是根据它们的准线方程而命名的, 如图 7 畅 35 ~ 图 7 畅 37 所示 图 7 畅 35 图 7 畅 36 图 7 畅 37

41 34 应用微积分 ( 下册 ) 图 7 畅 38 ~ 图 7 畅 41 均为非二次柱面 图 7 畅 38 图 7 畅 39 图 7 畅 40 图 7 畅 41 7 畅 7 畅 4 二次曲面 由前面的研究可知, 三元方程 F( x, y, z) 0 在空间表示曲面, 特别地, 当 F( x, y, z) 是多项式时, F( x, y, z) 0 被称为代数曲面 多项式的次数称为代数曲面的次数, 例 如一次方程表示的曲面叫做一次曲面 ( 一次曲面就是平面 ), 二次方程表示的曲面称为二 次曲面 本节只讨论几种简单的二次曲面 几种常见的曲面及其直角方程如下 : 椭球面 : x2 2 + y2 双叶双曲面 : x2 2 + z2 c 1 ; 单叶双曲面 : x y2 双曲抛物面 :z x2 2 + y2 - z2 c - 1 ; 椭圆抛物面 :z x y2 ; 二次锥面 : x2 2 - z2 c 2 1 ; + y2 + y2 z2 对于二次曲面, 我们用截痕法研究它的形状, 所谓截痕法就是用坐标面和平行于坐 标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌 其中 坐标面与曲面的交线称为截部, 平行于坐标面的平面与曲面的交线称为截痕 与此同 时, 我们也通过曲面的方程对曲面的主要特征 ( 取值范围 顶点 对称性等 ) 做相应的 讨论 1 畅椭球面 (1) 直角方程 : 由方程 x y2 ; c 2 + z2 c 2 1 (7 畅 26) 所表示的曲面称为椭球面, b c 称为椭球面的半轴 ( > 0, b > 0, c > 0) 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo (2) 参数方程 : 绘制空间曲面的图形比较困难, 要借助于计算机利用 Mthemtc 或 Mtlb 来实现, 但是利用直角方程在许多情形中不能绘制出理想的图形, 而利用空间曲

42 第 7 章空间解析几何与向量代数 35 面的参数方程却可以展示曲面多姿的形态, 所以我们必须了解常见的二次曲面的参数 方程 我们以球面为例, 建立它的一种参数方程 设 M( x,y,z) 是 x 2 + y 2 + z 2 R 2 上任意 一点, 则 M 在 xoy 面上的投影为 P( x,y,0), 作向量 OM和 OP, 取 (θ,φ,r) 为 M( x,y,z) 的球坐标, 如图 7 畅 42 所示, 则有 x y z OP OP OM OM R cosθ Rsn φcosθ snθ Rsn φsnθ cos φ Rcos φ (7 畅 27) 这就是说, 球面 x 2 + y 2 + z 2 R 2 上任意一点都有唯一确定的 图 7 畅 42 θ, φ 与之对应, 它的坐标可按式 (7 畅 27) 表示, 相反, 任意一组 θ, φ 值, 按式 (7 畅 27) 给出 坐标的点必在球面上 所以我们称 x Rsn φcosθ y Rsn φsnθ z Rcos φ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 R 2 的参数方程 类似地, 为椭球面 x y2 x sn φcosθ y bsn φsnθ z ccos φ + z2 c 2 1 的参数方程 一般地, 曲面的参数方程可用含两个参数 u v 的方程组 来表示, 其中 ( u, v) 属于某平面区域 D 从而 注 : 二次曲面的参数方程可能不唯一 (3) 图形范围 : 由椭球面的方程可知 x 2 2 (0 θ 2π,0 φ π) (7 畅 28) (0 θ 2π,0 φ π) (7 畅 29) x x( u, v) y y( u, v) z z( u, v) 1 ; y2 1 ; z2 c 2 1 x ; y b ; z c (7 畅 30) 可见椭球面完全包含在一个以原点为中心的长方体 ( 长方体的六个面为 x ±, y ± b, z ± c) 内 (4) 顶点 : 把椭球面的方程分别与三个坐标轴的方程

43 36 应用微积分 ( 下册 ) y 0 x 0 x 0 z 0 ; z 0 ; y 0 联立, 可得椭球面与坐标轴的交点 ( ±,0,0),(0, ± b, 0), (0, 0, ± c), 它们就是椭 球面的顶点 (5) 对称性 : 注意到椭球面的方程中含有 x 2 y 2 z 2, 所以曲面关于 x 0, y 0, z 0, y 0 z 0, x 0 z 0, x 0 y 0, 均对称 换言之, 椭球面关于三个坐标面 坐标轴和原点均对称 x 0 y 0 z 0 注 : 如果曲面关于三个坐标面 三个坐标轴和原点都对称, 我们称曲面具有完全对 称性 (6) 中心轴 : 由椭球面的对称性不难看出, 三个坐标轴均为它的中心轴 (7) 截痕 : 分别用三组平行于坐标面的平面 z ( < c), y n( n < b), x m( m < ) 截割曲面, 所得截痕均为椭圆 综合上述信息, 可以描绘出椭球面的轮廓如图 7 畅 43 图 7 畅 44 所示 图 7 畅 43 图 7 畅 44 x 2 + y 2 特别地,(1) 当 b 时, 方程 (7 畅 26) 变为 x 2 旋转椭球面, 可看作由 xoz 面上的椭圆 2 旋转而成 + z2 c z2 c 2 1, 该方程所对应的图形称为 1 y 2 或 yo z 面上的椭圆 2 + z2 c 2 1 绕 z 轴 (2) 当 b c 时, 方程 (7 畅 26) 变为 x 2 + y 2 + z 2 2, 该方程所对应的图形为球心在 原点, 半径为 的球面 综上讨论, 我们可以把椭球面的主要特征信息列于表 7 畅 6 中 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo

44 第 7 章空间解析几何与向量代数 37 表 7 畅 6 主要特征 图形 直角方程 x y2 b + z2 2 c 2 1 参数方程 x sn φcosθ y bsn φsnθ z ccos φ - x 取值范围 - b y b 中心轴 x 轴, y 轴, z 轴 - c z c ( ±, 0, 0) 对称性完全对称顶点 (0, ± b, 0) (0, 0, ± c) 截痕椭圆, 圆, 点截部椭圆, 圆 2 畅单叶双曲面 (1) 直角方程 由方程 x y2 所表示的曲面称为单叶双曲面 ( > 0, b > 0, c > 0) 注 : 单叶双曲面还有另外两种形式 :- x2 2 (2) 参数方程 把方程 令 z ctn φ, 则 1 + z2 c 2 圆的参数方程不难得出 2 x y2 x 2 - z2 c z2 c 2 - z2 c 2 1 (7 畅 31) + y2 1 改写为 z2 c 2 y z2 c 2 1 和 x y2 + z2 c 2 1 secφ, x 2 单叶双曲面的方程变为 2 sec 2 φ + y 2 sec 2 φ 1, 再借鉴椭 x sec φcosθ y bsec φsnθ z ctn φ 该方程可作为单叶双曲面的参数方程 (0 θ 2π,0 φ π) (7 畅 32) (3 ) 图形范围 由单叶双曲面的方程可知其取值范围为点集 : Ω ( x,y,z) - < z < +, x2 2 单叶双曲面是无界的 (4) 顶点 单叶双曲面没有顶点 + y2 1 (5) 对称性 注意到单叶双曲面的方程中含有 x 2 y 2 z 2, 所以曲面具有完全对称性 (6) 中心轴 由方程 x y2 - z2 c 2 1 确定的单叶双曲面, 以 z 轴为中心轴

45 38 应用微积分 ( 下册 ) 心轴 注 : 方程为 - x2 2 + y2 + z2 c 2 1 和 x y2 + z2 c 2 1 的单叶双曲面分别以 x 轴, y 轴为中 (7) 截痕 分别用三组平行于坐标面的平面 z, y n, x m 截割曲面, 得截痕的 方程为椭圆和双曲线 综合上述信息, 可以描绘出单叶双曲面的轮廓如表 7 畅 7 所示 表 7 畅 7 主要特征图形与截痕 直角方程参数方程取值范围中心轴对称轴顶点截痕 x y2 b - z2 2 c 2 1 x sec ucos v y bsec usn v z ctn u - < z < x y2 b 1 2 z 轴 完全对称 无 双曲线 相交直线 椭圆 截部 3 畅双叶双曲面 (1) 直角方程 : 由方程 双曲线 椭圆 x y2 所表示的曲面称为双叶双曲面 ( > 0, b > 0, c > 0) 注 : 双叶双曲面还有另外两种形式 :- x2 2 (2) 参数方程 : 把方程 令 z csecφ, 则 z 2 c 2 圆的参数方程不难得出 2 x y2 x 2 - z2 c 2 z2-1 c 2 - z2 c 2-1 (7 畅 33) + y2 + z2 c 2-1 改写为 2 + y 2 z2-1 c 2 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo - 1 和 2 1, x 2 - y2 + z2 2 c tn φ, x 2 双叶双曲面的方程变为 2 tn 2 φ + y 2 tn 2 φ 1, 再借鉴椭

46 第 7 章空间解析几何与向量代数 39 x tn φcosθ y btn φsnθ z csec φ 该方程可作为双叶双曲面的参数方程 称性 (0 θ 2π,0 φ π) (7 畅 34) (3) 图形范围 : 由双叶双曲面的方程可知其取值范围为点集 : 可见双叶双曲面是无界的 Ω {( x,y,z) - < x, y < +, z c} (4) 顶点 : 双叶双曲面有两个顶点 (0,0,± c) (5) 对称性 : 注意到双叶双曲面的方程中含有 x 2, y 2, z 2, 所以曲面具有完全对 (6) 中心轴 : 由方程 注 : 方程为 - x2 2 为中心轴 + y2 x y2 + z2 c 2 - z2 c 2-1 确定的双叶双曲面, 以 z 轴为中心轴 - 1 和 x y2 + z2 c 2-1 的双叶双曲面分别以 x 轴, y 轴 (7) 截痕 : 分别用三组平行于坐标面的平面 z ( > c), y n, x m 截割曲面, 得截痕椭圆和双曲线 综合上述信息, 可以描绘出双叶双曲面的轮廓如表 7 畅 8 所示 表 7 畅 8 双叶双曲面 主要特征 图形 直角方程 x y2 b - z2 2 c 2-1 参数方程 x tn φcos θ y btn φsnθ z csec φ 取值范围 - < x, y < +, z c 中心轴 z 轴 对称性完全对称顶点 (0, 0, ± c) 截痕双曲线, 椭圆, 点截部双曲线 其他二次曲面如表 7 畅 9 ~ 表 7 畅 11 所示

47 40 应用微积分 ( 下册 ) 表 7 畅 9 双曲抛物面 ( 马鞍面 ) 主要特征 图形 x u 直角方程 z x2 2 - y2 参数方程 y v z u2 2 - v2 取值范围 - < x, y, z < + 中心轴 z 轴 对称性 x 0, y 0, x 0 y 0 顶点 无 截痕抛物线 双曲线 直线截部抛物线 直线 表 7 畅 10 直角方程 取值范围 z x2 2 + y2 ( - < x, y < + ) z 0 对称性 x 0, y 0, 主要特征 x 0 y 0 参数方程 中心轴 椭圆抛物面 x y b z u z 轴 u cos v u sn v 顶点 (0, 0, 0) 图形 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 截痕椭圆 抛物线 点截部抛物线 点

48 第 7 章空间解析几何与向量代数 41 表 7 畅 11 椭圆锥面 主要特征 图形 直角方程 z 2 x2 2 + y2 参数方程 x ucos v y busn v z u 取值范围 ( - < x, y,z < + ) 中心轴 z 轴 对称性完全对称顶点 (0, 0, 0) 截痕椭圆 直线 点截部直线 点 习题 7 畅 7 1 畅求下列旋转曲面的方程 (1) 将 xoz 面内的抛物线 z 2 x 绕 x 轴旋转一周 ; x 2 (2) 将 xoz 面内的双曲线 2 y 2 (3) 将 yo z 面内的椭圆 2 畅说明下列旋转曲面是怎样形成的? - z2 c 2 1 绕 x 轴和 z 轴旋转一周 ; + z2 c 2 1 绕 z 轴旋转一周 (1) x2 4 + y2 4 + z2 1 ; (2) x 2 + z 2 3 y 3 畅确定下列方程各表示什么曲面, 并做简图 (1) x 2 + y 2 1 ; (2) x 2 + y 2 2 z ; (3) x2 2 + z2 y ; (4) x 2 - z 2 1 ; (5) x 2 + y 2 - z 2 0 ; (6) x2 9 + y2 4 + z2 1 4 畅画出下列曲面所围成的立体图形 (1) z 1 - x 2 - y 2, z x 2 + y 2 ; (2) z 6 - x 2 - y 2, z x 2 + y 2 ; (3) x 2 + y 2 1, z 0, z 2 ; (4) z 1 - y 2,3 x 2 + y 2 z 数学实验五 这一章我们介绍了各种空间曲面和空间曲线, 从方程出发了解三维图形的形状主要

49 42 应用微积分 ( 下册 ) 依赖于截痕法, 这很难细致观察图形的全貌和细微处的特性 借助 Mthemtc 软件, 我 们可以绘制出精美的三维图形, 当空间的曲线和曲面一目了然地展现在我们面前时, 研 究它们的形态和特性就变得直观和容易了 1 畅实验目的 掌握绘制空间图形的 Mthemtc 语句, 展示空间曲线 曲面以及立体的图形 2 畅实验内容 Mthemtc 的三维画图命令主要有 : Plot3D[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1}] 功能 : 做出函数 f(x, y) 在区域 [x0, x1] [y0, y1] 上的图形 PrmetrcPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u0,u1},{v,v0,v1}] 功能 : 做出参变量方程表示的曲面 PrmetrcPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t0,t1}] 功能 : 做出参变量方程表示的曲线 ContourPlot[f[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1}] 功能 : 制作 z f(x, y) 在区域 [x0, x1] [y0, y1] 上的投影图形 3 畅实验步骤 (1) 利用图形显示命令作出下列函数的图形 1) f( x, y) sn( x y), 其中 x (0,4), y (0,4) 如图 7 畅 45 所示 2) Plot3D[Sn[x 倡 y],{x,0,4},{y,0,4},plotponts - > 40,Mesh - > Flse,Boxed - > Flse] x cos t(3 + cos u) y sn t(3 + cos u) z sn u 如图 7 畅 46 所示 t (0,2π), u (0,2π) PrmetrcPlot3D[{Cos[t](3 + Cos[u]),Sn[t](3 + Cos[u]),Sn[u]},{t,0,2P},{u,0, 2P},Axes - > Flse,Boxed - > Flse] 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 3) x 5cos usn v y 5sn usn v z 3cos u 图 7 畅 45 图 7 畅 46 u (0,2π), v 0, π 2

50 第 7 章空间解析几何与向量代数 43 如图 7 畅 47 所示 4) PrmetrcPlot3D[{5Cos[u] 倡 Sn[v],5Sn[u] 倡 Sn[v],3Cos[u]},{u,0,2P},{v,0,P/ 2},Boxed - > Flse] x ucos v 如图 7 畅 48 所示 y usn v z u 2 u (0,2), v (0,2π) PrmetrcPlot3D[{u 倡 Cos[v],u 倡 Sn[v],u^2},{u,0,2},{v,0,2P},Boxed - > Flse] 5) x cos5 t y sn3 t z sn t 如图 7 畅 49 所示 6) t (0,2π) 图 7 畅 47 图 7 畅 48 PrmetrcPlot3D[{Cos[5t],Sn[3t],Sn[t]},{t,0,2P},Boxed - > Flse] x cos u(8 + 3cos v) y sn u(8 + 3cos v) z 7sn v 如图 7 畅 50 所示 u 0, 3 2 π, v π 2,2π PrmetrcPlot3D[{Cos[u](8 + 3Cos[v]),Sn[u](8 + 3Cos[v]),7Sn[v]},{u,0,3P/2}, {v,p/2,2p},axes - > Flse,Boxed - > Flse] 图 7 畅 49 图 7 畅 50 7) x 5cos usn v y 5sn usn v u (0,4π), v 0, π 2 z 3cos( u/4) PrmetrcPlot3D[{5Cos[u] 倡 Sn[v],5Sn[u] 倡 Sn[v],3Cos[u/4]},{u,0,4P},

51 44 应用微积分 ( 下册 ) 如图 7 畅 51 所示 {v,0,p/2},boxed - > Flse,Axes - > Flse] 8) 绘制 f( x, y) e x 2 + y 2 2 的图形 将原方程化为参数方程 : 如图 7 畅 52 所示 x ucos v y usn v z e u 2 2 (0 u 4,0 v 2π) PrmetrcPlot3D[{u 倡 Cos[v],u 倡 Sn[v],Exp[ - u^2/2]},{u,0,4},{v,0,2p}, PlotPonts - > 20,Boxed - > Flse,Axes - > Flse,BoxRtos - > {1,1,0 畅 6}] 图 7 畅 51 图 7 畅 52 9) z 1 4 (sn(8 x2 + y 2 )) 如图 7 畅 53 所示 Plot3D[(1/4)Sn[8 倡 Sqrt[x^2 + y^2], {x, - 1,1}, {y, - 1,1},PlotPonts - > {128, 128}, Mesh - > Flse,Boxed - > Flse,Axes - > Flse] 10) 在 Mthemtc 的 Grphcs3D 软件包中有功能强大的函数绘图命令, 它们属于 外部命令, 使用时, 要首先调用 Grphcs3D 软件包 例如, 如图 7 畅 54 所示 < < Grphcs\Polyhedr 畅 m stel Stellte[Icoshedron[]] ; Show[Grphcs3D[stel],Axes - > Flse,Boxed - > Flse] 科学出版社职教技术出版中心 wwwboo 图 7 畅 53 图 7 畅 54