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3 1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, ;,, ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) , : ( ),.,, 2, (, ) 1

4 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) : y = 14-3 x, 2 x - (14-3 x) = 6, x = 4 x = 4 y = 2 x = 4, y = 2,, :, ( ),, 3,, : :,,?, :,,, :,,? :,,,, : ;, :, : 2

5 , :, *,, :,, : 4 : : 1: x 2 + y x y + 4 x + 4 y = 31, x y = 2-5 x 2 + y x y + 4 x + 4 y = 21, ( x + y) 2 x + y = u, u ( x + y) - 21 = u - 21 = 0 u1 = 3, u2 = - 7; x + y = 3 x + y = - 7, : x + y = 3, x y = 2 ; 2: x + y = - 7, x y = 2 y = 2 x, : x x x 2 x + 4 x x = 31. x x 3-17 x x + 4 = 0,,,, 2, 1,, 1,,,,, 3

6 ,, (, :,, ) ;,,, : S1 = =? 1 2, *,, : 2 S1 = = = S1 = = 4 950, S2 = 1 2 ab, S3 = 30 2 = 15, 5 ( ), :?,, :,,, 1 4 4

7 (, ),, (, S = , : ),,,,,, 6 x 2,, a x 2 = m ( m 0 ) + bx + c = 0 ( a 0 ) ( ), : 7 ( 1),,,, ;,, ( 1 5 ),, 1 5,, : ;, ;,, : ( 1 6), : ; ; 5

8 ,, ( 1 7 ), : ; 90 ;,,, : ; 90 ;, ( 1 8 ) 1 8 8,, n ( y ( n) + p1 y ( n - 1 ) + + pn y = 0) ( n + p1 n pn = 0),, 6

9 ,, ( ) ( ),,,, S, 2, 2 S;, G., 9 :, ,?, ( : ) :,,,,, 70 ( ) ;, 1, 1, ( 70 ) (50), = 20 ;, = , 9, A BC, : D L = 1 3 m, B L = 2 3 n, CL = 2 3 p(, m, n, p BC, AC, AB ), L D G, DG = L D, LG = 2 3 m, B L = 2 3 n, BG = 2 3 p ( BDG CD L ), 1 9 ( B LG),,,,, 7

10 , ( )?, :,,,, : (, ) :

11 S = S - S, 1 11 : S = S + S 1 11, ( ) :,, 2 ( 1 12 ),, A CB = OBC, AOB = A CB + OBC = 2 ACB,,, ( 1 12 ), ACB = DCB + A CD( ACB = DCB - A CD),

12 , :,,,, ( ) 3 : n x1, x2,, xn, n y1, y2,, yn, f ( x), : f ( x i ) = yi ( i = 1, 2,, n),, n : n x1, x2,, xn, yk ( k = 1, 2,, n), f k ( x), n : f k ( xi ) = 0 ( i = 1, 2,, k - 1, k + 1,, n), f k ( xk ) = yk, : x1,, xk - 1, xk + 1,, xn f k ( x), f k ( x) ( n - 1) ; ( x - x1 ), ( x - xk - 1 ) ( x - xk + 1 ), ( x - xn );, fk ( x) ( n - 1) ;, ( n - 1), : c( x - x1 ) ( x - x2 ) ( x - x k - 1 ) ( x - xk + 1 ) ( x - xn ) ;, f k ( xk ) = yk c =, yk ( xk - x1 ) ( xk - xk - 1 ) ( xk - xk + 1 ) ( xk - xn ) f k ( x) = yk ( x - x1 ) ( x - xk - 1 ) ( x - xk + 1 ) ( x - xn ) ( xk - x1 ) ( xk - xk - 1 ) ( xk - xk + 1 ) ( xk - xn ),, : f ( x) = y1 ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - xn ) ( x1 - x2 ) ( x1 - x3 ) ( x1 - xn ) yn ( x - x1 ) ( x - x3 ) ( x - xn - 1 ) ( xn - x1 ) ( xn - x2 ) ( xn - xn - 1 ) + y2 ( x - x1 ) ( x - x3 ) ( x - xn ) ( x2 - x1 ) ( x2 - x3 ) ( x2 - xn ) + +,,, ( ), ;, ( ), ( ) 4 A BC,

13 OA = OB = OC O( 1 13 ) OA = OB( ) OB = OC( ),, AB BC,, :,,,, : ( ),, ( ),,, ( x, y), ( x, y, z), ;,,,, ;,, (,, ),,,,, :,,,, ;,, 11

14 5 1 14, a, b, X, Y a b, d = X Y, a, b, Y, X ( Y ) ( a), a X X Y a, X Y Y a, Y a, X Y, X Y 1 14 : b Y Y X b, Y X b X, X, Y,, X, Y X Y a b, d = X Y, X Y a, X ( Y ) X Y, X Y ;, X Y b, Y ( X) X Y, X Y a b, d = X Y,, a, b 6, 1 15,, ( X), V, W,, Z,,, X 1 15, : ( n - 1) V W Z, VX Z X, : ( V Z), X ( ), V X Z,, VX Z, X, VZ X H, X X V = X Z, V X Z, :,, 12

15 : :,,, : y = f ( x1,, xn ) ( x1 0, x2 0,, xn0 ), f ( x1 0, x20,, xn0 ) y, : f x 1 ( x1 0, x20,, xn0 ) = 0, f x 2 ( x1 0, x20,, xn0 ) = 0, f x n ( x1 0, x20,, xn0 ) = 0,,,,,,,,,,,,,,,, ( x2 a 2 + y2 b 2 = 1, x2 a 2 - = 1, y 2 = 2 p x), ( a, b, c, p, ),, ( x1, x2,, xn ) ;, xi ( i = 1, 2,, n), x2 y 2 b 2, x1 ; x3, x1 x2 ;

16 : 1 16,,,?, : * ;, * *, ( ) : 7, :,,,,,, :, ( ) 8 y = x 2, : 14

17 , y = x + 0) : b ( 3 a 9 ( ) ( ), ( x lg x), : 10,,, ( ) ( ),,, :,, : : 1 17,, BC x, BC AD y A, B, C A ( 0, a), B( b, 0 ), C( c, 0 ), : kbc = 0, kca = - a c, kba = - a b, : AD: x = 0, B E: c x - ay - bc = 0, CF: bx - ay - bc =

18 x = 0,, y = - bc a,, :, ;, ;,,, ;,,,, 11, ( ) 1 18, : x, x 2 = (2 a) 2 + a 2 = 5 a 2, x = 5 a,, , :, ( ),,, (, ), ( ) 16

19 12,,,,, ( ) :, ( 5 ),,,, ;,,,,,,,, ( ),,,, 1868 :, ( ),, ( ) ( ) ( ), :,,,,,,,,, ( : ) ; : 13, :,, ; 17

20 ,, 3 2 ;,,,,,,,,, ; (, 3 2 ),,, ( ),,,,, 3 2,,, 60 : 60, cos20 sin20,,,, 60 : co s3 x = 4 cos 3 x - 3 cos x, x = 20, : cos60 = 4 cos cos20, 4co s cos = 0, cos20 : 4 x3-3 x = 0, :,, co s20 sin20 18

21 ,, 2 000,,,,, :,, ( ) ( ),,,,,, ( ),,, 14,, : x 3-5 x x = 0 x 3-5 x x = x( x - 2) ( x - 3 ), x( x - 2 ) ( x - 3) = 0, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 15, : sin x - 3cos x = 2 sin x - 3cos x = sin x cos x = 2 cos sin x - sin 3 3 cos x 19

22 , 2 sin sin x1 x - = 2 3 2, = 2sin x -, 3 x - = 2, 3 = 2 k , x2 = 2 k ( k ) 16 : a0 x n + a1 x n an - 1 x + an ; bx + c x 2 + p x + q ; bx + c ( n > 1) ( x 2 + p x + q) n ( n, a, b, c, ) b x - a ; b ( n> 1) ; ( x - a) n, (, ), : : 2 x + 3 x 3 + x 2-2 x d x : 2 x + 3 x 3 + x 2-2 x = x ( x - 1 ) ( x + 2 ), 2 x + 3 x 3 + x 2-2 x d x = x d x x - 1 dx x + 2 dx = ln x ln x ln x C 17, sin x = 2 u 1 + u 2, cos x = 1 - u2 1 + u 2, tan x = 2 u 1 - u 2,, 20

23 , u = tan x 2 tan x 2 ;, ( tan x 2 = u), tan x 2 u ;, 1 + sin x dx sin x( 1 + cos x), u = tan x 2 : 2 u sin x sin x( 1 + cos x) = 1 + u 2 2 u = u2 1 + u u 2 ( 1 + u) 2 ( 1 + u 2 ) 4 u tan x 2 = u, : 1 + sin x sin( 1 + cos x) dx = (1 + u2 ) (1 + u) 2 4 u = 1 2 ( u u- ) du = u 2 du u u + ln u + C = 1 4 tan2 x 2 + tan x ln tan x 2 + C,,, ;, : ( u( x) v( x) ) = u ( x) v ( ; ( u( x) v( x) ) = u ( x) v( x) + u( x) v ( ; u( x) v( x) = u ( x) v( x) - u( x) v ( x) ; ( v( x) 0) v 2 ( x) ( u( x) v( x) ) dx = c u( x) dx = c u( x) dx ; u( x) dx v( x) dx ; u( x) v ( x) dx = u( x) v( x) - u ( x) v( x) dx, 18, : ln x dx = x ln x - x (ln x) d x = x ln x - x + C 21

24 , 19 a x 2 + bx + c = 0 ( a 0),,,,?,, 16,, x 3 + p x + q= 0 ( 8 : a x 3 + bx 2 + c x + d = 0, a 0, ), u v, x = u + v : ( u+ v) 3 + p( u + v) + q= 0, u u 2 v + 3 uv 2 + v 3 + p u + pv + q = 0, u 3 + ( 3 uv + p) u + (3 uv + p) v + v 3 + q= 0, 3 uv = - p, u v : u v = - u 3 + v 3 + q = 0, 3 uv + p = 0 p 3, u3 v 3 = - p3, 27, u 3 v 3 y 2 + qy - p3 27 = 0 : u 3 = - q 2 + q p3 27, v3 = -, : x = 3 - q 2 + q p q 2 - q p3 27 q 2 - q p3 27,, u v : u, v (, x),, ;, u v ( 3 uv = - p), :, ;,,,, 22

25 , ( ), (, ),,,, :,, 20 : : g( x) [ a, b], ( a, b),, g( a) = g( b), c( a < c < b), 0, g ( c) = 0. f ( x) [ a, b], ( a, b), c( a < c < b), f ( b) - f ( a) = f ( c) ( b - a),, ( x) = f( x) - f ( a) - f ( b) - f( a) b - a ( x - a) ( x) ( ( a) = ( b) = 0 ),, : ( a, b) c, ( c) = 0; ( x) = f ( x) - f ( b) - f( a) b - a, f ( c) - f ( b) - f( a) b - a f ( b) - f ( a) = f ( c) ( b - a) = 0,,,, : ( x)?!,,, ;, 23

26 g( a) = g( b), ( x), : f ( x),, ( a) = ( b) (, ( a) = ( b) = 0 ), ( x) = f( x) - f( a) + k( x - a), ( a) = 0 ;, k,,, k, ( b) = 0, ( b) = 0, : f ( b) - f ( a) + k( b - a) = 0, k = - f( b) - f ( a) b - a, ( x) = f ( x) - f ( a) - ; f ( b) - f ( a) b - a ( x - a),, :,, :,,,,,,, : 1 ( 17 ), : 24

27 2,, 1 20 : ( 1) V =? (2 ) V1 =? ( 3) x =? ( 4) x =? V2 =? H =? 1 20, : 1 21,,, 25

28 ,, x ( R, r, h), ( ) ( ),, :, ( ),,,,,,,, ( ),,,,, :,,,,, :?,?,?,,,,, :,,,,,, ;,,, (,, :, 26

29 ),,,,, : ;,,,,,,, (, ),,,,,, 2 27

30 2 :,,,?,, ( ),,, :?,,,,, ( 3 ),,,,,, : ( ) ( ) (,,, ) : ;,,, ;,,, ;,,, :,,,, :,,,, :,, 28

31 , : 1 ( ), :, x 2 + y 2 2 x y, : x 3 + y 3 + z 3 3 x y z x 0, y 0, z 0,, : x 3 + y 3 + z 3-3 x y z = ( x + y + z) ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - x z) = 1 2 ( x + y + z) [ ( x - y) 2 + ( y - z) 2 + ( z - x) 2 ] , ( ) ( ),, : ,, :, 2 2 4,, 29

32 :,,,?, :,,!,,,, ;,,, 5 ( ), :,,, :, ( 2 3) 2 3 6, ( 2 4 ) : ( ) ; ( ) ( ),, : 2 4, :,,, ;,, ( ), : 30

33 ,,,,,,,,,,,,,,,, 7,,,, ( ), ( ), :,, ( ) ;,, : ( ), ( ),,, : ( x - 4) - 1 > 5 x : ( ) ( x - 4) 3-1 = 5 x : 2 ( x - 4 ) - 6 > 3( 5 x + 6 ) 2 ( x - 4 ) - 6 = 3( 5 x + 6 ), : 2 x > 15 x + 18, 2 x = 15 x + 18, : 2 x - 15 x > , 2 x - 15 x = , : - 13 x > 32, - 13 x = 32, - 13 : x < x = ,,,, :,,, 31

34 , :,,, ( ),,,,, 8, :, :, : 9 1, ( 20 ), 32

35 : f( x) F( x) [ a, b], f ( x) F ( x) ( a, b), F ( x) ( a, b), a, b c, f ( b) - f ( a) F( b) - F( a) = f ( c) F ( c), ( x), f ( x),, ( a) = ( b) : :,, ( x), f ( x) F( x),, ( a) = ( b), ( x),, ( x) = f( x) - f( a) + k[ F( x) - F( a) ], :,, k = - ( x) = f ( x) - f( a) - f( b) - f ( a) : F( b) - F( a) f ( b) - f ( a) [ F( x) - F( a) ] F( b) - F( a),, 33

36 , 10, ( ) 5, :, ( ),,,, 1 3 ; :, ( 2 5 ) ,, 1, A H = 6 x, O H = OP 3, x (, H, P BCD A CD ) : O H = OP = x A H = 6 3 x, B P = A H = 6 3, BO = B P - OP = x = 6 3 ( 1 - x) OB 2 = O H 2 + B H 2, : (1 - x) 2 = x 2( 1 - x) 2 = 2 x B H 3 3, : x = , 34

37 a, : a= 6 12 a,, 11 ( ) ( ), : A x + By + C = 0,, : A x + By + Cz + D = 0, l1 ( A1 x + B1 y + C1 = 0) l2 ( A2 x + B2 y + C2 = 0 ) A1 A2 = B1 B2, : 1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ) 2 ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0), A1 A2 = B1 B2 = C1 C2, n, :, ( x1, x2, x3, x4 ) ;,,,,,, ( ), : 2 7, ( 2 8 ), : ( ) :, ( 2 8 ) 35

38 2 8,, :,,, ( n ), ( ) 13 8, ax 2 + bx + c > 0 ( < 0 ) ax 2 + bx + c, ( a x 2 + bx + c= 0 x1 x2, x1 < x2 ) : x x 1 x 2 ax 2 + bx + c a > 0 ax 2 + bx + c a < : ax 3 + bx 2 + c x + d > 0 ( < 0 ) ax 3 + bx 2 + c x + d, ( a x 3 + bx 2 + cx + d = 0 x1, x2 x3, x1 < x2 < x3 ) : x x 1 x 2 x 3 ax 3 + bx 2 + c x + d ( a > 0) ax 3 + bx 2 + c x + d ( a < 0) , 36

39 ,,,,, 14, : ( x1, x2,, xn ), ( y1, y2,, yn ) n, ( x x x 2 n ) 1 2 ( y y y 2 n ) 1 2., n : x1 y1 + x2 y2 + + xn y n ( x x x 2 n ) 1 2 ( y y y 2 n ) 1 2 ( x1 y1 + x2 y2 + + xn y n ), 15 ( ) :,,, 16,, ( ),, :, :, S = 1 2 C R = 1 2 ( 2 R) R = R2 ( 2 9) n a1, a2,, an, a1 + a2 + + an.,, a1 + a2 + + an + 37

40 ,,,, a1 + a2 + + an a1 + a2 + + an : : ai ai i = 1 i = 1,, b f ( x) dx a b f ( x) dx ( a < b) a,,,,,,,, ;,,, 0 = 1 : [ 1 + ( - 1) ] + [ 1 + ( - 1) ] + [ 1 + ( - 1) ] + = = 0, 1 + [ ( - 1) + 1] + [ ( - 1) + 1] + [ ( - 1) + 1] + [ ( - 1) + 1] + = = 1,, 1 + ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = [ 1 + ( - 1) ] + [ 1 + ( - 1) ] + [ 1 + ( - 1) ] + = 1 + [ ( - 1) + 1] + [ ( - 1) + 1] + [ ( - 1) + 1] + 0 = n = 1 n 2, ; + n = 1 1 = n n 2, 18, : = n 2 6 : 38

41 , a1, a2,, an n a0 + a1 x + + an x n = 0 ( an 0 ) n 0, : - n, a0 1 - x a1 1 - x a2 1 - x an,, : 1, - 1 ; 2, - 2 ; ; n, 2 n a0 1 - x x2 2 2 x2 2 n,, x 2 a2 = - a n sin x = 0 : 0,, -,2, - 2,, n, - n,,,, x, sin x x 2, - 2 ; ; n, - n ;, : sin x x = a0 1 - x x x 2, 9 2, x 2 - a0 : , - a ; , sin x : sin x x = 1 - x2 3! + x4 5! - x6 7! +,, x2-1 3!, - 1 6, - a = ;, a0, : = , = = n 2 6 = 0, - ;,,, 39

42 ( ),,,,, I. :,,,,,,,, : 1 1, x 2 + y 2 2 x y, : x 3 + y 3 + z 3 3 x y z( x 0, y 0, z 0 ), x 4 + y 4 + z 4 + w 4 4 x y zw ( x 0, y 0, z 0, w 0 ),, : x n 1 + x n x n n n x1 x2 xn ( x1, x2,, xn ), x n 1 = A1, x n 2 = A2,, x n n = An, : A1 + A2 + + An n n A 1 A2 An : n 2 0 < a < 1,0 < b< 1, : ( 1 - a) ( 1 - b) = 1 - a - b+ ab> 1 - a - b, : 0 < a < 1, 0 < b< 1,0 < c < 1, (1 - a) ( 1 - b) ( 1 - c) > 1 - a - b - c, : 0 < a1 < 1, 0 < a2 < 1,, 0 < an < 1, (1 - a1 ) ( 1 - a2 ) ( 1 - an ) > 1 - a1 - a2 - - an 40

43 3, : 2cos 2 = cos = 2 + 2cos ( 0 < < 90 ) ; 2, : 2cos = 2 + 2cos = cos 2 2 2, : 2cos 2 n = cos n 2, ( ),,, ;,,,,,, = 6 6 3,,,,,,, :,,, C. :,, 4,,,,,,,, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 7 + 3, 12 = 7 + 5, 14 = , 16 = , 18 = , 20 = ,, : 4, 41

44 , = 3,2 3-1 = 7,2 5-1 = 31, = 127, 1600 : 2 P - 1 (, P ) (, M P ),, P = 67, M67 = , , : = 5, = 17, = 257, = , : 2 2 n + 1( n ) (, Fn ), 16, : F5 ( = = ), , ( V ) ( E) ( F) ( 2 10), : 2 10 V E F V E F ,, : V + F = E + 2, ( ) 42

45 ,,,,,,,,,, :, 6,? (, ),? : , , , ,, : (1 N) , ;, ln N ( ), : 1 N, N ( 1 N) 1 ln N ( % ) : 43

46 S1 ( n) = n= n( n + 1 ) 2 ( 7 ) ;, ( S2 ( n) = n 2 )? ( S3 ( n) = n 3 )? S1 ( n) S2 ( n) : N S1 ( n) S 2 ( n) S2 ( n) S1 ( n) : N S 2 ( n) - S 1 ( n) , :, S2 ( n) S1 ( n) N S 2 ( n) S1 ( n) 1 = = = = = = = 15 3 : S2 ( n) S1 ( n) = 2 n + 1 3, S1 ( n) = S2 ( n) = n( n + 1) 2 n( n+ 1) (2 n + 1 ) 6, :, S2 ( n), : S3 ( n) S2 ( n), S3 ( n),, : N S2 ( n) S 3 ( n) S 3 ( n) S2 ( n) 1 = = = = = = = = , S3 ( n) S1 ( n), : 44

47 N S 1 ( n) S 3 ( n) 1 = = = = = = = 28 2 S3 ( n) = ( S1 ( n) ) 2 S3 ( n) = n( n+ 1) 2 2 = n2 ( n+ 1) 2 4, :,,,,,,,,,,,, 8 5,,,,,,, ( 2 11) 2 11, V E F 2 11, V, E, F 1, 4, ( 4-1) ; 1 + (4-1 ) = 4, k,, V, E, F 1, k, ( k - 1), 1 + ( k - 1) = k. :, ( ), : ( ), ( V + F - E),,,, V = 4, F = 4, E = 6, ( V + F) - E = 2 9 n (,, )?,,,, n (, )? 45

48 ,, n, Sn 2 12, n 3 4, Sn 4, l4,, 2 12,, : ( n - 1) ln, ln ( n - 1 ) n ( ( n - 1 ), 2 13 ),, n, 2 13, n n = n( n + 1 ) 2 + 1,,,, : ( ), ( ), : ( n - 1 ) n, V n n ( n - 1),,, ( n - 1) n ( n - 1 ) ;, ( n - 1 ) n ( n - 1 ) [ ( n - 1) + 1] n = n( n - 1 ) 2 + 1, n( n - 1) n,

49 ,,, n ( 2-1 ) = n( n - 1) n2 2 - n = ( n 2 ) ( n) + ( ) = n( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = 1 + n( n2 + 5 ) n( n + 1 ) 2,, + n,,,,, ( ),,,,,,,,,,,, 1, : : 0 f ( x) c, x ( a, b), f ( x) 0, x ( a, b) :, f( x) = kx + h, x ( a, b), f ( x) k, x ( a, b) 47

50 , : ( * ). f ( x) 0, x ( a, b), f( x) c, x ( a, b), : ( *, f ( x) k, x ( a, b), f( x) k x + h, x ( a, b), : ) f ( x) k, x ( a, b) g( x) = f ( x) - k x, : g ( x) = f ( x) - k 0, x ( a, b), *, : g( x) h, x ( a, b) f ( x) = k x + h, x ( a, b) *, :, :,,,,, :,,,,,,,,,, ( ), ( ),,,,,,,,, : : ( )? : ( )? :??? 48

51 , : (, )??,,,,,, :????,,,,,,,, :????, :,,,,,?, :,,,,, :,,, : 49

52 ,, ( n ( n + 1 ) ),,,,,,,,,,, 2 2 : ( 1 - a1 ) ( 1 - a2 ) (1 - an ) > 1 - a1 - a2 - - an ( n 2, 0 < a1 < 1,, 0 < an < 1 ) : n= 2,, ( 1 - a1 ) ( 1 - a2 ) (1 - ak ) > 1 - a1 - a2 - - ak : ( 1 - a1 ) ( 1 - a2 ) ( 1 - ak + 1 ) > 1 - a1 - a2 - - ak - ak + 1 : ( 1 - a1 ) ( 1 - a2 ) (1 - ak ) (1 - ak + 1 ) > (1 - a1 - a2 - - ak ) ( 1 - ak + 1 ) ( ) = 1 - a1 - a2 - - ak - ak ( a1 ak a2 ak ak a k + 1 ) > 1 - a1 - a2 - - ak - ak + 1,,,,,,, :,,,,, ;,,,, S3 ( n) S1 ( n), S2 ( n),, ( 5 8 ),,, 50

53 :,, ( ), ( ),,,,,,, : ( ) ( ),,,,,, : ( ),, :,,, ;,,,,,,,,,, 51

54 :, ;,,,,,,,,,,, + 1 n = 1 n 2 = P ( P + 2) ( 5 7, ),,,,, 17 19, 29 31,41 43, ;,, ( ) : P ( P + 2 ) ; n 1 1,, n. ln n ( ln n) 2 5, V a : 2 V - a = 4., 2 14 :

55 V a 2 V 2 V - a = = = = = ,, : S1, S2,, SF F, n ( n - 2 ). a = ( S1-2 ) + ( S2-2 ) + + ( SF - 2 ) = ( S1 + + SF - 2 F) ( S1 + S2 + + SF ) F, S1 + S2 + + SF = 2 E : a = 2 ( E - F). 2 V - a = 4, 2 V - 2 ( E - F) = 4, F + V = E + 2.,,, ( ) : A, A B C D, A ; B C D, A, :, ;,,,,, ( ),, I. : 53

56 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;,,,, 54

57 3 : 1900, :, ;,?,?, :,,,,,,,,,,,, :,,,,,,, :,,,,,,,,,, ( ) ;,, 55

58 ?,, :,,,,,, :,,,, ( ), :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,?,?,, :,, :,, ( ) (, :,,, ), :,,, 56

59 ?,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;,,,, ( ),,, : ( ),,, :,,, (, ),, (, ),,,,, L. :,, ;,,, ;, 57

60 1, ( ) (, ), ( ) 2,,,,, ( ), :, :,,,,, :,,, ;, ;, :,,,,,,,, :,, (, 4 ),, ;, 3,,, e(, ), 10 ( )?,,,,,, ( loga N = b) ( N = a b ), 10, (, ) (4-3),,,,, N lg N, N

61 , lg N ( 4-0 = ) 4,, N N( ) b = lg N( ) b( ) = , (,, ), 1. 1, = 1, = 1. 1, = 1. 21, = , = , : b( ) b N = 1. 1 b ( ) N = , 10 : b b N = 10 b N = ( ) , : : 59

62 b b N = b N = ,? , 1, ,,, ( ) ,, : ( ) 0 = = 1; ( ) = = ; ( ) = = ; : B b N = ( ) b N = , : , , , ,,, n n,, lim n n n e, (, e ),,, (, ),, ( ),,, 60

63 ,, ;,,, , 2, ( ),,,,,,,, : :,, :,,,,,,,,,,,, :, ;,,, :,,, :,,,,,,, = 7 4, = ,,

64 , ( ),,,,,,,,,,,, ( ), 1,,,,,,, : ( ) ( ), ( ), ( ) ( ),, ( ) : :, 1, ( ) ; : 1 : : : 1 : S 1, S,, S,,, :, 62

65 , :, :, :,, ( ),,,,, :,, 4,, ;, ( ) :, 0 1,, 1, 2, 3,, 10, 11, 12, 13 : , ( : 1,, 0,,, 0 1,, 63

66 , ) ;,,, ( ) 1 0 ;, ( ),, : ; 729 : ;, ( ),,,, ;,,,,, ( ) ( ) ( ) : V = 1 3 h( S + S + S S ) ( h, S S ), : sin x = t an x = 2 u 1 + u 2 ; cos x = 1 - u2 1 + u 2 ; 2 u 1 - u 2 ; u = tan x 2, R( sin x, cos x) tan x 2,, : ( x0 ( a, b) n+ 1 ) : f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 ) + f ( x0 ) 2! ( x - x0 ) f ( n) ( x0 ) n! + f ( n + 1 ) ( c) ( n + 1 )! ( x - x0 ) n + 1 ( c x x0 ) ( x - x0 ) n,, :,, 64

67 ( ) : : 5,, a 0 = 1 ( a 0 ) ; a - n = 1 a n ( a 0, n ),, a 3 a 3 = a 3-3 = a 0 = 1; a3 a 6 = a 3-6 = a - 3 = 1 a 3, ( ),, :, ( ) :,,,,, 6 F. F., F. 1872, F. :,,,,,,,, F. : ( ),, ; ;, F. M. : F.,, 50,,,, 65

68 ,,,, :,, (, ), ( ) :,,,,,,, :,,,, ( ), ( ),, ( ) ( ) ( ),,,,, : :,! :,,,?,,,, :,,,,,,,,,,,,, : 20 60,, 66

69 , :,,,,,,,, :!, ;,,,, ( ),,,,,,,, :,,, 2 (, ), ( 2 : 2 = p q ( p, q ), 2 = p2 q 2, p 2 = 2 q 2, p p = 2 m, : ( 2 m) 2 = 2 q 2, 2 m 2 = q 2, q p, q 2,,,, M. :, :, ;,,,, ;, 7, 67

70 ,,,, ;,, ;,,,,,,, :,,,,, ( ),,,, 8, ( ),,,, ( ),,,, 9,,,,,, (, )?,,, : ,,,,,, i, j, k ;,, a + bi + cj + dk, a, b, c, d, i, j, k i ; ( i 2 68

71 = j 2 = k 2 = - 1; i j = k, k i = j, j k = i; j i = - k, i k = - i, k j = - i), p = i + 6 j + 7 k, q= i + 8 j + 9 k, : p q= ( i + 6 j + 7 k) (4 + 6i + 8 j + 9 k) = i + 72 j + 35 k; q p = ( i + 8 j + 9 k) (3 + 2i + 6 j + 7 k) = i + 24 j + 75 k,,,,,,,, M. :,, ; ,, :,?,,,,,,, ;,,,,, ;,,,,,, :,,,,,, :,,, ;,, 69

72 ,, (, ),,,, ( ) ;,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,, A. :,,,, ( ),,, ( ), ( ),,,, ;,, ( ) (, ),,,,,,,,,, 70

73 ,,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,, ( ) 2,, : ;,,,,,?,, :,, 71

74 ,,,, (, :! ),, ( ), :,, ( ),,,, ( ),,,,, : ( ),,!!!, ( ),,,,,,, :,,,,,,,, :, ( 11 ) : 2 11, 2, 3, 5, 7, = N N 1,, N, 72

75 : ( ),,,,,,,, (, ),,, :,,,,,,,,,,,,, : (, ), ;,,,, :,,,,,, ( ),,,, ;,,, :?!,, :, ;,,,, 73

76 ,, :,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,, ;,,, 1, k, l, m r, O;, l m A, m k B, k l C ( 3 e r 1 ) : A, B, C e P, : P A = PB = PC = r ( 3 2), k, l, m ( K, L, M ) ( O, A, B, C ) 3 3, 3 4 :, (?),,,,, 74

77 , :? : , , 5 ;,, 3 4 ( 3 6 ),,, r( 3 6 ),, ( P) r, P A = P B = P C= r : : 3 4,,,,,,,,,,,,, ( ),, ( ), :, 75

78 , ( )? :,, :,,,,,,,,,,,,, :,,,,?,, ;,,, :,,, :,, :,,,, ;,,,,, ( ) 76

79 ,,,,,,, :, ( ), 2,,,,,, :,,,,,,, x 2 + y 2 2 x y x 3 + y 3 + z 3 3 x y z, 3 x y z 3,,,,,,,,, ( ),, ( ) : ( ), ( :, ) ;,, :,,,,,,,,,,, 77

80 ,,,,, :,,,, :,,,,,,,, ;,,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 78

81 ,,,,,,,,, (,, ),, :,,,, :,,,,,,, :,,,

82 (1 ) S =? (2 ) S = 2 ( S 1 - S 2 ) ( 3) a =? h =? 3 7 (4 ) sin 2 = L 2 R, h = R 2 -,,,,,, :, ; L

83 ( 3 8 ),,,,,,,,,,,,,,,,,,, 81

84 4 1, ( ),,,?, A.. : :,,,,,, 1? ( ), 1 (, 1 ),, ( ),,,,,,,, :,,,,,, ;,, ( ),, 82

85 , ;,,?,,,,,,,,,,,,,,, 1, ( ),, (, ),, ( ), ( ),,,,,, ( ), ( ),,,, (, ),, :,,,,, ;,, a, b x, y 83

86 ,,,,,,,, F.,,,,, ( ),,, :,,,,,,,,,, :,,,,,,, 1, 2, 3, 4,,,,, ( ),, : 1, 2, 3,, 101, 102,,,, 84

87 (,,,, ), ( ),,, (, :,, ), i 1, 1545, x ( 10 - x) = 40, ( ) ( ) ( 5 15i), ( ) ( ) 40, 10,,, ( 5-15 ),,?, ( ), : 0, 0, 0,,,,,,,, (, ), ( 1799, [ ] n ),,, 1 : 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - = x 2,, x = 1 x = - 1,,, : x = i, i 2 = ( - 1 ) = 1 0, x 2 ( 0, 1 ),, 85

88 1 ( 4 1, 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - = x : 1 x = - 1 ) 1 + x, : i, e i + 1 = 0 i i, 3,,,,,??,, :, (, ),,, ;,,,, ( 4 2 ) 4 2 : ( ),,,,!, ( ) ( ),, 3, ( ),, : 86

89 ; ( ), ( )?,, (, ), :, ( ) ;, ;,,,, M. : 1700,,,,,,,,,,,!, ( ), 1, 2,, : ( ),, x, y, z,, R : R x y x y R,, R : : x y, Rx y R y x; : x y z, : R x y R y z R x z; : x, Rx x, R : R, R,, 87

90 ,, : 1 ; 2 ; 3 ;,,,, = c = 1( c ) ( x) ( x c ( " y) ( y c y = x) ), = c = 2 ( x) ( y) ( x y x c y c) ( " z) ( z c z = x y = z) ), = 1 = { c c = 2 = {c c = 1}, = 2},, 3 (, ) (, 3 ),,, : [ 0] = { x x 3 0} ; [ 1] = { x x 3 1} ; [ 2] = { x x 3 2}, : [ 0] [1 ] [2] [ 0] [ 0] [1 ] [2] [ 1] [ 1] [2 ] [0] [ 2] [ 2] [0 ] [1] [0] [ 1] [2 ] [ 0] [0] [ 0] [0 ] [ 1] [0] [ 1] [2 ] [ 2] [0] [ 2] [1 ],, :,,,, ( ) ;, 88

91 ,,,,,, 4 :,,,, 4 3 : 4 3, :,,,,,,,, ( ),,,, : 4 4, :,, ; 4 4,, :,,,, ( ),,, ( ),, ( 89

92 ),, 4, 4, (,, ),,, ( ), ( ), :,, ( ), ( ) ;,, ;,,,,,, (, ),, ( ),,,,,, ;, ( ),,, ( ) ( ),,,, :,,,,, 4 5,, 90

93 4 5 ( ),, :, ( ) (,, ),,,,, i, ( ),,,, ( ),,, 5, (, ),,,, 19,, - 1,,,, ( ), 91

94 ,, : ( a, b) a + bi,,,, ( 4 6) : 4 6, : ( ), x ( ) :,,,,, (, ), ;,,,, (, ) 92

95 , : ;, ( ), ( ), ( ), ( ),, :,,,,,, (,, 180 ) ;,,,,,,, 18, ( ) ;,,, ; 93

96 :, ( ), : 11,,,,, :,, :, ( ),, (,,,,,,,,, ), :, ( ) ;, ( ) ;, ( ) ( ) ;, ; ( ),,,, (, :, ) :,, ;,, ;,, ;, ;,, ( ),, 467 ( ) (, ), ( ),,, 94

97 (, ),, ( ),,,, ;,,,,, :,,,,,, (, ), :,,,,, 3,,, ( ; ),,,, :,,, a : a b - b a + c d - d c a b - b a c d - d c b - b a = a+ c b + d - ( b+ d) a + c ; = ac - bd ad + bc - ( ad + bc) ac - bd,,, 95

98 ,, ( a b - b a a + bi ), : 19 ;, :,, ( ),,,,, ( 1899 ), :, ;, (, ),,,,, ( ) (, : ),,, :, ( : ),,,, : ( 1 8 ), 8 ( 1 4 ), 1, B C, A : A, B, a, A, B : B A, C, A, B, C ( 1 5 ), 2 :, ( ) :,, ( 1 2 ), 1 ( ) : A B CD, AB A1, A2,, An, A A1, A1 A2, A2 A3,, 96

99 An - 1 A n CD, B A A n,,,,,,, ( ) (,,, ;,,, ),,,,,,, ;,, 20 20, :,, ( ),,,,,,,, ;,,,, ( ) :,, :, ; (, ),,, 97

100 :, ( ) ;,,,, ( ) ( ), : ( 1) : ( ) ; ( ) ( 2), ; ( ),,,,, :, : ; ; ;,,,,,,,, ( ),,, ( ), ( 5 ), : :,,,,,,,,,,, :,,,,,, ( ) 98

101 , :,,,,,,,, :,,,, 10 : 1840,, 1920,,,,,,,,,,,,,,, 3,, 10,,,,,, 99

102 ,, ;, :, ( ),,,,,, ( ), 16, ( ),,,,,,,,,, ( ),,,, ( ) ( ), ( ) ;, ( ),,,, ( ), ;,,,,,, 100

103 , :,, :,,,,, :, :, ;, ( :,,,,,,, ), :,,, ;,,,,,, ( ) ( ),, :,, :,, 101

104 5 :, ( )?,,???,,,, ;,,,,, 1 000,,, :,,,,,,, :,,,,,,,,,,, ;,?!,,,, :,, 102

105 ,,,,,,,,,,,,, ( ), :, ;, ;,, :, : :,,,????,,,?? 5 000,? 103

106 ?,,,,???,,?,,,??,?,,,!,,, ;, ;,, 4, ;,, (, ),,,,, :, :,,,, ( 5 1 ) : 104

107 5 1,,, ( 5 2 ), :, 5 2,,,,, C. : 5,,,,,,,, 105

108 :, ;,,,,,, ;,,,,,, 16,, ( ),,, : 1, 15 ( ) : ( 5, OA B 3 A B ),, A B, OA B, OA B, 1 2 l r(, l A B, r ) ;,, 1 l 2 lr = r 2 l = r l 2 2 r = r2., 5 3 2,,,, t, s;, s,, ;, t t 0, ( dt), ds dt,, (, ;, ),, ( ) (, 106

109 ) ;,, ( ),,, ( ) ;,,,,, 19,, :,,,,,,,,, ; 20 60, ( )?, G. :,,,, 1874,, :, ( ),,, ( ), ( ), 0 ( ), : 1, 2, 3,, n, 2, 4, 6,,2 n,, 0 107

110 ,,, ;,,,,,,, 1638 : ( ) : 1, 2, 3,, n, 1 2, 2 2, 3 2,, n 2, :,,,,, :,,,,,,,, :,,,,,,,,, ;,,,,,, n,, :, 0, n (, : ( ), ),, : ( ),,, ( 0, 1 ), : 108

111 ( 0, 1),, (0, 1 ) n : an = 0.an1 an2 ann, ani ( i = 1,2,3, ) 0, 1, 2, 9 ( 0, 1 ) : a1 a2 a3 an a1 1 a1 2 a1 3 a1 n a2 1 a2 2 a2 3 a2 n a3 1 a3 2 a3 3 a3 n an1 an2 an3 ann, a11, a2 2, a33,, ann,, b= 0.b1 b2 bn,, bn = ann + 1, ann 8 ann 9 1, ann = 8 ann = 9 b, an ; b ( 0, 1),,, an,,, ( 0, 1) ( ( 0, 1 ) : {0.an1 an2 ann }),,,, : M N, N M, M N, M N ( ),, : 0, c, c > 0,, : S P S ( S ) 1 1, S = {1,2}, P S : ( ), {1}, {2}, {1, 2} 109

112 S P S ( S ),,, : : S P S ( f ), S ( ) S ( P S ) S x S M f x f x x f x, : x f x, x f x, : S = { x x S x f x} S S,,, z S, S = f z z S, z S z S, S z f z, z S, ; z S, z f z, S z S,,, S P S 2 a 2 a > a; a, :,, : 0, 2 0,2 2 0,,, ; ( ),,, : 12,,,, : ( 1),,, + 1, + 2, 12, ;,,,,, 110

113 ( 2),,, 1,2,3,, ; + 1, + 2,, +, 2; :,,, + 1, + 2, ( ) ; +, 2 ( ) ; 2 + 1, 2 + 2, ( ) ; ( 2) +, 3 ( ) ;,, 0 (, ),,, 1,, 1,, : 1 + 1, 1 + 2, (, 1 ),,, : ( 3),,,, :, 1, 2, ; : 0, 1, 2,,, ;,, 1897, A. ;,,,,,,, :,,,,,,, 111

114 ,, ( ),,,,,?,?, ( ),,, ; ( ),,,, :,,, ;,,, ( ), ( ),, ;,,,, ( ),,, :,,,, : ( ),,, ( ), ( ),,,,, 112

115 , ;,,, ( ), :, ;,, : ( 1), :, ;,, ( 2) ( ) ( ),, ;, ;,, ( 3),,, ( 4), ( A) ( B, C) ( 5 4 ) B, C, B C, A ( 5 4 ), C A ; B C A,

116 , ( ) ;, (,, ;, ),,,, : ( ), :,,, 16,,,,,,, :, ;,, ( 1 ), A B, OAB ( ) ; A B,,, ( 2), dt, ds dt 0 0,, ( ) ; dt, ds, dt,, 1694,, 1734,,,, (, ), :,,, 114

117 19,,,, :, :,,,,,, : y = f( x) x x = i; y f( x + i) - f ( x) =, x i i 0 ( ) y x,, 1872,,,, : x = x0 f ( x),, x0 x, f( x) L, L f ( x) x0,,, :,,,,,,,, ( ),, (,,,,, ),,, 19,, 115

118 ,,,,,,,,,, ;,,,,, (, an = 0.an1 an2 ann ), ( b= 0.b1 b2 ),,,,,,,, ;,,,, ;,,,,,,,,,, 1902 :, S0, x S0 x x S0, S0 S0, S0 S0, S0 S0, S0 ( ), S0, S0 S0, ; S0 S0, S0 ), S0 S0, S0 S0, (,, : 116

119 , M PM M M M, P M > M S( ),, PS > S; S, PS, PS S, :,, ( + 1 ) W, W, Q : Q ; Q, Q > Q,,, ( ),,, :,,,,,, :,,,,,?,, :?, :,,,,,,,,,,,, 117

120 ,,,,, 13, :,, ( ),,,,,,,, :,,, ( ), : ( ),,,,,,,, :,,,,, :,,? ( )?, 1917,,,, 13,,,

121 ,,,,,,,,,,, :,,,,, ( ),,,,,,,,,,,,, ( ),,,,,, 20 20,,, :,,, :, ;,, ( ),,,, ;,,, 20 30,,, 119

122 ,,,,, ( ) : : ( 1), (, ), ( 2),,,,,, ( ), 4 ( ) ;,,,,,,, :,,,,,,,, :,,, ;,,,, ( ),,,

123 30,,, 20 60,,,, : :, ( ) :,,, :,,,,,,,,,,, ;,,,,, (, ),,,,, :,,,, ( ),,, ;,,, (, ), : 121

124 , :, :, (,,, ),,,,,, ( ),,,,, :,,, (, ),,,,,,,,,,,, (, ),,,, ( ), ( ) ( ),, ;,, :,,,,, :,,,,,,,, :,, 122

125 ,,,,, ;,, 123

126 6,, :,,, 1980, ( ), :,,? :,,,,, ,,,, 1983 :,,,, ( RMI ) ;,, :, 124

127 , 20 80,, : ( 1),,,,,,,,,,, (,,, 1991 ) ( 2) ( ),,,, ( ),, ;,,,,,, ;, ( RMI ) ( 1 ) ( 3), (,, 1988),,,,,,,, : 125

128 ?? 3,,,,,,,,,, ( 4),,,,, ;, ( :,, 1993 ) ( 5),, ;,,,,,,,,, (,, [ ], 1997 ) 14,, (, 1989 ) ( ),, : ; ; ; ; 14,,,, 2000 ;,,, 2001;,,,

129 ; ; ; ; ;, :,,, :, ( ),,, ;,, ( 7 ) ;,,, 20 80,,,,,,,, 20 80,,,,,,,,,,,,,,, ;, 127

130 (, ) ( ),,,, : (, 1979), (, 1991 ), (, 1991 ),,??,,, :, ( ),,??,,,,,,,,,,,, :,,,,, :, ;,,,?? 128

131 , ( ) ;,,,,, ( ), ( ),,,?,?,, :, ;,,,,, ( ),,,,,,,, ( ),,,,,,,, (, ),,,,,,,, (, ),,,, 129

132 ,, ;,,,,,, ;,,,,, ( ),, ( P ME ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( ),, ; ; ( ),,,,,,, 130

133 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( 7 ), ( ),,,, ( ),,,,,, ;,, :,,,,,, 5 :, 131

134 ,,,,, : (, ), ( ),, ;, ( ),, :,, ( ),, :, ( ),,, ( ),,, ;,, :,,,,,,,,,,, : :,,,,,,,,,,,,,,, (,, 132

135 , 1991 ),,,,, R. H. :,,,,,,,, :,, :,,,,,,,, ;,,,,,,,, ;,,,, ( ),,, (,,,, 1991 ),, 133

136 ,, :,,, ( ),,, (, ) (,, ), :,,,,,,,, (,, [ ], 1999),,,,, :,,,,,, ;,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;, 134

137 ,,, ;,,, ;,,,, (,,, ),,,,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 135

138 ,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,, ( ),, ( ),, ( ) ( ), :?,?,,,,,,,,, 136

139 ,,,,,,,,,,,,,, ;, ;,,? ;,,,,,,,,,,,, (, ),,,,,,,,, (, ),,,,,,,,,,, :,,,, 137

140 ,,,,, :,,, ;,,,,,,,,,,,, :,,,,,, :,,,, ( ),,,,,,, : (, 1982), (, 1980 ), (, 1984 ) (,,, 2001, ), 138

141 ,,,, :?,,,?,,, :,,, ;,?,, 20 80,, ;,,,,,,,, ;,,, : 20 60,,,,,, 20 70,,,,, (, ),,,, 20 80,,, 139

142 ( NCTM) 1980,, 1949,, 20 80,,,,, :,,, :,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,, ( ), A. : :,,,,,,, 140

143 :,,, : :, ;, ;, ;,,,, :, :,, ( ) ;,,, :,,,,, :,,,,, : ( ), ( ),,,, ( ) ( ),,,,,,, ( ) ( ) 141

144 :,, ;,, :,,,,, ( ), ( ) ( ) ( ),,,, :, :???????, :,, :?,??,??,??? 142

145 ?, ( )?,,,,, 20 80,,, 20 80, ( ) ( ),,,,,,,,, (, ), : ;, ;, ;,,, ;,,, 15,, : :? (what) (?? )? (why) (? )? ( how) (? ),,, ( ) ( ) ( belief), 15 A. Schoe nfeld : Ma th ematica l P roblem Solving, Acad emic Press In c.,

146 ( ), (,, ),,, ( ) :,,,,,, 5 10,,,,,,, : : 36, 1 128,?, 70%, , 31, 12;,, 29% 31 12, 18 % 31, 23% 32, :,,?,,, : 5 10, 144

147 :, 12,,,, , 45 20, ( 10 ), :,, 12, :, ;,,,, 12, :,? 2. 2!,,, ;,,, ( ), R. :,, :,,,, ( ) (,,, 1994) 145

148 ,,,,, ;,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( ),,,,,, :,,,,,,,, ( ),, 146

149 ( [ ] ),, 20 80,,, 20 90,,, ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 20 80,,,,,,, :,,,,,, 147

150 ,,,,,, ;,,, ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, :, ( )?, 16,,,, :?,?,, 16, T. ( ),, 148

151 , :,,,,,,,, ( ),,, 17,,,, :,????,,,, (, ),,, :, ( ) ( )?,?,,,,,,,,,,,,,,,? ;, 17 E. Silver On Ma th ema tical P roblem Po sing, Procee dings of th e 17th Int erna tion al Conferen ce of P M E, 1993, Vol. I,

152 , ( ),,,,,,,, : (, :, ), : ( ) ( ),, ( ),, :, ( H. Wu) ; :,, (A. Cuoco),,,,, :,,,,,, : 1985,,,, :,,,,, (,,,, 1991 ),,, :, 150

153 ,,, :,,, ;,,,,, : (, )?,? :,,,, T.,, :, ;,,, 2 3 ;,, ;, ;,, 20 90,,,,,,,,,, :,,,, (, ),,, 151

154 (, ),,,,,, ;,,,,, ;,,, ;,,,,,,,,,, ;,, (, ), (, ), 7,,, :,, (,,, 2001 ) 152

155 7,, ;,, 1978,,,,,,,,,, 6, :,?,, :,, (, ), 153

156 ,,, 1 : 1 :, : =?,, : 4 950,,,,,,,,, ( 7 1) : 7 1, S = =? 2 S = = = : S = :, :, ,?, :,, ( 9),,,,, : 154

157 , 50 x + y = , 2 x + 4 y = 140, : x + y = 50, 2 x + 4 y = 140, : x = 30, y = 20, h 50, f 140, h f, : x + y = h, (1 ) 2 x + 4 y = f ( 2) : ( 2) 1 2 x + 2 y = f ( 3) 2 ( 3) - (1 ) y = f 2 - h,,, ( ) 3 : 7 x y 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,?, :?,, :,,?, : S,, 3 S, 1, 2, 3, 9, 45, S =

158 :, :? :, ? ( 7 3 ), 8 : 8, 9 8, 15 (, 9?), ? ( 7 4 ), 2, 15, 12, (, 1?), 2, 3, 4, 5 : : 5, 1 7,, : , 1 ( 7 6), 9, 156

159 15 2 :,, : , :, 7 9, 4, 10,, 1 1, 9, 15 2 ( ) : , 12; , ,, 7 13?! 1 9, 15, : : 7 13 ( 3, 5, 7) ; ( 8, 1, 6) ; ( 4, 5, 6) ; ( 1, 5, 9) ; ( 7, 6, 2) ; ( 6, 8, 1) ; ( 2, 4, 9) ; ( 8, 1, 6 ) (6, 8, 1),, 157

160 ,,,, :,,, 1 2 : ( 1, 5, 9) ; ( 1, 6, 8) ; ( 2, 4, 9) ; ( 2, 5, 8) ; ( 2, 6, 7) ; ( 3, 4, 8) ; ( 3, 5, 7) ; ( 4, 5, 6) : : (,, ),, 5,, 5,?,,, 2, 4, 6, 8, 1,3,7,9,, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 7 9,, :,?!, : ( 1) 1 9, 2 10? 87 95? ( 2) 3, 6, 9, 12, 18,, ? ( 3) 5,8,11, 14,17, 20,, 29?, ( ), 158

161 , 4, (, ) ( 7 14),, :??,, CE, 7 14 (,,, 1992 ),, :,?,,, (, A B AC = 1 1, BD DC = 1 1, AB AC = BD DC, 7 15), :,?, :,,, A B A C, A BD DC??,,? 7 15,,,,,, ( A B A C= 2 1 AB A C= 3 1 ), : ;,,,, 1 1, A B AC = 1 1 BD DC = 1 1,, :,, : 159

162 ? : : ( 7 ( DE DF ) ; 16), : ( 7 17, S AB M = S ACM ),, ( ) : A A K A BC (, 3 2 )?,, ( 7 18),, : A B AC,? , ( 7 19 ), AB A C,, :,?, ( 7 20, A H = AC, H C AD)

163 ,, AD A, 7 20 : AD H C,,?, AD A, :?,, A AD, A B A C, ( ),,, A H C AD, C AD CH,,, CE,,,, (,, ), AB A C = BD DC( AD A ), BD DC, BD DC A BD ADC,, A B A C A BD ADC,, AB AC ABD ADC, ( ) ( 7 16 DE DF),, 5 4, (,, 1992 ),,,,, : P l, Q, PQ P l ( 7 21 ),, : P l, P? P,, 161

164 ?, : :?? : P l l, l l P l ( 7 22 ),,,, P l l l ,? :,, ( M) ( l ; l ; l l ; l l ), :, l l ( M l l d d,, l l d + 0; d + 0; d + d ; d - d d - d),?, l,, ;, P( x0, y0 ) l: A x + B y + C = 0,,, ;, :?,?,,,,, : M l l?,, l,, P l l l,, l l, M( P) l l, P l, 162

165 ?!, : l, (, ),,, :,?,, : P l l, l l, P l,,,,,,, 7 21 ( P l, Q, P Q ),,,, ( ),,,,,,,,,,,, :, ;, :!,,, :,,,, (, ), :,,, 163

166 ,,, (, ) (,, ),,,,,,,,,,,,,, 6,, y = a x ( a> 0) : y = a x + x - a x = a x ( a x - 1 ), y x = ax - 1, x a x y y = lim x 0 x = ax lim x 0 ( a x lim x 0 a x - 1 x a x - 1 x - 1 ) = t, x = loga ( 1 + t) ;, x 0, t 0, : = lim t 0 y = a x ln a t log a( 1 + t) = 1 lim t 0 log a(1 + t) 1 t = 1 = ln a loga e,, t = a x - 1??, : y y = lim x 0 x = ax lim x 0 a x - 1, t x 164

167 ,,!,, :,, :,,, : ( log a x ) = 1 x log ae,,, :, :,?,,, :,, : ( a x ) = 1 loga y = 1 loga e y = a x ln a,,,,,,,,,, 7,,,, : sin ( + ) = sin cos + cos sin 7 A D BC. S A DC 23, B AD, DAC, AD = m, : S AB D = bmsin, S ABC = bcsin( + ) S AB C = S AB D + S AD C, bcsin( + ) = cmsin + bmsin = cmsin, bc : sin( + ) = m b sin + m c sin,

168 sin( + ) = sin cos + cos sin, ( ) ( 4,,, 1994 ),, 8,,,,,, ( ),,,,, :,?,,, ;,,,,,, : ( ),,, : (, 7 ) ;,,,,,,,,,,,,,,, 166

169 , ( ICMI),,,,, :,,,,,,,,,,,, 6,,, ;, ;,, ,,,??? 18, 167

170 , :, : (, 7 24 ) 7 24, ;, ;,,,,,,?, :,,, 6,,,, 20 80,,, ( ),?,?,, :,,,,, ( ),,,,,,,, 168

171 ,,,,,,,,, (, ),,,,,,,,,, S. M. :,,,, ;,, ;, :,?, ;,, :,?, ( What if not ) 1 ( ), : : :,?, : 169

172 ( 1.1) ; ( 1.2) ; ( 1.3), a 2 + b 2 c 2 : :,?, : ( 2.1) ; ( 2.2) ; ( 2.3) : :,? : ( 3.1) ; ( 3.2) ; ( 3.3), : :,?, : ( 4.1) ; ( 4.2) ( ) : :,?, : ( 5.1) ; ( 5.2) ; ( 5.3) ; ( 5.4) :,? : ( 6.1), a 2 + b 2 = c 2 + d 2 ; ( 6.2), a 2 = b 2 ; ( 6.3), a 2 + b 2 = c 2 + n; ( 6.4), a 2 + b 2 = n :,? 170

173 : ( 7.1) >, a 2 + b 2 > c 2 ; ( 7.2) <, a 2 + b 2 < c 2 ; ( 7.3), a 2 + b 2 c 2 ; ( 7.4), ( a 2 + b 2 ) c 2 ; ( 7.5) a 2 + b 2 c 2 ; ( 7.6) a 2 + b 2 c 2 : :? : ( 8.1) a 2 - b 2 = c 2 ; ( 8.2) a 2 b 2 = c 2 ; ( 8.3) ( a 2 ) b 2 ( 8.4) a 2 b 2 = c 2 ; = c 2 : : ( 9.1) a 3 + b 3 = c 3 ; ( 9.2) a 4 + b 4 = c 4 ; ( 9.3) a 5 + b 5 = c 5 : : ( 10.1 ) a b 1 2 = c 1 2 ; ( 10.2 ) a b - 1 = c - 1 ; ( 10.3 ) a 2 + b 2 = c 2 : : ( 11.1 ) a + b 2 = c 2 ; ( 11.2 ) a 2 + b 2 = c 3 ; ( 11.3 ) a 2 + b 3 = c 5 ; ( 11.4 ) a 2 + b 2 = c,,, : ( 7.1) a 2 + b 2 > c 2, : ( 1)? ( 2)? ( 3) a 2 + b 2 c 2, 1? 171

174 ( 4) a 2 + b 2 > c 2?,, :?????????????????,??????????????,?? 172

175 ?? ( )?,,,,,,,,,,, : (, ),,?, :, :,,,,,,,, ( ),,,,,,,,, 6,,,,,,,,, 173

176 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (, 3 ), 2, ( ), ;, ;, : ( 7 25)?, : ( 1), (2 ), ( 3), ( 4) 174

177 ,, 3 10 ( 7 26), 3, ( 7 2 ( ) : = ) ;,,,, : R, S,, ( S - 2 R) 2 S 2,, : ( 1 2 ),? : ( S - 2 R) 2 S 2 = 1 2, : 1.46,,, :,,?, 20, 7,? 10,?, 1 2,?,,, 175

178 3 2000,, ( ) : ABC, D, E A C, AB ( 7 28), : BD = CE,,, 7 28, : : ABC, B, C AC D, A B E : BD = CE : A BC, D, E A C, AB : DBC = ECB ABCD O : AC = DB ,, 40 84, ( ) 28. :,,,,,,,, :, ;, ;, ;, ; 176

179 ,,, :,, :,,,, ( 7 28 ), : :,,?,, ( ) ( A ;, ) : A : ABC, B, C AC D, A B E : BD = CE B : A BC, BD, CE A C, AB : BD = CE ,, ( ) : C : A BC, A D = A E, BD, CE D : A BC, BD, CE C A, B A E : A BC, BD, CE AC, A B, B, C AD AE B F, CG : BD = CE : BD = CE : BF = CG 177

180 :,,?, ( ) : F ( ) : A BC, G : A BC, BD, CE A C, BD, CE A C, AB F : DBC = ECB AB F : BCF :,,?,, ( ) : H ( ) A BCD, O : AC = BD I A BCD, D A B, BC DE, DF : DE = DF 178

181 ,,,,, 4 ( 4 5 ),,,,,,,,, 2000 : ( ),,,,,, :,,?,, :,?,,, (, a 2 = c 2 - b 2 ), ( 7 41) :, b, c A, a? ( * ) :,

182 a 2 = c 2 - b 2 = c 2 + b 2-2 b 2 = c 2 + b 2-2 bccos A ;,,, : : A,,!,,, ( * ),,, b, c a, b, c A a?,?,!, :,?, : ( )?,, :!,,!,,, ;,,, :,, ( a 2 = c 2 - b 2 c 2 + b 2-2 bccos A), (,,? ),, (, ),,!,,,,, :,,,,,, :,,, 180

183 ,,,, :,?,,,,,, (,,,,,,,,,, ), :,,,,,,, 2,,,,,,,,,,,,,! 5 4, : 5, :? (, 1999 ), (, ),, ( ),,,,,,, ( ),, 181

184 ,,,,,, (,, ),,,,,,, :,, (, ) (,,, ),,,,,,, ( ) 3, 1, 2,, 9,,,, 5,, :? 5? 6 4?, 3,,,, ( 7 42 ) :

185 ,, : 2 3 R3 (, 4 3 R3 ),, :, 2 3 R3,,, :,, :,, 7 42,,, :,,,?, 2 6,,,,,,,,,,,,,,, 6,,,,,,,,,,,,, 183

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