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- 沼 钭
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1 南阳师院课程 ( 课时 ) 教学计划 课程 : 解析几何 教师 : 王阳 系 ( 院 ): 数学与统计学院 学年学期 : 学年第一学期 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
2 南阳师范学院课程教学安排 教材名称及使用版本 解析几何 第三版 本课程教学计划课时数 90 本课程实际安排课时数 7 教 教学内容 : 学内容及课 第一章 : 向量与坐标第二章 : 轨迹与方程第三章 : 平面与空间直线第四章 : 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲面第五章 : 平面二次曲线的一般理论 时 分 配 情 况 课时分配 : 第一章 :0 课时第二章 : 4 课时第三章 :6 课时第四章 :4 课时第五章 :8 课时 备 注 参考文献 : 解析几何 : 北师大力学系编 解析几何 : 方德植编重要理论 : 第一章第三章第五章 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
3 南阳师范学院课时教学计划 章节第一章课题向量与坐标 计划课时数 0 学时授课班级数学与统计学院 08 级 -5 班 教学目的 向量代数在自然科学和工程技术中有着广泛的应用 本章通过向量与坐标基本知识的教学 使学生能以向量为工具 研究并简便地解决某些几何问题. 具体要求 :. 深刻理解向量的定义和表示方法 ; 掌握单位向量 零向量 相等向量 反向量 径向量 共线向量与共面向量 ;. 掌握向量的各种运算 运算规律及对应的几何意义 能灵活应用向量法证明某些平面几何的立体几何问题 ;. 深刻理解并掌握标架与坐标的概念 熟练地应用向量的坐标进行运算 ; 4. 了解向量的线性关系及性质 并会应用线性关系及性质处理某些基本问题 ; 5. 通过本章的学习 培养学生的联想 类比能力和分析问题解决问题的能力. 教学重点. 向量的有关概念 ;. 向量的有关运算 ;. 坐标及坐标运算. 教学难点. 向量的有关概念 ;. 标架与坐标 ;. 应用向量法证明某些平面几何的立体几何问题 ; 4. 向量的线性关系及性质. 教学方法和手段 发现式 启发式 研究式观察 - 发现 - 归纳 - 巩固复习 - 联想 - 猜测 - 验证 - 结论 - 巩固提出问题 - 研究探讨 - 得出结论 - 巩固训练 备 注 向学生展现知识的发现过程 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
4 前 言 一. 几何发展简史公元三世纪 欧几里得在前人的基础上 写出了 几何原本 给出了若干个定义 公理和命题. 当时的几何是用定义 公理和性质加以研究的 有些问题的研究相当复杂 而当时代数的发展相当完善 于是人们就想能不能用代数的方法研究几何问题呢? 7 世纪 40 年代 笛卡儿 费儿玛首次引入了坐标 用代数的方法解决几何问题 创立了 解析几何 9 世纪 解析几何 由一维发展到二维 三维 n 维 无限维. 解析几何 进一步发展 产生出 泛涵分析 代数几何 微分几何 射影几何. 为了纪念欧几里得对几何的贡献 后人把欧几里得创建的几何体系为欧氏几何 欧几里得的 几何原本 并非十全十美 存在着逻辑错误. 后人经过两千年的努力来消除它. 首先是针对公理系统. 人们发现第五公理在 几何原本 中应用很迟 到第 9 个命题才第一次应用 因此 人们试证第五公理.9 世纪产生了不同与欧氏几何的一种全新的几何 人们称为非欧几何. 最突出的是罗氏几何和黎蔓几何 二. 解析几何简介. 主要内容平面二次曲线 ; 空间直线 平面与二次曲面. 研究工具向量 坐标 坐标变换. 研究方法以向量 坐标法 坐标变换为工具 运用代数方法研究几何对象 () 已知图形的几何条件研究其方程 () 已知方程研究图形的几何性质三. 学习方法课前预习 课后复习 课前五分钟交预习问题. 周二交作业 一. 向量的概念 ( 复习旧知 -- 归纳总结 ). 向量 : 既有大小又有方向的量. 向量的要素 : 大小 方向. 向量的表示方法 : () 几何上 : 有向线段 第一节向量的概念 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
5 () 书写 : AB 二. 与向量有关的概念. 只与向量的大小有关的概念 () 模 : 向量的大小. AB 或 () 单位向量 : 模等于 的向量 () 零向量 : 模等于 0 的向量 记作 0. 只与向量的方向有关的概念 () 两向量平行 ( 共线向量 ) 记做 () 向量与直线平行 () 向量与平面平行 ( 共面向量 ) (4) 共线向量. 与向量的大小和方向都有关的概念 () 相等向量 : 模相等 方向相同的两个向量记作 () 相反向量 : 模相等 方向相反的两个向量记作 () 自由向量 : 始点可以任意选取而只有模和方向决定的向量 任意的向量总是与它自身相等 模相两个向量不一定是相等向量 一组共线向量一定 是共面向量 三向量中如果有两个向量共线 这三向量一定共面. 注记 : 单位向量不唯一 零向量的始点与终点重合 方向任意 注记 : 零向量与任意的向量平行 若两个非零向量平行这两个向量要么同向要么反向 第二节 向量的加法 本节拟采用教法 : 概念 : 复习旧知 --- 抽象概括 - 归纳总结运算规律 : 比较 --- 联想 -- 猜测 --- 验证 结论一. 复习 () 力的合成 () 位移的合成二. ( 归纳总结 ) 向量加法的定义 ( 三角形法则 ). 定义 : 设已知向量 r 以空间任意一点 O 为始点 连接作 OA AB 得一 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
6 折线 OAB 从折线的端点 O 到另一端点 B 的向量 OB 叫做两向量 r 与 的和 记作. 由两向量 r 与 求它们和 的运算叫做向量的加法. r r 注记. 对任意的三点 A B C 均有 AC AB BC 注记. 若 r r w 则 注记. r r 是共面向量 注记 4. 0 ; ( ) 0 r. 几何意义 ( 平行四边形法则 ): 当向量 r 与 不共线时 在空间中任意取一点 O 作 OA OB 以 OA OB 为邻边作一平行四边形 OACB 那么对角线向量 OC OA OB. 运算规律 : () 比较 0 ; ( ) 0 与 0 ; ( ) 0 () 联想 : 数量加法的运算规律 ; ( ) ( ) () 猜测 r ; ( ) ( ) () 验证 ( 三角形法则 平行四边形法则 向量相等的定义 ) (4) 结论对于任意的实数 λ µ 和任意的向量 我们有 ) 0 ; ( ) 0 ; r ) 交换律 ; ) 结合律 ( ) ( ) PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
7 D r r r r r r A r B r r r C 比较发现 : 向量加法的运算规律与数量加法的运算规律相似 4. 多边形法则 OA n OA AA A n A n 三. 向量的减法. 复习 则. 向量减法的定义若向量 与向量 的和等于向量 即 我们把向量 记. 由向量 与 求它们差 的运算叫做向量的减法. 叫做向量 与 的差 OA OB BA OA OB BA B r r r - O r A. 几何意义 () 在空间中任意取一点 O 作 OA OB 则 BA () 当向量 与 不共线时 在空间中任意取一点 O 作 OA OB 以 OA OB 为 邻边作一平行四边形 OACB 那么对角线向量 BA 由向量加法与减法定义我们可以得出 : 注记. 对任意的三点 A B C 均有 CA AB AC 注记. 若 则 注记. λ µ 共面 4. 向量加法与减法的关系 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
8 ( ) 四. 不等式 n n 例 设互不共线的三向量 与 试证它们的终点与始点相连而 成一个三角形的充要条件 0 证明 () 必要性设三向量 可以构成三角形 ABC 即有 AB BC CA 则 AB BC CA AA 0 即 0 () 充分性设 0 作 AB BC 则 AC 从而 CA 所以设三向量 可以构成三角形 ABC. 例 用向量的方法证明 : 对角线相互平分的四边形是平行四边形. 分析 :. 明确几何条件和结论. 用向量表示条件和结论. 以向量为工具证明用向量表示的结论 4. 将向量表示的结论转化为几何结论 证明 : 设 ABCD 为一四边形 O 平分 AC 和 DB 则 由三角形法则知 : AO OC DO OB AB AO OB DB DO OB 故 AB DB 从而 AB DB 且 AB DB 所以四边形 ABCD 为平行四边形. 第三节 数量乘向量 本节拟采用教法 : 概 念 : 特殊 --- 一般 一. 实例. 运算规律 : 比较 --- 联想 -- 猜测 --- 验证 是一个向量 模为 方向与 同向 ; PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
9 . ( ) ( ) 是一个向量 模为 方向与 反向. 二. 数量乘向量的定义 实数 λ 与向量 的乘积是一个向量 记作 λ () 模 λ λ ; () λ 的方向 : λ >0 时 与 相同 ;λ <0 时 与 相反. 我们把这种运算叫做数量乘向 量 简称数乘. 由定义我们立即得出 注记 : 0 λ λ 0 或 0 注记 : λ 注记 : 0 则 λ λ r 0 注记 4: 或 0 注记 5: ( ) 注记 6: A B C 三点共线的充分必要条件是 AB λ AC 注记 7: µ λ 共线 当 λµ > 0 λ µ ( λ µ ) 同方向 当 λµ < 0 λ µ 反方向. 三. 运算规律 : () 比较 () 联想数量乘法的运算规律 ( ) 与 ( ) λ ( µ ) ( λµ ) ( λ µ ) λ µ ; λ ( ) λ λ () 类比猜测 λ ( µ ) ( λµ ) ; ( λ µ ) λ µ ; λ ( ) λ λ. ( 为向量 λ µ 为任意实数 ) () 验证 分析 : ) 用相等向量的定义证 λ ( µ ) ( λµ ) PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
10 () 0 或 λµ 0 时 λ ( µ ) ( λµ ) 显然成立. () 0 λµ 0 时 模 : λ ( µ ( λµ ) λ µ 方向 : λµ > 0 时 都与 的方向一致 ; λµ < 0 时 都与 的方向相反 从而 λ ( µ ) ( λµ ). ) 用相等向量的定义证 ( λ µ ) λ µ () 0 或 λµ ( λ µ ) 0 时 ( λ µ ) λ µ 显然成立. () 0 λµ ( λ µ ) 0 时 λµ > 0 时 : ( λ µ) 与 λ µ 同向 ( λ µ ) λ µ 从而 ( λ µ ) ( µ ) λ λµ < 0 时不妨假设 λ > 0 µ < 0 λ µ > 0 则 ( µ )( λ µ ) > 0 从而 所以 ( λ µ ) λ µ. ( λ µ ) ( µ ) λ ) 用运算规律 几何作图及向量相等证明 λ ( ) λ λ () 当 λ 0 或 0 或 0 时 λ ( ) λ λ 显然成立. () 当 λ 时 : 当 时 m 根据向量加法的运算规律及前面所证可 知. λ ( ) λ( m ) λ ( m ) ) ( λ( m ) ) ( λ m λ) ( λm) λ λ( m) λ λ λ 当向量 与 不共线时 若 λ 则结论显然成立 ; 若 λ 在空间中任取一点 O 作 OA AB 则 O A B 构成三角形. 作 OA λ 则 O A A 三点共线. 过 A 作直线与 AB 平行交 OB 于 B 则 O A B 构成三 角形 且 OAB 与 OA B 相似 从而有 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
11 λ OB OB A B λ. 又 OB OB λ λ 故 λ ( ) λ λ 成立. 4. 结论 : 对于任意的实数 λ µ 和任意的向量 我们有 () ( ) () 关于数因子的结合律 λ ( µ ) ( λµ ) ; () 第一分配率 ( λ µ ) λ µ ; (4) 第二分配率 λ ( ) λ λ 比较发现 : 数乘向量的运算规律与数量乘法的运算规律相似 四. 应用 () 解决平行问题 () 解决共点问题 例 用向量法证明 : 连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于 第三边的一半. 分析 : 设 M N 是三角形 ABC 二边 AB AC 的中点 只须证明 BC MN 从而 证明 : 由于 M N 是 ABC 二边 AB AC 的中点 所以 AN AC AM AB MN AN AM ( AC AB) 所以 MN BC 且 MN 第四节 BC BC. 向量的线性关系与向量的分解 本节拟采用思想方法 : 由特殊到一般 分类法 一. 定义 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
12 由向量 n 与数量 λ λ λn 所组成的向量 λ λ λn n 叫做向量 n 的线性组合. 我们也说向量 可以用向量 n 线性表示. 或者说 向量 可以分解成向量 n 线性组合. 二. 三个重要的定理 定理. 如果向量 0 e 那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件 r xe 并且系数 x 被 e r 唯一确定. 分析 :. 必要性 r 0 时取 x 0 r 0 时 : r 与 e r 同方向 取 x e r 与 e r 反方向 取 x e. 充分性 若 r xe 由数乘向量的定义 可知向量 r 与向量 e 共线.. 唯一性 设 r x e 则 xe x e 即 ( x x ) e 0 由于 e 0 故 x x 0 因此 x x. 即 x 被 e r 唯一确定. 定理 如果向量 e e 不共线 那么向量 r 与向量 e e 共面的充要条件向量 r 用向量可以用向量 e e 线性示 即 r xe ye 并且系数 x y 被 e e r 唯一确定. 分析 :. 必要性 : e e 不共线 e e r 共面 则 e 0 e 0. () r e 或 r e 由定理 知命题显然成立 () e e r 任意两个不共线 在空间中任取一点 O 作 OE e OE e OP r 过点 P 分别作直线平行于 OE 和 OE 与直线 OE OE 分别交于 E E 由平 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
13 行四边形法则知 r OE O E 又 O E e O E e 由定理 知 O E xe O E ye r xe y 故 e. 充分性 : () xy 0 时 e e r 中至少有两个向量共线 从而三向量共面 () 0 xy 时 由于 r xe ye 共面 且 xe. 唯一性 设 r x e y e 则 xe ye x e y e 从而 r x x ) e ( y y ) e 0 若 x x 则 ( e y y x x e 从而 e e 与已知条件矛盾. 所以 x x. e ye e 所以而 r e e 共面 同理可证 y y. 因此 x y 被 e e r 唯一确定. 定理 如果向量 e e e 不共面 那么空间任意向量 r 可以由向量 e e e 线性示即 r xe ye ze 并且系数 x y z 被 e e e r 唯一确定. 分析 : 三向量可能的关系 () 向量 e e e 不共面 从而两两不共线 () r 与向量 e e e 中两个向量共面 () r 与向量 e e e 中任意两个向量不共面证明因为 e e e 不共面 从而 e 0 ( ) 且两两不共线. () 若 r 与向量 e e e 中两个向量共面 由定理 知 r xe ye ze 一定成立. () 若 r 与向量 e e e 中任意两个向量不共面 在空间中任取一点 O 作 OE e OE OE e OP r 过点 P 作三个平面分别平行于平面 OE e OE E OE E 与直线 OE OE OE 分别交于 E E E 得到了以 O E OE O E 为 相邻三棱以 OP 为对角线的平行六面体. 从而 r OP E O O E O E E PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
14 C P e E ur r r E e ur O e uur E B 又 O E e O E e OE e 根据定理 我们有 O E xe O E ye e OE ze 从而 r xe ye ze. 假设 r x e y e z e 则 xe ye ze x e y e z e 从而 r x x ) e ( y y ) e ( z z ) e 0 ( 若 x x 则 y y z z e e e x x x x 从而 e e 共面 与已知条件矛盾. 所以 x x. e 同理可证 y y z z. 因此 x yz 被 e e e r唯一确定. 三. 线性相关与线性无关. 定义 : 对于 n( n ) 个向量 n 如果存在不全为零的数 λ λ λn 使 λ λ λ n n 0 那么 n 个向量 n 叫做线性相关 不是线性相关的向量叫做线性无关 注记 向量 n 线性无关的充要条件是对任意不全为零的数 λ λ λn 都有 λ λ λ n n 0 注记 向量 n 线性无关的充要条件是 λ λ λ 0当且近当 λ λ λ 0. 性质 A n n n PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
15 推论 一个向量 线性相关 0 定理 4 n ( n ) 个向量 n 线性相关 其中一个向量是其余向量的线性组 合 证明 () 必要性 : 若向量 n 线性相关 则存在不全为零的数 λ λ λn 使 λ 不妨假设 λ 0 则 n λ λ n n n 0 λ λ λ n λn λn λn 即 n 可以写成 n 的线性组合 () 充分性若 n有一个向量不妨假设为 n 是其余向量的线性组合 即 λ λ λ n n n 则 λ λ λn n ( ) n 0 显然 λ λ λ n 中至少有一个不为零 所以 n 相性相关. 定理 5 如果一组向量中的一部分向量线性相关 那么这一组向量就线性 相关. 证明假设向量组 r 中有一部分向量 s ( s r) 相性相关 即有全 为零的数 λ λ λs 使 λ λ λ s s n 0 从而 λ λ λss 0s 0r 0 因为 λ λ λs 至少有一个不为零 所以 r 向量线性相关. 推论 如果一组向量中含又零向量 那么这组向量线性相关. 四. 向量共线共面的条件 定理 6 两个向量共线 它们线性相关证明 () 必要性设向量 共线 如果 0 由定理 知 λ 即 λ 0 所以 线性相关 ; 如果 0 由推论 知 向量 线性相关. PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
16 () 充分性设向量 线性相关 则 λ µ 0 其中 λ µ 不同时为零. 不妨假设 λ 0 则 如果 0 向量 µ λ. 显然共线 ; 如果 0 有定理 知 共线. 定理 7 三个向量共面 它们线性相关. 定理 8 空间任意四个向量总是线性相关. 证明设空间任意四个向量 d 如果 共面 那么根据定理 7 它们相性相关. 再根据定理 5 即知四个向量线性相关. 如果 不共面 由定理 知 d 根据定理 4 知 d 线性相关. 推论 空间四个以上向量总是线性相关. 注记 一个向量 线性无关 0 注记 4 两个向量不共线 它们线性无关 注记 5 三个向量不共面 它们线性无关注记 6 要判断向量 共线 只要判断是否存在不全为零的两个数 λ µ 使得 λ µ 0. 注记 7 要判断向量 共线 只要判断是否存在不全为零的三个数 λ µ ν 使得 λ µ ν 0. 例证明四面体对边中点的连线相交于一点 且相互平分 分析 : 取对边中点连线的中点分别为 p p p 只须证三点重合 即证 AP AP AP 分析 : 设四面体 ABCD 一组对边 AB CD 的中点 E F 的连线 EF 的中点为 P 其余二组对边中点连线的中点分别为 P P 只要正 P P P 重合即可. 证明 : () 设四面体 ABCD 一组对边 AB CD 的中点 E F 的连线 EF 的中点为 P 其余二组对边中点连线的中点分别为 P P () 设 AB e AC e AD e 则 AE () 由于 AP 是 AEF 的中线 所以有 AB e PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
17 AP ( AE AF) 又 AF 是 ACD 的中线 所以有 AF ( AC AD) ( e e ) 从而 AP ( e e e) 4 同理可得 AP ( e e e) ( ) 4 所以 AP AP AP 从而 P P P 重合 命题得证. 第五节标架与坐标 本节拟采用教法 : 直观 对比一. 有关的概念. 标架 : 空间中的一个定点 O 连同三个不共面的有序向量 e e e 的全体 叫 做空间的一个标架 记作 { O; e e e } 如果 e e e 都是单位向量 那么标架 { O; e e e } 叫做笛卡儿标架 e e e 两两相互垂直的笛卡儿标架叫做笛卡儿直角标架 简称直角标架 ; O; e e e 叫做仿射标架. 一般情况下 { } e e O e 左手 ( 旋 ) 标架 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
18 e e O e 右手 ( 旋 ) 标架 注记 () 标架 { O; e e e } 中三个向量 e e e 不共面. 注记 () 标架 { O; e e e } 与 e e e 的方向有关 与模无关. 注记 () 交换向量 e e e 中某两向量的位置 右手标架变为左手标架 左手标架变 为右手标架 ; 轮换向量 e e e 三向量的位置 不改变标架的左右手性. 思考题 () 若 e e 不共线 问 { O; e e e e } 是否是空间标架? () 若 { O; e e e } 是右手标架 问 { O; λ e e e} { O; e e e } 是何种标架? O; e e e 是左手标架 问 { O e e } O; e e e 是何种标架? () 若 { } ; e { }. 坐标 在空间取定一点 O 和以 O 为始点的三个不共面的向量 e e e 空间中的任意向量 r 可以表示为 e e e 的线性组合 即 r xe ye z () e () 向量的坐标 : 我们把 () 式中的 x y z 叫做向量 r 关于标架 { O; e e e } r x y z r x y z. { } 或做 { } 的坐标或分量 记做 即 { x y z} xe ye ze () 点的坐标 : 对于取定了标架 { O; e e e } OP 关于标架 { O; e e e } P ( x y z) 或 ( x y z). 的空间中任意一点 P 向量 OP 叫做点 P 的向径 向径 的坐标 x y z O; e e e 的坐标 记做 叫做点 P 关于标架 { } PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
19 . 坐标系 空间中取定标架 { O; e e e } 后 空间全体向量的集合或全体点的集合与全体有序三数 组 x y z 的集合具有一一对应的关系 这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系. 空间坐标系是由标架 { O; e e e } 完全确定 因此可以用标架 { O; e e e } 表示. 这时 点 O 叫做坐标原点 向量 e e e 叫做坐标向量. 由左手标架决定的坐标系叫做左手坐标系 由右手标架决定的坐标系叫做右手坐标系. 仿射标架 笛卡儿标架与直角标架所确定的 坐标系分别叫做仿射坐标系 笛卡儿坐标系与直角坐标系. 我们约定 : 用 j k 表示两两相互垂直的单位向量 即用 { O j k} ; 表示直角坐标系 4. 坐标平面与坐标轴 过点 O 沿着三坐标向量 e e e 的方向引三轴 Ox Oy Oz 我们可以用这三条具有公共点 O 的不共面轴 Ox Oy Oz 来表示空间坐标系 我们把它记做 O xyz 这时点 O 叫做空间坐标系的原点 三条轴 Ox Oy Oz 都叫做坐标轴 并依次叫做 x 轴 y 轴与 z 轴. 两条坐标轴所决定的平面 按照坐标面所包含的坐标轴 分别叫做 xoy 平面 yoz 平面与 xoz 平面. 注记 三个坐标平面把空间分为八个卦限 在同一卦限内点的坐标 ( x y z) 的符号是一致的 但在不同卦限内点的坐标 ( x y z) 的符号不一样. 其中前四个卦限 z 均大于零 后四个卦限 z 均小于零 而 x y 的的符号与平面坐标系中 x y 的的符号相同. 注记 坐标轴上点的坐标有两个为零 坐标面上点的坐标有一个为零. O; j k 中 点 P ( x y z) 关于 x0 y 平面的对称点 注记 在空间直角坐标系 { } P ( x y z) ; 关于 y0 z 平面的对称点 P ( x y z) ; 关于 x0 z 平面的对称点 P ( x y z) ; 关于 x 轴的对称点 P ( x y z) ; 关于 y 轴的对称点 P ( x y z) ; 关于 z 轴的对称点 P ( x y z). 注记 4 用类似的方法引入平面标架与坐标. 但要注意平面向量坐标的表示与中学的区别. 注记 5 用类似的方法引入一维标架与坐标. PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
20 坐标系共分八个卦限 Ⅳ xoy Ⅲ 面 yoz 面 o z zox 面 y Ⅱ Ⅰ Ⅶ Ⅷ x Ⅴ Ⅵ 二. 向量及运算的坐标表示. 向量的坐标表示 : 向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标. 即在标架 { O; e e e } P x y ) P x y ) 则 ( z ( z P { x x y y z }. P z 证明由已知条件知 OP xe ye ze OP xe ye ze 下若 所以 P P ( x x) e ( y y) e ( z z) OP OP e 即 P { x x y y z }. P z. 向量运算的坐标表示 () 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和 () 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积 () 两个非零向量共线的充要条件是对应坐标成比例 (4) 三个非零向量共面的充要条件是对应坐标构成的三阶行列式等于零 证明 () 设 { } { } 则 e ) ( e e ) ( e e e PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
21 ( e ) e ( ) e ( ) 所以 { }. 证明 () 设 { } 那么 λ λ e e ) λ e λe λ 所以 ( e e λ { λ λ λ}. 证明 () 设 { } 0 { } 0 由于向量 共线 所以必有 一个用另一个线性表示 不妨假设 λ 于是 由此可得 所以 { } λ{ } λ λ λ : : : : 当分母为零时 我们约定分子也为零 那么上式可以表示为 证明 (4) 设 { } { } 共面 故一定存在三个不全为零的实数 λ µ γ 使得 从而 λ µ γ 0. { } 由于 三向量 { λ µ γ λ µ γ λ µ γ } 0 λ λ λ 由于 λ µ γ 不全为零 所以 µ γ µ γ µ γ PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
22 0. 注记以上的结论均在仿设标架下成立.. 线段的定比点坐标 () 定义 对于有向线段 P P ( P P ) 如果点 P 满足 P P λ PP 我们称点 P 是把有向线 段 P P 分成定比 λ 的分点. 注记 λ ; 注记 λ > 0 P P 与 PP 同方向 ; λ < 0 P P 与 PP 反方向. () 分点的坐标 设有向线段 P P P ) 始点的坐标为 P x y ) 终点的坐标为 ( P ( z P ( x y z ) P P λ PP 则分点 P 的坐标是 x λx y λy z λz x y z. λ λ λ 证明 由已知条件得 P P λ PP 而 PP OP OP PP OP OP 所以 OP OP λ ( OP OP) 从而有 OP λop OP λ 将 OP OP OP 的坐标代入 得 P 的坐标 x λx y λy z λz x y z. λ λ λ 推论设 P ( x y z )( ) 那么线段 P P 中点的坐标是 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
23 x x y x y z y z z. 显然 该结论是中学平面几何中对应命题的推广. 第六节向量在轴上的射影 本节拟采用教法 : 几何直观一. 复习 : 空间一点在轴上的射影二. 有关的概念. 向量在轴上的射影向量及射影设向量 AB 的始点 A 和终点 B 在轴 上的射影分别为 A B 则向量 A B 叫做向量 AB 在在轴 上的射影向量 记做射影向量 AB. 如果在轴 上取与 轴同方向的单位向量 e 那么有 射影向量 AB xe x 叫做 AB 在轴 上的射影. 记做射影 AB x 注记 向量在轴上的射影是一个数量 它是向量 AB 在轴 上的射影向量关于标架 O; e 的坐标. { } 注记 射影向量 AB ( 射影 AB )e. 注记 x A B 当 A B 与 e 同方向时 x >0 当 A B 与 e 反方向时 x <0 当 AB 与轴垂直时 x 0. 注记 4 同理可定义一向量在另一非零向量上的射影向量及射影. 两向量的夹角 ( 空间 ) 设 是两个非零向量 自空间任意取一点 O 作 OA OB 我们把由射线 OA 和 OB 构成的在 0 到 π 之间的角叫做向量 与 的夹角 记做 ( ). 若 与 同向 那么 ( ) 0; 若 与 反向 那么 ( ) π; 若 不平行与 那么 0< ( ) 三. 性质定理 < π. PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
24 . 提出问题 () 求射影 AB () 求射影 ( ) () 求射影 λ. 解决问题 ) 问题 的思考过程 的推广 第一步 : 联想中学数学所学平面向量在轴上的射影公式射影 AB AB osϑ 第二步 : 类比平面向量和空间向量的性质 发现空间向量的某些性质是平面向量性质 第三步 : 推广平面向量在轴上的射影公式 猜测空间向量在轴上的射影公式射影 AB AB osϑ 第四步 : 验证 () 作出 AB 在轴 上的射影向量 () 找出射影与射影向量之间的关系 () 根据 x A B 借助三角形的边角关系分类讨论 分析 π 证明 θ 时 结论显然成立. π 当 θ 时 过 A B 两点分别作垂直于轴 的平面 α β 它们与轴 的 交点分别为 A B 则 A B 射影向量 AB. 作 A B AB 则 B 必在平面 β 上 因为 β 所以 B B A B B 是直角三角形 且 ( A B ) ( AB) θ. 设 e 是轴 上与 同方向的单位向量 则 所以 AB xe x 射影 AB π () 当 0 θ < 时 A B 与 e 同向 x A B A B osθ AB osθ π () 当 < θ π 时 A B 与 e 反向 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
25 x A B A B os( π θ ) AB osθ 从而当 0 < θ π 时 总有 x AB osθ 第五步发现结论 定理. 射影 AB AB osϑ ( 与中学结论相同 ) ) 问题 的思考过程探究发现 第一步 : 探究 () 作出两向量的和 () 作出 在轴 上的射影向量 第二步 : 发现 () 找出三个射影向量之间的关系 () 找出三个射影之间的关系 定理. 射影 ( ) 射影 射影 证明 () 作出两向量的和 取 AB BC 则 AC. 设 A B C 分别是 A B C 在轴 上的射影 故 A C A B B C 分别是 AB BC AC 在轴 上的射影向量那么显然 A C AB BC 又因 A B ( 射影 AB ) e B C ( 射影 BC ) e A C ( 射影 AC ) e 所以 ( 射影 AC ) e ( 射影 AB 射影 BC ) e 从而射影 ( ) 射影 射影 成立 ) 分析 () 利用定理 求出射影 λ 当 λ 0 0 时 由定理 知 射影 λ λ os ( λ ) λ os ( λ ) () 根据数乘向量的定义及两向量夹角的定义分类讨论 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
26 若 λ > 0 则 ( λ ) ( ) 所以射影 λ λ os ( ) λ 射影 若 λ < 0 ( λ ) π ( ) 所以 射影 λ λ os( π ( )) λ os ( ) λ 射影 当 λ 0 或 0 时 显然有射影 λ λ 射影 () 找出射影 λ 与射影 之间的关系 定理 射影 λ λ 射影 注记 5 若 则射影 射影 反过来 不一定成立注记 6 当 0 时 我们有 射影 AB AB os ( ) 射影 ( ) 射影 射影 射影 λ λ 射影 第七节向量的数量积 教法 : 概 念 : 复习旧知 --- 抽象概括 - 巩固理解 运算规律 : 复习 --- 猜想 --- 验证 一. 复习 W F S osθ 二. 定义 两个向量 和 的模与它们夹角余弦的乘积叫做两个向量 和 的数量积 ( 内积或点积 ) 记做 或 注记 两个向量的数量积是一个数量 而不是向量注记 两个向量的数量积的表示有两种 或 但不能写成 注记 在大学物理中 与 表示的含义不同 注记 4 当 0 0时 0. 注记 5 0 0时 射影 当 e r e 射影 e 注记 6 j j k k 注记 7 若 则对任意的向量 都有 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
27 注记 8 注记 9 ( ) 定理 0 r 注记 8 j j 0 k k 0 jk kj 0 三. 运算规律. 提出问题空间两向量的运算规律是什么?. 解决问题思考过程第一步 : 联想中学数学所学平面向量的运算规律 ;( ) ( λ λ ) ( λ) ; ( ) 第二步 : 类比平面向量和空间向量的性质 发现空间向量的某些性质是平面向量性质的推广第三步 : 推广平面向量的规律 猜测空间向量 ; ( ) ( λ λ ) ( λ) ; ( ) 第四步 : 验证 () 用定义 当 0 或 0 时 由定义知 0 0 故 成立 当 0 0 时 由定义知 os ( ) os ( ) () 用定义或数性积与射影的关系 当 λ 0或 0 或 0 时 有定义知 ( λ ) 0 λ( ) 0 ( λ) 0 故 ( λ ) λ( ) ( λ) 成立 当 λ 时 由数量积与射影的关系知 (λ ) 射影 λ λ 射影 λ ( ) 而 ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ ) 所以 ( λ ) λ( ) ( λ) 成立 () 用数量积与射影的关系 当 0 时 ( ) 显然成立 当 0 时由数量积与射影的关系知 ( ) 射影 ( ) 射影 射影 第五步结论 定理向量的数量积满足下列运算规律 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
28 () 交换律 () 关于数因子的结合律 ( λ ) λ( ) ( λ) () 分配律 ( ) 其中 为任意的向量 λ 为任意的实数 第六步比较 与 ( λ ) λ( ) ( ) ; ( ) ( λ λ ) ( λ) ;( ) 发现 : 向量数性积的运算可以象多项式的乘法那样进行运算 ( )( ) ( ) ( ) 发现 : 虽然当 0有 但一般情况下 0 则 不成 立 发现 虽然 ( ) ( ) 但一般情况下 ( ) ( ) 不成立 例 用向量法证明 : 三角形三边的高相交于一点 分析 : 证明共点问题有两种方法 : 法一 : 设某两线交于点 P 然后证明此点在第三条直线上 法二 : 在每条线上分别取特殊点 然后证明这些点重合 显然高线上没有特殊点 故采用方法一 第一步 : 准备工作设 ABC 的 BC AC 边上的高相交于点 P 且 PA PB PC 第二步 : 将已知条件用向量表示 PA BC 0 PB CA 0 第三步 : 用向量表示结论并加以证明 PC AB 0 证明 : 设 ABC 的 BC AC 边上的高相交于点 P 且 PA PB PC PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
29 则 AB BC CA 由已知条件可得 PA BC PB CA 所以 从而有 ( ) 0 ( ) 0 即 ( ) 0 所以 PC AB 0. 即点 P 在 ABC 第三边 AB 的高上 从而原命题得证. 四. 在空间直角坐标系 { O j k} ; 下 两向量数量积的坐标表示. 提出问题如何用坐标表示空间两向量的数量积?. 解决问题 似 第一步 : 联想中学数学所学平面两向量数量积的坐标表示 : 等于对应坐标乘积之和 第二步 : 类比平面向量和空间向量的性质 发现空间向量的某些性质与平面向量性质类 第三步 : 推广平面两向量数量积的坐标表达式 猜测空间两向量数量积的坐标也等于 对应坐标乘积之和 第四步 : 验证 设 { } { } 则 j j k k 从而 j k j j j k k k j k k 因为 j k 是两两垂直的单位向量 所以 r j j 0 k k 0 jk kj 0 j j k k 从而 第五步 : 结论 定理. 设 j j 则 k k PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
30 推论. 设 j k 则 j k 五. 空间直角坐标系 { O j k}. 提出问题 ; 中的距离问题 () 如何用坐标表示空间向量的模? () 如何用坐标表示空间中两点之间的距离?. 思考过程 : 探究发现 () 由两向量数量积的定义知 当 时 于是 根据定理 即可得到 的坐标表达式 定理. 设 j k 则 () 在空间中 设 P x y z ) ( ) 则 P ( { x x y y z }. P z 根据定理 即可得到两点 P P 之间的距离 推论. P x y ) P x y ) 之间的距离为 ( z 六. 空间直角坐标系 { O j k} P ( z P ( x x) ( y y) ( z z) ; 中的夹角问题. 提出问题 () 设 { } 0 α ( ) β ( j ) γ ( k ) 如何用坐标表示 α β γ? () 如何用坐标表示 ( )?. 思考过程 : 探究发现 () 因为 osα 且 所以 osα 从而 osα 同理可得 os β os γ 定理. 设 j k 0 α β γ 分别为它的方向角 则 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
31 osα osβ osγ 且 os α os β os γ 推论. 设 j k α β γ 分别为它的方向角 则 { osαosβ osγ } 0 { osαosβ osγ } () 根据两向量数量积的定义及定理 和定义 可得 定理 4. 设 { } 0 { } 0 则 os ( ) 七. 在平面直角坐标系 { O j} 在平面直角坐标系 { O j} ; 下的有关性质 ; 下 我们可得 定理 5 设 j 0 α β 分别为它的方向角 则 osα osβ 且 os α os β 推论 4 设 j 0 α β 分别为它的方向角 则 推论 5 设 ϕ 为 r { osα osβ} 0 { osα os β } r 与 r 的有向角 则 { osϕ sn ϕ} 例. 已知 A ( 00) B() C(0) () 证明 A B C 三点不共线 () 求 C r PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
32 () 射影 BC AB 分析 () 只要判断 AB AC 不共线即可 () os ( ) () 射影 AB BC AB BC AB 解 :() 由向量坐标的表示可得 BC { 0} { 0} AC { } AB 显然 : 0 : :: 所以 AB 与 AC 不共线 从而 A B C 三点不共线 所以 () 由两向量数量积的表示可得 BC AC ( ) ( ) 0 0 BC AB ( ) ( ) 0 BC AC AB 6 BC AC os C os ( BC AC) BC AC π 故 C. () 由射影与数量积的关系知 AB BC 6 射影 BC. AB AB 第八节 两个向量的向量性积 教法 : 概 念 : 复习旧知 --- 抽象概括 运算规律 : 复习 --- 猜想 --- 验证一. 复习设力 f 作用于点 A OA r 则力矩 m 是向量 m r f sn θ 方向 : 右手法则 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
33 二. 定义两个向量 和 的向量性积是一个向量 记做 或 [ ] 模 : sn ( ) 方向 :() 与向量 和 垂直 ; () 按 O;. 这个顺序构成右手标架 { } 有定义我们可以得到 注记 是一个向量注记 与 中有一个为零向量时 注记 与 共线时 0 0 从而 注记 4 注记 5 0 ( λ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) O; 为右手标架 与 不共线时 { } 三. 有关的定理定理 与 不共线时 就是以向量 和 为邻边的平行四边形 的面积 定理 0 证明 : 由定义可得 0 0 sn ( ) 0 0 或 0 或 sn ( ) 0 0 或 0 或 ( ) 0 或 π 定理 当 与 不共线时 与 反向证明当 与 不共线时 显然 0 由于 所以 确定的平面 π 而 所以 确定的平面 π 从而. 故 与 反向. 否则 与 同向 而 { O; } 为右手标 架 故 { O; } 为右手标架 所以 { O; } 为左手标架 矛盾. 定理 4 j j k k 0 j k j k k j 证明 () 显然 j j k k 0 成立 () 由于 j k 是两两垂直的单位向量 所以 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
34 j jsn π k 又 j j j 所以 j xoy 而 k xoy 故 j k 此时 j与 k 同方向. 否则 j 与 k 架所以 { O j k} ; 为右手标 反方向 而 { O j j} ; 为左手标架 矛盾 所以 j 与 k 同方向 故 j k () j k j k sn π 又 j k k j k j 所以 j k yoz 而 y0z 故 j k 此 时 j k 与 同方向. 否则 j k 与 架所以 { O; j k } 为左手标架 从而 { O j k} 同理可证 k j 定理 4 当 ; 为右手标 反方向 而 { O j k j k} ; 为左手标架 矛盾 故 j k 与单位向量 e 不共线时 过 e 的公共始点 O 作平面 π 垂 直于单位向量 e 自向量 的终点 A 引 AA π A 为垂足 将向量 OA 在平面 π 上绕 O π 逆时针旋转 得向量 OA 则 OA e. 四. 运算规律 ( 补充的性质 ). 回顾数量积的运算规律 ;( ) ( λ λ ) ( λ) ;( ). 猜想 猜想 猜想 λ ( ) ( λ) ( λ) 猜想 ( ). 验证 () 当 时 0 0 从而 ; 当 与 不共线时 显然 0 从而 与 都是以向量 和 为邻边的平行四边形的面积 故 ; 由于 所以 确定的平面 π 而 所以 确定的平面 π 从而. PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
35 故 与 一定同反. 否则 与 同向 而 { O; } 为右手标架 故 { O; } 为右手标架 所以 { O; } 为左手标架 矛盾. 故猜想 不正确 正确的 结论是 ( ) () 当 λ 0或 时猜想 () 显然成立 ; 当 λ 0且 与 不共线时 ( λ ) λ sn ( λ ) λ ( ) λ sn ( ) ( λ ) λ sn ( λ ) 由于 sn ( λ ) sn ( ) sn ( λ ) 故 (λ ) λ ( ) ( λ) 当 λ > 0时 由于 λ 与 同向 λ 与 同向 λ ( ) 与 同向 所以 λ ( )( λ) ( λ) 都与 同向 故三向量 λ ( ) ( λ ) ( λ) 方向相同 ; 当 λ < 0时 由于 λ 与 反向 λ 与 反向 λ ( ) 与 反向 所以 λ ( )( λ) ( λ) 都与 反向 故三向量 λ ( ) ( λ ) ( λ) 方向相同. 从而猜想 成立 ; () 当 中至少有一个零向量或 为一组共线向量时 猜想 显然成立 ; 当 均为非零的不共线向量时 分两步进行 : 第一步 : 证 ( ) ) 作出 ( ) ) 找出 ( ) 之间得关系 0 设 O 是向量 的公共始点 作 OA AB OB. 过点 O 作平面 0 π. 设 A B 分别为 A B 在平面 π 上的射影 则向量 OA A B OB 分 别是向量 OA AB OB 在平面 π 上的射影向量. 将 OA A B OB π 依顺时针旋转得 OA A B OB 则 0 0 OA OB ( ) AB OA A B OB 所以 ( ) 成立 又 0 在平面 π 内分别绕点 O PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
36 第二步 : 证 ) ( 将 ) ( 两边同乘以 可得 ) ( 而 0 所以 ) ( 成立 4. 结论 : 定理 5 向量性积具有下列运算规律 () 反交换律 ) ( () 关于数因子的结合律 ) ( ) ( ) ( λ λ λ () 分配率 ) ( 其中 为任意的向量 λ 为任意的实数有规律我们容易得出注记 ) ( 注记 j k j k k j 注记 一般情况下 0 则 注记 4 ) ( ) ( ) ( 比较向量积与数量乘法的运算规律 我们发现注记 5 向量向量性积的运算可以象多项式的乘法那样进行运算 但由于向量性积不满足交换律 而具有反交换律 所以在向量性积的运算过程中 如果交换向量性积的两个因子向量 就必须改变符号. 五. 向量性积的坐标表示. 探讨设 k j k j 从而 j k j j j k j k j k k k 因为 k j 是两两垂直的单位向量 所以 0 k k j j j k k j k j PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
37 j k k j k j 所以 ( ) ( j j ( k ) k ) 从而得到结论. 结论定理 6 若 j k j k 则 j k 六. 应用. 解决平行问题 共线问题. 求面积例. 已知空间三点 A ( ) B( 5) C( 5) () 证明 A B C 三点不共线 () 求 ABC 的面积 ; () ABC 的 AB 边上的高. 分析 : () 证明 AB AC 0 () ABC 的面积 AB AC () h AB AC AB AC 解题步骤 第一步 : 求 AB A ; 第二步 AB AC 第三步求 AB AC 及 AB 的模 ; 第四步求面积及高 () 由向量的坐标表示方法可得 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
38 所以 AC { 0 8} { } AB j k AB AC 4 j 6k 故 AB A 不共线 从而 A B C 三点不共线 () 由 () 可得 AB AC 4 所以 ABC 的面积 AB AC 6 6 () 显然 ABC 的 AB 边上的高是 ABCD 的 AB 边上的高 所以 h AB AC AB 而 AB ( ) 4 所以 h 6 第九节三向量的混合积 一. 定义 : 给定空间三个向量 如果先做前两个向量 的向量性积 再做所得的向量与第三个向量 的数性积 最后得到的这个数叫做三向量 的混合积 记做 ( ) 或 ( ) 或 ( ). 注记 三向量的混合积 ( ) 是一个数量 不是向量 注记 ( ) os ( ) 注记 当 0 或 0 或 0 时 ( ) 0 注记 4 ( ) 0 ( ) 0 ( ) (λ µ ) 0 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
39 二. 有关的性质. 提出问题 ()( ) 0的充分必要条件是什么? ()( ) 0时 混合积的几何意义是什么?. 解决问题 问题 的探究发现过程当 与 不共线且 0 时 () 若三个向量 共面 那么由向量积的定义知 故 确定的平面 π 由已知条件知向量 一定在平面 π 上 从而 故 ( ) ( ) 0 () 若 ( ) 0 则 由向量积的定义知 所以三个向量 垂直于同一个平面 故三个向量 共面. 当 或 0 时显然 共面 且 ( ) 0 综上所述 我们发现 定理 三个向量 共面 ( ) 0 问题 的探究发现过程 由于三向量 不共面 所以把它们归结到共同的始点 O 可以构成一个以 为棱的平行六面体 它的底面积是以 为边的平行四边形 面积 S 它的高 OH h 它的体积 V S h 根据数量积的定义知 ( ) os ( ) S osθ 其中 θ ( ) π () 当 { O; } 为右手标架时 0 θ < 因此 h osθ 从而 ( ) S osθ S h V. () 当 { O; } 为左手标架时 { O } ; 为右手标架 从而根据 () 可得 PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
40 . ) ( ) ( V 从而发现定理 三个不共面向量 的混合积的绝对值等于以 为棱的平行六面体的体积 并且当向量 构成右手系时混合积是正数 ; 当向量 构成左手系时混合积是负数. 由于交换交换 向量中某两向量的位置 右手标架变为左手标架 左手标架变为右手标架 ; 轮换向量 三向量的位置 不改变标架的左右手性. 根据定理和定理 可得定理 轮换混合积的三因子 并不改变它的值 对调任意两个因子要改变乘积符号. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 三. 混合积的坐标表示. 提出问题 : 三向量的混合积如何用坐标表示?. 探讨思考过程设 k j k j k j 则由向量积的坐标表达式可得 j k 从而 ) (. 发现命题定理 4 如果 k j k j k j 则 ) ( 注记 5 D C B A 四点共面的充分必要条件是 0 ) ( AD AC AB PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
41 注记 6 以 AB AC AD 为棱的平行六面体的体积 V ( AB AC AD) 以 AB AC AD 为棱的四面体的体积 V ( AB AC AD) 6 四. 应用. 判断 A B C D 四点是否共面. 求四面体及平行六面体的体积 例 已知空间四点 A ( 000) B(606) C(40) D( ) () 证明 A B C D 四点不共面 ; () 求四面体 ABCD 的体积. 分析 () 只要证明 ( AB AC AD) 0 () 四面体 ABCD 的体积 V ( AB AC AD) 6 () 证明由向量的坐标表示方法可得 所以 AB { 606} { 40} AD { } AC 6 ( AB AC AD) 由初等几何知四面体 ABCD 的体积是以 AB AC AD 为棱的平行六面体的体积六分之一 6 因此 V ( AB AC AD) 6 例 设向量 不共面 求向量 d 对于 的分解式 解因为向量 不共面 所以向量 d 可以用 的线性表示 即 d x y z 将此式两边分别与向量 作数量积 则 d ( ) x( ( ) ) y( ( ) ) z( ( ) ) PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
42 根据定理 定理 我们有 r ( ) ( ) 0 d ( ) ( d) ( ) ( ) 因为向量 不共面 所以 ( ) 0 从而 ( d) x ( ) 同理可得 ( d) ( d) y z ( ) ( ) PDF 文件使用 "pdfftory Pro" 试用版本创建
第 章 向量代数与 何空间的结构 2015 年 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 定义 1. 既有 小 又有 向的量成为向量 ( 或 量 ). 向量 般 粗体 写字母或希腊字母表, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表 数量. 在 何上, 个向量 a
1 解析几何选讲 解析 何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔 费马等数学家创 并发展. 它是 代数 法研究 何对象之间的关系和性质的 门 何学分. 摘 百度百科 (1) 与其说是 何学的 门分, 不如说是 何学的一种方法 ; 通过平 ( 空间 ) 的坐标系, 建 点与实数对之间的 对应关系 ; 得到曲线或曲 与 程之间的对应关系 ; 代数 法研究 何问题, 或 何 法研究代数问题. (2) 核 思想 :
第七章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-)
第 7 章向量代数与空间解析几何 0 0 a 取 c a a 例 在四边形 ABCD 中, AB a, BC 4a,CD ABCD 为梯形 分析 5a, 证明四边形 若能利用向量关系证明四边形 ABCD 中的一组对边互相平行, 则可知四边形 ABCD 为梯形 证明在四边形 ABCD 中, AD AB
第 7 章向量代数与空间解析几何 7 向量及其线性运算 7 基本要求 理解向量的概念 掌握向量的线性运算 理解向量的几何表示 7 答疑解惑 向量与标量在表示方法上有什么区别? 答在手写体中, 向量的上方有箭头, 而标量没有 ; 在印刷体中, 若用单个字母表示 向量, 则用粗体字母表示该向量, 或者不用粗体但是字母上方加箭头 ; 若用两个字母表示向量, 则上方加箭头, 而标量不用粗体, 也不加箭头 例如
线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin: 研究代数系统的结构与表示理论 例如 : 自然数 有理数 无理数 实数 复
第一章向量与 复数 管理科研楼 1205 室 1 E-mail: tongwh@ustceducn 1 数学科学学院中国科学技术大学 2017-2018 学年第二学期 00151914 线性代数与解析几何 第一章向量与复数 11 向量的线性运算 12 坐标系 13 向量的数量积 14 向量的向量积 15 向量的混合积 16 高维数组向量 17 复数 18 数域 19 求和符号 什么是代数学? Ẹ Artin:
1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://
线性空间与线性映射 知识回顾 1 线性空间 基 维数和坐标 3 子空间 4 线性空间的同构 5 线性映射 6 线性映射的像与核 7 线性变换 8 不变子空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 1 线性空间 厦门大学数学科学学院网址 :gdjpkc.xmu.edu.c; IP://11.19.180.133 定义称 V 是数域 F 上的线性空间,
1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 - . 共线向量定理 向量 a(a 0) 与 b 共线, 当且仅当有唯一的一个实数 λ, 使得 b a. 注 限定 a 0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性. 凤中数学静雅斋 :
考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景. () 理解平面向量的概念, 理解两个向量相等的含义. (3) 理解向量的几何表示.. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法 减法的运算, 并理解其几何意义. () 掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义. (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一 平面向量的相关概念 名称定义表示方法注意事项
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
习题10-1
第七章 空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)
第七章 向量代数与空间解析几何
前面各章我们介绍的是一元函数的微积分 涉及的是单个自变量的函数. 一元微积分的方 法也可用于讨论多元函数 多元函数的自变量是多元数组或者称为向量. 为此我们介绍向量代 数与空间解析几何 其方法和内容将有助于多元微积分内容的展开. 本章将讨论向量的概念 运算及相应的几何意义 进而讨论空间直角坐标系下的平面 直线的方程以及它们的位置关系 另外介绍曲面和曲线方程包括典型的二次曲面及其标准方程. 7.1 空间直角坐标系
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高等数学 下册 向量的大小称为向量的模 向量 的模分别记为 其中 模为 的向量称为单位向量 模为零的向量称为零向量 记为 或 零向量的起点与终点是重合的 所以其方向可看作是任意的 不是零向量的向量就称为非零向量 对于两个非零向量 和 若它们的方向相同或相反 则称这两个向量平行 记为 这里应该注意到
中学时曾学习过平面解析几何 它是由法国数学家笛卡尔和费马于 世纪开创的 平面解析几何通过建立一个平面直角坐标系 将平面上的点与一个有序数组对应起来 从而将平面上的曲线或形与代数方程对应起来 这样就可以用代数方法来研究几何问题 而空间解析几何是平面解析几何从二维平面向三维空间的进一步拓展 本章中首先介绍向量的概念及其线性运算 并由此建立空间坐标系 然后利用坐标讨论向量的运算 并介绍空间解析几何的相关内容
00.S72
普通高等教育 十一五 国家级规划教材 空间解析几何 ( 新版 ) 李养成编著 北京 内容简介本书内容包括向量代数 空间的平面与直线 常见的曲面 二次曲面的一般理论 正交变换和仿射变换. 本书结构紧凑, 突出了解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 注意展现数学知识的发生过程和数学问题解决的思维过程, 注重思维训练和空间想象能力的培养. 本书表达清晰, 论述深入浅出, 力求使读者便于学习领悟. 书末附有习题答案与提示,
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
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解析几何 陈抚良张振兰黄浩然编 北京 内容简介 本书针对中学新课标和大学面向 21 世纪教学改革的实际, 系统地介绍了空间直角坐标系及其相关概念 空间的平面和直线 常见的曲面与曲线 空间区域及作图 一般二次曲线方程的化简与作图 几何学发展及前沿概况等. 本书适合于师范类高校作为必修课的教材或参考书, 也可供高等院校理工类学生 大学自考生 中等学校数学教师 工程技术人员学习使用. 图书在版编目 (CIP)
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初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
高等应用数学 ( 上册 ) 图 5.. 图 5.. 以坐标原点 O 为起点, 向一个点 M 引向量 OM, 这个向量称为点 M 对于原点的向径, 用 粗体字母 r 表示. 设有两个非零向量 b, 在空间中任取一点 O, 作 OA = AOB = θ ( θ π ) 为两个向量 和 b 的夹角, 记为
第 5 章空间解析几何 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究空间中的几何问题. 这一章里我们首先介 绍空间解析几何部分, 在此基础上, 研究多元函数的微积分有关内容. 本章学习目标 理解空间向量的有关概念, 掌握空间向量的坐标表示, 单位向量, 方向余弦. 熟练掌握空间向量的线性运算 数量积 向量积的坐标运算法. 熟练掌握空间向量平行 垂直的充要条件及进行判定. 掌握平面的点法式方程 一般式方程
幻灯片 1
向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳 向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页 1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个
危险化学品废物的处理
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内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者
解析几何习题全解 卢涛安佰玲黄保军 主编 中国科学技术大学出版社 内容简介本书是解析几何的学习辅导书, 分向量与坐标 平面与直线 特殊曲面 二次曲面 二次曲线共五章. 每章由知识概要 典型例题分析与讲解 习题详解三个部分组成, 较好地阐释了解析几何的思想和方法, 对每章的重点和难点做了梳理与总结, 同时通过举例分析, 尝试一题多解, 提高读者的解题能力, 帮助读者解疑释惑, 进一步理解知识点. 其中习题详解部分对
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1 2 A 3 AB 8 11 12 13 14 15 16 4 5 6 21 200 (l)20 (2)15 (3)10 7 8 9 10 11 11 12 14 15 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 18 203500 1500 500 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
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义 务 教 育 教 科 书 数 学 九 年 级 下 册 QINGDAOCHUBANSHE 亲 爱 的 同 学 : 时 间 过 得 真 快! 转 眼 之 间, 已 经 进 入 九 年 级 下 学 期 在 九 年 义 务 教 育 阶 段 的 最 后 一 学 期, 你 打 算 怎 样 学 习 数 学? 函 数 是 你 的 老 朋 友, 早 在 七 年 级, 就 结 识 了 函 数, 在 八 ( 下 ) 又
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第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线 第 节空间直角坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
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第七章
第六章 空间解析几何与向量代数 内容提要. 理解空间直角坐标系的概念, 向量的概念及其表示. 理解向量坐标的概念. 知道向量的线性运算 数量积 向量积的定义,. 掌握用坐标进行向量的运算掌握两向量的夹角公式, 一向量在另一向量上的投影公式及用向量的坐标表示两向量的平行 垂直的充要条件. 4. 掌握平面及直线的方程. 会根据简单的几何条件求平面及直线的方程. 5. 了解曲面及其方程的概念. 了解空间曲线及其方程的概念.
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅱ ~ Ⅲ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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第 8 章向量代数与空间解析几何 学习目标 理解空间直角坐标系的概念, 掌握两点间距离公式, 理解向量的概念及其坐标表示式, 会求向量的模 方向余弦及单位向量 会用向量坐标进行向量的线性运算 数量积与向量积运算, 会求两向量的夹角, 掌握两向量平行 垂直的充要条件 掌握平面的方程与直线的方程, 会用简单的条件求平面与直线的方程, 理解平面与平面 直线与直线 平面与直线的关系, 会求点到平面的距离 了解空间曲面
CIP /. - 1999.1 ISBN 7-81059-300-! ". #. - - - - $. D909.5-44 CIP 1999 00865 100038 850 1168 1/32 8 200 1999 1 1 2003 3 1 2003 3 1 0001-5000 180.00 15.00 !! 2003 2 1998!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
九十六學年度第一學期第三次定期考國文科試題
凡 答 案 卡 上 因 個 人 基 本 資 料 畫 記 錯 誤 或 不 完 全, 造 成 讀 卡 過 程 無 法 判 定 身 分 者, 本 科 此 次 定 期 考 分 數 扣 3 分 一 單 選 題 ( 每 題 2 分 )36% 1.( 甲 ) 乃 覺 三 十 里 :ㄐㄩㄝˊ( 乙 ) 經 宿 方 至 :ㄙㄨˋ( 丙 ) 乾 癟 :ㄅㄧㄢˇ( 丁 ) 垂 髫 : ㄊㄧㄠˊ( 戊 ) 一 綹 短 髮
§３ 行列式和向量积
第七章空间解析几何 在平面几何中通过平面的解析几何 将数与形紧密地连接起来 用代数的方法研究平面几何 起到了非常良好的效果 本章将用类比法 用代数的方法研究立体几何 为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念 第一节空间直角坐标系 在我们生活的三维空间中 取一个平面将之分割为两部分 在此平面上建立一个直角坐标系 o 这里 表示 轴 表示 轴 O 表示 轴的共同原点 过 o 作平面 o 的垂线 o 为垂足
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
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第 二 章 支 付 结 算 法 律 制 度 考 情 分 析 本 章 在 历 年 考 试 中 所 占 的 分 值 比 重 为 20 35 分 左 右 围 绕 支 付 结 算 展 开, 分 别 介 绍 了 现 金 管 理, 银 行 存 款 管 理, 以 及 各 种 支 付 结 算 工 具 本 章 重 点 为 第 四 节, 难 度 稍 高, 需 要 考 生 在 理 解 的 基 础 上 适 当 记 忆 第
6.3 正定二次型
6.3 正定二次型 一个实二次型, 既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形, 显然, 其标准形一般来说是不惟一的, 但标准形中所含有的项数是确定的, 项数等于二次型的秩 当变换为实变换时, 标准形中正系数和负系数的个数均是不变的 定理 ( 惯性定理 ) 设有二次型 f =x T Ax, 它的秩为 r, 如果有两个实的可逆变换 x=c y 及 x=c z 分别使 f =k
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高等数学 ( 下册.. 向量的线性运算. 向量的加减法 向量的加法运算规定如下 : 设有两个向量 a 与 b, 任取一点 A, 作 AB a, 再以 B 为起点, 作 BC b, 连接 AC ( 如图.3 所示, 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a b, 即 c a b. 这
第 章 空间解析几何与向量代数 解析几何是用代数的方法来研究几何问题. 空间解析几何是多元函数微积分的基础. 在研究空间解析几何时, 向量代数是一个有力的工具. 本章首先简单介绍向量的概念及向量的线性运算, 然后再建立空间直角坐标系, 利用坐标讨论向量的运算, 并以向量为工具讨论空间解析几何的有关内容.. 向量及其线性运算.. 向量的概念 在日常生活中有这样一类量, 它们既有大小, 又有方向, 例如位移
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145
第 4 章向量代数与空间解析几何 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面 1 / 145 Outline 向量代数空间直角坐标系向量代数 平面与直线平面的方程直线的方程直线与平面的关系平面束 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线的方程柱面旋转曲面锥面空间曲面和空间曲线的参数方程二次曲面
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
2018/5/25 预览页 2016 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择 1. 设集合 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 8}, 则 A B = ( ). A. {4, 8} B. {0, 2, 6} C. {0, 2, 6, 10} D. {0, 2, 4
06 年全国卷 III 文科高考真题数学试卷 选择. 设集合 A = {0,,, 6, 8, 0}, B = {, 8}, 则 A B = ( ). A. {, 8} B. {0,, 6} C. {0,, 6, 0} D. {0,,, 6, 8, 0} z. 若 z = + i, 则 = ( ). z A. B. C. + i D. i. 已知向量 BA = (, ), BC = (, ), 则 ABC
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Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 7. 根 据 中 华 人 民 共 和 国 会 计 法 的 规 定, 对 登 记 会 计 账 簿 不 符 合 规 定 的 单 位 县 级 以 上 人 民 政 府 财 政 部 门 责 令 限 期 改 正, 并 可 以 处
北 京 市 会 计 从 业 资 格 无 纸 化 考 试 财 经 法 规 与 会 计 职 业 道 德 上 机 考 试 题 库 ( 五 ) 考 试 时 间 :60 分 钟 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 分, 每 小 题 1 分 每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 漏 选, 不 得 分 ) 1. 纳 税 人 生 产 规 模 较 小 产 品 零 星 税 源 分 散
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4.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 21 分 15 秒处 ) 5.E ( 详细解析见视频课程 绝对值 01 约 32 分 05 秒处 ) 6.D ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 4 分 28 秒处 ) 7.C ( 详细解析见视频课程 绝对值 02 约 14 分 05 秒处 )
[ 说明 ] 1. 以下所指教材是指朱杰老师的 管理类联考综合能力数学套路化攻略 2. 该文档中所标答案和参见的教材答案, 与视频有冲突的, 以视频答案为准! 基础篇 第 1 章 数 1.2.1 整数例题答案 : 1. A ( 详细解析见教材 P7 例 2) 2. D ( 详细解析见视频课程 数的性质 约 10 分 53 秒处 ) 3. C ( 详细解析见教材 P7 例 3) 4.E ( 详细解析见视频课程
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科 別 : 國 文 科 (A 區 ) 分 發 16 名 1 600110129 黃 毅 潔 國 立 豐 原 高 級 商 業 職 業 學 校 2 600110446 鄭 安 芸 國 立 南 投 高 級 中 學 3 600110632 李 孟 毓 桃 園 市 立 大 園 國 際 高 級 中 學 4 600110492 洪 珮 甄 南 投 縣 立 旭 光 高 級 中 學 5 600110262 柯 懿 芝
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
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ⅠⅡ 1 2Ⅲ Ⅳ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数
![数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数](/thumbs/51/27870416.jpg "数学分析（Ｉ）短课程 [Part 2] 4mm 自然数、整数和有理数")
.. 数学分析 (I) 短课程 [Part 2] 自然数 整数和有理数 孙伟 华东师范大学数学系算子代数中心 Week 2 to 18. Fall 2014 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014 1 / 78 3. 自然数理论初步 孙伟 ( 数学系算子代数中心 ) 数学分析 (I) 短课程 Week 2 to 18. Fall 2014
A B C D E F 3 B C D E F A 3 1995 13 27 299 1993 45 29 301 1995 47 5 12 30 6 12 31 67 17 1 1 4 8 00 2 145 1 1 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 1 1 1 1 2 + + + + 1 3 3 5 5 7
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
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Microsoft Word - 第5-7章
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2013年3月国家教师资格统一考试
2016 年 导 游 资 格 考 试 导 游 基 础 模 拟 试 题 及 答 案 4 一 单 项 选 择 题 ( 请 选 择 一 个 正 确 答 案, 并 将 正 确 答 案 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 ) 1. 马 克 思 列 宁 主 义 同 中 国 实 际 相 结 合 的 第 二 次 历 史 性 飞 跃 的 理 论 成
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
过 程 排 除 A 正 确 答 案 是 B 14.A 解 析 本 题 考 查 思 修 第 八 章 中 国 人 权, 新 增 考 点 其 中 直 接 考 查 宪 法 保 障 是 人 权 保 障 的 前 提 和 基 础 A 人 权 保 障 的 最 后 防 线 是 司 法 保 障,B 人 权 保 障 的
2016 考 研 政 治 真 题 答 案 及 解 析 ( 完 整 版 ) 来 源 : 文 都 教 育 一 单 选 题 1.B 解 析 此 题 考 查 的 是 适 度 原 则 AC 选 项 表 述 正 确 但 与 题 目 无 关 D 表 述 错 误, 现 象 表 现 本 质 的 只 有 B 与 题 干 相 符, 所 以 答 案 为 B 2.A 解 析 前 一 句 话 " 自 由 不 在 于 幻 想 中
东 奥 解 析 (1) 小 规 模 纳 税 人 销 售 货 物, 应 按 照 3% 的 征 收 率 计 算 应 纳 税 额, 不 得 抵 扣 进 项 税 额 ;(2) 计 税 依 据 含 增 值 税 的, 应 价 税 分 离 计 算 应 纳 税 额 知 识 点 小 规 模 纳 税 人 应 纳 税 额
一 单 项 选 择 题 1. 根 据 企 业 所 得 税 法 律 制 度 的 规 定, 下 列 关 于 企 业 所 得 税 税 前 扣 除 的 表 述 中, 不 正 确 的 是 ( ) A. 企 业 发 生 的 合 理 的 工 资 薪 金 的 支 出, 准 予 扣 除 B. 企 业 发 生 的 职 工 福 利 费 支 出 超 过 工 资 薪 金 总 额 的 14% 的 部 分, 准 予 在 以 后
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《分析化学辞典》_数据处理条目_2.DOC
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(C) 比 得 上 (D) 如 果 17. ( ) 聖 賢 經 傳 和 傳 奇 小 說 兩 個 傳 字, 其 音 義 關 係 為 何? (A) 音 同 義 異 (B) 音 義 皆 同 (C) 義 同 音 異 (D) 音 義 皆 異 18. ( ) 下 列 選 項 中 的 形 似 字, 何 者 讀 音
國 中 國 文 B4:L7 考 試 卷 年 班 座 號 : 姓 名 : 一 國 字 及 注 音 1. 1 謹 ㄔˋ : 2 裝 ㄕˋ : 2. 1 ㄕㄨˊ 大 於 是 : 2 私 ㄕㄨˊ : 3. 歙 縣 : 4. 拘 泥 : 5. 不 宜 痴 : 6. 1 經 傳 : 2 傳 承 : 7. ㄏㄨㄟ 諧 : 8. 徽 州 : 9. 閒 ㄒㄧㄚˊ : 10. 康 ㄒㄧ : 11. 默 而 識 之 :
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要 求 服 装 统 一 各 队 自 带 比 赛 球 槌 队 长 及 教 练 标 志 大 会 提 供 比 赛 用 球 和 号 码 布 ( 五 ) 比 赛 所 用 球 槌 须 为 中 国 门 球 协 会 2016 年 度 专 业 器 材 供 应 商 企 业 的 产 品, 企 业 名 称 和 品 牌 请
竞 赛 规 程 一 比 赛 时 间 和 地 点 时 间 :2016 年 8 月 7 日 至 13 日 地 点 : 湖 北 省 利 川 市 二 竞 赛 织 指 导 单 位 : 中 国 门 球 协 会 主 办 单 位 : 中 国 门 球 协 会 门 球 之 苑 编 辑 部 利 川 市 人 民 政 府 承 办 单 位 : 湖 北 省 门 球 协 会 恩 施 州 老 年 人 体 育 协 会 利 川 市 文
一、审计的分类
一 审 计 的 分 类 按 主 体 分 为 : 政 府 审 计 : 强 制 性 内 部 审 计 : 一 般 存 在 于 企 业 内 部 注 册 会 计 师 审 计 : 民 间 审 计 按 目 的 和 内 容 分 为 : 财 务 报 表 审 计 经 营 审 计 合 规 性 审 计 按 与 被 审 计 单 位 的 关 系 分 为 : 内 部 审 计 外 部 审 计 二 注 册 会 计 师 审 计 与 内
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2014 年 注 册 会 计 师 专 业 阶 段 考 试 税 法 试 题 及 答 案 一 单 项 选 择 题 1. 税 法 基 本 原 则 的 核 心 原 则 是 () A. 税 收 法 定 原 则 B. 税 收 公 平 原 则 C. 税 收 效 率 原 则 D. 实 质 课 税 原 则 答 案 A 解 析 税 收 法 定 原 则 是 税 法 基 本 原 则 的 核 心 知 识 点 税 法 基 本
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CIP. 2006.1 ISBN7-301-04643-X Ⅰ. Ⅱ.1 2 Ⅲ.1-2 - 3 - Ⅳ.1D911.012D921 CIP 2001 06177 ISBN7-301-04643-X D 0487 205 100871 htp cbs.pku.edu.cn 62752015 62750672 62752027 pl@pup.pku.edu.cn 890 1240 A5 11.625
标题
序 言 恩格斯曾经说过 在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 微积分的重要性可见一斑. 作为高等学校理工科学生进行学习和研究工作最基本的工具之一, 没有微积分的支撑, 计算理论 软件开发 工程分析等领域的工作都将一筹莫展. 这门基础学科对于培养新型复合型人才起着至关重要的作用, 因为无论什么科研结论都需要数据的支撑, 而高等数学是数据分析的最基本工具之一.