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斛马
4 years ago
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1 6.6 积分在物理上的应用一质心二转动惯量三引力

2 一质心设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), (, ), (, ) 处, 质量分别为 n n m m 则该质点系的质心坐标为 n n m m, n n m m.,,, mn

3 设有一平面薄片, 占有 o面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在上连续, 平面薄片的质心当薄片是均匀的, 质心称为形心. A (, ) d (, ) d d, A, d, : (, ) d (, ) d 其中 A d..

4 类似地, 设物体分布在几何体上, 其密度函数为 ( M ), 它在上连续, 可得物体质心坐标的计算公式 : ( M ) d ( Md ), ( M ) d ( Md ), z z( M ) d ( Md ).

5 特别地, 当物体为均匀的, 即 ( M) 为常数时, 则得到几何形体的形心的计算公式 : d d zd,, z. d d d 均匀物体的形心由物体的几何形体的形状所确定.

6 设物体占有空间闭区域 V, 在点 (,, z) 处的密度为 (,, z), 假定 (,, z) 在 V 上连续, 则该物体的质心为 : M V dv, M V dv, z M V zdv. 其中 M dv V.

7 平面曲线弧的质心坐标 L L ds ds L,. ds ds 其它几何形体以此类推. L

8 例求位于正方形区域 0, 0 内的平面薄片的质心, 其面密度为解由质心的计算公式, 有 dd dd dd dd 所求质心为 dd,. 4 dd dd dd (, ). d 0 0 d 0 0 d d d 0 0 d 0 0 d d, 4.

9 a( t sn t) 例求均匀摆线 ( a 0) a( cos t) 的一拱 (0 t ) 的形心坐标. 解由于摆线关于直线 a 对称, 所以形心在 a上, a, 0 ds L 0 ds L 0 t a( cos t) asn dt t asn dt 0 ( t) ( t) ( t) dt ( t) ( t) dt 4, a 形心为 a a 4 ( a, a).

10 例一均匀物体分布在 V 上, 区域 V 由不等式 R z R z 4, 0所确定, 求该物体的形心. z 解由对称性知, 0, 0, zdv V z, dv V 4 dv R R R V (8 ), R R

11 V zdv z R d d cos sn d 0 0 R V V zdv dv 45 R, , 0,. 56 R 故形心为 z 5 R 4 4 R R.

12 例 4 求位于两圆 r acos, r bcos (0 a b) 之间的均匀薄片的形心. 解薄片关于轴对称, 则 0, bcos d 0 acos d 8 4 ( b a ) ( b a ) d r cos rdr ( ) 4 b a b ba a ( b a). b a

13 例 5 a( t sn t) 设平面薄板由 a( cos t) (0 t ) 与轴围成, 求形心坐标. 解由于薄板关于直线 a 对称, 所以形心在 a上, a, A a dd dd ( ) d 0 0 a ( cos t) dt 0 dd A a a( cos t) d[ a( t sn t)], a, a

14 A 6 a a 6 dd d a a [ ( )] d 0 0 [ cos t] 所求形心坐标为 dt a ( ) 0 0 5, 6 5 ( a, ). 6 d a

15 二转动惯量质点 A对于轴 L的转动惯量 J为质点 A的质量 m与 A到转动轴的距离 r的平方的乘积, 即 J mr. 设 o 平面上有 n 个质点, 它们分别位于 (, ), 则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为 I n m, I n m. (, ), ( n, n) 处, 质量分别为 m, m,, mn.

16 设有一平面薄片, 占有 o 面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在上连续. 薄片对于轴的转动惯量为 : I d (, ), 薄片对于轴的转动惯量为 : I d (, ).

17 设 ( M ) 为几何形体的密度函数, 它在上连续, 则物体绕, 和 z轴的转动惯量分别为 : I z M d ( ) ( ) ; I z M d ( ) ( ) ; Iz M d ( ) ( ).

18 例 6 设一均匀的直角三角形薄板, 两直角边长分别为 a b, 求这三角形对其中任一直角边的转动惯量. 解建立如图坐标系, 设薄板的密度为. 对轴的转动惯量为 I dd b a b( ) d a 0 0 对轴的转动惯量为 d I ab. dd a b ab. a

19 例 7 一半径为 R 的均匀球壳 ( 面密度 = ), 求其对过球心的一条轴 l 的转动惯量. 解选取球心为坐标原点,l 为 z 轴, 则球面方程为 z R. I z ( ) ds S ( ) S ds 其中 S z R R z z, R 为上半球面, l

20 S o R 在面上的投影为 :. I z ( ) ds S ( ) S ds ( ) ( ) z z dd R dd R R R d r dr 0 0 R r 8 R 4.

21 例 8 求密度函数为 (,, z) z的圆锥体解 z z 对轴的转动惯量. Iz ( ) z dv V r z rdrddz z V d dr r z r dz 0 0 r ( r ) dr. 0 r 0

22 三引力设几何体密度函数为 ( M ), 它在上连续, 在外 M(,, z ) 处有一单位质量的质点, 现在要计算几何体对质点 M的引力. 将分成 n个小块,,,, 其度量仍记为 (,,, n), 在上任取一点 M (,, z ), 当的直径很小时, 对质点 M的引力大小近似值为 ( M) F G r, n

23 F G ( M ) r 其中 G为引力常数, r为 M与 M 的距离, 即 r ( 0) ( 0) ( z z0). F的方向与向量 MM ( 0, 0, z z0), 一致其中 MM 的方向余弦为 :,,

24 cos ( ) ( ) ( z z ) r 0, 0 0 cos, ( 0) ( 0) ( z z0) r z z z z 0 0 cos. ( 0) ( 0) ( z z0) r F 在三个坐标轴上的分量分别近似地为 :

25 ( M ) 0 ( F ) F cos G, r r ( M ) 0 ( F ) F cos G, r r ( M ) z z 0 ( F ) z F cos G. r r

26 由于引力 F 是向量, 应满足向量的加法, 即和的分量等于各部分分量的和. 的引力 F 因此, 几何体对质点 M 在三个坐标轴上的分量分别近似地等于 : F F F z G G G n n n ( M)( 0) r ( M)( 0) r ( M)( z z0) r. ; ;

27 F 令 0, 取极限, 得到引力 F在三个坐标轴上的分量 F, F, F 分别为 : z (,(,, z )(, z, )( z )( ) ) ) F lm G d ; ; 0 其中 n 0 F G 0 0 d, r ( ( 0) 0) (( 0) 0) ( z( z z 0) z0) ) (,, z)( ), r (,, z)( z z0) Fz G d. r 0 F G d r ( ) ( ) ( z z ) 若几何体位于 o平面, 则 z 0.

28 平面薄片对质点的引力设有一平面薄片, 占有 o 面上的闭区域, 在点 (, ) 处的面密度为 (, ), 假定 (, ) 在上连续, 计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 ( a 0) 处的单位质点的引力. (, ) F G d, ( a ) (, ) F G d, M (0,0, a) 0 ( a ) (, ) Fz ag d. G 为引力常数. ( a )

29 例 9 求面密度为常量半径为 R 的均匀圆形薄片 : R, z 0, M 0 (0,0, a ) ( a 0) 解由圆形薄片的对称性知 F F 0, (0 a) z F G d z ag ( a ) ( a ) 对位于 z 轴上的点处的单位质点的引力. d 0

30 R ag d rdr 0 0 ( r a ) Ga, R a a 所求引力为 F 0, 0, Ga. R a a

31 例 0 求均匀密度为的球体 z R 对位于 (0,0, a) ( a R) 处的单位质点的引力. 解由对称性知 F 0, F 0, ( z a) F G dv z V [ ( z a) ] 采用先二后一法, 将 V投影到 z轴上为 [ R, R], R z z {(, ) },

32 F G ( z a) dz z R R R R z G ( z a) dz d R z 0 0 dd [ ( z a) ] 4 R M G G a, a 4 其中 M R 为球体的质量, 所求引力为 M F 0, 0, G. a rdr [ r ( z a) ]

33 结果表明 : 均匀球体对球外一质点的引力, 就如同将球体的全部质量集中在球心时两质点之间的引力, 所以在天体力学中考虑星体之间的引力时, 常常将星体的质量集中在球心, 再直接应用牛顿定律.

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