(4 ) 垂直故可取即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程所求平面方程为确定平面的另一类条件是不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面设平面所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此和与平面的法向量垂直即可以取法向量

Size: px

Start display at page:

Download "(4 ) 垂直故可取即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程所求平面方程为确定平面的另一类条件是不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面设平面所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此和与平面的法向量垂直即可以取法向量"

忘贲
5 years ago
Views:

1 教案平面和直线教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型由于曲线在局部可以用它的切线来近似曲面在局部可以用它的切平面来近似所以平面和直线也是几何和分析中以直代曲的最基本元素因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要而且是必须要掌握的数学工具在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 平面和直线的代数表示即它们的方程的形式如何? 以及如何用向量的运算方法来建立这些方程 ; () 平面与平面平面与直线直线与直线以及点与这些对象的位置关系如距离夹角等以及如何利用代数方法来处理教学思路和要求 () 首先讲解平面的方程直线的方程以及建立这些方程的方法 () 讲解点与平面的距离点与直线的距离公式的建立和运用 (3) 讲解平面与平面平面与直线直线与直线的夹角概念与计算方法 ; (4) 进一步利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具体计算方法教学安排一. 平面方程的几种形式 3 在 R 中给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点就可以唯一决定这个平面与平面垂直的方向称为这个平面的法向量设所求平面的法向量为 ( ) 而且平面过点 ( ) 对平面上的任何一点 ( ) 与的连线依然在平面上因而 ) 与垂直即 ( = 用分量表示就是 ( ) ( ) ( ) 这个关系式称为平面的点法式方程记常数 ( ) 则上述方程可以写成这个关系式称为平面的一般方程例 6.. 求过原点 O ( ) 和点 ( 6 3 ) 且与平面 4 8 垂直的平面方程 O 图 6.. 解记所求平面为因为过原点 O ( ) 和点 ( 6 3 ) 所以其法向量应与 O ( 6 3 ) 垂直又垂直于平面 4 8 所以应与向量

2 (4 ) 垂直故可取即 i j O 6 3 4i 4 j 6k 4 k 利用平面的点法式方程所求平面方程为确定平面的另一类条件是不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面设平面所过的 3 个点为 ( ) ( ) ( ) 因此和与平面的法向量垂直即可以取法向量设 () 是平面上的任何一点则有 ) ( 这称为平面的三点式方程容易看出它正好就是四点共面的条件由行列式的性质上式展开后一定是形式因此实际计算时不必死记公式可以将的坐标直接代入平面的一般式方程用待定系数法解出特别地将平面所过的 3 个点取为过坐标轴的点 (a) (b ) (c ) 代入三点式方程就有 ( c ) a a b = O a c (a) (b) 展开整理后得 () 当 a b c 均不为时平面方程为图 6.. a b c 它称为平面的截距式方程 ( 见图 6..) 其中 abc 依次称为该平面在轴上的截距此时平面的法向为 a b c () 当 abc 中只有一个为时所决定的平面是坐标平面 a O ; b c O O ;.

3 例 6.. 求过点 ( 3 ) ( ) ( ) 的平面方程解将三点的坐标代入平面的一般方程得到关于的方程组 3. 它的一组解为 = 3 = -7= - =7( 此方程组有无穷多个解只取一个解就可以了 ) 于是所求的平面方程为 = 二. 直线方程的几种形式与平面类似要确定空间中的一条直线主要条件也有两类一类是确定直线的方向和直线上的一个点另一类是确定直线上的两个点设直线 L 的方向向量为 v ( ) 它过点 ( ) 于是直线 L 上任何一点 ( ) 与的连线与 v 平行即 // v ( 见图 6..3) 按分量写开就是它称为直线的对称式方程或点向式方程注意若中有等于的例如当时则应将上述方程理解为. 当时则应将上述方程理解为. 例 6..3 求过点 ( 4) 方向向量为 ( 3 ) 的直线方程解直接代入直线的对称式方程便得所求的直线方程为 v 4 3 若给定了直线上的两个点 ( ) 和 O ( ) 则的方向就是 v 的方向向量 ( 见图 6..4) 代入直线的对称式方程即得到直线的两点式方程图 6..4 O 图 6..3 v

4 若在直线的对称式方程中记 t 将等式写开便得到 t t t 它称为直线的参数方程其中 t 是参数参数方程对于求解某些具体问题很有效 3 4 例 6..4 求直线与平面 6 的交点 3 4 解这就是求方程与 6 的公共解将直线方程写成参数方程 t 3 t 4 t 其中 t 是参数代入平面的方程便得到 (+ t) + (3+ t) + (4 + t) - 6 = 解得 t = - 代入直线的参数方程得到即交点为 ( ) 另外如果给定了空间中两张互不平行的平面 : 和 : 那么这两张平面交于一条直线也就是说这两个平面的联立方程 v 同样表示一条直线它称为直线的一般方程直线的一般方程看起来不太直观用起来有时也不太方便由于的法向量为 ( ) 的法向量为 ( ) 由立体几何知识直线的图 6..5 方向向量 v 与和都垂直 ( 见图 6..5) 因此可以取 v 再从联立方程中求出一组解 ( ) 也就是直线上的一个定点的坐标这样就可以将它化成对称式方程了例 6..5 将直线的一般方程 4 化成对称式方程解取直线的方向向量为

5 v i j k = i 5 j k 再在平面上任意取一个公共点如令代入方程则可以解出 3 4 于是直线的对称式方程为 3 5 例 6..6 求过点 M ( ) 与直线 L : 3 4 相交而且平行于平面 : 3 的直线方程解设所求直线为 L 其方向向量为 v ( X Y Z) 显然 M ( 3 ) 是直线 L 上的点 v (4 ) 是 L 的方向向量由于 L 过点 M ( ) 且与直线 L 相交因此向量 M M v 和 v 共面因此 ( M M v) v 这就是说 X Y Z 3 ( ) 4 即 X Y Z 又因为 L 与平面平行所以 v ( X Y Z) 与的法向量 ( 3 ) 垂直因此 v 即 3X Y Z 联立上述各方程可解得 X Y Z 取 Z 得 Y 因此直线 L 的方程为即 4. 本例也可先求过 M 且平行于的平面的方程再求与直线 L 的交点 M 最后求出过 M 和 M 的直线方程读者不妨自行计算三. 平面束空间直线 L 的一般方程为. 对于任意一组不同时为零的常数方程

6 ( ) ( ) 表示一张平面显然满足 L 的一般方程的点 ( ) 一定满足平面的方程所以平面通过直线 L 于是对于不同的不同时为零的数对 ( ) ( ) 就确定了一族通过 L 的平面它称为通过 L 的平面的平面束以上方程也称为通过 L 的平面束方程显然确定平面束中一张平面只要确定与的比值因此也常将通过 L 的平面束方程写成 ( ) k ( 注意这个束中不包含平面 ) 或 k ( ) ( 注意这个束中不包含平面 ) 另外方程确定一张平面而当取不同值时就得到一族相互平行的平面的方程因此上式也称为平行平面束方程 3 例 6..7 过点 ( ) 和直线 L : 的平面方程 3 5 解设所求通过 L 的平面方程为 3 k( 3 5) 它通过 ( ) 点所以将该点的坐标代入上式得 6 3k 所以 k 于是所求的平面方程为 3 ( 3 5) 即四. 点到平面直线的距离平面解析几何中讨论了某一平面上的点到直线的距离问题现在我们将它推广到空间先考虑点到平面的距离设平面方程为过空间一已知点 ( ) 作平面的垂线显然垂线的方向就是平面的法向量 ( ) 取平面上一定点 ( ) 联结与则 ( ) 到平面的距离 d 就是在方向的投影长度 ( 见图 6..6) 记平面的单位法向量 d 由内积的定义得图 6..6 d

7 用分量表示就是 ( ) ( ) ( ) d 由于 ( ) 因此 d = 这就是点 ( ) 到平面的距离的计算公式当 ( ) 在该平面上时显然有 d = 例 6..8 求点 ( ) 与平面 = 的距离解这时 ( ) ( ) ( 3 6) 由点到平面距离的计算公式得 ( 3) ( 6) ( ) 8 d = = ( 3) ( 6) 7 再考虑点到直线的距离设直线 L 的方程为连接空间一已知点 ( ) 和直线 L 上的点 ) 直线的方向向量为 v v ( ) 因此单位方向向量为 ( v 由图 6..7 中可以看出点到直线 v 的距离 d 是以和 v 为邻边的平行四边形的底边 v 上的高由外积的几何意义图 6..7 中的平行四边形的面积 S d v v 于是点 ( ) 到直线的距离公式为 d v 例 6..9 求点 ( 5 3) 与直线的距离 3 解这时 ( 5 3) ( ) 则 = ( 5 3) ( ) (4 3) 图 6..7 v 而 v ( 3) v ( 3) 因此 v 4 i j k 9 v 4 3 ( -) 所以距离为 9 3 d v 4 d v

8 五. 交角一. 平面与平面的交角空间中两张平面的交角就是它们的法向量的交角 ( 通常取 ) 因此设两张平面的方程为和那么它们的交角就是它们的法向量 ) ( 和 ) ( 的交角或补角即 cos 特别地 () 当时这两张平面垂直 ; () 当时这两张平面平行 ; (3) 当时这两张平面重合例 6.. 求平面 3 和的夹角解此时 ) ( ) ( 于是由平面与平面交角余弦计算公式得 ) ( ) ( cos 因此这两张平面的夹角为 3 二. 直线与直线的交角与平面与平面情况类似空间中两条直线的交角就是它们的方向向量的交角 ( 通常取 ) 设两条直线的方程为和那么它们的交角 ( ) 满足 cos 特别地 () 当时这两条直线垂直 ;

9 () 当 (3) 若时这两条直线平行 ; 且两条直线有一个公共点则这两条直线重合例 6.. 求直线和直线 4 的夹角解直线的方向向量可取为 v ( 4 ) ; 直线 4 的方向向量可取为 i j k v i j k 利用直线与直线交角余弦计算公式得 ( ) ( 4) cos ( 4) ( ) 因此这两条直线的夹角为 = 4 = 三. 平面与直线的交角直线与平面的交角是直线与它在平面上的垂直投影所夹的角 ( 通常取见图 6..8) 设平面方程为 = 直线方程为 v 那么它们的交角 ( ) 满足 si cos 图 6..8 特别地 () 当时平面与直线垂直 ; () 当时平面与直线平行 ; (3) 若且平面与直线有一个公共点则直线属于平面 3 例 6.. 求平面 3 和直线的位置关系 3 4 解由于给定直线与平面的夹角的正弦为 3 ( 4) si 3 ( 4)

10 所以平面和直线平行 3 在直线上任取一点可以就取为 ( 3) 它也满足平 3 4 面方程 3 所以 ( 3) 也在平面上因此直线在平面上六. 习题 3.( ) (3) 4.( )5.( ) (3) ( ) () (3) 6

习题10-1

习题10-1 第七章空间解析几何与向量代数 1. 求点 (,-3,-1) 关于 :(1) 各坐标面 ;() 各坐标轴 ;(3) 坐标原点的对称点. 解答 :(1)xOy 面 : (, 3,1),yOz 面 : (, 3, 1),zOx 面 : (,3, 1) ()x 轴 :(,3,1 ),y 轴 :(, 3,1),z 轴 :(,3, 1) (3) (,3,1 ). 所属章节 : 第七章第一节 ; ;. 求点 (4,-3,5)