（精校版）陕西省语文卷文档版（含答案）-2011年普通高等学校招生统一考试.doc

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遗赔焦
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1 绝密启用前 05 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 湖北卷 ) 数学 ( 理工类 ) 本试题卷共页, 题, 其中第 5 题为选考题全卷满分 50 分考试用时 0 分钟祝考试顺利注意事项 : 答卷前, 先将自己的姓名准考证号填写在试题卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置用铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑选择题的作答 : 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效填空题和解答题的作答 : 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4 选考题的作答 : 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用铅笔涂黑, 再在答题卡上对应的答题区域内答题写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交一选择题 : 本大题共 0 小题, 每小题 5 分, 共 50 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 i 为虚数单位, i 07 的共轭复数为 A i i C D 我国古代数学名著数书九章有米谷粒分题 : 粮仓开仓收粮, 有人送来米 54 石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得 54 粒内夹谷 8 粒, 则这批米内夹谷约为 A4 石 9 石 C8 石 D5 石已知 ( ) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 则奇数项的二项式系数和为 A C 0 D 9

2 4 设 X N(, ), Y N(, ), 这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是 A P Y P Y ( ) ( ) P X P X ( ) ( ) C 对任意正数 t, P( X t) P( Y t) D 对任意正数 t, P( X t) P( Y t) 第 4 题图 5 设 a, a,, a R, 若 p: a, a,, a 成等比数列 ; q: ( a a a )( a a a ) ( aa aa a a ), 则 Ap 是 q 的充分条件, 但不是 q 的必要条件 p 是 q 的必要条件, 但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件, 也不是 q 的必要条件, 0, 已知符号函数 sg 0, 0,, 0 f( ) 是 R 上的增函数, g( ) f ( ) f ( a) ( a ), 则 A sg[ g( )] sg sg[ g( )] sg C sg[ g( )] sg[ f ( )] D sg[ g( )] sg[ f ( )] 7 在区间 [0, ] 上随机取两个数,, 记 p 为事件概率, p 为事件的概率, 则 A p p p p p p C p p p D p p p 的概率, p 为事件的 8 将离心率为 e 的双曲线 C 的实半轴长 a 和虚半轴长 b ( a b) 同时增加 m ( m 0) 个单位长度, 得到离心率为 e 的双曲线 C, 则 A 对任意的 a, b, e e 当 a b时, e e ; 当 a b时, e e C 对任意的 a, b, e e D 当 a b时, e e ; 当 a b时, e e 9 已知集合 A {(, ),, Z }, {(, ),,, Z }, 定义集合 A {(, ) (, ) A, (,, ) 则 } A 中元素的个数为 A77 49 C45 D0 0 设 R,[ ] 表示不超过的最大整数若存在实数 t, 使得 [ t], [ t ],,[ t ] 同时成立, 则正整数的最大值是 A 4 C5 D

3 二填空题 : 本大题共小题, 考生需作答 5 小题, 每小题 5 分, 共 5 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分 ( 一 ) 必考题 ( 4 题 ) 已知向量 OA A, OA, 则 OAO 函数 f ( ) 4cos cos( ) si l( ) 的零点个数为如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 0 的方向上, 行驶 00m 后到达处, 测得此山顶在西偏北 75 的方向上, 仰角为 0, 则此山的高度 CD m D C C M A O N T A 第题图第 4 题图 4 如图, 圆 C 与轴相切于点 T (, 0), 与轴正半轴交于两点 A(, 在 A 的上方 ), 且 A (Ⅰ) 圆 C 的标准方程为 ; (Ⅱ) 过点 A 任作一条直线与圆 O : 相交于 M, N 两点, 下列三个结论 : NA N MA N MA N MA ; ; M NA M NA M 其中正确结论的序号是 ( 写出所有正确结论的序号 ) ( 二 ) 选考题 ( 请考生在第 5 两题中任选一题作答, 请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用铅笔涂黑如果全选, 则按第 5 题作答结果计分 ) 5( 选修 4-: 几何证明选讲 ) 如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PC 是圆的割线, A 且 C P, 则 AC P A C ( 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ) 第 5 题图在直角坐标系 O 中, 以 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方

4 t, t 程为 (si cos ) 0, 曲线 C 的参数方程为 t t ( t 为参数 ),l 与 C 相交于 A, 两点, 则 A 三解答题 : 本大题共小题, 共 75 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 7( 本小题满分分 ) 某同学用五点法画函数 f ( ) Asi( ) ( 0, ) 在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据, 如下表 : 0 Asi( ) (Ⅰ) 请将上表数据补充完整, 填写在答题卡上相应位置, 并直接写出函数 f( ) 的解析式 ; (Ⅱ) 将 f ( ) 图象上所有点向左平行移动 ( 0) 个单位长度, 得到 g( ) 的图 5 象若 g( ) 图象的一个对称中心为 (, 0), 求的最小值 5

5 8( 本小题满分分 ) 设等差数列 { a } 的公差为 d, 前项和为 S, 等比数列 { b } 的公比为 q 已知 b a, b,q d, S0 00 (Ⅰ) 求数列 { a },{ b } 的通项公式 ; (Ⅱ) 当 d 时, 记 c 9( 本小题满分分 ) a, 求数列 { c } b 的前项和 T 九章算术中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图, 在阳马 P ACD 中, 侧棱 PD 底面 ACD, 且 PD CD, 过棱 PC 的中点 E, 作 EF P 交 P 于点 F, 连接 DE, DF, D, E P F E (Ⅰ) 证明 : P 平面 DEF 试判断四面体 DEF 是否为鳖臑, 若是, 写出其每个面的直角 ( 只需写出结论 ); 若不是, 说明理由 ; (Ⅱ) 若面 DEF 与面 ACD 所成二面角的大小为求 DC 的值 C 0( 本小题满分分 ), A D 第 9 题图 C 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, 两种奶制品生产吨 A 产品需鲜牛奶吨, 使用设备小时, 获利 000 元 ; 生产吨产品需鲜牛奶 5 吨, 使用设备 5 小时, 获利 00 元要求每天产品的产量不超过 A 产品产量的倍, 设备每天生产 A, 两种产品时间之和不超过小时假定每天可获取的鲜牛奶数量 W( 单位 : 吨 ) 是一个随机变量, 其分布列为 W 5 8 P 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大, 因此每天的最大获利 Z ( 单位 : 元 ) 是一个随机变量 (Ⅰ) 求 Z 的分布列和均值 ; (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求天中至少有天的最大获利超过 0000 元的概率 ( 本小题满分 4 分 ) 一种作图工具如图所示 O 是滑槽 A 的中点, 短杆 ON 可绕 O 转动, 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 A 滑动, 且 DN ON, MN 当栓子 D 在滑槽 A 内作往复运动时, 带动 N 绕 O 转动一周 (D 不动时,N 也不动 ),M 处的笔尖画出的曲线记为 C 以 O 为原点, A 所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系

6 (Ⅰ) 求曲线 C 的方程 ; (Ⅱ) 设动直线 l 与两定直线 l : 0 和 l : 0 分别交于 P, Q 两点若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点, 试探究 : OPQ 的面积是否存在最小值? 若存在, 求出该最小值 ; 若不存在, 说明理由 N N A D O D O M 第题图 M 第题图 ( 本小题满分 4 分 ) 已知数列 { a } 的各项均为正数, b ( ) a ( N ),e 为自然对数的底数 (Ⅰ) 求函数 f ( ) e 的单调区间, 并比较 b (Ⅱ) 计算 a, bb aa, b b b a a a, bb 由此推测计算 a a 与 e 的大小 ; ( ) b 的公式, 并给出证明 ; a (Ⅲ) 令 c ( aa a), 数列 { a },{ c } 的前项和分别记为 S, T, 证明 : T es 绝密启用前 05 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 湖北卷 )

7 数学 ( 理工类 ) 试题参考答案一选择题 ( 本大题共 0 小题, 每小题 5 分, 共 50 分 ) A D 4C 5A 7 8D 9C 0 二填空题 ( 本大题共小题, 考生需作答 5 小题, 每小题 5 分, 共 5 分 ) ( Ⅰ) ( ) ( ) ;( Ⅱ) 5 5 三解答题 ( 本大题共小题, 共 75 分 ) 7( 分 ) (Ⅰ) 根据表中已知数据, 解得 A 5,, 数据补全如下表 : 0 Asi( ) 且函数表达式为 f ( ) 5si( ) (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 f ( ) 5si( ), 得 g( ) 5si( ) 因为 si 的对称中心为 ( k, 0), k Z k 令 k, 解得, k Z 5 k 5 由于函数 g( ) 的图象关于点 (, 0) 成中心对称, 令, k 解得, k Z 由 0 可知, 当 k 时, 取得最小值 8( 分 ) 7 5 0a 45d 00, (Ⅰ) 由题意有, ad, a 9d 0, 即 ad, a, 解得 d, a 9, 或 d 9 a 故 b, a ( 79), 9 或 b 9 ( ) 9 (Ⅱ) 由 d, 知 a, b, 故 c, 于是

8 5 7 9 T, 4 9( 分 ) ( 解法 ) T 可得 T, 故 T (Ⅰ) 因为 PD 底面 ACD, 所以 PD C, 由底面 ACD 为长方形, 有 C 所以 C CD, 而 PD CD D, 平面 PCD 而 DE 平面 PCD, 所以 C DE 又因为 PD CD, 点 E 是 PC 的中点, 所以 DE PC 而 PC C C, 所以 DE 平面 PC 而 P 平面 PC, 所以 P DE 又 P EF, DE EF E, 所以 P 平面 DEF 由 DE 平面 PC, P 平面 DEF, 可知四面体 DEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 DEF 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别为 DE, DEF, EF, DF (Ⅱ) 如图, 在面 PC 内, 延长 C 与 FE 交于点 G, 则 DG 是平面 DEF 与平面 ACD 的交线由 (Ⅰ) 知, P 平面 DEF, 所以 P DG 又因为 PD 底面 ACD, 所以 PD DG 而 PD P P, 所以 DG 平面 PD 故 DF 是面 DEF 与面 ACD 所成二面角的平面角, 设 PD DC, C, 有 D, 在 Rt PD 中, 由 DF P, 得 DPF FD, 则 D, 解得 ta ta DPF PD 所以 DC C 故当面 DEF 与面 ACD 所成二面角的大小为时, DC C ( 解法 )

9 (Ⅰ) 如图, 以 D 为原点, 射线 DA, DC, DP 分别为,, z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系设 PD DC,C, 则 D(0,0,0), (0,0,), P (,,0), (0,,0) C, P (,, ), 点 E 是 PC 的中点, 所以 E (0,, ), DE (0,, ), 于是 P DE 0, 即 P DE 又已知 EF P, 而 DE EF E, 所以 P 平面 DEF 因 PC (0,, ), DE PC 0, 则 DE PC, 所以 DE 平面 PC 由 DE 平面 PC, P 平面 DEF, 可知四面体 DEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 DEF 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别为 DE, DEF, EF, DF z P P F E G F E D C D C A A 第 9 题解答图第 9 题解答图 (Ⅱ) 由 PD 平面 ACD, 所以 DP (0, 0, ) 是平面 ACD 的一个法向量 ; 由 (Ⅰ) 知, P 平面 DEF, 所以 P (,, ) 是平面 DEF 的一个法向量若面 DEF 与面 ACD 所成二面角的大小为 P DP 则 cos, P DP 解得所以 DC C 故当面 DEF 与面 ACD 所成二面角的大小为, 时, DC C 0( 分 ) (Ⅰ) 设每天 A, 两种产品的生产数量分别为,, 相应的获利为 z, 则有 5 W, 5, 0, 0, 0 ()

10 目标函数为 z (4,48) 8 (,) 8 (,) C(,4) O A(0,0) C(,0) O A(0,0) C(75,0) O A(0,0) D(9,0) 第 0 题解答图第 0 题解答图第 0 题解答图当 W 时,() 表示的平面区域如图, 三个顶点分别为 A(0, 0), (4, 48), C (, 0) 将 z 变形为 p ( p ) z, 00 5 z 当 4, 48 时, 直线 l : 在轴上的截距最大, 00 最大获利 Z zma 当 W 5 时,() 表示的平面区域如图, 三个顶点分别为 A(0, 0), (, ), C (75, 0) 将 z 变形为 5 z, 00 5 z 当, 时, 直线 l : 在轴上的截距最大, 00 最大获利 Z zma 当 W 8 时,() 表示的平面区域如图, 四个顶点分别为 A(0, 0), (, ), C(, 4), D (9, 0) 5 z 将 z 变形为, 00 5 z 当, 4时, 直线 l : 在轴上的截距最大, 00 最大获利 Z zma 故最大获利 Z 的分布列为 Z P 因此, EZ ( ) (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 一天最大获利超过 0000 元的概率 p P( Z 0000) , (4 分 ) 由二项分布, 天中至少有天最大获利超过 0000 元的概率为 (Ⅰ) 设点 D( t, 0) ( t ), N( 0, 0 ), M(, ), 依题意, MD DN, 且 DN ON, P N D M O Q

11 ( 0 t) 0, (, ) (, ), 且 0 0 所以 t 0 t 0 t 0 t, 即 0 且 t t 0 ( ) 0 由于当点 D 不动时, 点 N 也不动, 所以 t 不恒等于 0, 于是 t 0, 故 0, 0, 代入 4 即所求的曲线 C 的方程为 4 0 0, 可得, 4 (Ⅱ)() 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 为 4 或 4, 都有 S OPQ () 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l : k m ( k ), k m, 由 4, 消去, 可得 ( 4 k ) 8km 4m 0 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 m 4( 4 k )(4m ) 0, 即 m k m, 又由 0, 由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d k 4 m m m m 可得 P(, ) ; 同理可得 Q(, ) k k k k m k 和 PQ k, 可得 m m m S OPQ PQ d m P Q m k k 将代入得, S 当 k 时, S 4 OPQ 当 0 k 时, S 4 OPQ m 8 8( ) 8( ) 8 ; OPQ 8( ) 8( ) P Q 因 0 k, 则 0, 4, 所以 S OPQ 8( ) 8, 当且仅当 k 0 时取等号所以当 k 0 时, S OPQ 的最小值为 8 综合 ()( ) 可知, 当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, OPQ 的面积取得最小值 8

12 (4 分 ) (Ⅰ) f( ) 的定义域为 (, ), f( ) e 当 f( ) 0, 即 0 时, f( ) 单调递增 ; 当 f( ) 0, 即 0 时, f( ) 单调递减故 f( ) 的单调递增区间为 (,0), 单调递减区间为 (0, ) 当 0 时, f ( ) f (0) 0, 即 e 令, 得 e, 即 ( ) e b (Ⅱ) ( ) a ; bb b b ( ) ( ) ; a a a a b b b bb b a a a a a a ( ) ( ) 4 bb b 由此推测 : ( ) a a a 下面用数学归纳法证明 () 当时, 左边右边, 成立 bb b () 假设当 k时, 成立, 即 k ( k ) k a a a k 当 k 时, bk ( k )( ) ak, 由归纳假设可得 k bb bk bk bb bk bk ( k ) ( k )( ) ( k ) a a a a a a a a k k k k k 所以当 k 时, 也成立根据 ()( ), 可知对一切正整数都成立 k k k k (Ⅲ) 由 c 的定义,, 算术 - 几何平均不等式, b 的定义及得 T c c c c ( a ) ( aa ) ( aa a ) ( aa a ) ( b ) ( bb ) ( b b b ) ( b b b ) 4 b b b b b b b b b 4 ( ) b[ ] b[ ] b ( ) 4 ( ) ( ) b( ) b( ) b ( ) b b b ea ea ea e 即 T es ( ) a ( ) a ( ) a S

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<4D F736F F D CAFDD1A7A3A8C0EDA3A9CAD4BEED2E646F63> 绝密启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 天津卷 ) 数学 ( 理工类 ) 本试卷分为第 Ⅰ 卷 ( 选择题 ) 和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分, 共 50 分, 考试用时 0 分钟第 Ⅰ 卷至页, 第 Ⅱ 卷至 5 页答卷前, 考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上, 答在试卷上的无效考试结束后,