精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)

Size: px

Start display at page:

Download "精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)"

单织罡之
7 years ago
Views:

1 年考研数学二模拟题 ( 二 ) 参考答案本试卷满分 5 考试时间 8 分钟一选择题 :~8 小题每小题分共分下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 () 在点处不存在极限的函数是 ( ) (A) f ( ) sgn (B) f ( ) (C) f ( ) e 答案 :(A) sgn (D) f ( ) 解析 : 对 (A): lim f ( ) lim f ( ) 故正确 ; 对 (B): lim f ( ) 排除 ; 对 (C) 和 (D) lim f ( ) 排除 () f e ) 的间断点个数和渐近线条数分别是 ( ) e ( (A) (B) (C) (D) 答案 :(B) 解析 : 首先讨论间断点 : ln 当分母 e 时且 lim f ( ) 此为无穷间断点 ; ln ln 当时 lim f ( ) lim f ( ) 此为可去间断点再讨论渐近线 : 如上面所讨论的 lim f ( ) 则为垂直渐近线 ; ln ln lim f ( ) lim f ( ) 5 则 5 为水平渐近线 f ( ) f ( a) () 设 lim a a 则函数 f ( ) 在点 a ( ) (A) 取极大值 (B) 取极小值 (C) 可导 (D) 不可导答案 :(D) 全国统一服务热线 :

渐近线条数分别是 ( ) e ( (A) (B) (C) (D) 答案 :(B) 解析 : 首先讨论间断点 : ln 当分母 e 时且 lim f ( ) 此为无穷间断点 ; ln ln 当时 lim f ( ) lim f ( ) 此为可去间断点再讨论渐近线 : 如上面所讨论的 lim

2 精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a) 当 U f ( ) f ( a) ( a) 时当 a 时 f ( ) f ( a) a 所以 f ( ) 在点 a 不可导 () f ( ) 连续且满足 f ( ) f ( ) 则 (A) d f ( ) d f ( ) dd ( ) (B) (D) (C) d f ( ) d 答案 :(B) 解析 : 由题设知 f ( ) dd f ( ) dd d ( ) f d (5) 函数 f () 连续且 f ( ) 则极限 lim (A) (B) 答案 :(A) r r 解析 tf ( r t ) dt f ( u) du 那么 lim r e r r tf ( r t cos( ) dt r e r lim ) dd r f ( ) f () lim cos( ) r e (6) 下列反常积分中收敛的是 ( ) r r tf ( r e r t cos( d f ( ) d (C) r d f ( ) d ) dt cos( f ( u) du 的值为 ( ) ) dd ) dd (A) d (B) d ( ) d d (C) (D) ( ) (D) 全国统一服务热线 :

( ) 在点 a 不可导 () f ( ) 连续且满足 f ( ) f ( ) 则 (A) d f ( ) d f ( ) dd ( ) (B) (D) (C) d f ( ) d 答案 :(B) 解析 : 由题设知 f ( ) dd f ( ) dd d ( ) f d (5) 函数 f () 连续且 f (

3 答案 :(C) 解析 : 对于选项 (C) d d ( ) 由 d (7) 设有向量组 6 7 线性相关则 ( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或答案 :(D) 解析 : 因线性相关故 (8) 已知 A 那么下列矩阵中与 A 合同的矩阵有 ( ) 6 5 解得 7 5 (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个答案 :(A) 解析 : A ~ B A 与 B 有相同的正负惯性指数由 A ( ) 知 p q 而 ( ) 全国统一服务热线 :

4 精勤求学自强不息 Born to win! 均为 p q 所以他们都与矩阵 A 合同二填空题 (9) lim 答案 : 解析 : lim lim e ln e lim ln 其中 lim ln lim ln ln lim ln lim 进而原式 () d ( ) ( 6 ) 答案 : ln arctan( ) C A B 解析 : d ( ) ( 6 ) ( ) C D d 其中 : 6 A lim ( ) ' lim ' ( ) ( 6 ) 6 B lim ( ) ( ) ( 6 ) 那么 ( ) ( 6 ) ( ) C D 6 ( )( 6 ) ( 6 ) ( C D)( ) ( ) ( 6 ) 比较系数得 C C 即 D D 综上 ( ) ( d 6 ) ln arctan( ) C ( ) ( ) d 全国统一服务热线 :

5 () 曲线在点 ( ) 处的曲率为答案 : 解析 : ( ) 显然该曲线是一段半径为的圆弧根据曲率半径的定义该曲线在点 ( ) 处的曲率半径为故曲率为 z () 函数 z f ( ) 满足条件 f ( ) f f '( ) e 则 ( ) 答案 : e z 解析 : ( ) 将代入得 ( ) e 更进一步 z e ( ) 将代入得 ( ) 故 z f ( ) e () 坐标中的累次积分 d f ( r cos r ) cos dr 可化为直角坐标系中的累次积分答案 : d arctan d 或 d f ( ) f ( ) arctan d 解析 : 积分区域如右图所示另一方面原累次积分可化为 f ( r cos r ) d rdr r cos 其中 r arctan 故原累次积分可化为直角坐标系中的累次积分 : d f ( ) arctan d 或 f ( ) d arctan d ( 写出一个即给分 ) () 设 A 是 5 矩阵 A ( ) 若 ( ) ( ) 是 A 的基础解系则 A 的列向量组的秩为答案 : 解析 :: 由 A 知 () 全国统一服务热线 :

arctan d 或 d f ( ) f ( ) arctan d 解析 : 积分区域如右图所示另一方面原累次积分可化为 f ( r cos r ) d rdr r cos 其中 r arctan 故原累次积分可化为直角坐标系中的累次积分 :

6 精勤求学自强不息 Born to win! 由 A 知 () 由于 n r( A) 故必有 r( A) 有 () 知线性相关把 () 代入 () 得即线性相关秩为三解答题 :5 小题共 9 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 (5)( 本题满分分 ) 设 f () 有反函数 g () 且 f ( a) f ( a) f ( a) () 求 g () ; [ f ( ) f ( a)] () 求 lim a ln ln a 解析 :() 记 f ( ) g( ) 为 f () 的反函数由等式 f ( ) g( ) 两边再对求导数得 f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 注意到 g ( ) 则 f ( a) 因此 g ( ) f ( a) g() [ f ( ) f ( a)] () 按导数定义得 lim lim a ln ln a a f ( ) f ( a) ( a) a a ln ln a (6)( 本题满分分 ) 设 z f ( ) 在点 ( a a ) 的某个邻域内可微已知 f f f ( a a) a ( a a) b ( a a) c 记 ( ) f [ f ( f ( ))] () 计算 ( a) () 计算 d ( ) a d 解析 :() ( a) f [ a f ( a f ( a a))] f ( a f ( a a)) f ( a a) a d d () ( ) ( ) ( ) ( ) a ( a) ( a) d d 因为 ( ) f [ f ( f ( ))] 令 u f ( v) v f ( ) 6 6 全国统一服务热线 :

f ( a) f ( a) f ( a) () 求 g () ; [ f ( ) f ( a)] () 求 lim a ln ln a 解析 :() 记 f ( ) g( ) 为 f () 的反函数由等式 f ( ) g( ) 两边再对求导数得 f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 注意到 g ( ) 则 f ( a) 因此 g ( ) f ( a)

7 d f f u f f f f v ( ) d u u v f f f f f f [ ( )] u v 当 a 时 a v f ( a a) a u f ( a a) a a a a f f f f f f a b a c a a c a a c a a u ua a v va a d d d d a b c[ b c( b c)] ( ) ( a) ( a) a[ b c( b c( b c))] (7)( 本题满分分 ) 设 f ( t) t dd t [] 其中 D {( ) } () 求 f (t) 的表达式 ; D () 证明 : 存在 t [ ] 使得 f ( t ) 是 f (t) 在 ( ) 内唯一的最小点解析 :() 令 D D {( ) t} D D {( ) t} 则 f ( t) D D t dd ( t) dd t t ( ln t) D D ( t) dd ( t) dd t d D t ( t) dd ( t) d () f ( t) t( ln t) f ( t) ln t t () f ( ) f () f ( ) f () 因为 f ( t) ln t t () 所以 f (t) 单调增加 D dd t 又因为 f ( ) f () 所以存在唯一的 t ( ) 使得 f ( t ) 当 t ( t ) 时 f ( t) ; 当 t ( t ) 时 f ( t) 所以 t ( ) 为 f (t) 在 [ ] 上唯一的最小点 D dd (8)( 本题满分分 ) 设 f () 在区间 [ ] 上有三阶连续导数证明存在实数 ( ) 使得全国统一服务热线 :

dd t t ( ln t) D D ( t) dd ( t) dd t d D t ( t) dd ( t) d () f ( t) t( ln t) f ( t) ln t t () f ( ) f () f ( ) f () 因为 f ( t) ln t t () 所以 f (t) 单调增加 D dd t 又因为 f ( ) f () 所以存在唯一的 t

8 精勤求学自强不息 Born to win! f ( ) 6 f () f ( ) 解析 : 将 f () 在处按泰勒公式展开有 f () f () f ( ) f ( ) f () f ()!! f () f ( ) 令分别为得 f ( ) f () f () 6 f () f ( ) f ( ) f () f () 6 f ( ) f ( ) 两式相减得 f ( ) f ( ) f () 由于 f () 在 ] 上连续不妨设 f ( ) 在 ] 上的最大值最小值为 M m [ [ f ( f ) ( ) 则 m M f ( ) f ( ) 根据介值定理 [ ] ( ) 使得 f ( ) 于是 f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) 即对于 ( ) 有 f () 6 (9)( 本题满分分 ) 设有一半径为 R 长度为的圆柱体平放在深度为 R 的水池中 ( 圆柱体的侧面与水面相切 ) 设圆柱体比重为 ( ) 现将圆柱体从水中移出水面问需做多少功? 解析 : 建立坐标系任取小区间 [+d] [-RR] 相应的柱体薄片体积为 ld l R d 移至水面时薄片移动 R- 所受力 [ 重力与浮力之差 ] ( )l R d 移至水面做功 O d 水面 ( ) l( R ) R d 整个移出水面时此薄片离水面距离为 R+ 所做的功为 l( R ) R d 因此所做的功为 W R l[( ) R ] R d = l( ) R R ()( 本题满分分 ) 设 f ( u v ) 具有连续偏导数且 f ( u v) f ( u v) ( u v) e uv 求 ( ) e f ( ) 所满足的一阶微分方程并求其通解 u v 解析 : 由 ( ) e f ( ) 有 8 8 全国统一服务热线 :

根据介值定理 [ ] ( ) 使得 f ( ) 于是 f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) 即对于 ( ) 有 f () 6 (9)( 本题满分分 ) 设有一半径为 R 长度为的圆柱体平放在深度为 R 的水池中 ( 圆柱体的侧面与水面相切 ) 设圆柱体比重为

9 e f e f f ( ) ( ) [ ( ) ( )] 在条件 f ( ) ( ) ( ) u v u u v f v u v u v e 即 f ( ) f ( ) ( u v) e uv 中令 u v 得 f f e ( ) ( ) ( ) 于是 ( ) 满足一阶线性微分方程 ( ) ( ) 通解为 ( ) e [ e d c] 由分部积分公式可得 e d ( cos ) e 所以 ( ) ( cos ) ce 注 : 也可由 f ( u v ) 满足的偏微分方程直接得到 ( ) 满足的常微分方程由 f ( u v) f ( u v) ( u v) e uv u v 令 u v 上式转化为常微分方程 d 所以 ( ( ) e ) ( ) e d 得 ( ) 满足的微分方程 ( ) ( ) d f ( ) ( ) e d ()( 本题满分分 ) 求满足条件 f () f () 且具有二阶连续导数的函数 f ( ) 使方程 f ( ) d f ( ) d 是全微分方程并求出全微分方程经过点 ( ) 的一条积分曲线解析 : 由全微分方程的条件知 : f ( ) cos f ( ) 即 f ( ) f ( ) cos 对应的齐次方程的特征根为 r i 齐次方程的通解为 F C cos C 因为 i i 不是特征根则方程的特解形式为 * f Acos B 代入方程解得 A B 故 f * cos 方程的通解为 * f F f C cos C cos 代入初始条件 f () f () 得 C C 因此所求函数为全国统一服务热线 :

分方程 ( ) ( ) d f ( ) ( ) e d ()( 本题满分分 ) 求满足条件 f () f () 且具有二阶连续导数的函数 f ( ) 使方程 f ( ) d f ( ) d 是全微分方程并求出全微分方程经过点 ( ) 的一条积分曲线解析 : 由全微分方程的条件知 : f

10 精勤求学自强不息 Born to win! f ( ) cos 将其代入原方程中得全微分方程 ( cos ) d [ cos ] d 再求其满足 ( ) 的积分曲线因方程为全微分方程其通解为 [ cos ] d C ( cos ) C 由条件 ( ) 得 C 故所求积分曲线为 cos ()( 本题满分分 ) 设 A B 为 n 阶矩阵秩 r( A) r( B) n 证明 : (Ⅰ) 为 A B 相同的特征值 ; (Ⅱ) A 与 B 的基础解系组成的向量组线性相关 (Ⅲ) A B 具有公共的特征向量解析 :(I) 由 r( A) r( B) n 知 r( A) n r( B) n 因此有 A B 故为 A B 相同的特征值 (Ⅱ) 设 r( A) s r( B) t A 的基础解系为 n s 设 B 的基础解系为 n t 由于 ( n s) ( n t) n 故向量组 ns nt 必线性相关 (Ⅲ) 由 n s n t 线性相关知存在不全为零的数 k k kns l l ln t 使 k k k l l l ns ns ntnt k k k ( l l l ) 则 ( 否则令 ns ns nt nt k k k l l l 全为零 ) 为 A B 属于特征值的公共特征向量 ns nt ()( 本题满分分 ) 已知实对称矩阵 A a ij 满足 a a a 6 AB C 其中 B C (Ⅰ) 求 A 的全部特征值和特征向量 ; (Ⅱ) 求 A 解析 :(Ⅰ) 记则全国统一服务热线 :

r( A) r( B) n 证明 : (Ⅰ) 为 A B 相同的特征值 ; (Ⅱ) A 与 B 的基础解系组成的向量组线性相关 (Ⅲ) A B 具有公共的特征向量解析 :(I) 由 r( A) r( B) n 知 r( A) n r( B) n 因此有 A B 故为 A B 相同的特征值 (Ⅱ) 设 r( A) s r(

11 C B AB A A A 由题设 AB C 知 A A 所以是 A 分别属于特征值的特征向量是第三个特征值利用题设有 : a a a 6 所以 6 设对应的特征向量为设 6 解得 t 取由知即将单位化得个两两正交的单位向量组 6 记 U 则 U 为正交矩阵且 U AU 6 (*) 6 A U U 全国统一服务热线 :

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以 2015 年考研数学二考试大纲考试科目 : 高等数学线性代数考试形式和试卷结构一试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二答题方式答题方式为闭卷笔试. 三试卷内容结构高等教学约 78% 线性代数约 22% 四试卷

精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)

精勤求学自强不息 Born to win! 解析 : 由极限的保号性知存在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在点 a 不取极值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)