目录 07 年高考理科数学全国卷 I 真题 年高考理科数学全国卷 I 真题解析 年高考理科数学全国卷 II 真题 年高考理科数学全国卷 II 真题解析 年高考理科数学全国卷 III 真题 年高考理科数学全国卷 III 真题解析...4

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1 我忘记不了, 和数学 和数学竞赛发生的一切, 它们或许是一场梦, 可是, 这是一场值得我们去追逐的梦, 我们所走过的梦, 是用一个个音符所点缀出来的一支歌, 我们引吭高歌, 我们无所畏惧, 因为我们都是唱着歌的追梦人啊! 我永远也忘不了, 是它们, 带给我追逐梦想的力量, 带给我迎难而上的拼劲, 还有一个绚丽夺目的数学世界. 嘿, 同学, 前面这条路有些黑, 让我们一起走吧, 看到了吧, 在你四周这些带着光芒的人, 他们和你一样, 和我一样, 都是学数学或数学竞赛的傻子们, 傻子俱乐部 欢迎你的到来. 来自最爱你们的小数君 微信公众号 : 数学竞赛的那些事儿 (shuxuejingsai00) - -

2 目录 07 年高考理科数学全国卷 I 真题 年高考理科数学全国卷 I 真题解析 年高考理科数学全国卷 II 真题 年高考理科数学全国卷 II 真题解析 年高考理科数学全国卷 III 真题 年高考理科数学全国卷 III 真题解析 年高考文科数学全国卷 I 真题 年高考文科数学全国卷 II 真题 年高考文科数学全国卷 III 真题 年高考理科数学北京卷真题 年高考理科数学北京卷真题解析 年高考文科数学北京卷真题 年高考数学浙江卷真题 年高考数学浙江卷真题解析 年高考数学江苏卷真题 年高考数学江苏卷真题解析 年高考理科数学山东卷真题 年高考理科数学山东卷真题解析 年高考文科数学山东卷真题 年高考理科数学天津卷真题 年高考理科数学天津卷真题解析 年高考文科数学天津卷真题

3 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国卷 I) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 已知集合 A={x x<},b={x x }, 则 ( ) A. A B { x x 0} B. A B R C. A B { x x } D. A B. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A. 4 B. π 8 C. D. π 4. 设有下面四个命题 ( ) p : 若复数 z 满足 z R, 则 z R ; p : 若复数 z 满足 p : 若复数, 其中的真命题为 ( ) z R, 则 z R ; z z 满足 zz R, 则 z z ; p 4 : 若复数 z R, 则 z R. - -

4 A. p, p B. p, p 4 C. p, p D. p, p 4 4. 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和. 若 a4 a5 4, S 6 48, 则 { a n } 的公差为 ( ) A. B. C.4 D.8. 函数 f ( x ) 在 (, ) 单调递减, 且为奇函数. 若 f ( ), 则满足 f ( x ) 的 x 的取值范围 是 ( ) A.[,] B.[,] C.[0, 4] D.[,] 6 6. ( )( x) 展开式中 x 的系数为 ( ) x A.5 B.0 C.0 D.5 7. 某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长 为, 俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形, 这些梯形的面积之和为 ( ) A.0 B. C.4 D.6 8. 右面程序框图是为了求出满足 n n >000 的最小偶数 n, 那么在和两个空白框中, 可以分别填 入 ( ) A.A> 000 和 n=n+ B.A> 000 和 n=n+ C.A 000 和 n=n+ D.A 000 和 n=n+ 9. 已知曲线 C:y=cos x,c:y=sin (x+ π ), 则下面结论正确的是 ( ) A. 把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 得到曲线 C π 个单位长度, 6-4 -

5 π B. 把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线 C C. 把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 得到曲线 C D. 把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 得到曲线 C π 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移个单位长度, 6 π 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度, 0. 已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点, 过 F 作两条互相垂直的直线 l,l, 直线 l 与 C 交于 A B 两点, 直线 l 与 C 交于 D E 两点, 则 AB + DE 的最小值为 ( ) A.6 B.4 C. D.0 x y z. 设 xyz 为正数, 且 5, 则 ( ) A.x<y<5z B.5z<x<y C.y<5z<x D.y<x<5z. 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 : 已知数列,,,,, 4,,,4,8,,,4,8,6,, 其中第一项是 0, 接下来的两项是 0,, 再接下来的三项是 0,,, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 N:N>00 且该数列的前 N 项和为 的整数幂. 那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.0 C.0 D.0 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 已知向量 a,b 的夹角为 60, a =, b =, 则 a + b =. x y 4. 设 x,y 满足约束条件 x y, 则 z x y 的最小值为. x y 0 x 5. 已知双曲线 C: a y (a>0,b>0) 的右顶点为 A, 以 A 为圆心,b 为半径做圆 A, 圆 A 与双曲 b 线 C 的一条渐近线交于 M N 两点 若 MAN=60, 则 C 的离心率为 6. 如图, 圆形纸片的圆心为 O, 半径为 5 cm, 该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O D E F 为圆 O 上的点, DBC, ECA, FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后, 分 - 5 -

6 别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC, ECA, FAB, 使得 D E F 重合, 得到三棱锥 当 ABC 的边长变化时, 所得三棱锥体积 ( 单位 :cm ) 的最大值为 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 7~ 题为必考题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 共 60 分 a 7.( 分 ) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 ABC 的面积为 sin A () 求 sinbsinc; () 若 6cosBcosC=,a=, 求 ABC 的周长. 8.( 分 ) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD, 且 BAP CDP 90 () 证明 : 平面 PAB 平面 PAD; () 若 PA=PD=AB=DC, APD 90, 求二面角 A-PB-C 的余弦值.. 9.( 分 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 6 个零件, 并测量其尺寸 ( 单位 :cm). 根据长期生产经验, 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态分布 N(, ). () 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 6 个零件中其尺寸在 (, ) 之外的零件 数, 求 P( X ) 及 X 的数学期望 ; () 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 (, ) 之外的零件, 就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性 ; (ⅱ) 下面是检验员在一天内抽取的 6 个零件的尺寸 : - 6 -

7 经计算得 x xi 9.97, s ( xi x ) ( xi 6 x ) 0. 6 i 6 6 的第 i 个零件的尺寸, i,,,6., 其中 i i i x 为抽取 用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ, 用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ, 利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查? 剔除 ( ˆ ˆ, ˆ ˆ ) 之外的数据, 用剩下的数据估计 和 ( 精确到 0.0). 附 : 若随机变量 Z 服从正态分布 N(, ), 则 P( Z ) , , x 0.( 分 ) 已知椭圆 C: a y (a>b>0), 四点 P(,),P(0,),P(, b ),P4(, ) = 中恰有三点在椭圆 C 上. () 求 C 的方程 ; () 设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A,B 两点. 若直线 PA 与直线 PB 的斜率的和为, 证明 :l 过定点..( 分 ) 已知函数 ( f x) ae x +(a-) e x -x. () 讨论 f ( x ) 的单调性 ; () 若 f ( x ) 有两个零点, 求 a 的取值范围. ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做, 则按所做的第一题计分.[ 选修 4 4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) x cos, 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 y sin, x a 4 t, ( t为参数 ). y t, () 若 a=, 求 C 与 l 的交点坐标 ; () 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 7, 求 a

8 .[ 选修 4 5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知函数 f(x)= x +ax+4,g(x)= x+ + x. () 当 a= 时, 求不等式 f(x) g(x) 的解集 ; () 若不等式 f(x) g(x) 的解集包含 [,], 求 a 的取值范围

9 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国 I 卷 ) ( 解析版 ) 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 已知集合 A x x B x A. 0 C. 答案 A,, 则 () A B x x B. A B R A B x x D. A B 解析 A x x, B x x x x 0 A B x x 0, A B x x, 选 A. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称, 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是 () A. 4 B. π 8 C. D. π 4 答案 B 解析 设正方形边长为, 则圆半径为 π 则正方形的面积为 4, 圆的面积为 π π, 图中黑色部分的概率为 π 则此点取自黑色部分的概率为 π 4 8 故选 B. 设有下面四个命题 () p : 若复数 z 满足 z R, 则 z R ; p : 若复数 z 满足 z R, 则 z R ; p : 若复数 z z, 满足 zz R, 则 z z ; p 4 : 若复数 z R, 则 z R. p, p B. p, p 4 C. p, p D. p, p 4 A. 答案 B - 9 -

10 a bi 解析 p : 设 z a bi, 则 z a bi a b p : 若 z, 满足 R, 得到 b 0, 所以 z R. 故 P 正确 ; z R, 而 z i, 不满足 z R, 故 p 不正确 ; p : 若 z, z, 则 zz, 满足 zz R, 而它们实部不相等, 不是共轭复数, 故 p 不正 确 ; p : 4 实数没有虚部, 所以它的共轭复数是它本身, 也属于实数, 故 p 4 正确 ; 4. 记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和, 若 a4 a5 4 S6 48,, 则 a 的公差为 () A. B. C.4 D.8 答案 C a a a d a 4d 4 解析 S6 6a d 48 a 7d 4 联立求得 6a 5d 48 得 5 d 4 6d 4 d 4 选 C 5. 函数 f x 在, 单调递减, 且为奇函数. 若 f, 则满足 f x 是 () A., B., C.0, 4 D., 答案 D 解析 因为 f x 为奇函数, 所以 f f, 于是 f x 等价于 f f x f 又 f x 在 x x 故选 D x 6. x 6, 单调递减 展开式中 x 的系数为 A.5 B. 0 C. 0 D. 5 答案 C. x x 解析 + x x x 对 x 6 的 对 x 6 x 的 6 5 x 项系数为 C6 5 x 项系数为 C =5, 4 6 n 的 x 的取值范围 - 0 -

11 x 的系数为 故选 C 7. 某多面体的三视图如图所示, 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长 为, 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面中有若干是梯形, 这些梯形的面积之和为 A.0 B. C.4 D.6 答案 B 解析 由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 S 4 6 梯 S 6 全梯 故选 B 8. n n 右面程序框图是为了求出满足 000 的最小偶数 n, 那么在 和 两个空白框中, 可 以分别填入 A. A 000 和 n n B. A 000 和 n n C. A 000 和 n n D. A 000 和 n n 答案 D - -

12 答案 因为要求 A 大于 000 时输出, 且框图中在 否 时输出 中不能输入 A 000 排除 A B 又要求 n 为偶数, 且 n 初始值为 0, 中 n 依次加 可保证其为偶 故选 D 9. 已知曲线 C : y cos x, π C : y sin x, 则下面结论正确的是 () π A. 把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移个单位长度, 6 得到曲线 C π B. 把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线 C π C. 把 C 上各点的横坐标缩短到原来的倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移个单位长度, 6 得到曲线 C π D. 把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度, 得到曲线 C 答案 D π 解析 C : y cos x, C : y sin x 首先曲线 C C 统一为一三角函数名, 可将 C : y cos x 用诱导公式处理. y π π π cos x cos sin x x. 横坐标变换需将 变成, π C 上各点横坐标缩短它原来 π π 即 y sin x y sin x sin x 4 π π y sin sin x x. 注意 的系数, 在右平移需将 根据 左加右减 原则, x π 到 x π 4 π π 提到括号外面, 这时 x 平移至 x, 4 π 需加上, π 即再向左平移. 0. 已知 F 为抛物线 C : y 4x 的交点, 过 F 作两条互相垂直 l, l, 直线 l 与 C 交于 A B 两点, 直 线 l 与 C 交于 D, E 两点, AB DE 的最小值为 () A.6 B.4 C. D.0 答案 A - -

13 解析 设 AB 倾斜角为. 作 AK 垂直准线, AK 垂直 x 轴 AF cos GF AK ( 几何关系 ) 易知 AK AF ( 抛物线特性 ) P P GP P AF cos P AF 同理 P P AF, BF cos cos P P AB cos sin 又 DE 与 AB 垂直, 即 DE 的倾斜角为 P P DE π cos sin 而 y 4x, 即 P. AB DE P sin cos 6 6, 当 sin π 4 取等号 即 AB DE 最小值为 6, 故选 A π 4 sin cos sin cos 4 4 sin cos sin 4. 设 x, y, z x y z 为正数, 且 5, 则 () A. x y 5z B. 5z x y C. y 5z x D. y x 5z 答案 D 答案 取对数: x ln y ln ln 5. x ln y ln x y x ln z ln 5 x ln 5 5 则 z ln x 5z y x 5z, 故选 D. 几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件, 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了 解 数学题获取软件激活码 的活动, 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 : 已知数列,,,,, 4,,, 4, 8,,, 4, 8, 6 0 0,, 其中第一项是, 接下来的两项是,, 在 - -

14 6 接下来的三项式,,, 依次类推, 求满足如下条件的最小整数 N : N 00 且该数列的前 N 项和为 的整数幂. 那么该款软件的激活码是 ( ) A. 440 B. 0 C. 0 D.0 答案 A 解析 设首项为第 组, 接下来两项为第 组, 再接下来三项为第 组, 以此类推. n n 设第 n 组的项数为 n, 则 n 组的项数和为 由题, N 00, 令 n 第 n 组的和为 n n n n n 组总共的和为 * 00 n 4 且 n N, 即 N 出现在第 组之后 n n n n n 若要使前 N 项和为 的整数幂, 则 N 项的和 k 应与 n 互为相反数 k * 即 nk N, n 4 k log n n 9, k 则 N 故选 A 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 已知向量 a, b 的夹角为 60, a, b, 则 a b. 答案 解析 ( ) a b a b a a b cos 60 b a b x y 4. 设 x, y 满足约束条件 x y, 则 z x y 的最小值为. x y 0 答案 5-4 -

15 x y 不等式组 x y 表示的平面区域如图所示 x y 0 z 由 z x y 得 y x, z 求 z 的最小值, 即求直线 y x 的纵截距的最大值 z 当直线 y x 过图中点 A 时, 纵截距最大 x y 由 解得 A 点坐标为 (,), 此时 z ( ) 5 x y 5. 已知双曲线 C : x y,( a 0, b 0 ) 的右顶点为 A, 以 A 为圆心,b 为半径作圆 A, 圆 A 与双曲 a b 线 C 的一条渐近线交于 M, N 两点, 若 MAN 60, 则 C 的离心率为. 答案 解析 如图, OA a, AN AM b MAN 60, AP tan OP b 又 tan, a AP b, OP OA PA a b 4 b a b 4 b a b 4 b a, 解得 a b - 5 -

16 b e a 6. 如图, 圆形纸片的圆心为 O, 半径为 5 cm, 该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O, D E F 为元 O 上的点, DBC, ECA, FAB 分别是一 BC, CA, AB 为底边的等腰三角形, 沿虚线剪开后, 分别以 BC, CA, AB 为折痕折起 DBC, ECA, FAB, 使得 D, E, F 重合, 得到三棱锥. 当 ABC 的边长变化时, 所得三棱锥体积 ( 单位 : cm ) 的最大值为. 答案 4 5 解析 由题, 连接 OD, 交 BC 与点 G, 由题, OD BC OG 6 BC, 即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 设 OG x, 则 BC x, DG 5 x 三棱锥的高 h DG OG 5 0x x x 5 0x S ABC x x 则 V S ABC h x 5 0x = 5x 0x 4 5 令 f x 5x 0x, 令 f x 0 5 (0, ) x, 4, 即 x x 0, x 则 f x f 80 则 V 体积最大值为 4 5 cm 4 5 f x 00x 50x 4 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 7- 题为必考题, 每个试题考生 都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 共 60 分 - 6 -

17 7. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 ABC 的面积为 () 求 sin Bsin C ; () 若 6cos B cosc, a, 求 ABC 的周长. a sin A. 解析 本题主要考查三角函数及其变换, 正弦定理, 余弦定理等基础知识的综合应用. 8. ( 分 ) a () ABC 面积 S. 且 S bcsin A sina a bc sin A sin A a bcsin A 由正弦定理得 sin A sin Bsin C sin A, 由 sin A 0 得 sin B sin C. () 由 () 得 sin B sin C, cos B cosc 6 A B C π cos A cosπ B C cosb C sin BsinC cos B cosc 又 A 0, π A 60, sin A, cos A 由余弦定理得 a b c bc 9 a a 由正弦定理得 b sin B, c sin C sin A sin A a bc sin Bsin C 8 sin A 由 得 b c a b c, 即 ABC 周长为 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, AB CD 中, 且 BAP CDP 90. () 证明 : 平面 PAB 平面 PAD ; () 若 PA PD AB DC, APD 90, 求二面角 A PB C 的余弦值. 解析 () 证明 : BAP CDP 90 PA AB, PD CD 又 AB CD, PD AB 又 PD PA P, PD PA 平面 PAD AB 平面 PAD, 又 AB 平面 PAB 平面 PAB 平面 PAD - 7 -

18 () 取 AD 中点 O, BC 中点 E, 连接 PO, OE AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形 OE AB 由 () 知, AB 平面 PAD OE 平面 PAD, 又 PO AD 平面 PAD OE 9. ( 分 ) PO, OE AD 又 PA PD, PO AD PO OE AD 两两垂直 以 O 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 设 PD 0 PB 设 n x, y, z 为平面 PBC 的法向量 n PB 0 x y z 0 由, 得 n BC 0 x 0 PA, D,, B,, P 0, 0, 0,,,, BC, 0, 0 令 y, 则 z, 0 APD 90, PD PA 又知 AB 平面 PAD, PD 平面 PAD PD AB, 又 PA AB A PD 平面 PAB 即 PD PD PD n cos PD, n PD n C,,, x, 可得平面 PBC 的一个法向量 n 0,, 是平面 PAB 的一个法向量,, 0, 由图知二面角 A PB C 为钝角, 所以它的余弦值为 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程, 实验员每天从该生产线上随机抽取 6 个零件, 并测量 其尺寸 ( 单位 : cm ). 根据长期生产经验, 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正 态分布 N,. () 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的 6 个零件中其尺寸在 数, 求 P X 及 X 的数学期望 ; () 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查. (I) 试说明上述监控生产过程方法的合理性 : (II) 下面是检验员在一天内抽取的 6 个零件的尺寸 : 经计算得 x xi 9.97, s xi x xi 6x 0. i 6 i 6 i 件的尺寸, i,,, 6., 之外的零件, 之外的零件, 就认为这条生产线在这一, 其中 i x 为抽取的第 i 个零 用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ, 用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ, 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查, 剔除 ˆ ˆ, ˆ ˆ 之外的数据, 用剩下的数据估计 和 ( 精确到 0.0)

19 附 : 若随机变量 Z 服从正态分布 N , 解析 () 由题可知尺寸落在 率为 P X P X 由题可知 X ~ B 6, E X P X 微信公众号数学竞赛的那些事儿 C ,, 则 P Z , 之内的概率为 , 落在 ()(i) 尺寸落在, 之外的概率为 0.006, 由正态分布知尺寸落在, 之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理. (ii) , 9.4, ,, 需对当天的生产过程检查. 因此剔除 9. 剔除数据之后 : [ , 之外的概 ] ( 分 ) x 已知椭圆 C : a 点在椭圆 C 上. y b () 求 C 的方程 ; a b 0, 四点 P,, P 0,, P,, P 4, 中恰有三 () 设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A B 两点, 若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为, 证明 : l 过定点. 解析 () 根据椭圆对称性, 必过 P P 4 又 P 4 横坐标为, 椭圆必不过 P, 所以过 P, P, P4 三点 P 0,, P, 代入椭圆方程得 将 - 9 -

20 b, 解得 a 4, b 4 a b x 椭圆 C 的方程为 : y. 4 () 当斜率不存在时, 设 l x m, Am, y, B m, y : A A ya ya kp A kp B m m m 得 m, 此时 l 过椭圆右顶点, 不存在两个交点, 故不满足. 当斜率存在时, 设 l y kx b b A x, y, B x, y y kx b 联立 x 4y 4 0, 整理得 8kb 4b 4 x x, x x 4k 4k k 则 P A P B y y k x x kb k kb kb 4k 4b 4 4k 8k b b b 4, 又 b 4k x 8kbx 4b 4 0 x kx b x x kx b x x x b k, 此时 64k, 存在 k 使得 0 成立. 直线 l 的方程为 y kx k 当 x 时, y 所以 l 过定点,.. ( 分 ) x 已知函数 e x f x a a e x. () 讨论 f x 的单调性 ; () 若 f x 有两个零点, 求 a 的取值范围. x 解析 () 由于 e x f x a a e x x x x x 故 f x ae a e ae e x 当 a 0 时, ae 0, e 0 f x 在 R 上单调递减 a 时, 令 f x 0 当 0 x. 从而 f x 0 恒成立. x, 从而 ae 0, 得 x ln a. x, ln a ln a ln a, f x 0 f x 单调减 极小值 单调增 - 0 -

21 综上, 当 a 0 时, f ( x ) 在 R 上单调递减 ; 当 a 0 时, f ( x ) 在 (, ln a) 上单调递减, 在 ( ln a, ) 上单调递增 () 由 () 知, a 时, f x 在 R 上单调减, 故 当 0 a 时, 当 0 令 g a fmin f ln a ln a. a ln a. a ln a a 0 a f x 在 R 上至多一个零点, 不满足条件. a a 令 g a, 则 g ' a 0. 从而 0 g. 故当 0 a 时, 0 g a. 当 a 时 0 g a 在 0, 上单调增, 而 g a. 当 a 时 g a 0 若 a, 则 fmin ln a g a 0, 故 f x 0 恒成立, 从而 f x 无零点, 不满足条件. a 若 a, 则 fmin ln a 0, 故 f x 0 仅有一个实根 x ln a 0, 不满足条件. a a a 若 0 a, 则 fmin ln a 0, 注意到 ln a 0. f 0. a e e e 故 且 f x 在 ln a, 上有一个实根, 而又 ln ln ln a. a a ln ln a a f ln( ) e a e a ln a a a a ln ln 0. a a a a 故 f 又 又 x 在 ln a, ln 上有一个实根. a f x 在, ln a 上单调减, 在 ln a, 单调增, 故 f x 在 ln a 根. 综上, 0 a., 及 ln a ln a f x 在 R 上至多两个实根., 上均至少有一个实数根, 故 f x 在 R 上恰有两个实 ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做, 则按所做的第一题计分. [ 选修 4-4: 坐标系与参考方程 ] x cos, 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 y sin, ( 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 x a 4t, y t, ( t 为参数 ). () 若 a, 求 C 与 l 的交点坐标 ; () 若 C 上的点到 l 距离的最大值为 7, 求 a. 解析 () a 时, 直线 l 的方程为 x 4y 0. x 曲线 C 的标准方程是 y, 9 - -

22 x 4y 0 x x 5 联立方程 x, 解得 : 或, y y y 5 4 则 C 与 l 交点坐标是, 0 和, 5 5 () 直线 l 一般式方程是 x 4y 4 a 0. 设曲线 C 上点 pcos sin,. cos 4sin 4 a 5sin 4 a 则 P 到 l 距离 d, 其中 tan 依题意得 : dmax 7, 解得 a 6 或 a 8. [ 选修 4-5: 不等式选讲 ] 已知函数 f x x ax g x x x () 当 a 时, 求不等式 f x g x () 若不等式 f x g x 的解集包含 解析 () 当 a 时, 4,. f x x x 的解集 ; x, x g x x x, x, x, x,, 求 a 的取值范围. 4, 是开口向下, 对称轴 x 的二次函数. 当 x (, ) 时, 令 x x 4 x, 解得 x g x 在, 上单调递增, f x 在 此时 f x g x 当 x, 时, 7 解集为,. 7, 上单调递减 g x, f x f. f x 单调递增, 且 g f 当 x, 时, g x 单调递减, 综上所述, f x g x () 依题意得 : x ax 4 即 x 7 解集,. 在 ax 0 在, 恒成立., 恒成立. a 0 则只须 a 0, 解出 : a. 故 a 取值范围是,.. - -

23 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国卷 II) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. i ( ) i A. i B. i C. i D. i. 设集合,,4, x x 4x m 0. 若, 则 ( ) A., B.,0 C., D.,5. 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 : 远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 意思是 : 一座 7 层塔共挂了 8 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍, 则塔的顶层共有灯 ( ) A. 盏 B. 盏 C.5 盏 D.9 盏 4. 如图, 网格纸上小正方形的边长为, 学科粗实线画出的是 某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得, - -

24 则该几何体的体积为 ( ) A. 90 B. 6 C. 4 D. 6 x y 0 5. 设, y 满足约束条件 x y 0, 则 z x y 的最小值是 ( ) y 0 A. 5 B. 9 C. D.9 6. 安排 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 项, 每项工作由 人 完成, 则不同的安排方式共有 ( ) A. 种 B.8 种 C.4 种 D.6 种 7. 甲 乙 丙 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师说 : 你们四人中有 位优秀, 位良好, 我现在给甲看乙 丙的成绩, 给乙看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说 : 我还是不知道我的成绩. 根据以上信息, 则 ( ) A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙 丁可以知道对方的成绩 D. 乙 丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图, 如果输入的 a, 则输出的 S ( ) A. B. C.4 D.5 9. 若双曲线 C: x a y ( a 0, 0 b b ) 的一条渐近线被圆 x y 4 所截得的弦长为, 则 C 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 0. 已知直三棱柱 C C 中, C 0,, C CC, 则异面直线 与 C 所成角的余弦值为 ( ) A. B. 5 5 C. 0 5 D

25 . 若 x 是函数 f ( x) ( x ax ) e x ` 的极值点, 则 ( ) f x 的极小值为 ( ) A. B. e C. 5e D.. 已知 ABC 是边长为 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点, 则 PA( PB PC) 的最小值是 ( ) A. B. C. 4 D. 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 一批产品的二等品率为 0.0, 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取 00 次, 表示抽到的二 等品件数, 则 D. f x sin x cos x 4 ( x 0, ) 的最大值是. 4. 函数 5. 等差数列 a n 的前项和为 S n, n a, S 4 0, 则. S k k 6. 已知是抛物线 C: y 8x 的焦点, 是 C 上一点,F 的延长线交 y 轴于点. 若 为 F 的中点, 则 F. 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤 第 7~ 题为必做题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 7.( 分 ) ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 () 求 cos B () 若 a c 6, ABC 面积为, 求 b. B sin( A C) 8sin. 8.( 分 ) 淡水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随机抽取 00 个网箱, 测量各箱水产品的产量 ( 单位 :kg) 某频率直方图如下 : - 5 -

26 () 设两种养殖方法的箱产量相互独立, 记 A 表示事件 : 旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产 量不低于 50kg, 估计 A 的概率 ; () 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关 : 旧养殖法 新养殖法 箱产量 50 kg 箱产量 50 kg () 根据箱产量的频率分布直方图, 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 ( 精确到 0.0) P( ) k n( ad bc) K ( a b)( c d)( a c)( b d) 9. ( 分 ) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形 BCD, AB BC AD BAD ABC 0, 90, E 是 PD 的中点 () 证明 : 直线 CE / / 平面 PAB 0 () 点 M 在棱 PC 上, 且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45, 求二面角 M-AB-D 的余弦值 x 0. ( 分 ) 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C: 满足 NP NM. y 上, 过 M 做 x 轴的垂线, 垂足为 N, 点 P () 求点 P 的轨迹方程 ; () 设点 Q 在直线 x=- 上, 且 OP PQ. 证明 : 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F..( 分 ) 已知函数 f ( x) ax ax x ln x, 且 f ( x) 0. () 求 a ; - 6 -

27 () 证明 : f ( x ) 存在唯一的极大值点 x 0, 且 e f ( x ). 0 ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做, 按所做的第一题计分. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 (0 分 ) 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 cos 4. ()M 为曲线 C 上的动点, 点 P 在线段 OM 上, 且满足 OM OP 6, 求点 P 的轨迹 C 的直角坐标方 程 ; () 设点 A 的极坐标为 (, ), 点 B 在曲线 C 上, 求 OAB 面积的最大值.. 选修 4-5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知 a 0, b 0, a b, 证明 : () ( a b)( a b ) 4 ; () a b

28 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国 II 卷 ) ( 解析版 ) 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题中, 只有一项是符合题目要求的. i ( ) i A. i B. i C. i D. i 答案 D i i i 解析 i i i i. 设集合,,4, x x 4x m 0. 若, 则 ( ) A., B.,0 C., D.,5 答案 C 解析 是方程 x 4x m 0 的解, x 代入方程得 m x 4x 0 的解为 x 或 x, B,. 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 : 远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯? 意思是 : 一座 7 层塔共挂了 8 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍, 则塔的顶层共有灯 ( ) A. 盏 B. 盏 C.5 盏 D.9 盏 答案 B 解析 设顶层灯数为 a, 7 a q, S 7 8, 解得 a. 4. 如图, 网格纸上小正方形的边长为, 粗实线画出的是 某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得, 则该几何体的体积为 ( ) A. 90 B. 6 C. 4 D. 6 答案 B 解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半

29 V V总 V上 π 0 π 6 6π x y 0 5. 设, y 满足约束条件 x y 0, 则 z x y 的最小值是 ( ) y 0 A. 5 B. 9 C. D.9 答案 A 解析 目标区域如图所示, 当直线 - 所求 z 最小值为 5. y = x+ z 取到点 6, 时, 6. 安排 名志愿者完成 4 项工作, 每人至少完成 项, 每项工作由 人完成, 则不同的安排方式共有 ( ) A. 种 B.8 种 C.4 种 D.6 种 答案 D 解析 只能是一个人完成 份工作, 剩下 人各完成一份工作. 由此把 4 份工作分成 份再全排得 C A 甲 乙 丙 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师说 : 你们四人中有 位优秀, 位良好, 我现在给甲看乙 丙的成绩, 给乙看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说 : 我还是不知道我的成绩. 根据以上信息, 则 ( ) A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙 丁可以知道对方的成绩 D. 乙 丁可以知道自己的成绩 答案 D 解析 四人所知只有自己看到, 老师所说及最后甲说的话

30 甲不知自己成绩 乙 丙中必有一优一良,( 若为两优, 甲会知道自己成绩 ; 两良亦然 ) 乙看 了丙成绩, 知自己成绩 丁看甲, 甲 丁中也为一优一良, 丁知自己成绩. 8. 执行右面的程序框图, 如果输入的 a, 则输出的 S ( ) A. B. C.4 D.5 答案 B 解析 S 0, k, a 代入循环得, k 7 时停止循环, S. 9. 若双曲线 C: x a y ( a 0, 0 b b ) 的一条渐近线被圆 x y 4 所截得的弦长为, 则 C 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 A b 解析 取渐近线 y x, 化成一般式 bx ay 0 a 得 c 4a, e 4, e., 圆心 0, 到直线距离为 a b b 0. 已知直三棱柱 C C 中, C 0,, C CC, 则异面直线 与 C 所成角的余弦值为 ( ) A. B. 5 5 C. 0 5 D. 答案 C 解析 M, N, P 分别为 AB, BB, B C 中点, 则 AB, BC 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 ( 异面 π 线所成角为 0, ) 5 可知 MN AB, NP BC, 作 BC 中点 Q, 则可知 PQM 为直角三角形. PQ, MQ AC ABC 中, AC AB BC AB BC cosabc 4 7, AC 7-0 -

31 7 则 MQ, 则 MQP 中, MP MQ PQ MN NP PM 则 PMN 中, cospnm MH NP π 又异面线所成角为 0,, 则余弦值为 若 x 是函数 f ( x) ( x ax ) e x ` 的极值点, 则 ( ) f x 的极小值为 ( ) A. B. e C. 5e D. 答案 A f x x a x a e 解析 x, f 4 a a e 0 a, 则 x, x 则 f x x x e,, 得 x 或 x, 令 f x 0 当 x 或 当 x, x 时, f x 0 f x x x e 时, f x 0, 则 f x 极小值为 f.. 已知 ABC 是边长为 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点, 则 PA( PB PC) 的最小值是 ( ) A. B. C. 答案 B 4 D. 解析 几何法: 如图, PB PC PD ( D 为 BC 中点 ), 则 PA PB PC PD PA, 要使 PA PD 最小, 则 PA, PD 方向相反, 即 P 点在线段 AD 上, 则 PD PAmin PA PD, 即求 PD PA 最大值, 又 PA PD AD, - -

32 PA PD 则 PA PD, 4 则 PD PAmin. 4 解析法 : 建立如图坐标系, 以 BC 中点为坐标原点, A,, B, 0, 0 0 设 Px y,, PA x y 微信公众号数学竞赛的那些事儿 C,.,, PB x y PC x, y, PA PB PC x y y x y 4 则其最小值为 4,,, 此时 x 0, 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 y.. 一批产品的二等品率为 0.0, 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取 00 次, 表示抽到的二 等品件数, 则 D. 答案.96 解析 有放回的拿取, 是一个二项分布模型, 其中 p 0.0, n 00 则 D np p x f x sin x cos x ( x 0, 4 ) 的最大值是. 4. 函数 答案 解析 π f x sin x cos x x 0 4, cos cos f x x x 令 cos x t 且 t 0, y t t

33 则当 t t 时, f x 取最大值. 5. 等差数列 a n 的前项和为 S n, 答案 n n+ 解析 设 a n 首项为 a, 公差为 d. n a, S 4 0, 则. S k k 则 a a d S 4a 6d 0 4 求得 a, d, 则 an n k n, S n n n S n n n n k n n n n n n n 6. 已知是抛物线 C: y 8x 的焦点, 是 C 上一点,F 的延长线交 y 轴于点. 若 为 F 的中点, 则 F. 答案 6 解析 y 8x 则 4 p, 焦点为 0 如图, M 为 F N 中点, F,, 准线 l : x, 故易知线段 BM 为梯形 AFMC 中位线, CN, AF 4, ME 又由定义 ME 且 MN NF, MF, NF NM MF 6 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤 第 7~ 题为必做题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : - -

34 7.( 分 ) ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 () 求 cos B () 若 a c 6, ABC 面积为, 求 b. B cos B 解析 () 依题得 : sin B 8sin 8 4( cos B). sin B cos B, 6( cos B) cos B, 5 (7 cos B 5)(cos B ) 0, cos B, 7 8 () 由 ⑴ 可知 sin B. 7 S ABC, sin ac B, 8 7 ac, ac, 7 5 a c b 5 cos B,, 7 ac 7 a c b 5, ( a c) ac b 5, B sin( A C) 8sin. 6 7 b 5, b. 8.( 分 ) 淡水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随机抽取 00 个网箱, 测量各箱水产品的产量 ( 单位 :kg) 某频率直方图如下 : () 设两种养殖方法的箱产量相互独立, 记 A 表示事件 : 旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产 量不低于 50kg, 估计 A 的概率 ; () 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关 : 箱产量 50 kg 箱产量 50 kg - 4 -

35 旧养殖法 新养殖法 () 根据箱产量的频率分布直方图, 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 ( 精确到 0.0) P( ) k n( ad bc) K ( a b)( c d)( a c)( b d) 解析 () 记 : 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 为事件 B () 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 为事件 C 而 PB PC PB PC P A 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 6 8 新养殖法 4 66 由计算可得 K 的观测值为 k () P K 有 99% 以上的把握产量的养殖方法有关 , , , 中位数为 ( 分 ) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形 BCD, - 5 -

36 AB BC AD BAD ABC 0, 90, E 是 PD 的中点 () 证明 : 学 直线 CE / / 平面 PAB 0 () 点 M 在棱 PC 上, 且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45, 求二面角 M-AB-D 的余弦值 解析 () 令 PA 中点为 F, 连结 EF, BF, CE. E, F 为 PD, PA 中点, EF 为 PAD 的中位线, EF 又 BAD ABC 90, BC AD. 又 AB BC AD, BC AD, EF BC. 四边形 BCEF 为平行四边形, CE BF. AD. 又 BF 面 PAB, CE 面 PAB () 以 AD 中点 O 为原点, 如图建立空间直角坐标系. 设 AB BC, 则 O (0, 0, 0), A(0,, 0), B(,, 0), C (, 0, 0), D (0,, 0), P (0, 0, ). M 在底面 ABCD 上的投影为 M, MM BM. MBM 45, MBM 为等腰直角三角形. POC 为直角三角形, OC OP, PCO 60. 设 MM a, CM a, OM a. M a 0 0,,. 6. OM a. BM a 0 a a a - 6 -

37 M 0 0,,, 6 M 0,, 6 AM,,, AB (, 0, 0). 设平面 ABM 的法向量 m (0, y, z). 6 y z 0, m (0, 6, ) AD (0,, 0), AB (, 0, 0). 设平面 ABD 的法向量为 n (0, 0, z), n (0, 0, ). m n 0 cos m, n. m n 5 二面角 M AB D 的余弦值为 0 5. x 0. ( 分 ) 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C: 满足 NP NM. y 上, 过 M 做 x 轴的垂线, 垂足为 N, 点 P () 求点 P 的轨迹方程 ; () 设点 Q 在直线 x=- 上, 且 OP PQ. 证明 : 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解析 ⑴ 设 P( x, y), 易知 N( x, 0) NP (0, y) 又 y NM NP 0, M x y,, 又 M 在椭圆上. x y, 即 x y. ⑵ 设点 Q(, y Q ), P( x, y ), ( yq 0), P P 由已知 : OP PQ ( x, y ) ( y, y y ), P P P Q P OP OQ OP OP OQ OP, OP OQ OP, x x y y x y y. P Q P Q P P Q y Q 设直线 OQ : y x, - 7 -

38 因为直线 l 与 l OQ 垂直. k l y Q 故直线 l 方程为 y ( x xp ) yp, y 令 y 0, 得 y y ( x x ), yp yq x xp, Q P Q P x y y x, P Q P y y x, P Q P x ( xp ) xp, 若 yq 0, 则, x, y, x P 直线 OQ 方程为 y 0, 直线 l 方程为 x, 直线 l 过点 (, 0), 为椭圆 C 的左焦点. P P.( 分 ) 已知函数 f ( x) ax ax x ln x, 且 f ( x) 0. () 求 a ; () 证明 : f ( x ) 存在唯一的极大值点 x 0, 且 解析 ⑴ 因为 f x xax a x e f ( x ). 0 ln 0, x 0, 所以 ax a ln x 0. 令 g x ax a ln x, 则 g 0, a 时, g x 0, 当 0 a 时, 令 g x 0 当 0 当 0 x a ax g x a, x x 0 g x 单调递减, 但 g,, 得 x. a 时, g x 0, 若 0 a, 则 g x 在 a 若 a, 则 g x 在 a a, 则 g x g g 若 综上, a. min g x 单调减 ; 当 x a, 上单调减, g g, 上单调增, g g 0 a x 时, 0 g x ; 时, g x 0, 0 ; a 0 ; a, g x 0. g x 单调增. ⑵ ln, ln f x x x x x f x x x, x

39 令 hx x ln x, 则 h x 得 x, 令 h x 0 当 0 x 时, h x 0 所以, min 因为, x, x 0. x x h x 单调递减 ; 当 h x h ln 0. h e e 0, 所以在 0, 和 设 f x 所以当 0 x x0 此, x 0 是 因为, f x 时, hx 0, h ln 0, e 0,,,,, 上, h x 即 f x 各有一个零点. 在 0, 和, 上的零点分别为 x x 0 时, f x 0, f x 的极大值点. x f x 单调增 ; 当 x0 在, 上单调增, 所以当 x x f x 单调增, 因此 x 是 f x 的极小值点. 所以, f x 有唯一的极大值点 x 0. 由前面的证明可知, x 因为 0 e 0 0 0,, 则 f x f,, 因为 f x x 时, f x 0 h x 单调递增. 在 0, 上单调减,, f 时, f x 0, 4. 0 e e e e f x x ln x 0, 所以 ln x0 x0, 则 f x x x x x x x, 因为 0 x0 又 因此, e f x, 所以 x 单调减. 因 f x 单调减, x x 时, f x0. 4 ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做, 按所做的第一题计分. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 cos 4. ()M 为曲线 C 上的动点, 点 P 在线段 OM 上, 且满足 OM OP 6, 求点 P 的轨迹 C 的直角坐标方 程 ; () 设点 A 的极坐标为 (, ), 点 B 在曲线 C 上, 求 OAB 面积的最大值. M,, P, 解析 ⑴ 设

40 则 OM 0, OP cos0 4 0 解得 4cos, 化为直角坐标系方程为 x y 4. x 0 ⑵ 连接 AC, 易知 AOC 为正三角形. OA 为定值. 当高最大时, S 面积最大, AOB 如图, 过圆心 C 作 AO 垂线, 交 AO 于 H 点 交圆 C 于 B 点, 此时 S AOB 最大 Smax AO HB AO HC BC. 选修 4-5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知 a 0, b 0, a b, 证明 :() ( a b)( a b ) 4 ;() a b 解析 ⑴ 由柯西不等式得 : a ba b a a b b a b 4 当且仅当 ab ba, 即 a b 时取等号. 5 5 ⑵ a b a ba ab b a b b ab a b aba b a b ab a b a b a b 由均值不等式可得 : ab a b a b a b a b

41 a b a b 4 a b 4 a b 当且仅当 a b 时等号成立

42 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国卷 III) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 已知集合 A=( x, y ) x y,b=( x, y ) y x, 则 A B 中元素的个数为 ( ) A. B. C. D.0. 设复数 z 满足 (+i)z=i, 则 z =( ) A. B. C. D.. 某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了 04 年 月至 06 年 月期 间月接待游客量 ( 单位 : 万人 ) 的数据, 绘制了下面的折线图. 根据该折线图, 下列结论错误的是 ( ) A. 月接待游客量逐月增加 - 4 -

43 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份 D. 各年 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 月, 波动性更小, 变化比较平稳 4.( x + y )( x - y ) 5 的展开式中 x y 的系数为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 x 5. 已知双曲线 C: a y (a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 y b 焦点, 则 C 的方程为 ( ) 5 x y x, 且与椭圆 有公共 x y x y x y x y A. B. C. D 设函数 f(x)=cos(x+ ), 则下列结论错误的是 ( ) A.f(x) 的一个周期为 π B.y=f(x) 的图像关于直线 x= 8 对称 C.f(x+π) 的一个零点为 x= 6 D.f(x) 在 (,π) 单调递减 7. 执行下面的程序框图, 为使输出 S 的值小于 9, 则输入的正整数 N 的最小值为 ( ) A.5 B.4 C. D. 8. 已知圆柱的高为, 它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. π 4 C. π D. π 4-4 -

44 9. 等差数列 a n 的首项为, 公差不为 0. 若 a,a,a6 成等比数列, 则 n A.-4 B.- C. D.8 x 0. 已知椭圆 C: a y b a 前 6 项的和为 ( ),(a>b>0) 的左 右顶点分别为 A,A, 且以线段 AA 为直径的圆与直线 bx ay ab 0 相切, 则 C 的离心率为 ( ) A. 6 B. C. D.. 已知函数 x x f ( x) x x a( e e ) 有唯一零点, 则 a=( ) A. B. C. D.. 在矩形 ABCD 中,AB=,AD=, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 AP = AB + AD, 则 + 的最大值为 ( ) A. B. C. 5 D. 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 x y 0. 若 x, y 满足约束条件 x y 0, 则 z x 4y 的最小值为. y 0 4. 设等比数列 a n 满足 a + a =, a a =, 则 a4 =. x, x 0, 5. 设函数 f ( x) 则满足 f ( x) f ( x ) 的 x 的取值范围是 x, x 0, 6.a,b 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直, 斜 边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转, 有下列结论 : 当直线 AB 与 a 成 60 角时,AB 与 b 成 0 角 ; 当直线 AB 与 a 成 60 角时,AB 与 b 成 60 角 ; 直线 AB 与 a 所称角的最小值为 45 ; 4 直线 AB 与 a 所称角的最小值为 60 ; 其中正确的是 ( 填写所有正确结论的编号 )

45 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 7~ 题为必考题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 共 60 分 7.( 分 ) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 sina+ cosa=0,a= 7,b=. () 求 c; () 设 D 为 BC 边上一点, 且 AD AC, 求 ABD 的面积. 8.( 分 ) 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温 ( 单位 : ) 有关. 如果最高气温不低于 5, 需求量为 500 瓶 ; 如果最高气温位于区间 [0,5), 需求量为 00 瓶 ; 如果最高气温低于 0, 需求量为 00 瓶. 为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表 : 最高气温 [0,5) [5,0) [0,5) [5,0) [0,5) [5,40) 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 () 求六月份这种酸奶一天的需求量 X( 单位 : 瓶 ) 的分布列 ; () 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y( 单位 : 元 ), 当六月份这种酸奶一天的进货量 n( 单位 : 瓶 ) 为多少时,Y 的数学期望达到最大值? 9.( 分 ) 如图, 四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形, ACD 是直角三角形, ABD= CBD,AB=BD. () 证明 : 平面 ACD 平面 ABC; () 过 AC 的平面交 BD 于点 E, 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分, 求二面角 D AE C 的余弦值

46 0.( 分 ) 已知抛物线 C:y =x, 过点 (,0) 的直线 l 交 C 与 A,B 两点, 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. () 证明 : 坐标原点 O 在圆 M 上 ; () 设圆 M 过点 P(4,-), 求直线 l 与圆 M 的方程..( 分 ) 已知函数 f ( x ) =x - - alnx. () 若 f ( x) 0, 求 a 的值 ; () 设 m 为整数, 且对于任意正整数 n, ( + )( + ) ( + ) <m, 求 m 的最小值. n ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[ 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) x + t, 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 y kt, x m, m ( m为参数 ). 设 l 与 l 的交点为 P, 当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. y, k () 写出 C 的普通方程 ; () 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l :ρ(cosθ+sinθ)- =0,M 为 l 与 C 的交点, 求 M 的极径..[ 选修 4-5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知函数 f(x)= x+ x. () 求不等式 f(x) 的解集 ; () 若不等式 f(x) x x +m 的解集非空, 求 m 的取值范围

47 07 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 ( 全国 Ⅲ 卷 ) ( 解析版 ) 一 选择题 :( 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 ), B ( x, y) y x. 已知集合 A ( x, y) x y, 则 A B 中元素的个数为 () A. B. C. D.0 答案 B 解析 A 表示圆 x y 上所有点的集合, B 表示直线 y x 上所有点的集合, 故 A B 表示两直线与圆的交点, 由图可知交点的个数为, 即 A B 元素的个数为, 故选 B.. 设复数 z 满足 ( i) z i, 则 z () A. B. C. D. 答案 C i i i i 解析 由题, z i, 则 z i i i, 故选 C.. 某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了 04 年 月至 06 年 月期间月接待游客量 ( 单位 : 万人 ) 的数据, 绘制了下面的折线图. 根据该折线图, 下列结论错误的是 () A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D. 各年 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 月, 波动性更小, 变化比较平稳 答案 A 解析 由题图可知,04 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少, 则 A 选项错误, 故选 A ( x y)( x y) 的展开式中 x y 的系数为 () A. B. C.40 D.80 答案 C

48 解析 由二项式定理可得, 原式展开中含 x y 的项为 5 5 x C x y y C x y 40x y, 则 x y 的系数为 40, 故选 C. x y 5 x y 5. 已知双曲线 C: ( a 0, b 0 ) 的一条渐近线方程为 y x, 且与椭圆 a b 焦点. 则 C 的方程为 () x y x y x y x y A. B. C. D 答案 B 解析 双曲线的一条渐近线方程为 y 5 x, 则 x y 又 椭圆 与双曲线有公共焦点, 易知 c, 则 a b c 9 x y 由 解得 a, b 5, 则双曲线 C 的方程为, 故选 B. 4 5 π 6. 设函数 f ( x) cos( x ), 则下列结论错误的是 () b a A. f ( x ) 的一个周期为 π B. y f ( x) 5 的图像关于直线 x π π C. f ( x ) 的一个零点为 x D. f ( x ) 在 (, π) 单调递减 6 答案 D π π 解析 函数 f x cos x 的图象可由 y cos x 向左平移个单位得到, π 如图可知, f x 在, π 上先递减后递增,D 选项错误, 故选 D. 8π 对称 有公共 7. 执行右图的程序框图, 为使输出 S 的值小于 9, 则输入的正整数 N 的最小值为 () A.5 B.4 C. D. 答案 D 解析 程序运行过程如下表所示: S M t 初始状态 0 00 第 次循环结束 00 0 第 次循环结束 90 此时 S 90 9 首次满足条件, 程序需在 t 时跳出循环, 即 N 为满足条件的最小值, 故选 D. 8. 已知圆柱的高为, 它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 () A. π B. π 4 答案 B C. π D. π

49 解析 由题可知球心在圆柱体中心, 圆柱体上下底面圆半径 r, π 则圆柱体体积 V πr h, 故选 B 等差数列 a n 的首项为, 公差不为 0. 若 a, a, a 6 成等比数列, 则 a n 前 6 项的和为 () A. 4 B. C. D.8 答案 A 解析 a n 为等差数列, 且 a, a, a 6 成等比数列, 设公差为 d., 即 a d a d a 5d 则 a a a 6 又 a, 代入上式可得 d d 0 又 d 0, 则 d S6 6a d 6 4, 故选 A. x y 0. 已知椭圆 C : ( a b 0 ) 的左 右顶点分别为 A a b, A, 且以线段 A A 为直径的圆与直线 bx ay ab 0 相切, 则 C 的离心率为 () A. 6 B. C. D. 答案 A 解析 以 A A 为直径为圆与直线 bx ay ab 0 相切, 圆心到直线距离 d 等于半径, ab d a a b 又 a 0, b 0, 则上式可化简为 a b b a c, 可得 c a a c, 即 a c 6 e, 故选 A a x x. 已知函数 f ( x) x x a(e e ) 有唯一零点, 则 a () A. B. C. D. 答案 C x x 解析 由条件, f ( x) x x a(e e ), 得 : f x x x a x ( x) ( ) ( ) ( ) (e e ) x x x 4x 4 4 x a(e e ) x x x x a(e e ) f ( x) f ( x), 即 x 为 f ( x ) 的对称轴, 由题意, f ( x ) 有唯一零点, f ( x ) 的零点只能为 x,

50 即 f () a(e e ) 0, 解得 a.. 在矩形 ABCD 中, AB, AD, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若 AP AB AD, 则 的最大值为 () A. B. C. 5 D. 答案 A 解析 由题意, 画出右图. 设 BD 与 C 切于点 E, 连接 CE. 以 A 为原点, AD 为 x 轴正半轴, AB 为 y 轴正半轴建立直角坐标系, 则 C 点坐标为 (,). CD, BC. BD 5. BD 切 C 于点 E. CE BD. CE 是 Rt BCD 中斜边 BD 上的高. BC CD S BCD EC 5 即 C 的半径为 5 BD BD P 在 C 上. ( x ) ( y ) P 点的轨迹方程为 5. 设 P 点坐标 ( x0, y0 ), 可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下 : x0 5 cos 5 y0 5 sin 5 而 AP ( x0, y0), AB (0,), AD (,0). AP AB AD (0,) (,0) (, ) 4 5 x0 cos, y0 5 sin. 5 5 两式相加得 : 5 5 sin cos sin( ) ( ) ( ) sin( ) 5 5 ( 其中 sin, cos ) 5 5 π 当且仅当 kπ, k Z 时, 取得最大值.. 二 填空题 :( 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 )

51 x y 0,. 若 x,y 满足约束条件 x y 0, 则 z x 4y 的最小值为. y 0, 答案 解析 由题, 画出可行域如图 : z y x 纵截距越大, z 值越小. 4 4 A 处取最小值, 故 zmin 4. 目标函数为 z x 4y, 则直线 由图可知 : z 在, 4. 设等比数列 n a 满足 a a, a a, 则 a4. 答案 8 为等比数列, 设公比为 q. a n 解析 a a a aq, 即 a a a aq, 显然 q, a 0, 得 q, 即 q, 代入 式可得 a, a4 aq 8. x, x 0, 5. 设函数 f ( x) 则满足 f ( x) f ( x ) 的 x 的取值范围是., x 0, x 答案, 4 x, x 0 解析 f x x, f x f x, x 0 由图象变换可画出 y f x 与 y f x 的图象如下 :, 即 f x f x 由图可知, 满足 f x f x 的解为, a, b 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 - 5 -

52 a, b 都垂直, 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转, 有下列结论 : 当直线 AB 与 a 成 60 角时, AB 与 b 成 0 角 ; 当直线 AB 与 a 成 60 角时, AB 与 b 成 60 角 ; 直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45; 4 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60. 其中正确的是 ( 填写所有正确结论的编号 ) 答案 解析 由题意知, a b AC 三条直线两两相互垂直, 画出图形如图. 不妨设图中所示正方体边长为, 故 AC, AB, 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转, 则 A 点保持不变, B 点的运动轨迹是以 C 为圆心, 为半径的圆. 以 C 为坐标原点, 以 CD 为 x 轴正方向, CB 为 y 轴正方向, CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系. 则 D (,0,0), A (0,0,), 直线 a 的方向单位向量 a (0,,0), a. B 点起始坐标为 (0,,0), 直线 b 的方向单位向量 b (,0,0), b. 设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos,sin,0), 其中 为 B C 与 CD 的夹角, [0,π). 那么 AB ' 在运动过程中的向量 AB ( cos, sin,), AB. 设 AB 与 a π 所成夹角为 [0, ], ( cos, sin,) (0,, 0) 则 cos sin [0, ] a AB. π π 故 [, ], 所以 正确,4 错误. 4 设 AB 与 b π 所成夹角为 [0, ], ABb cos b AB ( cos,sin,) (,0,0). b AB cos 当 AB 与 a π 夹角为 60 时, 即, sin cos cos. cos sin, cos. cos cos. π [0, ]

53 = π 正确, 错误., 此时 AB 与 b 夹角为 60. 三 解答题 :( 共 70 分. 第 7-0 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第, 题为选考题, 考生根据要求作答 ) ( 一 ) 必考题 : 共 60 分. 7.( 分 ) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 sin A cos A 0, a 7, b. () 求 c; () 设 D 为 BC 边上一点, 且 AD AC, 求 ABD 的面积. π 解析 () 由 sin A cos A 0 得 sin A 0, A π kπ k A 0,π, 即 Z, 又 π π A π, 得 A. 由余弦定理 a b c bc cos A. 又 a 7, b,cos A 故 c 4. () AC, BC 7, AB 4, a b c 7 由余弦定理 cosc. ab 7 AC AD, 即 ACD 为直角三角形, 则 AC CD cosc, 得 CD 7. 由勾股定理 AD CD AC. π π π π 又 A, 则 DAB, 6 π S ABD AD AB sin 6 代入并整理得 c 5, 8.( 分 ) 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温 ( 单位 : ) 有关. 如果最高气温不低于 5, 需求量为 500 瓶 ; 如果最高气温位于区间 0, 5, 需求量为 00 瓶 ; 如果最高气温低于 0, 需求量为 00 瓶, 为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表 : , 40 最高气温,,,,, 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. () 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位 : 瓶 ) 的分布列 ; () 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位 : 元 ). 当六月份这种酸奶一天的进货量 n( 单位 : 瓶 ) 为多少时, Y 的数学期望达到最大值? 解析 ⑴ 易知需求量 x 可取 00,00,500 6 P X P X P X

54 则分布列为 : X P ⑵ 当 00 Y n 6 4 n, 此时 Ymax 400, 当 n 00 时取到. 当 00 n 00 时 : Y 4 n 00 n n 6n 800 n 此时 Ymax 50, 当 n 00 时取到. 当 00 n 500 时, Y 00 n n 00 n n 5 此时 Y 当 n 500 时, 易知 Y 一定小于 的情况. 综上所述 : 当 n 00 时,Y 取到最大值为 50. n 时 : 9.( 分 ) 如图, 四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形, ACD 是直角三角形. Ð ABD = Ð CBD,AB = BD. () 证明 : 平面 ACD ^ 平面 ABC ; () 过 AC 的平面交 BD 于点 E, 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分. 求二面角 D - AE - C 的余弦值. 解析 ⑴ 取 AC 中点为 O, 连接 BO, DO ; ABC 为等边三角形 BO AC AB BC AB BC BD BD ABD CBD. ABD DBC AD CD, 即 ACD 为等腰直角三角形, ADC 为直角又 O 为底边 AC 中点 DO AC 令 AB a, 则 AB AC BC BD a 易得 : OD a, OB OD OB BD a

55 由勾股定理的逆定理可得 DOB 即 OD OB OD AC OD OB AC OB O OD 平面 ABC AC 平面 ABC OB 平面 ABC 又 OD 平面 ADC 由面面垂直的判定定理可得平面 ADC 平面 ABC ⑵ 由题意可知 VD ACE VB ACE 即 B, D 到平面 ACE 的距离相等即 E 为 BD 中点 以 O 为原点, OA 为 x 轴正方向, OB 直角坐标系, a 则 O 0,0,0, A,0,0, D a 0,0,, B 0, a,0, a E 0, a, 4 4 a a a a 易得 : AE, a, 4 4, AD,0, a, OA,0,0 设平面 AED 的法向量为 n, 平面 AEC 的法向量为 n, AE n 0 则, 解得 n,, AD n 0 AE n 0, 解得 n 0,, OA n 0 若二面角 D AE C 为, 易知 为锐角, 则 cos 为 y 轴正方向, OD 为 z 轴正方向, 设 AC n n n n 7 7 a, 建立空间 0.( 分 ) 已知抛物线 C : y = x, 过点 (,0) 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 圆 M 是以线段 AB 为直 径的圆. () 证明 : 坐标原点 O 在圆 M 上 ; () 设圆 M 过点 P (4, - ), 求直线 l 与圆 M 的方程. 解析 ⑴ 显然, 当直线斜率为 0 时, 直线与抛物线交于一点, 不符合题意. 设 l : x my, A( x, y ), B( x, y ), y x 联立 : 得 y my 4 0, x my 4m 6 恒大于 0, y y m, y y 4. uur uuur OA OB x x y y ( my )( my ) ( m ) y y m( y y) 4 4( m ) m( m) 4 0 uur uuur OA OB, 即 O 在圆 M 上. uuur uur ⑵ 若圆 M 过点 P, 则 AP BP 0 ( x 4)( x 4) ( y )( y ) 0 ( my )( my ) ( y )( y )

56 ( m ) y y (m )( y y) 8 0 化简得 m m 0 解得 m 或 当 m 时, l : x y 4 0 圆心为 Q( x0, y 0 ), y y 9 y0, x 0 y 0, 4 9 半径 r OQ 则圆 M : ( x ) ( y ) 4 6 当 m 时, l : x y 0 圆心为 Q( x0, y 0 ), y y y0, x 0 y 0, r OQ 则圆 M : ( x ) ( y ) 0 半径.( 分 ) 已知函数 f ( x) x a ln x. () 若 f ( x) 0, 求 a 的值 ; () 设 m 为整数, 且对于任意正整数 n, ( + )( + ) 鬃 ( ) < m, 求 m 的最小值. n 解析 ⑴ f ( x) x a ln x, x 0 则 ( ) a x f x a, 且 f () 0 x x 当 a 0 时, f x 0 0, 上单调增, 所以 0 x 时, f x 0, 不满足题意 ;, f x 在 当 a 0 时, 当 0 x a 时, f ( x) 0, 则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减 ; 当 x a 时, f ( x) 0, 则 f ( x ) 在 ( a, ) 上单调递增. 若 a, f ( x ) 在 ( a,) 上单调递增 当 x ( a,) 时 f ( x) f () 0 矛盾 若 a, f ( x ) 在 (, a ) 上单调递减 当 x (, a) 时 f ( x) f () 0 矛盾 若 a, f ( x ) 在 (0,) 上单调递减, 在 (, ) 上单调递增 f ( x) f () 0 综上所述 a. ⑵ 当 a 时 f ( x) x ln x 0 即 ln x x 则有 ln( x ) x 当且仅当 x 0 时等号成立 ln( ) k k, * k N 一方面 : ln( ) ln( )... ln( )..., n n n 即 ( )( )...( ) e. n 5 另一方面 : ( )( )...( ) ( )( )( ) n 64 当 n 时, ( )( )...( ) (,e) n * mn, ( )( )...( ) m, n m 的最小值为. 满足题意

57 .[ 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) x m, x t, 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ), 直线 l y kt, 的参数方程为 m (m y, k 为参数 ), 设 l 与 l 的交点为 P, 当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. () 写出 C 的普通方程 : () 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l : (cos sin ),M 为 l 与 C 的交点, 求 M 的极径. 解析 ⑴ 将参数方程转化为一般方程 l : y k x l : y x k 消 k 可得 : x y 4 即 P 的轨迹方程为 x y 4 ; ⑵ 将参数方程转化为一般方程 l : x y 0 联立曲线 C 和 l x y 0 x 解得 x y 4 y x cos 由 解得 5 即 M 的极半径是 5. y sin.[ 选修 4-5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知函数 f ( x) x x. () 求不等式 f ( x) 的解集 ; () 若不等式 f ( x) x x m 的解集非空, 求 m 的取值范围., x f x x, x, x 当 x 时显然不满足题意 ; 当 x 时, x, 解得 x ; 当 x 时, f x 恒成立. 综上, f x 的解集为 x x. 解析 ⑴ f x x x 可等价为 ⑵ 不等式 f x x x m 等价为 f x x x m, 令 g x f x x x, 则 g x m 解集非空只需要 g x max x x, x 而 g x x x, x. x x, x 当 x 时, g x g 5 ; 当 x max 时, 5 g x g max ; 4 当 x 时, g x g. max 5 5 综上, g x max, 故 m 由 f x 可得 : m

58 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ( 全国卷 I) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 已知集合 A=x x,b=x x 0, 则 ( ) A.A B= x x C.A B x x B.A B D.A B=R. 为评估一种农作物的种植效果, 选了 n 块地作试验田. 这 n 块地的亩产量 ( 单位 :kg) 分别为 x,x,, xn, 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( ) A.x,x,,xn 的平均数 C.x,x,,xn 的最大值 B.x,x,,xn 的标准差 D.x,x,,xn 的中位数. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(+i) B.i (-i) C.(+i) D.i(+i) 4. 如图, 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A. 4 B. π 8 C. D. π

59 y 5. 已知 F 是双曲线 C:x - = 的右焦点,P 是 C 上一点, 且 PF 与 x 轴垂直, 点 A 的坐标是 (,). 则 APF 的面积为 ( ) A. B. C. D. 6. 如图, 在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点, 则在这四个正 方体中, 直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( ) A. B. C. D. x y, 7. 设 x,y 满足约束条件 x y, 则 z=x+y 的最大值为 ( ) y 0, A.0 B. C. D. sinx 8.. 函数 y 的部分图像大致为 ( ) cosx A. B. C. D. 9. 已知函数 f ( x) lnx ln( x), 则 ( ) A. f ( x ) 在 (0,) 单调递增 B. f ( x ) 在 (0,) 单调递减 C.y= f ( x ) 的图像关于直线 x= 对称 D.y= f ( x ) 的图像关于点 (,0) 对称 n n 0. 如图是为了求出满足 000 的最小偶数 n, 那么在和两个空白框中, 可以分别填入 ( ) A.A>000 和 n=n+ B.A>000 和 n=n

60 C.A 000 和 n=n+ D.A 000 和 n=n+. ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sin B sin A(sin C cos C) 0,a=,c=, 则 C=( ) A. π B. π 6 C. π 4 D. π x. 设 A B 是椭圆 C: 围是 ( ) y m 长轴的两个端点, 若 C 上存在点 M 满足 AMB=0, 则 m 的取值范 A. (0,] [9, ) B. (0, ] [9, ) C. (0,] [4, ) D. (0, ] [4, ) 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 已知向量 a=(,),b=(m,). 若向量 a+b 与 a 垂直, 则 m=. 4. 曲线 y x 在点 (,) 处的切线方程为. x π π 5. 已知 a (0, ),tan α=, 则 cos ( ) = 4 6. 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径 若平面 SCA 平面 SCB,SA=AC, SB=BC, 三棱锥 S-ABC 的体积为 9, 则球 O 的表面积为 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 7~ 题为必考题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 :60 分 7.( 分 ) 记 Sn 为等比数列 a n 的前 n 项和, 已知 S=,S=-6. () 求 a n 的通项公式 ;() 求 Sn, 并判断 Sn+,Sn,Sn+ 是否成等差数列

61 8.( 分 ) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD, 且 BAP CDP 90 () 证明 : 平面 PAB 平面 PAD; 8 () 若 PA=PD=AB=DC, APD 90, 且四棱锥 P-ABCD 的体积为, 求该四棱锥的侧面积. 9.( 分 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每隔 0 min 从该生产线上随机抽取一 个零件, 并测量其尺寸 ( 单位 :cm). 下面是检验员在一天内依次抽取的 6 个零件的尺寸 : 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 经计算得 x xi 9.97, s ( xi x ) ( xi 6 x ) 0. 6 i 6 6, i i 6 6 ( i 8.5) 8.49, i i ( x x)( i 8.5).78 i, 其中 x i 为抽取的第 i 个零件的尺寸, i,,,6. () 求 ( xi, i ) ( i,,,6) 的相关系数 r, 并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过 程的进行而系统地变大或变小 ( 若 r 0.5, 则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大 或变小 ). () 一天内抽检零件中, 如果出现了尺寸在 ( x s, x s) 之外的零件, 就认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ) 从这一天抽检的结果看, 是否需对当天的生产过程进行检查? (ⅱ) 在 ( x s, x s) 之外的数据称为离群值, 试剔除离群值, 估计这条生产线当天生产的零件尺 - 6 -

62 寸的均值与标准差.( 精确到 0.0) 附 : 样本 ( x, y ) ( i,,, n) 的相关系数 r i i n i ( x x)( y y) i n n ( xi x) ( yi y) i i i, x 0.( 分 ) 设 A,B 为曲线 C:y= 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4 () 求直线 AB 的斜率 ; () 设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行, 且 AM BM, 求直线 AB 的方程..( 分 ) 已知函数 f ( x ) =e x (e x -a)-a x. () 讨论 f ( x ) 的单调性 ; () 若 f ( x) 0, 求 a 的取值范围. ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分 x cos,.[ 选修 4 4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 (θ y sin, x a 4 t, 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 ( t为参数 ). y t, () 若 a=, 求 C 与 l 的交点坐标 ; () 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 7, 求 a..[ 选修 4 5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知函数 f(x)= x +ax+4,g(x)= x+ + x. () 当 a= 时, 求不等式 f(x) g(x) 的解集 ; () 若不等式 f(x) g(x) 的解集包含 [,], 求 a 的取值范围

63 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ( 全国卷 II) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 设集合 A {,,}, B {,,4}, 则 A B ( ) A. {,,, 4} B. {,,} C. {,, 4} D. {,, 4}. ( i)( i) ( ) A. i B. i C. i D. i. 函数 f ( x) sin( x ) 的最小正周期 ( ) A. 4 B. C. D. 4. 设非零向量 a,b 满足 a+b = a-b, 则 ( ) A.a b B. a = b C.a b D. a > b 5. 若 a, 则双曲线 x y a 的离心率的取值范围 ( ) A. (, ) B. (,) C. (, ) D. (, ) 6. 如图, 网格纸上小正方形的边长为, 粗实线画出的 - 6 -

64 是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得, 则该几何体的体积为 ( ) A.90 B. 6 C. 4 D. 6 x y 0 7. 设 x, y 满足约束条件 x y 0, 则 z x y 的最小值是 ( ) y 0 A. 5 B. 9 C. D.9 8. 函数 f ( x) ln( x x 8) 的单调递增区间是 ( ) A. (, ) B. (,) C. (, ) D. (4, ) 9. 甲 乙 丙 丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师说 : 你们四人中有 位优秀, 位良 好, 我现在给甲看乙 丙的成绩, 给乙看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说 : 我还是不知道我 的成绩. 根据以上信息, 则 ( ) A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙 丁可以知道对方的成绩 D. 乙 丁可以知道自己的成绩 0. 执行右面的程序框图, 如果输入 的 a, 则输出的 S ( ) A. B. C.4 D.5. 从分别写有,,,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 张, 放回后再随机抽取 张, 则抽得的第一张卡片上的数 大于第二张卡片上的数的概率为 ( ) A. 0 C. 0 B. 5 D

65 . 过抛物线 C : y 4x 的焦点 F, 且斜率为 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴的上方 ),l 为 C 的准 线, 点 N 在 l 上, 且 MN l, 则 M 到直线 NF 的距离为 ( ) A. 5 B. C. D. 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 函数 f ( x) cos x sin x 的最大值为. 4. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x (,0) 时, f ( x) x x, 则 () f. 5. 长方体的长 宽 高分别为,,, 其顶点都在球 O 的球面上, 则球 O 的表面积为. 6. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 b cos B a cosc c cos A, 则 B. 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤 第 7~ 题为必做题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 7. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 n () 若 a b 5, 求 { b } 的通项公式 ; () 若 T, 求 S. n S, 等比数列 { b } n 的前 n 项和为 T n, a, b, a b 8. 如图, 四棱锥 P ABCD, 侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD, BAD ABC 90. () 证明 : 直线 BC 平面 PAD () 若 PCD 的面积为 7, 求四棱锥 P ABCD 的体积. AB BC AD,

66 9. 淡水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比, 收获时各随机抽取 00 个网箱, 测量各 箱水产品的产量 ( 单位 :kg) 某频率分布直方图如下 : () 记 A 表示事件 旧养殖法的箱产量低于 50kg, 估计 A 的概率, () 填写下面列联表, 并根据列联表判断是否有 99 % 的把握认为箱产量与养殖方法有关 ; 旧养殖法 新养殖法 箱产量 50 kg 箱产量 50 kg () 根据箱产量的频率分布直方图, 对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附 : P K ( k) k x 0. 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C : NP NM. y 上, 过 M 作 x 轴的垂线, 垂足为 N, 点 P 满足 () 求点 P 的轨迹方程 ; () 设点 Q 在直线 x 上, 且 OP PQ, 证明 : 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F

67 . 设函数 f x x e ( ) ( ) x () 讨论 f ( x ) 的单调性 ; () 当 x 0 时, f ( x) ax, 求 a 的取值范围. ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做, 按所做的第一题计分. 选修 4-4:[ 坐标系与参数方程 ](0 分 ) 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 cos 4. () M 为曲线 C 上的动点, 点 P 在线段 OM 上, 且满足 OM OP 6, 求点 P 的轨迹 C 的直角坐 标方程 ; () 设点 A 的极坐标为 (, ), 点 B 在曲线 C 上, 求 OAB 面积的最大值... 选修 4-5:[ 不等式选讲 ](0 分 ) 已知 a 0, b 0, a b, 证明 : () ( a b)( a b ) 4 ; () a b

68 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 ( 全国卷 III) 本试卷 5 页, 小题, 满分 50 分 考试用时 0 分钟 注意事项 :. 答卷前, 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上 用 B 铅笔将试卷类型 (B) 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答题卡右上角 条形码粘贴处. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 ; 如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案 ; 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效 4. 考生必须保证答题卡的整洁 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本题共 小题, 每小题 5 分, 共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的. 已知集合 A={,,,4},B={,4,6,8}, 则 A B 中元素的个数为 ( ) A. B. C. D.4. 复平面内表示复数 z=i( +i) 的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限. 某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了 04 年 月至 06 年 月期 间月接待游客量 ( 单位 : 万人 ) 的数据, 绘制了下面的折线图. 根据该折线图, 下列结论错误的是 ( )

69 A. 月接待游客逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D. 各年 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 月, 波动性更小, 变化比较平稳 4 4. 已知 sin cos, 则 sin =( ) A. 7 B. C D. 7 9 x y 设 x,y 满足约束条件 x 0, 则 z=x-y 的取值范围是 ( ) y 0 A.[,0] B.[,] C.[0,] D.[0,] 6. 函数 f(x)= 5 sin(x+ )+cos(x ) 的最大值为 6 A. 6 5 B. C. 5 D. 5 sin x 7. 函数 y=+x+ 的部分图像大致为 ( ) x A. B. C. D. 8. 执行下面的程序框图, 为使输出 S 的值小于 9, 则输入的正整数 N 的最小值为 ( )

70 A.5 B.4 C. D. 9. 已知圆柱的高为, 它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. π 4 C. π D. π 4 0. 在正方体 ABCD AB CD 中,E 为棱 CD 的中点, 则 ( ) A E DC B. A E BD C. A E BC D. A E AC A. x. 已知椭圆 C: a y b,(a>b>0) 的左 右顶点分别为 A,A, 且以线段 A A 为直径的圆与直线 bx ay ab 0 相切, 则 C 的离心率为 ( ) A. 6 B. C. D.. 已知函数 x x f ( x) x x a( e e ) 有唯一零点, 则 a=( ) A. B. C. D. 二 填空题 : 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 已知向量 a (,), b (, m), 且 a b, 则 m=. x y 4. 双曲线 a 9 (a>0) 的一条渐近线方程为 y x, 则 a=

71 5. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 已知 C=60,b= 6,c=, 则 A= x, x 0, 6. 设函数 f ( x) 则满足 f ( x) f ( x ) 的 x 的取值范围是 x, x 0, 三 解答题 : 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 7~ 题为必考题, 每个试题考 生都必须作答 第 题为选考题, 考生根据要求作答 ( 一 ) 必考题 : 共 60 分 7.( 分 ) 设数列 n () 求 a n 的通项公式 ; a 满足 a a (n ) a n n. a n () 求数列 n 的前 n 项和. 8.( 分 ) 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温 ( 单位 : ) 有关. 如果最高气温不低于 5, 需求量为 500 瓶 ; 如果最高气温位于区间 [0,5), 需求量为 00 瓶 ; 如果最高气温低于 0, 需求量为 00 瓶. 为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表 : 最高气温 [0,5) [5,0) [0,5) [5,0) [0,5) [5,40) 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 () 求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 00 瓶的概率 ; () 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y( 单位 : 元 ), 当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时, 写出 Y 的所有可能值, 并估计 Y 大于零的概率. 9.( 分 ) 如图, 四面体 ABCD 中, ABC 是正三角形,AD=CD. () 证明 :AC BD; - 7 -

72 () 已知 ACD 是直角三角形,AB=BD. 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点, 且 AE EC, 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比. 0.( 分 ) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 y=x +mx 与 x 轴交于 A,B 两点, 点 C 的坐标为 (0,). 当 m 变化时, 解答下列问题 : () 能否出现 AC BC 的情况? 说明理由 ; () 证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值..( 分 ) 已知函数 f ( x ) =lnx+ax +(a+)x. () 讨论 f ( x ) 的单调性 ; () 当 a < 0 时, 证明 f ( x) 4a. ( 二 ) 选考题 : 共 0 分 请考生在第 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[ 选修 4 4: 坐标系与参数方程 ](0 分 ) x + t, 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 y kt, x m, m ( m为参数 ). 设 l 与 l 的交点为 P, 当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. y, k () 写出 C 的普通方程 ; () 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 l :ρ(cosθ+sinθ) =0,M 为 l 与 C 的交点, 求 M 的极径

73 .[ 选修 4 5: 不等式选讲 ](0 分 ) 已知函数 () 求不等式 f ( x) 的解集 ; f ( x ) = x+ x. () 若不等式 f ( x) x x +m 的解集非空, 求 m 的取值范围

74 绝密 本科目考试启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 ( 理 )( 北京卷 ) 本试卷共 5 页,50 分 考试时长 0 分钟 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效 考 试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项 () 若集合 A={x x },B={x x 或 x }, 则 A B= (A){x x } (B){x x } (C){x x } (D){x x } () 若复数 ( i)(a+i) 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数 a 的取值范围是 (A)(,) (C)(,+ ) (B)(, ) (D)(,+ ) () 执行如图所示的程序框图, 输出的 s 值为 (A) (B) (C) 5 (D) 8 5 x, (4) 若 x,y 满足 x y, 则 x + y 的最大值为 y x,

75 (A) (C)5 x x (5) 已知函数 f ( x) ( ), 则 f ( x) (A) 是奇函数, 且在 R 上是增函数 (C) 是奇函数, 且在 R 上是减函数 (B) (D)9 (B) 是偶函数, 且在 R 上是增函数 (D) 是偶函数, 且在 R 上是减函数 (6) 设 m,n 为非零向量, 则 存在负数, 使得 m n 是 m n < 0 的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 (7) 某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为 (A) (B) (C) (D) (8) 根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 6, 而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约 M 为 则下列各数中与 N ( 参考数据 :lg 0.48) 最接近的是 (A)0 (B)0 5 (C)0 7 (D)0 9 第二部分 ( 非选择题共 0 分 ) 二 填空题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 (9) 若双曲线 x y 的离心率为, 则实数 m=. m

76 (0) 若等差数列 a n 和等比数列 b n () 在极坐标系中, 点 A 在圆 小值为. a 满足 a =b =,a 4 =b 4 =8, 则 b =. cos 4 sin 4 0 上, 点 P 的坐标为 (,0), 则 AP 的最 () 在平面直角坐标系 xoy 中, 角 α 与角 β 均以 Ox 为始边, 它们的终边关于 y 轴对称. 若 sin, cos( ) =. () 能够说明 设 a,b,c 是任意实数. 若 a>b>c, 则 a+b>c 是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次 为. (4) 三名工人加工同一种零件, 他们在一天中的工作情况如图所示, 其中点 A i 的横 纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数, 点 B i 的横 纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加 工的零件数,i=,,. 记 Q 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则 Q,Q,Q 中最大的是. 记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数, 则 p,p,p 中最大的是. 三 解答题共 6 小题, 共 80 分 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 (5)( 本小题 分 ) 在 ABC 中, A =60,c= 7 a. (Ⅰ) 求 sinc 的值 ; (Ⅱ) 若 a=7, 求 ABC 的面积. (6)( 本小题 4 分 ) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, 平面 PAD 平面 ABCD, 点 M 在线段 PB 上,PD// 平面 MAC,PA=PD= 6,AB=4. (I) 求证 :M 为 PB 的中点 ;

77 (II) 求二面角 B-PD-A 的大小 ; (III) 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. (7)( 本小题 分 ) 为了研究一种新药的疗效, 选 00 名患者随机分成两组, 每组各 50 名, 一组服药, 另一组不服药. 一段时间后, 记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据, 并制成下图, 其中 * 表示服药者, + 表示为服药者. (Ⅰ) 从服药的 50 名患者中随机选出一人, 求此人指标 y 的值小于 60 的概率 ; (Ⅱ) 从图中 A,B,C,D 四人中随机学科网. 选出两人, 记 为选出的两人中指标 x 的值大于.7 的人数, 求 的分布列和数学期望 E( ); (Ⅲ) 试判断这 00 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.( 只需写出结论 ) (8)( 本小题 4 分 ) 已知抛物线 C:y =px 过点 P(,). 过点 (0, ) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N, 过 点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ON 交于点 A,B, 其中 O 为原点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程, 并求其焦点坐标和准线方程 ;

78 (Ⅱ) 求证 :A 为线段 BM 的中点. (9)( 本小题 分 ) 已知函数 f(x)=e x cosx x. (Ⅰ) 求曲线 y= f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程 ; (Ⅱ) 求函数 f(x) 在区间 [0, π ] 上的最大值和最小值. (0)( 本小题 分 ) 设 { a n } 和 { b n } 是两个等差数列, 记 c max{ b a n, b a n,, b a n} ( n,,, ), n n n max{ x, x,, x s } 表示 x, x,, xs 这 s 个数中最大的数. 其中 (Ⅰ) 若 a n n, bn n, 求 c, c, c 的值, 并证明 { c n } 是等差数列 ; c (Ⅱ) 证明 : 或者对任意正数 M, 存在正整数 m, 当 n m 时, n M n cm, cm, cm, 是等差数列. ; 或者存在正整数 m, 使得

79 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ( 理 )( 北京卷 ) 答案 一 ()A ()B ()C (4)D (5)A (6)A (7)B (8)D 二 (9) (0) () () 7 9 (),, ( 答案不唯一 ) (4)Q p 三 (5)( 共 分 ) 解 :(Ⅰ) 在 ABC 中, 因为 A 60, c a, 7 csin A 所以由正弦定理得 sin C. a 7 4 (Ⅱ) 因为 a 7, 所以 c 7. 7 由余弦定理 a b c bc cos A 得 7 b b, 解得 b 8 或 b 5 ( 舍 ). 所以 ABC 的面积 S bc sin A 8 6. (6)( 共 4 分 ) 解 :(I) 设 AC, BD 交点为 E, 连接 ME. 因为 PD 平面 MAC, 平面 MAC 平面 PBD ME, 所以 PD ME. 因为 ABCD 是正方形, 所以 E 为 BD 的中点, 所以 M 为 PB 的中点. (II) 取 AD 的中点 O, 连接 OP, OE. 因为 PA PD, 所以 OP AD

80 又因为平面 PAD 平面 ABCD, 且 OP 平面 PAD, 所以 OP 平面 ABCD. 因为 OE 平面 ABCD, 所以 OP 因为 ABCD 是正方形, 所以 OE OE. AD. 如图建立空间直角坐标系 O xyz, 则 P (0,0, ), D (,0,0), B(, 4,0), BD (4, 4, 0), PD (,0, ). n BD 0 4x 4y 0 设平面 BDP 的法向量为 n ( x, y, z), 则, 即. n PD 0 x z 0 令 x, 则 y, z. 于是 n (,, ). 平面 PAD 的法向量为 p (0,,0) n p, 所以 cos < n, p>. n p 由题知二面角 B PD A 为锐角, 所以它的大小为. (III) 由题意知 M (,, ), D (, 4,0), MC (,, ). n MC 6 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为, 则 sin cos < n, MC>. n MC 9 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 (7)( 共 分 ) 6 9. 解 :(Ⅰ) 由图知, 在服药的 50 名患者中, 指标 y 的值小于 60 的有 5 人, 5 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人, 此人指标 y 的值小于 60 的概率为 (Ⅱ) 由图知,A,B,C,D 四人中, 指标 x 的值大于.7 的有 人 :A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,,. C C C C P( 0), P( ), P( ). C 6 C C

81 所以 的分布列为 0 P 6 故 的期望 E( ) (Ⅲ) 在这 00 名患者中, 服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差. 6 (8)( 共 4 分 ) 解 :(Ⅰ) 由抛物线 C: y px 过点 P(,), 得 p. 所以抛物线 C 的方程为 y x. 抛物线 C 的焦点坐标为 ( 4,0), 准线方程为 x. 4 (Ⅱ) 由题意, 设直线 l 的方程为 y kx ( k 0 ),l 与抛物线 C 的交点为 M ( x, y ), N( x, y ). y kx 由, 得 4 k x (4k 4) x 0. y x k x x, x x k 4k. 则 因为点 P 的坐标为 (,), 所以直线 OP 的方程为 y x, 点 A 的坐标为 ( x, y ). y y y 直线 ON 的方程为 y x, 点 B 的坐标为 ( x, ). x x 因为 y y y y y y y x x x x x ( kx ) x ( kx ) x x x x (k ) xx ( x x) x k (k ) 4k k x 0, 所以 y x x y y

82 故 A 为线段 BM 的中点. (9)( 共 分 ) x x 解 :(Ⅰ) 因为 f ( x) e cos x x, 所以 f ( x) e (cos x sin x), f (0) 0. 又因为 f (0), 所以曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y. x x x (Ⅱ) 设 h( x) e (cos x sin x), 则 h( x) e (cos x sin x sin x cos x) e sin x. π 当 x (0, ) 时, h( x) 0, π 所以 h( x ) 在区间 [0, ] 上单调递减. π 所以对任意 x (0, ] 有 h( x) h(0) 0, 即 f ( x) 0. π 所以函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递减. π π π 因此 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 f (0), 最小值为 f ( ). (0)( 共 分 ) 解 :(Ⅰ) c b a 0, c max{ b a, b a } max{, }, c max{ b a, b a, b a } max{,,5 }. 当 n 时, ( bk nak ) ( bk nak ) ( bk bk ) n( ak ak ) n 0, * 所以 bk nak 关于 k N 单调递减. c max{ b a n, b a n,, b a n} b a n n. 所以 n n n 所以对任意 n, cn n, 于是 c n c n, 所以 { c n } 是等差数列. (Ⅱ) 设数列 { a n } 和 { b n } 的公差分别为 d, d, 则 b na b ( k ) d [ a ( k ) d ] n b a n ( d nd )( k ). k k 所以 c n b an ( n )( d nd), 当 d nd时, b an, 当 d nd时, - 8 -

83 当 d 0 d 时, 取正整数 m, 则当 n m 时, nd d, 因此 cn b an. d 此时, cm, cm, cm, 是等差数列. 当 d 0 时, 对任意 n, c b a n ( n )max{ d,0} b a ( n )(max{ d,0} a ). n 此时, c, c, c,, c n, 是等差数列. 当 d 0时, d 当 n 时, 有 nd d. d cn b a n ( n )( d nd ) b d 所以 n( d) d a d n n n n( d ) d a d b d. M b d a d d d 对任意正数 M, 取正整数 m max{, }, d d c 故当 n m 时, n M n

84 绝密 启封并使用完毕前 07 年普通高等学校招生全国统一考试数学 ( 文 )( 北京卷 ) 本试卷共 5 页,50 分 考试时长 0 分钟 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 ( 选择题共 40 分 ) 一 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项 () 已知 U R, 集合 A { x x 或 x }, 则 (A) (,) (B) (, ) (, ) (C)[,] (D) (, ] [, ) () 若复数 ( i)( a i) 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数 a 的取值范围是 (A) (,) (B) (, ) (C) (, ) (D) (, ) () 执行如图所示的程序框图, 输出的 s 值为 (A) (B)

85 (C) 5 (D) 8 5 x, (4) 若 x, y 满足 x y, 则 x y 的最大值为 y x, (A) (C)5 x x (5) 已知函数 f ( x) ( ), 则 f ( x) (A) 是偶函数, 且在 R 上是增函数 (B) (D)9 (B) 是奇函数, 且在 R 上是增函数 (C) 是偶函数, 且在 R 上是减函数 (D) 是奇函数, 且在 R 上是增函数 (6) 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为 (A)60 (C)0 (B)0 (D)0 (7) 设 m, n 为非零向量, 则 存在负数, 使得 m=λn 是 m n<0 的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 (8) 根据有关资料, 围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 6, 而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约 为 则下列各数中与 ( 参考数据 :lg 0.48) M N 最接近的是 (A)0 (B)0 5 (C)0 7 (D)

86 二 填空题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 第二部分 ( 非选择题共 0 分 ) (9) 在平面直角坐标系 xoy 中, 角 与角 均以 Ox 为始边, 它们的终边关于 y 轴对称. 若 sin =, 则 sin =. (0) 若双曲线 x y 的离心率为, 则实数 m=. m () 已知 x 0, y 0, 且 x+y=, 则 x () 已知点 P 在圆 x y = y 的取值范围是. 上, 点 A 的坐标为 (-,0),O 为原点, 则 AO AP 的最大值为. () 能够说明 设 a,b,c 是任意实数. 若 a>b>c, 则 a+b>c 是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为. (4) 某学习小组由学生和教师组成, 人员构成同时满足以下三个条件 : (ⅰ) 男学生人数多于女学生人数 ; (ⅱ) 女学生人数多于教师人数 ; (ⅲ) 教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为 4, 则女学生人数的最大值为. 该小组人数的最小值为. 三 解答题共 6 小题, 共 80 分 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程 (5)( 本小题 分 ) 已知等差数列 n n (Ⅰ) 求 a 的通项公式 ; a 和等比数列 (Ⅱ) 求和 : b b b 5 b n. b 满足 a =b =,a +a 4=0,b b 4=a 5. n (6)( 本小题 分 ) 已知函数 f ( x) cos( x - ) sin x cos x. (I) 求 f(x) 的最小正周期 ; (II) 求证 : 当 x [, ] 4 4 时, f x

87 (7)( 本小题 分 ) 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评, 根据男女学生人数比例, 使用分层抽样的方法从中随机抽取了 00 名学生, 记录他们的分数, 将数据分成 7 组 :[0,0),[0,40),,[80,90], 并整理得到如下频率分布直方图 : (Ⅰ) 从总体的 400 名学生中随机抽取一人, 估计其分数小于 70 的概率 ; (Ⅱ) 已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人, 试估计总体中分数在区间 [40,50) 内的人数 ; (Ⅲ) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70, 且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等. 试估计总体中男生和女生人数的比例. (8)( 本小题 4 分 ) 如图, 在三棱锥 P ABC 中,PA AB,PA BC,AB BC,PA=AB=BC=,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上一点. (Ⅰ) 求证 :PA BD; (Ⅱ) 求证 : 平面 BDE 平面 PAC; (Ⅲ) 当 PA 平面 BDE 时, 求三棱锥 E BCD 的体积. (9)( 本小题 4 分 ) 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(,0),B(,0), 焦点在 x 轴上, 离心率为 (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程 ;

88 (Ⅱ) 点 D 为 x 轴上一点, 过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N, 过 D 作 AM 的垂线交 BN 于 点 E. 求证 : BDE 与 BDN 的面积之比为 4:5. (0)( 本小题 分 ) x 已知函数 f ( x) e cos x x. (Ⅰ) 求曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 ; π (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值

89 绝密 启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 浙江卷 ) 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 4 页, 选择题部分 至 页, 非选择题部分 至 4 页 满分 50 分 考试用时 0 分钟 考生注意 :. 答题前, 请务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上. 答题时, 请按照答题纸上 注意事项 的要求, 在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效 参考公式 : 球的表面积公式锥体的体积公式 S 4R 球的体积公式 V 4 R 台体的体积公式 V Sh 其中 S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高 其中 R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh V h ( Sa Sa Sb Sb ) 其中 S a,s b 分别表示台体的上 下底面积 h 表示台体的高 其中 S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高 选择题部分 ( 共 40 分 ) 一 选择题 : 本大题共 0 小题, 每小题 4 分, 共 40 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. x y. 椭圆 9 4 的离心率是 A. B. 5 C. D

90 . 某几何体的三视图如图所示 ( 单位 :cm), 则该几何体的体积 ( 单位 :cm ) 是 A. π + B. π + C. π + D. π + x 0 4. 若 x, y 满足约束条件 x y 0, 则 z=x+y 的取值范围是 x y 0 A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+ ] D.[4,+ ] 5. 若函数 f(x)=x + ax+b 在区间 [0,] 上的最大值是 M, 最小值是 m, 则 M m A. 与 a 有关, 且与 b 有关 B. 与 a 有关, 但与 b 无关 C. 与 a 无关, 且与 b 无关 D. 与 a 无关, 但与 b 有关 6. 已知等差数列 [a n] 的公差为 d, 前 n 项和为 S n, 则 d>0 是 S 4 + S 6 >S 5 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 y=f(x) 的导函数 y f ( x) 的图像如图所示, 则函数 y=f(x) 的图像可能是

91 8. 已知随机变量 满足 P( =)=p i,p( =)= p i,i=,. 若 0<p <p <, 则 A. E( ) < E( ), D( ) < D( ) B. E( ) < E( ), D( ) > D( ) C. E( ) > E( ), D( ) < D( ) D. E( ) > E( ), D( ) > D( ) 9. 如图, 已知正四面体 D ABC( 所有棱长均相等的三棱锥 ),PQR 分别为 AB,BC,CA 上的点,AP=PB, BQ CR, 分别记二面角 D PR Q,D PQ R,D QR P 的平面较为 α,β,γ, 则 QC RA A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 0. 如图, 已知平面四边形 ABCD,AB BC,AB=BC=AD=,CD=,AC 与 BD 交于点 O, 记 I = OA OB, I = OB OC, I = OC OD, 则 A.I <I <I B.I <I <I C. I < I <I D. I <I <I 非选择题部分 ( 共 0 分 ) 二 填空题 : 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 6 分. 我国古代数学家刘徽创立的 割圆术 可以估算圆周率 π, 理论上能把 π 的值计算到任意精度 祖冲之继 承并发展了 割圆术, 将 π 的学科网值精确到小数点后七位, 其结果领先世界一千多年, 割圆术 的第 一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S 内,S 内 =. 已知 ab R, ( a bi) 4i (i 是虚数单位 ) 则 a. 已知多项式 x b,ab= x a x a x a x a x a x = , 则 a 4 =, a 5 =

92 4. 已知 ABC,AB=AC=4,BC=. 点 D 为 AB 延长线上一点,BD=, 连结 CD, 则 BDC 的面积 是,cos BDC=. 5. 已知向量 a,b 满足 a, b, 则 a b a b 的最小值是, 最大值是. 6. 从 6 男 女共 8 名学生中选出队长 人, 副队长 人, 普通队员 人组成 4 人服务队, 要求服务队中至少有 名女生, 共有 中不同的选法.( 用数字作答 ) 7. 已知 αr, 函数 f(x)= x+ 4 x α+α 在区间 [,4] 上的最大值是 5, 则 α 的取值范围是. 三 解答题 : 本大题共 5 小题, 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 8.( 本题满分 4 分 ) 已知函数 f(x)=sin x cos x sin x cos x(xr). (Ⅰ) 求 f( π ) 的值. (Ⅱ) 求 f(x) 的最小正周期及单调递增区间. 9.( 本题满分 5 分 ) 如图, 已知四棱锥 P ABCD, PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形,BC AD, CD AD,PC=AD=DC=CB,E 为 PD 的中点. (Ⅰ) 证明 :CE 平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 0.( 本题满分 5 分 ) 已知函数 f(x)=(x x ) e x ( x ). (Ⅰ) 求 f(x) 的导函数 ; - 9 -

93 (Ⅱ) 求 f(x) 在区间 [, + ) 上的取值范围..( 本题满分 5 分 ) 如图, 已知抛物线 x y, 点 A ( ), 4, B (, 9 ), 抛物线上的点 4 P( x, y)( x ). 过点 B 作直线 AP 的垂线, 垂足为 Q. 4 (Ⅰ) 求直线 AP 斜率的取值范围 ; (Ⅱ) 求 AP PQ 的最大值..( 本题满分 5 分 ) 已知数列 {x n} 满足 :x =,x n=x n++ln(+x n+)(n N*). 证明 : 当 n N* 时, (Ⅰ)0<x n+<x n; x (Ⅱ)x n+ x n nxn ; (Ⅲ) xn n. n - 9 -

94 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ( 浙江卷 ) 答案 一 选择题 : 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分, 满分 40 分.A.B.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 0.C 二 填空题 : 本题考查基本知识和基本运算 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 满分 6 分..5, , , , 三 解答题 : 本大题共 5 小题, 共 74 分 8. 本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识, 同时考查运算求解能力 满分 4 分 (I) 由 sin,cos, f 得 f (II) 由 cos x cos x sin x 与 sin x sin x cos x 得 f x cos x sin x = - sin x 6 所以 f x 的最小正周期是 由正弦函数的性质得 +k x + k, k Z 6 解得 + k x + k, k Z 6 所以 f x 的单调递增区间是 +, + 6 k k k Z 9. 本题主要考查空间点 线 面位置关系, 直线与平面所成的角等基础知识, 同时考查空间想象能力和运 算求解能力 满分 5 分 (Ⅰ) 如图, 设 PA 中点为 F, 连结 EF,FB

95 因为 E,F 分别为 PD,PA 中点, 所以 EF AD 且, 又因为 BC AD,, 所以 EF BC 且 EF=BC, 即四边形 BCEF 为平行四边形, 所以 CE BF, 因此 CE 平面 PAB. (Ⅱ) 分别取 BC,AD 的中点为 M,N. 连结 PN 交 EF 于点 Q, 连结 MQ. 因为 E,F,N 分别是 PD,PA,AD 的中点, 所以 Q 为 EF 中点, 在平行四边形 BCEF 中,MQ CE. 由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD. 由 DC AD,N 是 AD 的中点得 BN AD. 所以 AD 平面 PBN, 由 BC AD 得 BC 平面 PBN, 那么, 平面 PBC 平面 PBN. 过点 Q 作 PB 的垂线, 垂足为 H, 连结 MH. MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影, 所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角. 设 CD=. 在 PCD 中, 由 PC=,CD=,PD= 得 CE=,

96 在 PBN 中, 由 PN=BN=,PB= 得 QH=, 在 Rt MQH 中,QH=,MQ=, 所以 sin QMH=, 所以, 直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是. 0. 本题主要考查函数的最大 ( 小 ) 值, 导数的运算及其应用, 同时考查分析问题和解决问题的能力 满分 5 分 (Ⅰ) 因为 所以 =. (Ⅱ) 由 解得 或. 因为 x ( ) ( ) ( ) f(x)

97 又, 所以 f(x) 在区间 [ ) 上的取值范围是.. 本题主要考查直线方程 直线与抛物线的位置关系等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 满分 5 分 (Ⅰ) 设直线 AP 的斜率为 k, x - k= 4 x, x 因为 x, 所以直线 AP 斜率的取值范围是 (-,) (Ⅱ) 联立直线 AP 与 BQ 的方程 kx y k 0, 4 9 x ky k 0, 4 解得点 Q 的横坐标是 x 因为 PA = PQ = 所以 Q k k 4k ( ) k ( x ) = k ( x) Q k ( kx ) ( k ) x = k ( k ), PA PQ = -(k-)(k+) 令 f(k)= -(k-)(k+), 因为 f (k)= (4 k )( k ), 所以 f(k) 在区间 (-, ) 上单调递增,(,) 上单调递减, 因此当 k= 7 时, PA PQ 取得最大值

98 . 本题主要考查数列的概念 递推关系与单调性等基础知识, 不等式及其应用, 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 满分 5 分 (Ⅰ) 用数学归纳法证明 : 当 n= 时,x =>0 假设 n=k 时,x k>0, x >0 n 那么 n=k+ 时, 若 xk+ 0, 则 0 x In( ) 0 k x k x, 矛盾, 故 k x >0 k 因此 x 0( n N ) n x x ln( x ) x 所以 n n n n 因此 0 xn xn ( n N ) (Ⅱ) 由 xn xn ln( xn ) xn 得 x x 4x x x x ( x ) ln( x ) n n n n n n n n 记函数 f x x x x x x ( ) ( )ln( )( 0) 函数 f(x) 在 [0,+ ) 上单调递增, 所以 f ( x) f (0) =0, 因此 x x ( x )ln( x ) f ( x ) 0 n n n n n x x n n x n x n ( n N ) (Ⅲ) 因为 x x ln( x ) x x n n n n n 所以 xn 得 n xnxn xn x ( ) 0 x x n n n ( ) ( ) x x x n 故 n n n x ( N x n n n n ) n n

99 绝密 本科目考试启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 ( 江苏卷 ) 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 本试卷共 4 页, 包含非选择题 ( 第 题 ~ 第 0 题, 共 0 题 ). 本卷满分为 60 分, 考试时间为 0 分钟 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 答题前, 请务必将自己的姓名 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与本人是否相符 4. 作答试题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答一律无效 5. 如需改动, 须用 B 铅笔绘 写清楚, 线条 符号等须加黑 加粗 一 填空题 : 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分, 请把答案填写在答题卡相应位置上 A,,. 已知集合, B a a, 若 A B. 已知复数 z=(+i)(+i), 其中 i 是虚数单位, 则 z 的模是 ={} 则实数 a 的值为. 某工厂生产甲 乙 丙 丁四种不同型号的产品, 产量分别为 00,400,00,00 件, 为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件. 4. 右图是一个算法流程图, 若输入 x 的值为 6, 则输出的 y 的值是

100 5. 若 tan - =, 则 tan = 如图, 在圆柱 O O 内有一个球 O, 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱 O O 的体积为 V, 球 O 的体积为 V V, 则 V 的值是 7. 记函数 f ( x) 6 x x 的定义域为 D. 在区间 [-4,5] 上随机取一个数 x, 则 x D 的概率是 x 8. 在平面直角坐标系 xoy 中, 双曲线 y 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q, 其焦点是 F, F, 则四边形 F P F Q 的面积是 9. 等比数列 n 则 a = a 的各项均为实数, 其前 n 项的和为 S n, 已知 S, S 6, 某公司一年购买某种货物 600 吨, 每次购买 x 吨, 运费为 6 万元 / 次, 一年的总存储费用为 4x 万元, 要 使一年的总运费与总存储费之和最小, 则 x 的值是 f x = x x+e - e x. 已知函数 x, 其中 e 是自然数对数的底数, 若 f a- + f a 0, 则实数 a 的取值范围是. 如图, 在同一个平面内, 向量 OA,OB,OC, 的模分别为,,,OA 与 OC OB 与 OC 的夹角为 45 若 OC =moa +nob (m,nr), 则 m+n= 的夹角为, 且 tan =7,

101 . 在平面直角坐标系 xoy 中,A(-,0),B(0,6), 点 P 在圆 O:x +y =50 上, 若 PA PB 0, 则点 P 的横坐标的取值范围是 4. 设 f(x) 是定义在 R 且周期为 的函数, 在区间 0, 上, f x x, x D 其中集合 x, x D n D= x x, n N, 则方程 f(x)-lgx=0 的解的个数是. n 5.( 本小题满分 4 分 ) 如图, 在三棱锥 A-BCD 中,AB AD,BC BD, 平面 ABD 平面 BCD, 点 E F(E 与 A D 不重合 ) 分别在棱 AD,BD 上, 且 EF AD. 求证 :()EF 平面 ABC; ()AD AC. 6. ( 本小题满分 4 分 ) 已知向量 a=(cosx,sinx),,. () 若 a b, 求 x 的值 ; () 记, 求 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 7.( 本小题满分 4 分 ) x y 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 E : + a b = (a >b >0 ) 的左 右焦点分别为 F,F, 离心率 - 0 -

102 为, 两准线之间的距离为 8. 点 P 在椭圆 E 上, 且位于第一象限, 过点 F 作直线 PF 的垂线 l, 过点 F 作 直线 PF 的垂线 l. () 求椭圆 E 的标准方程 ; () 若直线 l,l 的交点 Q 在椭圆 E 上, 求点 P 的坐标. 8. ( 本小题满分 6 分 ) 如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 Ⅰ 和正四棱台形玻璃容器 Ⅱ 的高均为 cm, 容器 Ⅰ 的底面对角线 AC 的长为 0 7 cm, 容器 Ⅱ 的两底面对角线 EG,E G 的长分别为 4cm 和 6cm. 分别在容器 Ⅰ 和容器 Ⅱ 中注入水, 水深均为 cm. 现有一根玻璃棒 l, 其长度为 40cm.( 容器厚度 玻璃棒粗细均忽略不计 ) () 将 l 放在容器 Ⅰ 中,l 的一端置于点 A 处, 另一端置于侧棱 CC 上, 求 l 没入水中部分的长度 ; () 将 l 放在容器 Ⅱ 中,l 的一端置于点 E 处, 另一端置于侧棱 GG 上, 求 l 没入水中部分的长度. 9.( 本小题满分 6 分 ) 对于给定的正整数 k, 若数列 la n l 满足 a a... a a... a a k a n k n k n n n k n k n =ka n 对任意正整数 n(n> k) 总成立, 则称数列 la n l 是 P(k) 数列. () 证明 : 等差数列 la n l 是 P() 数列 ; () 若数列 la n l 既是 P() 数列, 又是 P() 数列, 证明 :la n l 是等差数列

103 0.( 本小题满分 6 分 ) 已知函数 f x = x x ( a 0, b R ), a b x 有极值, 且导函数 f x f x 的零点 ( 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 ) () 求 b 关于 a 的函数关系式, 并写出定义域 ; () 证明 :b²>a; 的极值点是, () 若 f x, f x 7 这两个函数的所有极值之和不小于 -, 求 a 的取值范围 07 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 江苏卷 ) 数学 II( 附加题 ) 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 本试卷共 页, 均为非选择题 ( 第 题 ~ 第 题 ) 本卷满分为 40 分, 考试时间为 0 分钟 考试结 束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 答题前, 请务必将自己的姓名 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与本人是否相符 4. 作答试题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答一律无效 5. 如需改动, 须用 B 铅笔绘 写清楚, 线条 符号等须加黑 加粗. 选做题 本题包括 A B C D 四小题, 请选定其中两小题..., 并在相应的答题区域内作答... 若多做, 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A. 选修 4-: 几何证明选讲 ( 本小题满分 0 分 ) 如图,AB 为半圆 O 的直径, 直线 PC 切半圆 O 于点 C,AP PC,P 为垂足 求证 :() PAC= CAB; ()AC =AP AB B.[ 选修 4-: 矩阵与变换 ]( 本小题满分 0 分 ) - 0 -

104 已知矩阵 A=,B=. () 求 AB; x y 若曲线 C ; = 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C, 求 C 的方程. 8 C.[ 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ]( 本小题满分 0 分 ) x 8 在平面坐标系中 xoy 中, 已知直线 l 的参考方程为 t y x s, (s 为参数 ) 设 p 为曲线 C 上的动点, 求点 P 到直线 l 的距离的最小值 y s D.[ 选修 4-5: 不等式选讲 ]( 本小题满分 0 分 ) 已知 a,b,c,d 为实数, 且 a +b =4,c +d =6, 证明 ac+bd 8. x s, y s.( 本小题满分 0 分 ) t (t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程为 如图, 在平行六面体 ABCD-A B C D 中,AA 平面 ABCD, 且 AB=AD=,AA =, BAD=0º. () 求异面直线 A B 与 AC 所成角的余弦值 ; () 求二面角 B-A D-A 的正弦值. ( 本小题满分 0) 已知一个口袋有 m 个白球,n 个黑球 (m,n N,n ), 这些球除颜色外全部相同 现将口袋中的球随 机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为,,,,m+n 的抽屉内, 其中第 k 次取球放入编号为 k 的抽 屉 (k=,,,,m+n)

105 () 试求编号为 的抽屉内放的是黑球的概率 p; ( ) 随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E(x) 是 x 的数学期望, 证明

106 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ( 江苏卷 ) 答案 一 填空题 : 本题考查基础知识 基本运算和基本思想方法. 每小题 5 分, 共计 70 分 二 解答题 [, ]..[ 5,] 本小题主要考查直线与直线 直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证 能力. 满分 4 分. 证明 :() 在平面 ABD 内, 因为 AB AD, EF AD, 所以 EF AB. 又因为 EF 平面 ABC, AB 平面 ABC, 所以 EF 平面 ABC. () 因为平面 ABD 平面 BCD, 平面 ABD 平面 BCD=BD, BC 平面 BCD, BC 所以 BC 平面 ABD. BD, 因为 AD 平面 ABD, 所以 BC AD. 又 AB AD, BC AB B 所以 AD 平面 ABC, 又因为 AC 平面 ABC, 所以 AD AC., AB 平面 ABC, BC 平面 ABC, 6. 本小题主要考查向量共线 数量积的概念及运算, 考查同角三角函数关系 诱导公式 两角和 ( 差 ) 的 三角函数 三角函数的图像与性质, 考查运算求解能力. 学科. 网满分 4 分. 解 :() 因为 a ( cos x,sin x), b (, ),a b, 所以 cos x sin x. 若 cos x 0, 则 sin x 0, 与 sin x cos x 矛盾, 故 cos x 0. 于是 tan x. 又 5π, 所以 x

107 π () f ( x) a b (cos x,sin x) (, ) cos x sin x cos( x ). 6 π π 7π 因为, 所以 x [, ], π 从而 cos( x ). 6 π π 于是, 当 x, 即 x 0 时, 取到最大值 ; 6 6 π 5π 当 x, 即 x 时, 取到最小值 本小题主要考查直线方程 直线与直线的位置关系 椭圆方程 椭圆的几何性质等基础知识, 考查分 析问题能力和运算求解能力. 满分 4 分. 解 :() 设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为, 两准线之间的距离为 8, 所以 解得 a, c, 于是 b a c, x y 因此椭圆 E 的标准方程是. 4 () 由 () 知, F (,0), F (,0). 设 P( x0, y 0), 因为点 P 为第一象限的点, 故 x0 0, y0 0. 当 x0 时, l 与 l 相交于 F, 与题设不符. 当 x0 时, 直线 PF 的斜率为 因为 y0 y x, 0 直线 PF 的斜率为 x. 0 c a, a 8 c, 0 l PF, l PF, 所以直线 l x0 的斜率为, 直线 y l x0 的斜率为, y 从而直线 l 的方程 : 直线 l 的方程 : y y x ( ) y 0 x, 0 x. 0 0 x ( ) y x0 x0 由, 解得 x x0, y, 所以 Q( x0, ). y y

108 x 因为点 Q 在椭圆上, 由对称性, 得 y 0 0 y, 即 x 0 0 y0 或 x 0 y0. x0 y0 又 P 在椭圆 E 上, 故. 4 x0 y0 由 x0 y, 解得 x 0 4 x0 y , y ; x0 y, 无解 因此点 P 的坐标为 (, ) 本小题主要考查正棱柱 正棱台的概念, 考查正弦定理 余弦定理等基础知识, 考查空间想象能力 和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. 满分 6 分. 解 :() 由正棱柱的定义, CC 平面 ABCD, 所以平面 A ACC 平面 ABCD, CC AC. 记玻璃棒的另一端落在 CC 上点 M 处. 因为 AC 0 7, AM 40, 所以 MC 40 (0 7) 0, 从而 sin MAC, 4 记 AM 与水面的焦点为 P, 过 P 作 P Q AC, Q 为垂足, 则 P Q 平面 ABCD, 故 P Q =, 从而 AP = PQ sin MAC 6 答 : 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 6cm.. ( 如果将 没入水中部分冶理解为 水面以上部分冶, 则结果为 4cm) () 如图,O,O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,OO 平面 EFGH, 所以平面 E EGG 平面 EFGH,O O EG. 同理, 平面 E EGG 平面 E F G H,O O E G. 记玻璃棒的另一端落在 GG 上点 N 处

109 过 G 作 GK E G,K 为垂足, 则 GK =OO =. 因为 EG = 4,E G = 6, 所以 KG 6 4 = 4, 从而 GG KG GK 设 EGG, ENG, 则 sin sin( KGG) cos KGG. 5 因为, 所以 cos 在 ENG 中, 由正弦定理可得 sin sin 4 因为 0, 所以 cos. 5 于, 解得 sin sin NEG sin( ) sin( ) sin co s cos sin ( ) 记 EN 与水面的交点为 P, 过 P 作 P Q EG,Q 为垂足, 则 P Q 平面 EFGH, 故 P Q =, 从而 P Q EP = sin NEG 0 答 : 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 0cm.. ( 如果将 没入水中部分冶理解为 水面以上部分冶, 则结果为 0cm) 9. 本小题主要考查等差数列的定义 通项公式等基础知识, 考查代数推理 转化与化归及综合运用数学 知识探究与解决问题的能力. 满分 6 分. n 证明 :() 因为 a 是等差数列, 设其公差为 d, 则 a a ( n ) d, 从而, 当 n 4 时, a n k a n k a ( n k ) d a ( n k ) d n 是 所以 n n n n n n n, k,,, a ( n ) d a n a a + a + a a + a 6 a, 因此等差数列 n a 是 () 数列 a n 既是 P 数列. P 数列, 又是 P 数列, 因此, 当 n 时, a n a n a n a n 4 a n, 当 n 4 时, a n a n a n a n a n a n 6 a n. 由 知, a n a n 4a n ( an an ), a a a n n 4 n an ( an),4-09 -

110 将 4 代入, 得 an an an, 其中 n 4, 所以 a, a4, a5, 是等差数列, 设其公差为 d'. 在 中, 取 n 4, 则 a a a5 a6 4a4, 所以 a a d', 在 中, 取 n, 则 a a a4 a5 4a, 所以 a a d', 所以数列 { a n } 是等差数列. 0. 本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性 极值及零点问题, 考查综合运用数学思想方法分析 与解决问题以及逻辑推理能力. 满分 6 分. 解 :() 由 f ( x) x ax bx, 得 a a. f ( x) x ax b ( x ) b a a 当 x 时, f ( x) 有极小值 b. 因为 f ( x) 的极值点是 f ( x ) 的零点. 所以 a a a ab a f ( ) 0, 又 a 0, 故 b a a 因为 f ( x ) 有极值, 故 f ( x)=0 有实根, 从而 b (7 a ) 0, 即 a. 9a a 时, f ( x)>0( x ), 故 f ( x ) 在 R 上是增函数, f ( x ) 没有极值 ; a a b a 时, f ( x)=0 有两个相异的实根 x =, x = a a b. 列表如下 x (, x ) x ( x, x ) x x (, ) f ( x) f ( x) 极大值 极小值 故 f ( x ) 的极值点是 x, x. 从而 a, a 因此 b, 定义域为 (, ). 9 a - 0 -

111 () 由 () 知, b a a =. a 9 a a t 7 设 g( t)=, 则 9 t ( )= t g t. 9 t 9 t 6 6 当 t (, ) 时, g( t) 0, 从而 g( t ) 在 (, ) 上单调递增. b 因为 a, 所以 a a, 故 g( a a)> g ( )=, 即 > a 因此 b >a. () 由 () 知, f ( x ) 的极值点是 x, x, 且 x x a, x. 4a 6b x. 9 从而 f ( x ) f ( x ) x ax bx x ax bx x x (x ax b) (x ax b) a( x x ) b( x x ) 4a 6ab 4ab 记 f ( x ), f ( x) 所有极值之和为 h( a ), a 因为 f ( x) 的极值为 b a, 所以 h( a)= a, a. 9 a 9 a 因为 h( a)= a 0, 于是 h( a ) 在 (, ) 上单调递减. 9 a 7 因为 h(6)=, 于是 h( a) h(6), 故 a 6. 因此 a 的取值范围为 (, 6].. 选做题 本题包括 A B C D 四小题, 请选定其中两小题..., 并在相应的答题区域内作答.... 若多做, 则 按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤. A.[ 选修 4-: 几何证明选讲 ] 本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识, 考查推理论证能力. 满分 0 分. 证明 :() 因为 PC 切半圆 O 于点 C, 所以 PCA CBA, 因为 AB 为半圆 O 的直径, 所以 ACB 90, - -

112 因为 AP PC, 所以 APC 90, 所以 PAC CAB. AP () 由 () 知 APC ACB, 故 AC 所以 AC AP AB. B. [ 选修 4-: 矩阵与变换 ] AC, AB 本小题主要考查矩阵的乘法 线性变换等基础知识, 考查运算求解能力. 满分 0 分. 0 0 解 :() 因为 A= 0, B= 0, 0 所以 AB= = 0. () 设 Q( x0, y 0) 为曲线 C 上的任意一点, 它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P( x, y ), x 0 x0 x y0 x 则 0 y 0 y, 即, 所以 x0 y y 因为 Q( x0, y 0) 在曲线 C 上, 所以 0 0 y x0 y0, 8 8 x. x y 从而 8 8, 即 x y 8. 因此曲线 C 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 C : x y 8. C. [ 选修 4-5: 坐标系与参数方程 ] 本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识, 考查运算求解能力. 满分 0 分. 解 : 直线 l 的普通方程为 x y

113 因为点 P 在曲线 C 上, 设 P( s, s ), s 4 s 8 ( s ) 4 从而点 P 到直线 l 的的距离 d, ( ) ( ) 当 s 时, d min. 5 因此当点 P 的坐标为 (4,4) 时, 曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 D. [ 选修 4-5: 不等式选讲 ] 本小题主要考查不等式的证明, 考查推理论证能力. 满分 0 分. 证明 : 由柯西不等式可得 : ( ac bd) ( a b )( c d ), 因为 a b 4, c d 6, 所以 ( ac bd) 64, 因此 ac bd 必做题 本小题主要考查空间向量 异面直线所成角和二面角等基础知识, 考查运用空间向量解决 问题的能力. 满分 0 分. 解 : 在平面 ABCD 内, 过点 A 作 AE AD, 交 BC 于点 E. 因为 AA 平面 ABCD, 所以 AA AE,AA AD. 如图, 以 { AE, AD, AA} 为正交基底, 建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为 AB=AD=,AA =, BAD 0. A(0,0,0), B(,,0), D(0,,0), E(,0,0), A (0,0, ), C (,, ). 则 () A B (,, ), AC (,, ), 则 cos A B, AC A B AC (,, ) (,, ). A B AC 7 7 因此异面直线 A B 与 AC 所成角的余弦值为

114 () 平面 A DA 的一个法向量为 AE (,0,0). 设 m ( x, y, z) 为平面 BA D 的一个法向量, 又 A B (,, ), BD (,,0), m A B 0, x y z 0, 则 即 m BD 0, x y 0. 不妨取 x=, 则 y, z, 所以 m (,, ) 为平面 BA D 的一个法向量, 从而 cos AE, m AE (,0,0) (,, ) m, AE m 4 4 设二面角 B-A D-A 的大小为, 则 cos. 4 因为 [0, ], 所以 sin cos. 4 7 因此二面角 B-A D-A 的正弦值为 必做题 本小题主要考查古典概率 随机变量及其分布 数学期望等基础知识, 考查组合数及其性质, 考 查运算求解能力和推理论证能力. 满分 0 分. 解 :() 编号为 的抽屉内放的是黑球的概率 p 为 : () 随机变量 X 的概率分布为 : C p C n mn n mn n m n

115 X n n n k m n P n Cn n Cmn C C n n n mn C C n n n mn n Ck n Cmn n Cnm n Cmn 随机变量 X 的期望为 : mn mn C ( k )! E( X ) n k C C k ( n )!( k n)! k n n k n mn. mn k n mn mn ( k )! ( k )! 所以 E( X ) n n C ( n )!( k n)! ( n )C ( n )!( k n)! mn kn n n n ( Cn Cn C m n ) n ( n )C mn n n n n (Cn Cn Cn C m n ) n ( n )C mn ( n )C n n n (Cn Cn C m n ) n mn n n (Cm n C m n ) n ( n )C mn mn kn C n ( n )C ( m n)( n ) n mn n mn n E( X ) ( m n)( n )

116 绝密 本科目考试启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 ( 理 )( 山东卷 ) 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 共 4 页 满分 50 分 考试用时 0 分钟 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 :. 答卷前, 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 第 Ⅰ 卷每小题选出答案后, 用 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号 学. 科. 网答案写在试卷上无效. 第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试卷上 ; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案 ; 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案, 解答题应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 参考公式 : 如果事件 A,B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A B 独立, 那么 P(AB)=P(A). P(B) 第 I 卷 ( 共 50 分 ) 一 选择题 : 本大题共 0 小题, 每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题 目要求的. () 设函数 y= 4- x 的定义域 A, 函数 y=ln(-x) 的定义域为 B, 则 A B= (A)(,) (B)(, (C)(-,) (D)[-,) () 已知 a R,i 是虚数单位, 若 z a i, z z 4, 则 a= (A) 或 - (B) 7或 - 7 (C)- (D) () 已知命题 p: x x >0,ln >0 ; 命题 q: 若 a>b, 则 a > b, 下列命题为真命题的是 (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q - 6 -

117 x y 0 (4) 已知 x,y 满足 x+ y 5 0, 则 z=x+y 的最大值是 x 0 (A)0 (B) (C) 5 (D)6 (5) 为了研究某班学生的脚长 x ( 单位 : 厘米 ) 和身高 y ( 单位 : 厘米 ) 的关系, 从该班随机抽取 0 名学生, 根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系, 设其回归直线方程为 yˆ bx ˆ aˆ. 已 0 知 xi 5, yi 600, b ˆ 4. 该班某学生的脚长为 4, 据此估计其身高为 i 0 i (A)60 (B)6 (C)66 (D)70 (6) 执行两次右图所示的程序框图, 若第一次输入的 x 的值为 7, 第二次输入的 x 的值为 9, 则第一次 第二次输出的 a 的值分别为 (A)0,0 (B), (C)0, (D),0 (7) 若 a b 0, 且 ab, 则下列不等式成立的是 b b (A) a log a b (B) log b a b (C) a log a b (D) log a b a b a b a a b a b (8) 从分别标有,,,9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 次, 每次抽取 张. 则抽到的 张卡片 上的数奇偶性不同的概率是 b a (A) 5 8 (B) 4 9 (C) 5 9 (D) 7 9 (9) 在 C 中, 角,, C 的对边分别为 a,b, c. 若 C 为锐角三角形, 且满足 sin cos C sin cos C cos sin C, 则下列等式成立的是 - 7 -

118 (A) a b (B) b a (C) (D) (0) 已知当 x 0, 时, 函数 y mx 的取值范围是 的图象与 y x m 的图象有且只有一个交点, 则正实数 m (A) 0,, (B) 0,, (C) 0,, (D)0,, 第 II 卷 ( 共 00 分 ) 二 填空题 : 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 5 分 () 已知 x n 的展开式中含有 x 项的系数是 54, 则 n. () 已知 e, e 是互相垂直的单位向量, 若 e e 与 e e 的夹角为 60, 则实数 的值是. () 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图, 则该几何体的体积为. 4 (4) 在平面直角坐标系 xoy 中, 双曲线 a b x x y 0, 0 的右支与焦点为 F 的抛物线 a b px p 0 交于 A, B 两点, 若 AF BF 4 OF, 则该双曲线的渐近线方程为. x (5) 若函数 e f x ( e.788 是自然对数的底数 ) 在 f x 的定义域上单调递增, 则称函数 f x 具 有 M 性质. 下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为. f x x f x x f x x 4 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 75 分 (6)( 本小题满分 分 ) f x x 设函数 f ( x) sin( x ) sin( x ), 其中 0. 已知 f ( ) (Ⅰ) 求 ; - 8 -

119 (Ⅱ) 将函数 y f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍 ( 纵坐标不变 ), 再将得到的图象向左平 移个单位, 得到函数 y g( x) 的图象, 求 g( x ) 在 [, ] 上的最小值 (7)( 本小题满分 分 ) 如图, 几何体是圆柱的一部分, 它是由矩形 ABCD ( 及其内部 ) 以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 0 得 到的,G 是 DF 的中点. (Ⅰ) 设 P 是 CE 上的一点, 且 AP BE, 求 CBP 的大小 ; (Ⅱ) 当 AB, AD, 求二面角 E AG C 的大小. (8)( 本小题满分 分 ) 在心理学研究中, 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体 方法如下 : 将参加试验的志愿者随机分成两组, 一组接受甲种心理暗示, 另一组接受乙种心理暗示, 通过 对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用, 现有 6 名男志愿者 A,A,A,A 4, A 5,A 6 和 4 名女志愿者 B,B,B,B 4, 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示, 另 5 人接受乙种心理暗示. (I) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 但不包含 B 的频率 (II) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数, 求 X 的分布列与数学期望 EX. (9)( 本小题满分 分 ) 已知 {x n} 是各项均为正数的等比数列, 且 x +x =,x -x = (Ⅰ) 求数列 {x n} 的通项公式 ; (Ⅱ) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 依次连接点 P (x, ),P (x, ) P n+(x n+, n+) 得到折线 P P P n+, - 9 -

120 求由该折线与直线 y=0, x x, x xn 所围成的区域的面积 T n. (0)( 本小题满分 分 ) x, g x e cosx sin x x 已知函数 f x x cos x, 其中 e.788 是自然对数的底数. (Ⅰ) 求曲线 y f x 在点, f 处的切线方程 ; (Ⅱ) 令 hx g x af xa R, 讨论 hx 的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值. ()( 本小题满分 4 分 ) x 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 E : a y b a b 0 的离心率为, 焦距为. (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程 ; (Ⅱ) 如图, 动直线 l : y kx 交椭圆 E 于 A, B 两点,C 是椭圆 E 上一点, 直线 OC 的斜率为 k, 且 kk, M 是线段 OC 延长线上一点, 且 MC : AB :, M 的半径为 MC, OS, OT 是 M 的两 4 条切线, 切点分别为 S, T. 求 SOT 的最大值, 并求取得最大值时直线 l 的斜率

121 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ( 理 )( 山东卷 ) 答案 一 选择题 ()D ()A ()B (4)C (5)C (6)D (7)B (8)C (9)A (0)B 二 填空题 () 4 () () (4) y x (5)4 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 75 分 (6) 解 :(Ⅰ) 因为 f ( x) sin( x ) sin( x ), 6 所以 f ( x) sinx cosx cosx sinx cosx ( sinx cos x) (sin x ) 由题设知 f ( ) 0, 6 所以 k, k Z. 6 故 6k, k Z, 又 0, 所以. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得 f ( x) sin( x ) 所以 g( x) sin( x ) sin( x )

122 因为 x [, ], 4 4 所以 x [, ], 当 x, 即 x 时, g( x ) 取得最小值. 4 (7) 解 :(Ⅰ) 因为 AP BE, AB BE, AB, AP 平面 ABP, AB AP A, 所以 BE 平面 ABP, 又 BP 平面 ABP, 所以 BE BP, 又 EBC 0, 因此 CBP 0 (Ⅱ) 解法一 : 取 EC 的中点 H, 连接 EH,GH,CH. 因为 EBC 0, 所以四边形 BEHC 为菱形, 所以 AE GE AC GC. - -

123 取 AG 中点 M, 连接 EM, CM, EC. 则 EM AG, CM AG, 所以 EMC 为所求二面角的平面角. 又 AM, 所以 EM CM. 在 BEC 中, 由于 EBC 0, 由余弦定理得 EC cos0, 所以 EC, 因此 EMC 为等边三角形, 故所求的角为 60. 解法二 : 以 B 为坐标原点, 分别以 BE, BP, BA 所在的直线为 x, y, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得 A (0,0,) E (,0,0), G (,,), C(,,0), 故 AE (,0, ) CG (,0,),, AG (,,0), m ( x, y, z ) 是平面 AEG 的一个法向量. 设 m AE 0 x z 0, 由 可得 m AG 0 x y 0, 取 z, 可得平面 AEG 的一个法向量 m(,, ). n ( x, y, z ) 是平面 ACG 的一个法向量. 设 n AG 0 x y 0, 由 可得 n CG 0 x z 0, - -

124 取 z, 可得平面 ACG 的一个法向量 n (,, ). m n 所以 cos m, n. m n 因此所求的角为 60. (8) 解 :(I) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 但不包含 B 的事件为 M, 则 (II) 由题意知 X 可取的值为 : 0,,,,4. 则 C 5 P( M ). C C P( X 0), C C C 5 P( X ), C C C 0 P( X ), C C C 5 P( X ), C C C P( X 4), C 因此 X 的分布列为 X 0 4 P X 的数学期望是 EX 0 P( X 0) P( X ) P( X ) P( X ) 4 P( X 4) = = (9) 解 :(I) 设数列 { x n } 的公比为 q, 由已知 q

125 x xq 由题意得, 所以 q 5q 0, xq xq 因为 q 0, 所以 q, x, 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n n. (II) 过 P, P, P, Pn 向 x 轴作垂线, 垂足分别为 Q, Q, Q, Qn, n n n 由 (I) 得 x n x n. 记梯形 Pn Pn Qn Qn 的面积为 b n. 由题意 b n ( n n ) n n (n ), 所以 T b b b n + b n 0 n n = (n ) (n ) 0 n n 又 T (n ) (n ) n - 得 T (... ) (n ) n n n n ( ) n = (n ). 所以 T n n (n ). (0)( 本小题满分 分 ) 解 :(Ⅰ) 由题意 f 又 f x x sin x, 所以 f, 因此曲线 y f x 在点, f 处的切线方程为 - 5 -

126 x y, 即 y x. (Ⅱ) 由题意得 x h( x) e (cos x sin x x ) a( x cos x), x x 因为 h x e cos x sin x x e sin x cos x a x sin x x e x sin x a x sin x e x ax x sin, 令 sin m x x x 则 m x cos x 0 所以 m x 在 R 上单调递增. 因为 m(0) 0, 所以当 x 0 时, m( x) 0, 当 x 0 时, mx 0 () 当 a 0 时, e x a 0 x 时, hx 0, 当 0 h x 单调递减, x 时, hx 0, 当 0 h x 单调递增, 所以当 x 0 时 hx 取得极小值, 极小值是 h 0 a ; ln a 时, x a h x e e x sin x () 当 0-6 -

127 得 x ln a, x =0 由 h x 0 当 0 a 时, ln a 0, x ln a 当 x,ln a 时, e e 0, hx 0, h x 单调递增 ; x ln a 当 x ln a,0 时, e e 0, hx 0, h x 单调递减 ; x ln a 当 x 0, 时, e e 0, hx 0, h x 单调递增. 所以当 x ln a 时 hx 取得极大值. 极大值为 h a a a a a a ln ln ln sin ln cos ln, 当 x 0 时 hx 取到极小值, 极小值是 h 0 a ; 当 a 时, ln a 0, 所以当 x, 时, hx 0, 函数 h x 在, 上单调递增, 无极值 ; 当 a 时, ln a 0 所以当,0 x 时, e 单调递增 ; x ln a e 0, h x 0, hx 当 x 0,ln a 时, e 单调递减 ; x ln a e 0, h x 0, hx 当 x ln a, 时, e 单调递增 ; x ln a e 0, h x 0, hx 所以当 x 0 时 h x 取得极大值, 极大值是 h 0 a ; 当 x ln a 时 hx 取得极小值. 极小值是 h a a a a a a ln ln ln sin ln cos ln

128 综上所述 : h x 在 当 a 0 时,,0 上单调递减, 在 0, 上单调递增, 函数 h x 有极小值, 极小值是 h 0 a ; h x 在 当 0 a 时, 函数 极大值, 也有极小值,,ln a 和 0,ln a 和 极大值是 h a a a a a a ln ln ln sin ln cos ln 0, 上单调递增, 在 a 上单调递减, 函数 ln,0 h x 有 极小值是 h 0 a ; 当 a 时, 函数 h x 在, 上单调递增, 无极值 ; h x 在 当 a 时, 函数,0 和 ln a, 上单调递增, 在 0,ln a 上单调递减, 函数 hx 有极大值, 也有极小值, 极大值是 h 0 a ; 极小值是 h a a a a a a () ln ln ln sin ln cos ln. 解 :(I) 由题意知 c e, c, a 所以 a, b, x 因此椭圆 E 的方程为 y. (Ⅱ) 设,,, A x y B x y, x y, 联立方程 y kx, - 8 -

129 得 4k x 4 k x 0, 由题意知 0, k 且 x x, x x, k k 所以 k 8k +k AB k x x. +k +8k 由题意可知圆 M 的半径 r 为 r= AB = k + 由题设知 kk, 4 所以 k 4k 因此直线 OC 的方程为 y x. 4k x y, 联立方程 y x, 4k 得 x 8k, y 4k 4k, 因此 OC x y 8k 4k. 由题意可知 SOT sin r r OC OC r, - 9 -

130 而 8k OC 4k r k 8k k k 4 4k k, 令 t k,, t 则 t, 0, 因此 OC t, r t t 9 t t t 4 当且仅当 t, 即 t 时等号成立, 此时 k, 所以 SOT sin, 因此 SOT, 6 所以 SOT 最大值为. 综上所述 : SOT 的最大值为, 取得最大值时直线 l 的斜率为 k

131 绝密 本科目考试启用前 07 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 ( 文 )( 山东卷 ) 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 共 4 页 满分 50 分 考试用时 0 分钟 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 :. 答卷前, 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 第 Ⅰ 卷每小题选出答案后, 用 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号 答案写在试卷上无效. 第 Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试卷上 ; 学. 科. 网如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案 ; 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案, 解答题应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 参考公式 : 如果事件 A,B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 第 I 卷 ( 共 50 分 ) 一 选择题 : 本大题共 0 小题, 每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题 目要求的. () 设集合 M x x, N x x, 则 M N (A), (B), (C)0, (D), () 已知 i 是虚数单位, 若复数 z 满足 zi i, 则 (A)-i ( B)i (C)- (D) z = x y 5 0 () 已知 x,y 满足约束条件 x 0, 则 z=x+y 的最大值是 y (A)- (B)- (C) (D) - -

132 (4) 已知 cosx, 则 cosx 4 (A) (B) (C) (D) (5) 已知命题 p: x R, x x 0 ; 命题 q: 若 a b, 则 a<b. 下列命题为真命题的是 (A) p q (B) p q (C) p q (D) p q (6) 执行右侧的程序框图, 当输入的 x 的值为 4 时, 输出的 y 的值为, 则空白判断框中的条件可能为 (A) x (B) x 4 (C) x 4 (D) x 5 (7) 函数 y sin x cos x 最小正周期为 (A) π (B) π (C) π (D) π (8) 如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组各 5 名工人某日的产量数据 ( 单位 : 件 ). 若这两组数据的中位 数相等, 且平均值也相等, 则 x 和 y 的值分别为 (A),5 (B) 5,5 (C),7 (D) 5,7 - -

133 (9) 设 f x x,0 x x, x, 若 f a f a, 则 f a (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 (0) 若函数 e x f x (e=.788, 是自然对数的底数 ) 在 f x 的定义域上单调递增, 则称函数 f M 性质, 下列函数中具有 M 性质的是 (A ) f x x - (B) f x x (C) f x x (D) cos f x x x 具有 二 填空题 : 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 5 分 第 II 卷 ( 共 00 分 ) () 已知向量 a=(,6),b= (, ), 若 a b, 则. x y () 若直线 ( a> 0, b> 0) 过点 (,), 则 a+b 的最小值为. a b () 由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如右图, 则该几何体的体积为. 4 (4) 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(x-). 若当 x [,0] 时, f ( x) 6 x, 则 f(99)=. x y (5) 在平面直角坐标系 xoy 中, 双曲线 ( a 0, b 0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 a b x py( p 0) 交于 A,B 两点, 若 AF + BF =4 OF, 则该双曲线的渐近线方程为. 三 解答题 : 本大题共 6 小题, 共 75 分. (6)( 本小题满分 分 ) 某旅游爱好者计划从 个亚洲国家 A,A,A 和 个欧洲国家 B,B,B 中选择 个国 家去旅游. - -

134 (Ⅰ) 若从这 6 个国家中任选 个, 求这 个国家都是亚洲国家的概率 ; (Ⅱ) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 个, 求这 个国家包括 A 但不包括 B 的概率. (7)( 本小题满分 分 ) 在 ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=, AB AC 6,S ABC=, 求 A 和 a. (8)( 本小题满分 分 ) 由四棱柱 ABCD-A B C D 截去三棱锥 C - B CD 后得到的几何体如图所示, 四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A E 平面 ABCD, (Ⅰ) 证明 : AO 平面 B CD ; (Ⅱ) 设 M 是 OD 的中点, 证明 : 平面 A EM 平面 B CD. 9.( 本小题满分 分 ) 已知 {a n} 是各项均为正数的等比数列, 且 a a 6, aa a. (I) 求数列 {a n} 通项公式 ; b n (II){b n} 为各项非零的等差数列, 其前 n 项和 S n, 已知 Sn bnbn, 求数列 的前 n 项和 T n. an f x x ax, a R. 0.( 本小题满分 分 ) 已知函数 (I) 当 a= 时, 求曲线 y f x 在点, f 处的切线方程 ; (II) 设函数 g x f x x acos x sin x,z.x.x.k 讨论 g x 的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极 值

135 x.( 本小题满分 4 分 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 C: a y b (a>b>0) 的离心率为, 椭圆 C 截直线 y= 所得线段的长度为. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程 ; (Ⅱ) 动直线 l:y=kx+m(m 0) 交椭圆 C 于 A,B 两点, 交 y 轴于点 M. 点 N 是 M 关于 O 的对称点, N 的半径为 NO. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与 N 分别相切于点 E,F, 求 EDF 的最小值