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榕棠夏
5 years ago
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1 05 年全国高中数学联合竞赛加试 ( 卷 ) 参考答案及评分标准说明 : 评阅试卷时, 请严格按照本评分标准的评分档次给分如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 0 分为一个档次, 不要增加其他中间档次一 ( 本题满分 40 分 ) 设 a, a,, a ( ) 是实数, 证明 : 可以选取 { } ε, ε,, ε,, 使得证法一 : 我们证明 : a + εa ( + ) a a + a aj ( + ) a j= +, 即对 =,,, 取 ε = ; 对 =,, +, 取表示实数 x 的整数部分 ) 事实上, 的左边为 a + aj + a aj j= + j= + = a + aj j= + a aj + j= + ε = 符合要求 ( 这里,[ x] 0 分 ( 柯西不等式 ) 30 分 + = a aj + j= + ( 利用 a + ( + ) aj j= + ( 利用 [ x] x) + = )

2 , ( + ) a 所以得证, 从而本题得证 40 分证法二 : 首先, 由于问题中 a, a,, a 的对称性, 可设 a a a 此外, 若将 a, a,, a 中的负数均改变符号, 则问题中的不等式左边的 a 不减, 而右边的 a 不变, 并且这一手续不影响 ε = ± 的选取, 因此我们可进一步设 a a a 0 0 分引理 : 设 a a a 0, 则 0 ( ) a a 事实上, 由于 a a+ ( =,,, ), 故当是偶数时, ( ) a = ( a a) + ( a3 a4) + + ( a a) 0, 当是奇数时, ( ) a = a ( a a3) ( a a ) a a ( ) a = ( a a) + ( a3 a4) + + ( a a ) + a 0, ( ) a = a ( a a3) ( a a) a 引理得证回到原题, 由柯西不等式及上面引理可知 30 分 a + ( ) a a + a ( + ) a, 这就证明了结论 40 分

3 二 ( 本题满分 40 分 ) 设 S = {,,, }, 其中,,, 是个互不相同的有限集合 ( ), 满足对任意, j S, 均有 j S 若 = m 证明 : 存在 x, 使得 x 属于,,, 中的至少个集合 ( 这里 X 表示有限集合 X 的元素个数 ) 证明 : 不妨设 = 设在,,, 中与不相交的集合有 s 个, 重新记为 B B,,, Bs, 设包含的集合有个, 重新记为 C, C,, C 由已知条件, ( B ) S, 即 ( B ) { C, C,, C}, 这样我们得到一个映射 f :{ B, B,, Bs} { C, C,, C}, f( B ) = B 显然 f 是单映射, 于是 s 0 分设 = { a, a,, a } 在,,, 中除去 B, B,, Bs, C, C,, C后, 在剩下的 s 个集合中, 设包含 a 的集合有 x 个 ( ), 由于剩下的 s 个集合中每个集合与的交非空, 即包含某个 a, 从而 x + x + + x s 0 分 s 不妨设 x = max x, 则由上式知 x, 即在剩下的 s 个集合中, s 包含 a 的集合至少有个又由于 C ( =,, ), 故 C, C,, C 都包含 a, 因此包含 a 的集合个数至少为 s s+ ( ) s+ + = ( 利用 ) ( 利用 s) 40 分三 ( 本题满分 50 分 ) 如图, BC 内接于圆 O,P 为 BC 上一点, 点 K 在线段 P 上, 使得 BK 平分 BC 过 K P C三点的圆 Ω 与边 C 交于点 D, 连接 BD 交圆 Ω 于点 E, 连接 PE 并延长与边 B 交于点 F 证明 : BC = FCB B F E P K O Ω D C

4 证法一 : 设 CF 与圆 Ω 交于点 L ( 异于 C ), 连接 PB PC BL KL 注意此时 C D L K E P 六点均在圆 Ω 上, 结合 B P C 四点共圆, 可知因此 FBE FPB, 故 FB FEB = DEP = 80 DCP = BP = FBP, 又由圆幂定理知, FE FP = FL FC, 所以 FB = FE FP 0 分 = FL FC, 从而 FBL FCB 0 分因此 FLB = FBC = PC = KPC = FLK, 即 B K L三点共线 30 分再根据 FBL FCB 得, FCB = FBL = FBE = BC, 即 BC = FCB 50 分 B F E P K L O Ω D C 证法二 : 设 CF 与圆 Ω 交于点 L ( 异于 C ) 对圆内接广义六边形 DCLKPE 应用帕斯卡定理可知, DC 与 KP 的交点 CL 与 PE 的交点 F LK 与 ED 的交点 B 共线, 因此 B 是 F 与 ED 的交点, 即 B = B 所以 B K L 共线 30 分根据 B P C 四点共圆及 L K P C 四点共圆, 得 BC = PC = FLK = FCB + LBC, 又由 BK 平分 BC 知, LBC = BC, 从而 BC = FCB 50 分四 ( 本题满分 50 分 ) 求具有下述性质的所有正整数 : 对任意正整数, ( ) + 不整除熟知 ( )!! B(B') 解 : 对正整数 m, 设 ν ( m) 表示正整数 m 的标准分解中素因子的方幂, 则 F E P K L O Ω D C

5 ν ( m!) = m Sm ( ), 这里 Sm ( ) 表示正整数 m 在二进制表示下的数码之和由于 ( ) + 不整除 ( )!! 等价于 ν ( )! ( )!, 即 ν (( )!) ν (!), 进而由知, 本题等价于求所有正整数, 使得 S ( ) S ( ) 对任意正整数成立 0 分我们证明, 所有符合条件的为 a ( a = 0,,, ) a 一方面, 由于 S( ) = S ( ) 对任意正整数成立, 故 = a 符合条件 0 分另一方面, 若不是的方幂, 设 = a, a 0, 是大于的奇数 a 下面构造一个正整数, 使得 S ( ) < S ( ) 因为 S( ) = S( ) = S( ), m 因此问题等价于我们选取的一个倍数 m, 使得 Sm ( ) < S 由 (, ) =, 熟知存在正整数, 使得 (mod ) ( 事实上, 由欧拉定理知, 可以取 ϕ ( ) ) α α α 设奇数的二进制表示为 + + +,0 = α < α < < α, α α α α+ 取 m = , 则 Sm ( ) 我们有 =, 且 α m= + ( ) 0 (mod ) m = + = ( ) ( ) α α l+ α = + l= 0 由于 0< <, 故正整数的二进制表示中的最高次幂小于, 由此易知, 对任意整数, j(0 < j ), 数 +α 与 j+α 的二进制表示

6 中没有相同的项又因为 0 由可知 = 0,,, 的二进制表示中均不包含, 故 l+α α >, 故 ( l ) 因此上述选取的 m 满足要求 m S = + S > = Sm ( ), 综合上述的两个方面可知, 所求的为 a ( a = 0,,, ) 50 分

2008年全国初中数学联合竞赛

2008年全国初中数学联合竞赛 017 年全国初中数学联合竞赛 ( 初二年级 ) 试题参考答案及评分标准说明 : 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 第一试, 选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档 ; 第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时请参照本评分标准划分的档次, 给予相应的分数. 第一试一选择题 :( 本题满分 4 分, 每小题 7